Kleinstes gemeinsames Vielfaches (kgV) – Übung

Lösungsweg:
Notiere die Vielfachenmengen $V_6$ und $V_8$. Vergleiche die beiden Mengen und finde das kleinste gemeinsame Vielfache.

Die Vielfachenmenge von $6$ ist ${V_6 = \{6, 12, 18, \color{#99CC00}{24}\color{#666666}, 30, \dots\} }$ und die Vielfachenmenge von $8$ ist ${V_8 = \{8, 16, \color{#99CC00}{24}\color{#666666}, 32, \dots\} }$.
Das kleinste gemeinsame Vielfache ist ${\text{kgV}(6,8) = 24}$.

Antwort:
Das kleinste gemeinsame Vielfache von $6$ und $8$ ist $24$.

Lösungsweg:
Notiere die Vielfachenmengen $V_9$ und $V_{12}$. Vergleiche die beiden Mengen, um das kleinste gemeinsame Vielfache zu finden.

Die Vielfachenmenge von $9$ ist ${V_9 = \{9, 18, 27, \color{#99CC00}{36}\color{#666666}, \dots\} }$ und die Vielfachenmenge von $12$ ist ${V_{12} = \{12, 24, \color{#99CC00}{36}\color{#666666}, 48, \dots\} }$.
Das kleinste gemeinsame Vielfache ist ${\text{kgV}(9,12) =36}$.

Antwort:
Das kleinste gemeinsame Vielfache von $9$ und $12$ ist $36$.

Lösungsweg:
Schreibe die Vielfachenmengen $V_4$ und $V_{10}$ auf. Suche das kleinste gemeinsame Vielfache.

Die Vielfachenmenge von $4$ ist ${V_4 = \{4, 8, 12, 16, \color{#99CC00}{20}\color{#666666}, \dots\} }$ und die Vielfachenmenge von $10$ ist ${V_{10} = \{10, \color{#99CC00}{20}\color{#666666}, 30, 40, \dots\} }$.
Das kleinste gemeinsame Vielfache ist ${\text{kgV}(4,10) =20}$.

Antwort:
Das kleinste gemeinsame Vielfache von $4$ und $10$ ist $20$.

Lösungsweg:
Schreibe die Vielfachenmengen $V_7$ und $V_{11}$ auf. Finde das kleinste gemeinsame Vielfache.

Die Vielfachenmenge von $7$ ist ${V_7 = \{7, 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56, 63, 70, \color{#99CC00}{77}\color{#666666} \dots\} }$ und die Vielfachenmenge von $11$ ist ${V_{11} = \{11, 22, 33, 44, 55, 66, \color{#99CC00}{77}\color{#666666} \dots\} }$.
Das kleinste gemeinsame Vielfache ist ${\text{kgV}(7,11) =77}$.

Antwort:
Das kleinste gemeinsame Vielfache von $7$ und $11$ ist $77$.

Lösungsweg:
Notiere die Vielfachenmengen $V_3$ und $V_6$. Das kleinste gemeinsame Vielfache ist das erste gemeinsame Element beider Mengen.

Die Vielfachenmenge von $3$ ist ${V_3 = \{3, \color{#99CC00}{6}\color{#666666}, 9, 12, \dots\} }$ und die Vielfachenmenge von $6$ ist ${V_6 = \{\color{#99CC00}{6}\color{#666666}, 12, 18, \dots\} }$.
Das kleinste gemeinsame Vielfache ist ${\text{kgV}(3,6) = 6}$.

Antwort:
Das kleinste gemeinsame Vielfache von $3$ und $6$ ist $6$.

Lösungsweg:
Schreibe die Vielfachenmengen $V_8$ und $V_{14}$ auf. Das kleinste gemeinsame Vielfache ist das erste gemeinsame Element beider Mengen.

Die Vielfachenmenge von $8$ ist ${V_8 = \{8, 16, 24, 32, 40, 48, \color{#99CC00}{56}\color{#666666} , \dots\} }$ und die Vielfachenmenge von $14$ ist ${V_{14} = \{14, 28, 42, \color{#99CC00}{56}\color{#666666}, \dots\} }$.
Das kleinste gemeinsame Vielfache ist ${\text{kgV}(8,14) =56}$.

Antwort:
Das kleinste gemeinsame Vielfache von $8$ und $14$ ist $56$.

Lösungsweg:
Schreibe die Vielfachenmengen $V_{15}$ und $V_{20}$ auf. Das kleinste gemeinsame Vielfache ist das erste gemeinsame Element beider Mengen.

Die Vielfachenmenge von $15$ ist ${V_{15} = \{15, 30, 45, \color{#99CC00}{60}\color{#666666}, \dots\} }$ und die Vielfachenmenge von $20$ ist ${V_{20} = \{20, 40, \color{#99CC00}{60}\color{#666666}, 80, \dots\} }$.
Das kleinste gemeinsame Vielfache ist ${\text{kgV}(15,20) =60}$.

Antwort:
Das kleinste gemeinsame Vielfache von $15$ und $20$ ist $60$.

Lösungsweg:
Notiere die Vielfachenmengen $V_5$, $V_9$ und $V_{15}$. Das kleinste gemeinsame Vielfache ist das erste gemeinsame Element der drei Mengen.

Die Vielfachenmenge von $5$ ist ${V_5 = \{5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, \color{#99CC00}{45}\color{#666666}, \dots\} }$ und die Vielfachenmenge von $9$ ist ${V_9 = \{9, 18, 27, 36, \color{#99CC00}{45}\color{#666666}, \dots\} }$.
Die Vielfachenmenge von $15$ ist ${V_{15} = \{15,30, \color{#99CC00}{45}\color{#666666}, 60, \dots\} }$.
Das kleinste gemeinsame Vielfache ist demnach ${\text{kgV}(5,9,15) = 45}$.

Antwort:
Das kleinste gemeinsame Vielfache von $5$, $9$ und $15$ ist $45$.

Lösungsweg:
Schreibe die Vielfachenmengen $V_4$, $V_6$ und $V_9$ auf. Finde das kleinste gemeinsame Vielfache.

Die Vielfachenmenge von $4$ ist ${V_4 = \{4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, \color{#99CC00}{36}\color{#666666}, 40, \dots\} }$ und die Vielfachenmenge von $6$ ist ${V_6 = \{6, 12,18, 24, 30, \color{#99CC00}{36}\color{#666666}, 42, \dots\} }$. Bei $9$ ergibt sich ${V_9 = \{9, 18, 27, \color{#99CC00}{36}\color{#666666}, 45, \dots\} }$.
Das kleinste gemeinsame Vielfache ist ${\text{kgV}(4,6,9) =36}$.

Antwort:
Das kleinste gemeinsame Vielfache von $4$, $6$ und $9$ ist $36$.

Rechenweg:
Die größere Zahl ist $10$. Bestimme die Vielfachen von $10$: $10, 20, 30, 40, \dots$
Das kleinste Vielfache von $10$, das durch $6$ teilbar ist, ist $30$, denn $30 : 6 = 5$.

Lösung:
Das kleinste gemeinsame Vielfache von $6$ und $10$ ist $\text{kgV}(6, 10) = 30$.

Rechenweg:
Die größere Zahl ist $12$. Bestimme die Vielfachen von $12$: $12, 24, 36, 48, \dots$
Das kleinste Vielfache von $12$, das durch $8$ teilbar ist, ist $24$, denn $24 : 8 = 3$.

Lösung:
Das kleinste gemeinsame Vielfache von $8$ und $12$ ist $\text{kgV}(8, 12) = 24$.

Rechenweg:
Die größere Zahl ist $18$. Bestimme die Vielfachen von $18$: $18, 36, 54, \dots$
Das kleinste Vielfache von $18$, das durch $9$ teilbar ist, ist $18$, denn $18 : 9 = 2$.

Lösung:
Das kleinste gemeinsame Vielfache von $9$ und $18$ ist $\text{kgV}(9, 18) = 18$.

Rechenweg:
Die größere Zahl ist $13$. Bestimme die Vielfachen von $13$: $13, 26, 39, 52, 65, 78, 91, \dots$
Das kleinste Vielfache von $13$, das durch $7$ teilbar ist, ist $91$, denn $91 : 7 = 13$.

Lösung:
Das kleinste gemeinsame Vielfache von $7$ und $13$ ist $\text{kgV}(7, 13) = 91$.

Rechenweg:
Die größere Zahl ist $25$. Bestimme die Vielfachen von $25$: $25, 50, 75, \dots$
Das kleinste Vielfache von $25$, das durch $10$ teilbar ist, ist $50$, denn $50 : 10 = 5$.

Lösung:
Das kleinste gemeinsame Vielfache von $10$ und $25$ ist $\text{kgV}(10, 25) = 50$.

Rechenweg:
Die größere Zahl ist $20$. Bestimme die Vielfachen von $20$: $20, 40, \dots 120, 140, \dots$
Das kleinste Vielfache von $20$, das durch $14$ teilbar ist, ist $140$, denn $140 : 14 = 10$.

Lösung:
Das kleinste gemeinsame Vielfache von $14$ und $20$ ist $\text{kgV}(14, 20) = 140$.

Rechenweg:
Die größere Zahl ist $15$. Bestimme die Vielfachen von $15$: $15, 30, 45, \dots$
Das kleinste Vielfache von $15$, das durch $6$ teilbar ist, ist $30$, denn $30 : 6 = 5$.

Lösung:
Das kleinste gemeinsame Vielfache von $6$ und $15$ ist $\text{kgV}(6, 15) = 30$.

Rechenweg:
Die größere Zahl ist $24$. Bestimme die Vielfachen von $24$: $24, 48, 72, \dots$
Das kleinste Vielfache von $24$, das durch $16$ teilbar ist, ist $48$, denn $48 : 16 = 3$.

Lösung:
Das kleinste gemeinsame Vielfache von $16$ und $24$ ist $\text{kgV}(16, 24) = 48$.

Rechenweg:
Die größere Zahl ist $22$. Bestimme die Vielfachen von $22$: $22, 44, 66, \dots$
Das kleinste Vielfache von $22$, das durch $11$ teilbar ist, ist $22$, denn $22 : 11 = 2$.

Lösung:
Das kleinste gemeinsame Vielfache von $11$ und $22$ ist $\text{kgV}(11, 22) = 22$.

Rechenweg:
Die größere Zahl ist $9$. Bestimme die Vielfachen von $9$: $9, 18, 27, 36, \dots$
Das kleinste Vielfache von $9$, das durch $4$ teilbar ist, ist $36$, denn $36 : 4 = 9$.

Lösung:
Das kleinste gemeinsame Vielfache von $4$ und $9$ ist $\text{kgV}(4, 9) = 36$.

Rechenweg:
Zerlege die Zahlen in Primfaktoren:

• ${16 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2}$ und
• ${24 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3}$.

Schreibe jeden Primfaktor in der höchsten Häufigkeit auf:
Der Faktor $2$ kommt in $16$ viermal vor, der Faktor $3$ kommt in $24$ einmal vor.
Multipliziere alle Primfaktoren: ${2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 = 48}$.

Lösung:
Das kleinste gemeinsame Vielfache von $16$ und $24$ ist $48$.

Rechenweg:
Zerlege die Zahlen in Primfaktoren:

• ${18 = 2 \cdot 3 \cdot 3}$ und
• ${27 = 3 \cdot 3 \cdot 3}$.

Schreibe jeden Primfaktor in der höchsten Häufigkeit auf:
Der Faktor $2$ kommt in $18$ einmal vor, der Faktor $3$ kommt in $27$ dreimal vor.
Multipliziere: ${2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 54}$.

Lösung:
Das kleinste gemeinsame Vielfache von $18$ und $27$ ist $54$.

Rechenweg:
Zerlege die Zahlen in Primfaktoren:

• ${9 = 3 \cdot 3}$ und
• ${12 = 2 \cdot 2 \cdot 3}$.

Schreibe jeden Primfaktor in der höchsten Häufigkeit auf:
Der Faktor $2$ kommt in $12$ zweimal vor, der Faktor $3$ kommt in $9$ zweimal vor. Multipliziere: ${2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 = 36}$.

Lösung:
Das kleinste gemeinsame Vielfache von $9$ und $12$ ist $36$.

Rechenweg:
Zerlege die Zahlen in Primfaktoren:

• ${6 = 2 \cdot 3}$ und
• ${15 = 3 \cdot 5}$.

Schreibe jeden Primfaktor in der höchsten Häufigkeit auf:
Der Faktor $2$ kommt in $6$ einmal vor, der Faktor $3$ kommt in beiden Zahlen einmal vor und der Faktor $5$ kommt in $15$ einmal vor.
Multipliziere: ${2 \cdot 3 \cdot 5 = 30}$.

Lösung:
Das kleinste gemeinsame Vielfache von $6$ und $15$ ist $30$.

Rechenweg:
Zerlege die Zahlen in Primfaktoren:

• ${22 = 2 \cdot 11}$ und
• ${33 = 3 \cdot 11}$.

Schreibe jeden Primfaktor in der höchsten Häufigkeit auf:
Der Faktor $2$ kommt in $22$ einmal vor, der Faktor $3$ kommt in $33$ einmal vor und der Faktor $11$ kommt in beiden Zahlen einmal vor.
Multipliziere: ${2 \cdot 3 \cdot 11 = 66}$.

Lösung:
Das kleinste gemeinsame Vielfache von $22$ und $33$ ist $66$.

Rechenweg:
Zerlege die Zahlen in Primfaktoren:

• ${14 = 2 \cdot 7}$ und
• ${28 = 2 \cdot 2 \cdot 7}$.

Schreibe jeden Primfaktor in der höchsten Häufigkeit auf:
Der Faktor $2$ kommt in $28$ zweimal vor und der Faktor $7$ kommt in beiden Zahlen einmal vor.
Multipliziere: ${2 \cdot 2 \cdot 7 = 28}$.

Lösung:
Das kleinste gemeinsame Vielfache von $14$ und $28$ ist $28$.

Rechenweg:
Zerlege die Zahlen in Primfaktoren:

• ${10 = 2 \cdot 5}$ und
• ${12 = 2 \cdot 2 \cdot 3}$.

Schreibe jeden Primfaktor in der höchsten Häufigkeit auf:
Der Faktor $2$ kommt in $12$ zweimal vor, der Faktor $3$ kommt in $12$ einmal vor und der Faktor $5$ kommt in $10$ einmal vor.
Multipliziere: ${2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5 = 60}$.

Lösung:
Das kleinste gemeinsame Vielfache von $10$ und $12$ ist $60$.

Rechenweg:
Zerlege die Zahlen in Primfaktoren:

• ${25 = 5 \cdot 5}$ und
• ${30 = 2 \cdot 3 \cdot 5}$.

Schreibe jeden Primfaktor in der höchsten Häufigkeit auf:
Der Faktor $2$ kommt in $30$ einmal vor, der Faktor $3$ kommt in $30$ einmal vor und der Faktor $5$ kommt in $25$ zweimal vor.
Multipliziere: ${2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 5 = 150}$.

Lösung:
Das kleinste gemeinsame Vielfache von $25$ und $30$ ist $150$.

Rechenweg:
Zerlege die Zahlen in Primfaktoren:

• ${12= 2\cdot 2 \cdot 3}$
• ${32 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2}$
• ${48 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3}$

Schreibe jeden Primfaktor in der höchsten Häufigkeit auf:
Der Faktor $2$ kommt in $32$ fünfmal vor und der Faktor $3$ kommt in $12$ und $48$ einmal vor.
Multipliziere: ${2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 = 96}$.

Lösung:
Das kleinste gemeinsame Vielfache von $12$, $32$ und $48$ ist $96$.

Rechenweg:
Zerlege die Zahlen in Primfaktoren:

• ${15 = 3\cdot 5}$
• ${21 = 3 \cdot 7}$
• ${35 = 5 \cdot 7}$

Schreibe jeden Primfaktor in der höchsten Häufigkeit auf:
Der Faktor $3$ kommt in $15$ und $21$ einmal vor, der Faktor $5$ kommt in $15$ und $35$ einmal vor und der Faktor $7$ kommt in beiden Zahlen einmal vor.
Multipliziere: ${3 \cdot 5 \cdot 7 = 105}$.

Lösung:
Das kleinste gemeinsame Vielfache von $15$, $21$ und $35$ ist $105$.

Die Lösungen lauten:

• $\text{kgV}(14,20) =$ $140$
  Die Primfaktorzerlegungen lauten $14 = 2 \cdot 7$ und $20 = 2 \cdot 2 \cdot 5$. Das kleinste gemeinsame Vielfache ist $2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 7 = 140$.

• $\text{kgV}(21,30) =$ $210$
  Die Primfaktorzerlegungen lauten $21 = 3 \cdot 7$ und $30 = 2 \cdot 3 \cdot 5$. Das kleinste gemeinsame Vielfache ist $2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 = 210$.

• $\text{kgV}(16,45) =$ $720$
  Die Primfaktorzerlegungen lauten $16 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2$ und $45 = 3 \cdot 3 \cdot 5$. Das kleinste gemeinsame Vielfache ist $2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5 = 720$.

• $\text{kgV}(8,12,20) =$ $120$
  Die Primfaktorzerlegungen lauten $8 = 2 \cdot 2 \cdot 2$, $12 = 2 \cdot 2 \cdot 3$ und $20 = 2 \cdot 2 \cdot 5$. Das kleinste gemeinsame Vielfache ist $2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5 = 120$.

• $\text{kgV}(9,12,15) =$ $180$
  Die Primfaktorzerlegungen lauten $9 = 3 \cdot 3$, $12 = 2 \cdot 2 \cdot 3$ und $15 = 3 \cdot 5$. Das kleinste gemeinsame Vielfache ist $2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5 = 180$.

• $\text{kgV}(10,14,35) =$ $70$
  Die Primfaktorzerlegungen lauten $10 = 2 \cdot 5$, $14 = 2 \cdot 7$ und $35 = 5 \cdot 7$. Das kleinste gemeinsame Vielfache ist $2 \cdot 5 \cdot 7 = 70$.