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Primfaktorzerlegung – Übung

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Team Digital
Primfaktorzerlegung – Übung
lernst du in der 5. Klasse - 6. Klasse

Primfaktorzerlegung – Übung Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Primfaktorzerlegung – Übung kannst du es wiederholen und üben.
  • Gib die Teilbarkeitsregeln für die Zahlen $2$, $3$ und $5$ an.

    Tipps

    Die Zahl $25$ ist durch $5$ teilbar.

    Die Quersumme von $27$ ist $2+7=9$.

    Lösung

    Wollen wir eine Zahl in ihre Primfaktoren zerlegen, so ist es wichtig, die Teilbarkeitsregeln zu kennen. Wir betrachten die Teilbarkeitsregeln für die Zahlen $2$, $3$ und $5$ an Beispielen:

    • Eine Zahl ist durch $\mathbf{2}$ teilbar, wenn sie auf $0$, $2$, $4$, $6$ oder $8$ endet.
    Die Zahlen $24$, $6\,698$ und $3\,382$ sind also durch $2$ teilbar, die Zahlen $33\,997$ und $12\,981$ hingegen nicht.
    • Eine Zahl ist durch $5$ teilbar, wenn sie auf $\mathbf{0}$ oder $\mathbf{5}$ endet.
    Die Zahlen $15$, $98\,230$ und $329\,845$ sind also durch $5$ teilbar, die Zahlen $73\,997$ und $12\,941$ hingegen nicht.
    • Eine Zahl ist durch $\mathbf{3}$ teilbar, wenn ihre Quersumme durch $\mathbf{3}$ teilbar ist.
    Die Zahl $4\,992$ hat die Quersumme $4+9+9+2=24$. Da $24$ durch $3$ teilbar ist, ist auch die Zahl $4\,992$ durch $3$ teilbar.
    Die Zahl $731$ hat die Quersumme $7+3+1=11$. Da $11$ nicht durch $3$ teilbar ist, ist auch die Zahl $731$ nicht durch $3$ teilbar.

  • Bestimme die Primfaktorzerlegungen der gegebenen Zahlen.

    Tipps

    Bei der Primfaktorzerlegung schreibst du eine Zahl als Produkt aus Primzahlen.
    Eine Primzahl ist eine Zahl, die nur durch $1$ und sich selbst teilbar ist.

    Beispiel:

    $135 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5$

    Lösung

    Wir bestimmen die Primfaktorzerlegung mithilfe der Teilbarkeitsregeln:

    • Eine Zahl ist durch $2$ teilbar, wenn sie auf $0$, $2$, $4$, $6$ oder $8$ endet.
    • Eine Zahl ist durch $5$ teilbar, wenn sie auf $0$ oder $5$ endet.
    • Eine Zahl ist durch $3$ teilbar, wenn ihre Quersumme durch $3$ teilbar ist.

    Beispiel 1:
    Die Zahl $24$ ist durch $2$ teilbar:
    $24 = 2 \cdot 12$
    Auch die Zahl $12$ ist durch $2$ teilbar:
    $24 = 2 \cdot 2 \cdot 6$
    Und auch die Zahl $6$ ist durch $2$ teilbar:
    $24 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3$
    Weil die Zahl $3$ eine Primzahl ist, ist die Primfaktorzerlegung abgeschlossen.

    Beispiel 2:
    Die Zahl $150$ ist durch $2$ teilbar:
    $150 = 2 \cdot 75$
    Die Zahl $75$ ist durch $3$ teilbar:
    $150 = 2 \cdot 3 \cdot 25$
    Die Zahl $25$ ist durch $5$ teilbar:
    $150 = 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 5$
    Weil die Zahl $5$ eine Primzahl ist, ist die Primfaktorzerlegung abgeschlossen.

    Beispiel 3:
    Die Zahl $441$ ist durch $3$ teilbar:
    $441 = 3 \cdot 147$
    Auch die Zahl $147$ ist durch $3$ teilbar:
    $441 = 3 \cdot 3 \cdot 49$
    Die Zahl $49$ ist durch $7$ teilbar:
    $441 = 3 \cdot 3 \cdot 7 \cdot 7$
    Weil die Zahl $7$ eine Primzahl ist, ist die Primfaktorzerlegung abgeschlossen.

  • Entscheide, wodurch die Zahlen teilbar sind.

    Tipps

    Eine Zahl ist durch $2$ teilbar, wenn sie auf $0$, $2$, $4$, $6$ oder $8$ endet.

    Eine Zahl ist durch $3$ teilbar, wenn ihre Quersumme durch $3$ teilbar ist.

    Die Zahl $342$ ist durch $2$ teilbar, da ihre letzte Ziffer eine $2$ ist.
    Sie ist außerdem durch $3$ teilbar, denn ihre Quersumme ist $3+4+2=9$. Und $9$ ist durch $3$ teilbar:
    $9:3=3$

    Lösung

    Wir verwenden die beiden folgenden Teilbarkeitsregeln:

    • Eine Zahl ist durch $2$ teilbar, wenn sie auf $0$, $2$, $4$, $6$ oder $8$ endet.
    • Eine Zahl ist durch $3$ teilbar, wenn ihre Quersumme durch $3$ teilbar ist.

    Folgende Zahlen sind durch $2$, aber nicht durch $3$ teilbar:

    • $64$ (endet auf $4$)
    • $446$ (endet auf $6$)
    • $58$ (endet auf $8$)

    Folgende Zahlen sind durch $3$, aber nicht durch $2$ teilbar:

    • $93$ (Quersumme: $12$)
    • $21$ (Quersumme: $3$)
    • $1\,995$ (Quersumme: $24$)

    Folgende Zahlen sind durch $2$ und $3$ teilbar:

    • $1\,776$ (endet auf $6$, Quersumme: $21$)
    • $8\,832$ (endet auf $2$, Quersumme: $21$)
    • $6$ (endet auf $6$, Quersumme: $6$)
  • Vervollständige die Primfaktorzerlegung.

    Tipps

    Beachte die Teilbarkeitsregeln:

    • Eine Zahl ist durch $2$ teilbar, wenn sie auf $0$, $2$, $4$, $6$ oder $8$ endet.
    • Eine Zahl ist durch $5$ teilbar, wenn sie auf $0$ oder $5$ endet.
    • Eine Zahl ist durch $3$ teilbar, wenn ihre Quersumme durch $3$ teilbar ist.

    Beginne mit der kleinsten Primzahl: Ist die Zahl durch $2$ teilbar?
    Wenn ja, schreibe als Produkt:
    $2 \cdot x$
    Fahre dann fort: Ist $x$ durch $2$ teilbar?
    Wenn nicht, überprüfe, ob $x$ durch $3$ teilbar ist, etc.

    Du kannst die Zahl auch in beliebiger Reihenfolge in ihre Primfaktoren zerlegen und diese anschließend ordnen:

    $45=5\cdot 15 = 5 \cdot 3 \cdot 5 = 3 \cdot 5 \cdot 5$

    Lösung

    Wir bestimmen die Primfaktorzerlegung mithilfe der Teilbarkeitsregeln:

    • Eine Zahl ist durch $2$ teilbar, wenn sie auf $0$, $2$, $4$, $6$ oder $8$ endet.
    • Eine Zahl ist durch $5$ teilbar, wenn sie auf $0$ oder $5$ endet.
    • Eine Zahl ist durch $3$ teilbar, wenn ihre Quersumme durch $3$ teilbar ist.

    Beispiel 1:
    Die Zahl $60$ ist durch $2$ teilbar:
    $60 = 2 \cdot 30$
    Auch die Zahl $30$ ist durch $2$ teilbar:
    $60 = 2 \cdot 2 \cdot 15$
    Die Zahl $15$ ist durch $3$ teilbar:
    $60 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5$
    Weil die Zahl $5$ eine Primzahl ist, ist die Primfaktorzerlegung abgeschlossen.

    Beispiel 2:
    Die Zahl $270$ ist durch $2$ teilbar:
    $270 = 2 \cdot 135$
    Die Zahl $135$ ist durch $3$ teilbar:
    $270 = 2 \cdot 3 \cdot 45$
    Auch die Zahl $45$ ist durch $3$ teilbar:
    $270 = 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 15$
    Auch die Zahl $15$ ist durch $3$ teilbar:
    $270 = 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5$
    Weil die Zahl $5$ eine Primzahl ist, ist die Primfaktorzerlegung abgeschlossen.

    Beispiel 3:
    Die Zahl $12\,375$ ist durch $3$ teilbar:
    $12\,375 = 3 \cdot 4\,125$
    Auch die Zahl $4\,125$ ist durch $3$ teilbar:
    $12\,375 = 3 \cdot 3 \cdot 1\,375$
    Die Zahl $1\,375$ ist durch $5$ teilbar:
    $12\,375 = 3 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 275$
    Auch die Zahl $275$ ist durch $5$ teilbar:
    $12\,375 = 3 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 55$
    Auch die Zahl $55$ ist durch $5$ teilbar:
    $12\,375 = 3 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 11$
    Weil die Zahl $11$ eine Primzahl ist, ist die Primfaktorzerlegung abgeschlossen.

  • Bestimme die Primzahlen.

    Tipps

    Eine Primzahl ist eine Zahl, die nur durch $1$ und sich selbst teilbar ist.

    Überprüfe jeweils, ob die Zahlen durch $2$, $3$, $5$ usw. teilbar sind.

    Die Zahl $21$ ist keine Primzahl, da sie durch $3$ und durch $7$ teilbar ist:

    $21:3=7$ und $21:7=3$

    Lösung

    Eine Primzahl ist eine Zahl, die nur durch $1$ und sich selbst teilbar ist. Wir überprüfen dies an den Beispielen und erhalten:

    keine Primzahlen:

    • $15$ ist durch $3$ und durch $5$ teilbar.
    • $6$ ist durch $2$ und $3$ teilbar.
    • $9$ ist durch $3$ teilbar.
    • $14$ ist durch $2$ und durch $7$ teilbar.
    Primzahlen:
    • $2$
    • $5$
    • $13$
    • $7$

  • Bestimme die Primfaktorzerlegung in Potenzschreibweise.

    Tipps

    Du kannst ein Produkt wie folgt als Potenz zusammenfassen:

    $3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 3^4$

    Beispiel:

    $500 = 2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 = 2^2 \cdot 5^3$

    Lösung

    Wir bestimmen die Primfaktorzerlegung mithilfe der Teilbarkeitsregeln:

    • Eine Zahl ist durch $2$ teilbar, wenn sie auf $0$, $2$, $4$, $6$ oder $8$ endet.
    • Eine Zahl ist durch $5$ teilbar, wenn sie auf $0$ oder $5$ endet.
    • Eine Zahl ist durch $3$ teilbar, wenn ihre Quersumme durch $3$ teilbar ist.

    Anschließend fassen wir gleiche Faktoren zu Potenzen zusammen:

    Beispiel 1:
    Die Zahl $72$ kann wie folgt zerlegt werden:
    $72 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 = 2^3 \cdot 3^2 $

    Beispiel 2:
    Die Zahl $2\,700$ kann wie folgt zerlegt werden:
    $2\,700 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 5 = 2^2 \cdot 3^3 \cdot 5^2 $

    Beispiel 3:
    Die Zahl $31\,752$ kann wie folgt zerlegt werden:
    $31\,752 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 7 \cdot 7 = 2^3 \cdot 3^4 \cdot 7^2 $

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