Teilermenge und Vielfachenmenge 06:13 min

Schweinemama Sybille ist mächtig im Stress. Ihre 12 Ferkelchen haben bald Geburtstag - wie jedes Jahr alle gleichzeitig. Um auf Ideen für die Geburtstagsfeier zu kommen, schaut sie sich alte Fotos an. Die Ferkelchen spielen gerne alle zusammen oder in Gruppen oder auch mal allein. Nur eines ist wichtig: Die Ferkelchen dürfen nicht in unterschiedlich große Gruppen eingeteilt werden - denn dann gibt es Streit. Um die möglichen Gruppenaufteilungen herauszufinden, beschäftigt sich Sybille mit dem Thema Teilermenge und Vielfachenmenge. In diesem Video wiederholen wir zunächst die Begriffe Teiler und Vielfaches und klären dann, was die Teilermenge einer Zahl und was die Vielfachenmenge einer Zahl ist. Wir beschränken uns dabei auf die natürlichen Zahlen ohne die Null. Beginnen wir mit den Teilern: Teilt man eine Zahl durch einen ihrer Teiler, bleibt kein Rest übrig. So ist zum Beispiel die Zahl 12 ohne Rest durch 1, 2, 3, 4, 6 und 12 teilbar. Diese Zahlen sind also Teiler der Zahl 12. Sybille kann ihre Ferkelchen daher in Gruppen zu 6, 4, 3 oder 2 Ferkelchen einteilen oder alle 12 Ferkelchen spielen zusammen oder jedes für sich. Durch 5, 7, 8, 9, 10 oder 11 ist 12 dagegen nicht ohne Rest teilbar. Und 12 kann erst recht nicht durch eine Zahl geteilt werden, die größer als 12 ist. Diese Zahlen sind deshalb keine Teiler der 12 und Sybille kann keine Gruppen dieser Größen bilden ohne, dass es Streit gibt. Die Zahl 12 hat deshalb nur die Teiler 1, 2, 3, 4, 6 und 12. Schauen wir uns die Divisionen noch einmal näher an: Wir sehen, dass alle sechs Teiler der Zahl 12 unter den Divisoren auftauchen. Genauso tauchen sie alle aber auch in den Ergebnissen auf. Um alle Teiler einer Zahl zu ermitteln, müssen wir also nicht jede der Divisionen durchführen. Wir beginnen mit dem Divisor 1. Dann gehen wir schrittweise zu größeren Divisoren über, bis dort eine Zahl auftaucht, die wir schon einmal im Ergebnis stehen hatten. Dann können wir uns sicher sein, dass wir alle Teiler der betreffenden Zahl ermittelt haben und wir brauchen nicht mehr weiterzurechnen. Die Teilermenge einer Zahl wird von allen ihren Teilern gebildet. Wie bei jeder anderen Menge werden die Teiler dabei in geschweifte Klammern geschrieben. Die Teilermenge wird mit einem großen T bezeichnet, an das man unten die Zahl schreibt, auf die sich die Teilermenge bezieht. Schauen wir uns noch ein Beispiel an: 60 ist ohne Rest durch 1, 2, 3, 4, 5 und 6 teilbar. Wir erhalten so die Ergebnisse 60, 30, 20, 15, 12 und 10. Dagegen ist 60 durch 7, 8 und 9 nicht ohne Rest teilbar. Und durch 10 ah, das brauchen wir nicht mehr, weil wir die 10 schon im Ergebnis stehen haben. Damit haben wir alle Teiler der 60 und können ihre Teilermenge angeben. Und wie sieht das bei den Vielfachen aus? Man erhält ein Vielfaches einer Zahl, wenn man sie mit einer beliebigen natürlichen Zahl größer Null multipliziert. Die Vielfachen von 12 sind also: 12, 24, 36, 48, und so weiter. Weil es unendlich viele natürliche Zahlen gibt, hat jede Zahl auch unendlich viele Vielfache. Die Gesamtheit aller Vielfachen einer Zahl bildet ihre Vielfachenmenge. Die Vielfachenmenge wird mit einem großen V bezeichnet, an das man unten die Zahl schreibt, auf die sich die Vielfachenmenge bezieht. Weil jede Zahl unendlich viele Vielfache hat, kann die Vielfachenmenge nicht vollständig angegeben werden. Und während die Ferkelchen Geburtstag feiern, fassen wir zusammen: Teilt man eine Zahl durch einen ihrer Teiler, bleibt kein Rest übrig. Die Teilermenge einer Zahl ist die Gesamtheit aller ihrer Teiler. Man erhält ein Vielfaches einer Zahl, wenn man sie mit einer beliebigen natürlichen Zahl größer Null multipliziert. Die Vielfachenmenge einer Zahl ist die Gesamtheit aller ihrer Vielfachen. Die Ferkelchen sind alle beschäftigt. Na, da kann Sybille endlich mal allein entspannen und GAMEPIGGY spielen.