Kleinstes gemeinsames Vielfaches (kgV) – Übung

Die drei Buddys Marsin, Merkurt und Neptoni haben sich ewig nicht gesehen. Daher wollen sie sich auf Planet Multiplex treffen, denn der liegt genau in der Mitte ihrer Galaxien. Aber die intergalaktischen Verkehrsmittel sind echt von gestern. Marsin kann alle drei Jahre das Space Shuttle zum Planeten Multiplex nehmen, bei Merkurt fliegt es nur in einem Abstand von neun Jahren, und Neptoni kann sogar nur alle zwölf Jahre nach Multiplex reisen. Da verpassen sie sich ja ständig! Wann können die drei denn endlich zusammen chillen und über die guten alten Zeiten quatschen? Das verrät uns das „kleinste gemeinsame Vielfache, kurz kgV“ Doch zunächst ist ein bisschen Übung nötig. Zur Bestimmung des kgV von zwei Zahlen kennen wir zwei Möglichkeiten: Wir können entweder die Zahlenreihen der Vielfachen vergleichen, oder die Primfaktorzerlegung anwenden. Schauen wir uns zuerst die Bestimmung des kgV mit Hilfe der Vielfachen an. Diese Methode eignet sich vor allem für kleinere Zahlen. Wie zum Beispiel sechs und acht. Wir notieren uns zuerst einige Vielfache der sechs, und anschließend die Vielfachen der acht, bis wir das erste gemeinsame Vielfache gefunden haben. Diese Zahl ist dann das kleinste gemeinsame Vielfache. In unserem Fall die vierundzwanzig. Bei größeren Zahlen, kann es sehr aufwendig werden die Zahlenreihen der Vielfachen aufzustellen. Dann bietet sich die Methode der Primfaktorzerlegung an. Zum Beispiel, wenn wir das kgV von zwölf und einundzwanzig berechnen möchten. Wir bestimmen in einem ersten Schritt die Primfaktoren beider Zahlen. Und schreiben diese dann so untereinander, dass Primfaktoren, die in beiden Primfaktorzerlegungen vorkommen, genau untereinander stehen. Um das kgV zu erhalten, müssen wir jetzt nur noch alle vorkommenden Primfaktoren multiplizieren. Primfaktoren, die in den Primfaktorzerlegungen doppelt vorkommen, werden aber nur einmal in diese Multiplikation mit aufgenommen. Das kgV ist hier also gleich vierundachtzig. Jetzt bist du dran! Es soll das kgV von neun und fünfzehn mit den Zahlenreihen der Vielfachen bestimmt werden. Pausiere das Video kurz und rechne selbst! Wenn wir die Vielfachen notiert haben sehen wir, dass die fünfundvierzig das kleinste gemeinsame Vielfache ist. Gar nicht so schwierig oder? Noch eine Aufgabe. Diesmal soll mit der Primfaktorzerlegung gerechnet werden. Rechne zunächst wieder selbst, dann kannst du dein Ergebnis vergleichen. Hier siehst du die Primfaktorzerlegungen. Wenn wir diese entsprechend anordnen, erhalten wir das kgV: zweiundsiebzig. Alles klar, hier sind ein paar weitere Aufgaben zum üben. Du kannst jetzt selbst entscheiden, welchen Rechenweg du anwenden willst. Die Lösungen erscheinen in drei, zwei, eins. Hier siehst du sie auf einen Blick! Konntest du die kgV bestimmen? Nice, dann können wir uns ja jetzt wieder unseren drei Buddys widmen. Damit die sich auf Planet Multiplex treffen können, müssen sie ein Jahr abpassen, in dem alle drei einen Space Shuttle nehmen können. Bei Marsin fliegt der Shuttle-Service alle drei, bei Merkurt alle neun, und bei Neptoni alle zwölf Jahre. Findest du heraus in welchen Zeitabständen alle drei im selben Jahr anreisen können? Kleiner Tipp: Wir können wieder die Vielfachen betrachten oder die Primfaktorzerlegung durchführen. Jetzt aber mit drei anstatt mit zwei Zahlen. Die Antwort gibt's wieder in drei, zwei, eins. Wir müssen also das kgV der drei Zahlen berechnen und erhalten das Ergebnis sechsunddreißig. Alle sechsunddreißig Jahre nur! Da müssen die drei sich wohl noch etwas gedulden! Egal, Vorfreude ist die schönste Freude. Wir fassen in der Zwischenzeit nochmal zusammen: Zur Bestimmung des kgV haben wir zwei Möglichkeiten: Bei der ersten Option vergleichen wir die Zahlenreihen der Vielfachen. Dazu müssen wir zunächst die Vielfachen notieren und dann die Zahl suchen, die als erste in beiden Zahlenreihen auftritt. Diese ist dann unser kgV. Außerdem können wir das kgV mit der Primfaktorzerlegung bestimmen. Dafür zerlegen wir die Zahlen zunächst in ihre Primfaktoren und multiplizieren anschließend die Primfaktoren beider Zahlen, wobei wir Primfaktoren, die doppelt vorkommen, nur einmal in die Multiplikation übernehmen. Auch so erhalten wir das kgV. Die Methode der Primfaktorzerlegung eignet sich vor allem bei größeren Zahlen. Endlich ist der Zeitpunkt gekommen! Marsin, Merkurt und Neptoni sind angereist. Aber hey, wo steckt denn Toni? Oha, da hätten sie sich wohl etwas präziser verabreden sollen.