Teilermenge und Vielfachenmenge

Teilermenge und Vielfachenmenge Übung

• Gib die Vielfachen der Zahl $12$ an.

  Tipps

  Die Vielfachen einer Zahl bestimmst du, indem du die Zahl mit verschiedenen natürlichen Zahlen multiplizierst.

  Die Vielfachen von 7 sind zum Beispiel:

  $V_{7}=\{7;14;21;28;35;42; \dots \}$

  Da gilt:

  $7 \cdot 1=7$

  $7 \cdot 2=14$

  $7 \cdot 3=21$

  Lösung

  Die Vielfachen einer Zahl bestimmst du, indem du die Zahl mit verschiedenen natürlichen Zahlen multiplizierst. Für die Zahl $12$ erhalten wir:

  $12 \cdot 1=12$

  $12 \cdot 2=24$

  $12 \cdot 3=36$

  $12 \cdot 4=48$

  $12 \cdot 5=60$

  $12 \cdot 6=72$

  Dies können wir mit allen natürlichen Zahlen machen, es gibt also unendlich viele Vielfache.

  Also sind folgenden Zahlen keine Vielfache von $12$:

  • $\{20; 26; 44; 66\}$

  Folgende Zahlen sind Vielfache der Zahl $12$:

  • $V_{12}=\{12;24;36;48;60;72; \dots \}$

• Bestimme die Teilermenge von $12$.

  Tipps

  Die Teilermenge einer Zahl ist die Menge an Zahlen, durch die die ursprüngliche Zahl ohne Rest teilbar ist.

  Um diese Menge zu bestimmen, teilst du diese Zahl durch alle möglichen natürlichen Zahlen, die kleiner als diese Zahl sind.

  Lösung

  Die Teilermenge einer Zahl ist die Menge an Zahlen, durch die die ursprüngliche Zahl ohne Rest teilbar ist. Um diese Menge zu bestimmen, teilst du diese Zahl durch alle möglichen natürlichen Zahlen, die kleiner als diese Zahl sind. Dann erhältst du:

  „Um die Teilermenge von $12$ zu bestimmen, teilst du $12$ durch verschiedene Zahlen:

  $12:1=12$

  $12:2=6$

  $12:4=3$

  $12:5=2~\text{Rest}~2$

  $12:6=2$

  $12:7=1~\text{Rest}~5$

  $12:8=1~\text{Rest}~4$

  $12:9=1~\text{Rest}~3$

  $12:10=1~\text{Rest}~2$

  $12:11=1~\text{Rest}~1$

  $12:12=1$“

  • Jetzt schreibst du alle Zahlen, die ohne Rest teilbar sind in eine Menge. Dann erhältst du:

  „Die Teilermenge von $12$ beträgt also:

  $T_{12}=\{1;2;3;4;6;12\}$.“

• Ermittle, welche Zahlen diese Teilermengen haben.

  Tipps

  Du kannst die Teilermengen der Zahlen bestimmen, indem du die Zahlen nacheinander durch alle natürlichen Zahlen teilst, die kleiner als die Zahl selbst sind. Dann überprüfst du, ob die Zahlen ohne Rest teilbar sind.

  Lässt sich die Zahl durch eine Zahl teilen, die bereits das Ergebnis einer Rechnung ohne Rest war, dann hast du alle Teiler bestimmt. Die Teiler sind die Divisoren und Ergebnisse aller bisherigen Rechnungen, wo kein Rest übrig blieb.

  Die Teilermenge der $6$ ist $T_6=\{1;2; 3; 6\}$.

  Lösung

  Du kannst die Teilermengen der Zahlen bestimmen, indem du die Zahlen nacheinander durch alle natürlichen Zahlen teilst, die kleiner als die Zahl selbst sind. Dann überprüfst du, ob die Zahlen ohne Rest teilbar sind. Die Teilermenge besteht aus den Zahlen, durch die die Zahle ohne Rest teilbar ist. Für $20$ erhalten wir Folgendes:

  $20:1=20$

  $20:2=10$

  $20:3=6~\text{Rest}~2$

  $20:4=5$

  $20:5=4$

  Damit haben wir alle Teiler gefunden, denn die Zahl $5$ war bereits das Ergebnis der Rechnung zuvor. Jetzt können wir sicher sein, dass alle Teiler bestimmt wurden. Das sind die Divisoren und Ergebnisse der bisherigen Rechnungen, bei denen kein Rest übrig geblieben ist. Also erhalten wir:

  • $T_{20}=\{1;2; 4; 5; 10;20\}$

  Genauso erhalten wir für die anderen Teilermengen:

  • $T_{24}=\{1;2; 3; 4; 6; 8;12;24\}$

  Es gilt:

  $24:1=24$

  $24:2=12$

  $24:3=8$

  $24:4=6$

  $24:5=4~\text{Rest}~4$

  $24:6=4$

  Hier können wir aufhören, denn lässt sich die Zahl durch eine Zahl teilen, die bereits das Ergebnis einer Rechnung (hier die $6$) ohne Rest war, dann hast du alle Teiler bestimmt. Die Teiler sind die Divisoren und Ergebnisse aller bisherigen Rechnungen, wo kein Rest übrig blieb.

  • $T_{30}=\{1; 2; 3; 5; 6; 10;15;30\}$

  • $T_{36}=\{1;2; 3; 5;9;12;18;36\}$

• Entscheide, zu welcher Zahl diese Vielfachen gehören.

  Tipps

  Die Vielfachen einer Zahl bestimmst du, indem du die Zahl nacheinander mit verschiedenen natürlichen Zahlen multiplizierst

  Für $6$ erhalten wir zum Beispiel:

  $6 \cdot 1 = 6$

  $6 \cdot 2 = 12$

  $6 \cdot 3 = 18$

  Wenn du die Vielfachen durch eine der Zahlen in der Mitte teilst und kein Rest übrig bleibt, dann sind diese Zahlen Vielfache voneinander.

  Lösung

  Die Vielfachen einer Zahl bestimmst du, indem du die Zahl nacheinander mit verschiedenen natürlichen Zahlen multiplizierst. Für $3$ erhalten wir zum Beispiel:

  $3 \cdot 1 = 3$

  $3 \cdot 2 = 6$

  $3 \cdot 3 = 9$

  $3 \cdot 4 = 12$

  $3 \cdot 5 = 15$

  $3 \cdot 6 = 18$

  $3 \cdot 7 = 21$

  $3 \cdot 8 = 24$

  $3 \cdot 9 = 27$

  Dies könnten wir unendlich lange durchführen. Mit diesen Überlegungen erhalten wir folgende Vielfache:

  • $V_{3}=\{6;9;18;21;27, \dots\}$

  • $V_{4}=\{8;16;28;44, \dots \}$

  • $V_{5}=\{10;25;35;55;105, \dots\}$

• Bestimme die korrekten Aussagen zu Teiler- und Vielfachenmengen.

  Tipps

  Es gibt unendlich viele natürliche Zahlen.

  Die Teilermenge ist die Menge aller Zahlen, die die Definition eines Teilers erfüllen.

  Lösung

  Diese Aussagen sind falsch:

  „Die Vielfachen einer Zahl kannst du bestimmen, indem du sie mit verschiedenen Kommazahlen multiplizierst.“

  • Hier kannst du die Vielfache einer Zahl zu bestimmen, indem du diese Zahl mit verschiedenen natürlichen Zahlen multiplizierst.

  „Jede Zahl hat nur eine endliche Anzahl an Vielfachen.“

  • Da es unendlich viele natürliche Zahlen gibt, gibt es auch eine unendliche Anzahl an Vielfachen.

  Diese Aussagen sind richtig:

  „Wird eine Zahl durch einen ihrer Teiler geteilt, bleibt kein Rest übrig.“

  • Dies ist die Definition eines Teilers.

  „Die Teilermenge einer Zahl beschreibt alle Zahlen, durch die diese Zahl ohne Rest teilbar ist.“

  „Mengen werden mit geschweiften Klammern umschlossen.“

  • Diese sehen so aus: $\{ \}$

• Ermittle die kleinsten gemeinsamen Vielfachen.

  Tipps

  Um das kleinste gemeinsame Vielfache zu bestimmen, musst du zunächst einige Vielfache der beiden Zahlen ermitteln. Das machst du so lange, bis ein Vielfaches bei beiden Zahlen auftaucht.

  Die Zahlen $4$ und $7$ haben folgende Vielfachenmengen:

  $V_{4}=\{4, 8,12,16,20, 24, 28, \dots\}$

  $V_{7}=\{7, 14,21,28,35, 42, \dots\}$

  Das kleinste gemeinsame Vielfache ist in diesem Fall $28$.

  Lösung

  Um das kleinste gemeinsame Vielfache zu bestimmen, ermitteln wir zunächst einige Vielfache der beiden Zahlen. Z.B.:

  $3 \cdot 1 = 3$

  $3 \cdot 2 = 6$

  $3 \cdot 3 = 9$

  $3 \cdot 4 = 12$

  $3 \cdot 5 = 15$

  Und:

  $5 \cdot 1 = 5$

  $5 \cdot 2 = 10$

  $5 \cdot 3 = 15$

  • Damit können wir das kleinste gemeinsame Vielfache der Zahlen $3$ und $5$ angeben: $15$.

  Genauso erhalten wir für die anderen Zahlen:

  • Das kleinste gemeinsame Vielfache der Zahlen $2$ und $3$ ist: $6$

  • Für $3$ und $7$ erhalten wir: $21$

  • Für $4$ und $6$ ergibt sich: $12$

  Für $12$ und $4$ erhalten wir folgende Vielfachenmengen:

  $V_{12}=\{12, 24, 36, 48, \dots\}$

  $V_{4}=\{4, 8,12,16,20, 24, \dots\}$

  Die Zahlen haben also mehrere gemeinsame Vielfache $\{12,24, \dots \}$.

  • Das kleinste gemeinsame Vielfache der beiden Zahlen beträgt: $12$.