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Teilbarkeitsregeln der 3, 6 und 9

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Team Digital
Teilbarkeitsregeln der 3, 6 und 9
lernst du in der 5. Klasse - 6. Klasse

Beschreibung Teilbarkeitsregeln der 3, 6 und 9

Inhalt

  • Wie teilt man durch $3$, $6$ oder $9$?
  • Wie teilt man durch $3$, $6$ oder $9$?

    Bei dem neuen Spiel, das jetzt alle spielen, sind Teilbarkeitsregeln ein wichtiger Bestandteil. Mit den Punkten im Spiel kann man seinen Spielcharakter weiterentwickeln. Dies kann in drei Kategorien geschehen. Auch Olivia spielt das Spiel. Sie hat gerade neue Punkte bekommen und kann ihren Charakter in den Kategorien Kraft, Angriff oder Verteidigung weiterentwickeln. Das Besondere dabei ist, dass die Teilbarkeitsregeln der $3$, $6$ und $9$ verwendet werden müssen. Die Kraft kann nur weiterentwickelt werden, wenn die Punktzahl durch $3$ teilbar ist. Der Angriff kann nur weiterentwickelt werden, wenn die Punktzahl durch $6$ teilbar ist und die Verteidigung kann nur weiterentwickelt werden, wenn die Punktzahl durch $9$ teilbar ist. Olivia hat $348$ Punkte. Welche Fähigkeit kann sie weiterentwickeln? Schauen wir uns dafür die Teilbarkeitsregeln der $3$, $6$ und $9$ an.


    Welche Zahlen sind durch $3$ teilbar?

    Die Teilbarkeitsregeln der $3$ und der $9$ sind sehr ähnlich. Schauen wir uns zuerst an, wann eine Zahl durch $3$ teilbar ist. Dafür müssen wir die Quersumme der Zahl, die wir durch $3$ teilen wollen, finden. Dazu werden alle Ziffern der Zahl addiert. Bei $348$ wäre das:

    $ 3 + 4 + 8 = 15$

    Ist diese Summe ohne Rest durch $3$ teilbar, dann ist auch die Zahl durch $3$ teilbar.

    $15 : 3 = 5$

    Da $15$ ohne Rest durch $3$ teilbar ist, ist auch $348$ durch $3$ teilbar. Olivia kann also die Kraft ihres Charakters weiterentwickeln.


    Welche Zahlen sind durch $9$ teilbar?

    Schauen wir uns an, wann eine Zahl durch $9$ teilbar ist. Die Teilbarkeitsregel der $9$ ist so ähnlich wie die der $3$. Auch hier berechnen wir die Quersumme der Zahl. Wir wissen bereits, dass $15$ die Quersumme von $348$ ist. Ist diese Quersumme ohne Rest durch $9$ teilbar, dann ist auch die Zahl durch $9$ teilbar.

    $ 15 : 9 = 1 \enspace Rest \enspace 6$

    Wir können $15$ nicht ohne Rest durch $9$ teilen. Daher ist $348$ nicht durch $9$ teilbar. Olivia kann also die Verteidigung ihres Charakters nicht weiterentwickeln.


    Welche Zahlen sind durch $6$ teilbar?

    Schauen wir uns nun an, wann eine Zahl durch $6$ teilbar ist. Ist eine Zahl durch $2$ und durch $3$ teilbar, dann ist sie auch durch $6$ teilbar. Ist eine Zahl gerade, dann ist sie durch $2$ teilbar. $348$ endet auf $8$. Sie ist also gerade und somit durch $2$ teilbar. Als Nächstes wird überprüft, ob die Zahl auch durch $3$ teilbar ist. Wie das geht, haben wir bereits gelernt. $348$ ist auch durch $3$ teilbar. Daraus folgt, dass $348$ durch $6$ teilbar ist. Olivia kann also entweder den Angriff oder die Kraft weiterentwickeln.


    Teilbarkeitsregeln zu $3$, $6$ und $9$ – Zusammenfassung

    • Eine Zahl ist durch $3$ teilbar, wenn ihre Quersumme durch $3$ teilbar ist.
    • Eine Zahl ist durch $9$ teilbar, wenn ihre Quersumme durch $9$ teilbar ist.
    • Eine Zahl ist durch $6$ teilbar, wenn sie durch $2$ und durch $3$ teilbar ist, also wenn sie gerade ist und ihre Quersumme durch $3$ teilbar ist.


    Dieses Video

    In diesem Video werden dir anhand von einem Beispiel die Teilbarkeitsregeln von $3$, $6$ und $9$ erklärt. Dein neues Wissen kannst du in der Übung zum Video noch einmal festigen. Auch findest du Aufgaben zu den Teilbarkeitsregeln von $3$, $6$ und $9$.

Transkript Teilbarkeitsregeln der 3, 6 und 9

Kennst du schon das neue Spiel, das jetzt alle spielen?! Creature Capture. Jeder Spieler muss so viele Charakter fangen wie möglich und diese dann trainieren. Für jeden Sieg bekommt ein Spieler Punkte und die kann man dazu verwenden, um die Kreaturen weiterzuentwickeln. Das ist Olivia. Sie hat Creature Capture jetzt schon wochenlang gespielt und gerade einen Kampf mit einer ihrer Freundinnen beendet und ein paar neue Punkte erhalten. Die Gestalt kann nun in drei Kategorien weiterentwickelt werden: Kraft, Angriff und Verteidigung. Es gibt aber einen Haken: Für die Weiterentwicklung muss man die Teilbarkeitsregeln der 3, 6 und 9 verwenden. Die Kraft eines Charakters kann weiterentwickelt werden, wenn die Gesamtzahl der Punkte durch 3 teilbar ist der Angriff, wenn die Gesamtzahl der Punkte durch 6 teilbar ist und die Verteidigung, wenn sie durch 9 teilbar ist. Olivia hat 348 Punkte, aber welche Fähigkeit kann sie weiterentwickeln? Lass uns das zusammen überprüfen. Ist 348 durch 3, 6 oder 9 teilbar? Gibt es einen schnellen Weg dies zu überprüfen? JA! Wir können dazu die Teilbarkeitsregeln anwenden. Die Teilbarkeitsregeln der 3 und der 9 sind sehr ähnlich. Als erstes müssen wir die Quersumme der Zahlen finden. Wir addieren dazu alle Ziffern der Zahl. Bei 348 ist das also 3 + 4 + 8 gleich 15. Wenn diese Summe ohne Rest durch 3 teilbar ist, dann ist auch 348 durch 3 teilbar. 15 geteilt durch 3 ergibt 5, klappt also. Das bedeutet, dass auch 348 durch 3 teilbar ist! Olivia kann die Kraft ihres Charakters weiterentwickeln. Aber um herauszufinden welche weiteren Möglichkeiten sie hat, überprüft sie auch noch die anderen Fähigkeiten. Die Teilbarkeitsregel der 9 ist ähnlich, wir berechnen wieder die Quersumme der 348. Wir wissen schon, dass 3+4+8=15 ist. 15 geteilt durch 9 ergibt 1 mit dem Rest 6. Wir können 15 also nicht ohne Rest durch 9 teilen. 348 ist daher nicht durch 9 teilbar. Olivia kann die Verteidigung ihres Charakters nicht weiterentwickeln. Aber geht es denn wohl mit dem Angriff? Um das herauszufinden, müssen wir überprüfen, ob 348 durch 6 teilbar ist. Gibt es da auch einen Trick? Nichts einfacher als das! Ist eine Zahl durch 2 UND durch 3 teilbar, dann ist sie auch durch 6 teilbar. Wenn wir eine gerade Zahl haben, so ist sie durch 2 teilbar. 348 endet auf 8, ist also durch 2 teilbar, weil sie eine gerade Zahl ist. Als nächstes müssen wir überprüfen, ob die Zahl durch 3 teilbar ist, aber das wissen wir ja schon. Da 348 durch 3 UND durch 2 teilbar ist, ist 348 auch durch 6 teilbar. Olivia kann also entweder den Angriff oder die Kraft weiterentwickeln. Fassen wir das noch einmal zusammen. Eine Zahl ist durch 3 teilbar, wenn ihre Quersumme durch 3 teilbar ist. Eine Zahl ist durch 9 teilbar, wenn ihre Quersumme durch 9 teilbar ist. Durch 6 ist eine Zahl teilbar, wenn sie durch 2 UND durch 3 teilbar ist. Zurück zu Olivia. Sie hat sich dazu entschieden den Angriff ihres Charakters weiterzuentwickeln. Und hat gerade jemanden zu einem Kampf aufgefordert. Doch dieser greift an. Wow! Was ein Angriff. Vielleicht sollte Olivia die Kraft ihres Charakters weiterentwickeln. Aber wer ist denn dieser Gegner überhaupt? Oma?

13 Kommentare

13 Kommentare
  1. cool

    Von Lenny Nentwig, vor 3 Monaten
  2. Super Video und Geschichte 😊

    Von Veronika Wehner, vor 8 Monaten
  3. Super Geschichte

    Von Docdominik, vor 8 Monaten
  4. Super Videos ich habe alles verstanden, das sind nähmlich die Regeln die wir in der Schule nicht glernt haben . Weiter so
    :D

    Von Stekuh, vor 9 Monaten
  5. make sense

    Von Amanye0, vor 9 Monaten
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Teilbarkeitsregeln der 3, 6 und 9 Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Teilbarkeitsregeln der 3, 6 und 9 kannst du es wiederholen und üben.
  • Benenne die Teilbarkeitsregeln.

    Tipps

    Bei einer Summe werden Zahlen zusammengezählt.

    Jede durch $6$ teilbare Zahl ist auch durch $3$ teilbar.

    Teilbarkeit durch $6$ kannst du nicht allein mit der Quersumme testen.

    Lösung

    Große Zahlen wie $348$ lassen sich leichter handhaben, wenn man ihre Teiler kennt. Um nicht jede Division ausführen zu müssen, helfen die Teilbarkeitsregeln. Mit der Teilbarkeit einer Zahl durch eine andere ist hier immer gemeint, dass bei der Division kein Rest bleibt. Würde man Reste zulassen, so wäre jede Zahl durch jede andere teilbar. Der Begriff der Teilbarkeit wäre dann sinnlos, um Zahlen voneinander zu unterscheiden. Die Teilbarkeit durch verschiedene Divisoren ist unterschiedlich leicht zu erkennen. Teilbarkeit durch die Divisoren $3$ bzw. $9$ kannst du mit der Quersumme testen. Die Quersumme einer Zahl ist die Summe ihrer Ziffern. Die Quersumme der Zahl $348$ ist also:

    $3 + 4 + 8 =15$

    Im Einzelnen bedeuten diese Teilbarkeitsregeln Folgendes:

    Durch $3$ teilbar ist eine Zahl genau dann, wenn ihre Quersumme durch $3$ teilbar ist.

    • Die Zahl $348$ ist demnach durch $3$ teilbar, denn ihre Quersumme ist $15$. Diese Zahl ist durch $3$ teilbar, denn die Division $15:3=5$ geht ohne Rest auf.
    Eine Zahl ist durch $9$ teilbar, wenn ihre Quersumme durch $9$ teilbar ist.

    • Die Zahl $348$ ist also nicht durch $9$ teilbar. Denn ihre Quersumme ist $15$ und $15$ ist nicht durch $9$ teilbar. Die Division geht nicht ohne Rest auf: $15:9 = 1$ Rest $6$.
    Eine Zahl ist genau dann durch $6$ teilbar, wenn sie durch $3$ und $2$ teilbar ist.

    • Dass sie durch $2$ teilbar ist bedeutet, dass die Zahl gerade ist. Ob eine Zahl gerade ist, kannst du stets an ihrer letzten Ziffer erkennen: Ist die letzte Ziffer gerade (also $0$ oder $2$ oder $4$ oder $6$ oder $8$), so ist auch die Zahl selbst gerade. Die Zahl $348$ ist durch $6$ teilbar, denn sie ist durch $3$ und $2$ teilbar. Ihre letzte Ziffer ist nämlich $8$ und daher eine gerade Zahl.
  • Vervollständige die Sätze.

    Tipps

    Die Quersumme von $348$ ist $3+4+8=15$.

    Die Differenz zweier Zahlen enthält ein Minuszeichen.

    Jede durch $6$ teilbare Zahl ist auch durch $2$ und durch $3$ teilbar.

    Lösung

    Folgende Sätze sind richtig:

    • „Die Quersumme einer Zahl ... ist die Summe ihrer Ziffern.“ Dies ist die Definition der Quersumme.
    • „Die Teilbarkeit durch $3$ ... kannst du mit der Quersumme bestimmen.“ Denn eine Zahl ist genau dann durch $3$ teilbar, wenn ihre Quersumme durch $3$ teilbar ist.
    • „Durch $9$ teilbar ist jede Zahl, ... deren Quersumme durch $9$ teilbar ist.“ Jede dieser Zahlen ist auch durch $3$ teilbar, denn $3$ ist ein Teiler von $9$.
    • „Teilbar durch $6$ ist jede Zahl, ... die gerade und durch $3$ teilbar ist.“ Du kannst die Teilbarkeit also nicht allein mit der Quersumme testen, sondern musst zusätzlich darauf achten, ob die letzte Ziffer gerade ist.
  • Analysiere die Teilbarkeit der Zahlen.

    Tipps

    Teilbarkeit durch $3$ und durch $9$ kannst du allein mit der Quersumme testen.

    Eine Zahl ist genau dann durch $2$ teilbar, wenn ihre letzte Ziffer durch $2$ teilbar ist.

    Bilde zuerst die Quersumme und prüfe, ob sie durch $9$ teilbar ist. Wenn das nicht der Fall ist, so prüfe, ob die Quersumme durch $3$ teilbar ist und / oder ob die Zahl gerade ist.

    $348$ ist nicht durch $9$ teilbar, weil $3+4+8=15$ nicht durch $9$ teilbar ist.

    Lösung

    Wir nutzen folgende Teilbarkeitsregeln:

    • Durch $3$ teilbar ist eine Zahl, wenn ihre Quersumme durch $3$ teilbar ist.
    • Durch $9$ teilbar ist eine Zahl, wenn ihre Quersumme durch $9$ teilbar ist.
    • Durch $6$ teilbar ist eine Zahl, wenn sie durch $3$ und $2$ teilbar ist. Durch $2$ teilbare Zahlen sind gerade.
    Hier sollst du die Zahlen jeweils dem größten Teiler von $2$, $3$, $6$ und $9$ zuordnen. So ist z.B. die Zahl $432$ teilbar durch $2$, $3$, $6$ und $9$. Sie ist der $9$ zuzuordnen, da $9$ der größte der vorgegebenen Teiler ist. Dem Teiler $2$ darfst du also nur gerade Zahlen zuordnen, deren Quersumme nicht durch $3$ und $9$ teilbar ist. Dies ist z.B. die Zahl $5.432$, denn $5+4+3+2 = 14$.

    So erhältst du folgende Zuordnung:

    Teiler $3$:

    • $123$
    • $345$
    • $543$
    Teiler $6$:
    • $678$
    • $876$
    • $798$
    Teiler $9$:
    • $567$
    • $3456$
    • $432$
    Teiler $2$:
    • $1.234$
    • $5.678$:
    • $5.432$
  • Analysiere die Teilbarkeit der jeweiligen Zahlen.

    Tipps

    Jede durch $9$ teilbare Zahl ist auch durch $3$ teilbar, aber nicht umgekehrt.

    Bilde zuerst die Quersumme und prüfe, ob sie durch $9$ teilbar ist. Wenn das nicht der Fall ist, so prüfe, ob die Quersumme durch $3$ teilbar ist. Prüfe dann, ob die Zahl gerade ist.

    Lösung

    Wir nutzen folgende Teilbarkeitsregeln:

    • Durch $3$ teilbar ist eine Zahl, wenn ihre Quersumme durch $3$ teilbar ist. So ist z.B. $249$ durch $3$ teilbar, denn die Quersumme ist $2+4+9=15$.
    • Durch $9$ teilbar ist eine Zahl, wenn ihre Quersumme durch $9$ teilbar ist. Hier ist $405$ durch $9$ teilbar, denn die Quersumme ist $4+0+5=9$.
    • Durch $6$ teilbar ist eine Zahl, wenn sie durch $3$ und $2$ teilbar ist. Durch $2$ teilbare Zahlen sind gerade. $858$ ist durch $6$ teilbar, denn die Quersumme ist $8+5+8=21$ und $858$ ist gerade.
    Jede durch $9$ teilbare Zahl ist auch durch $3$ teilbar, jede durch $6$ teilbare Zahl ebenfalls. Jede durch $9$ teilbare gerade Zahl ist ebenfalls durch $6$ teilbar. In der Aufgabe sollst du von den Teilern $3$, $6$ und $9$ jeweils den größten auswählen. So ist z.B. $792$ durch $3$, durch $6$ und durch $9$ teilbar. Korrekt ist die Markierung von $792$ mit Violett, da $9$ der größtmögliche angegebene Teiler von $792$ ist.

    So erhältst du folgende Zuordnungen von Zahlen zu den Teilern:

    Teiler $3$:

    • $159$
    • $231$
    • $249$
    • $633$
    Teiler $6$:
    • $240$
    • $246$
    • $582$
    • $858$
    Teiler $9$:
    • $207$
    • $288$
    • $405$
    • $792$
    Alla anderen Zahlen sind weder durch $3$, noch durch $6$, noch durch $9$ teilbar.

  • Prüfe die Aussagen.

    Tipps

    Der Quotient ist das Ergebnis einer Division.

    $12$ ist durch $6$ teilbar, denn $12:6=2$.

    $17$ ist nicht ohne Rest durch $3$ teilbar.

    Lösung

    Teilbarkeit durch $3$ kannst du mit der Quersumme testen: Eine Zahl ist genau dann durch $3$ teilbar, wenn ihre Quersumme durch $3$ teilbar ist. Durch $2$ teilbar ist jede gerade Zahl, also jede Zahl, deren letzte Ziffer gerade ist ($0$ oder $2$ oder $4$ oder $6$ oder $8$). Mit Teilbarkeit ist dabei immer gemeint, dass die Division ohne Rest aufgeht.

    Folgende Aussagen sind richtig:

    • „Mit Teilbarkeit von Zahlen meint man die Teilbarkeit ohne Rest.“ Dies ist die Definition der Teilbarkeit. Würde man Reste zulassen, so wäre jede Zahl durch jede andere teilbar und der Begriff der Teilbarkeit sinnlos.
    • „Jede gerade Zahl ist durch $2$ teilbar.“ Gerade Zahlen sind die durch $2$ teilbaren Zahlen, ungerade Zahlen sind die nicht durch $2$ teilbaren Zahlen.
    • „Jede durch $6$ teilbare Zahl ist auch durch $3$ teilbar.“ Denn $3$ ist selbst ein Teiler von $6$. Das Ergebnis der Division durch $3$ ist doppelt so groß wie das Ergebnis der Division durch $6$, denn der Divisor $3$ ist halb so groß wie der Divisor $6$.
    Folgende Aussagen sind falsch:

    • „Bei der Division mit Rest nennt man den Rest auch Quotient.“ Der Quotient ist das Ergebnis einer Division, also die Zahl, die beim Teilen herauskommt. Bei der Division $15:3=5$ ist $15$ der Dividend, $3$ der Divisor und $5$ der Quotient. Auch bei Divisionen mit Rest ist der Quotient das Ergebnis des Teilens, nicht der Rest. Bei der Division $17:3 = 5$ Rest $2$ ist $5$ der Quotient.
    • „Jede ungerade Zahl ist durch $3$ teilbar.“ Jede zweite Zahl ist ungerade, aber nur jede dritte Zahl ist durch $3$ teilbar. Deswegen gibt es viele ungerade Zahlen, die nicht durch $3$ teilbar sind, z.B. $5$, $7$, $11$, $13$, $17$, $19$ ...
    • „Jede durch $3$ teilbare Zahl ist ungerade.“ Tatsächlich ist jede zweite durch $3$ teilbare Zahl gerade. Das erkennst du, wenn du die durch $3$ teilbaren Zahlen der Reihe nach durchgehst: $3$, $6$, $9$, $12$, $15$, $18$ ...
  • Prüfe die Aussagen.

    Tipps

    Bei drei aufeinanderfolgenden Zahlen ist genau eine durch $3$ teilbar. Bestimme die Reste beim Teilen durch $3$ für die beiden anderen der drei Zahlen.

    Lösung

    Folgende Aussagen sind richtig:

    • „Eine gerade Zahl mit durch $9$ teilbarer Quersumme ist durch $18$ teilbar.“ Da $9$ und $2$ keine gemeinsamen Teiler haben, ist eine Zahl, die durch $2$ und durch $9$ teilbar ist, auch durch $2 \cdot 9$ teilbar.
    • „Jede durch $5$ teilbare Zahl mit durch $3$ teilbarer Quersumme ist durch $15$ teilbar.“ Teilbarkeit durch $3$ und durch $5$ impliziert Teilbarkeit durch $3 \cdot 5=15$, da $3$ und $5$ keine gemeinsamen Teiler haben.
    • „Jede Summe aus drei aufeinanderfolgenden natürlichen Zahlen ist durch $3$ teilbar.“ Da jede dritte Zahl durch $3$ teilbar ist, muss genau eine der drei Zahlen durch $3$ teilbar sein. Die beiden anderen haben dann den Rest $1$ bzw. $2$ bei Division durch $3$. Die Summe dieser drei Zahlen ist durch $3$ teilbar, weil sich die Reste bei Division durch $3$ zu $3$ addieren. So ist z.B. von den drei Zahlen $11$, $12$ und $13$ genau die $12$ durch $3$ teilbar. $11$ hat den Rest $2$ bei Division durch $3$, denn $11:3 = 3$ Rest $2$. Und $13$ hat den Rest $1$, denn $13 = 12+1$, also $13:3 =4$ Rest $1$. Nun ist $11+12+13 = (9+2) + 12 + (12+1) = (9+12+12) + (2+1)$. Jeder Summand dieser Summe ist durch $3$ teilbar, also auch die Summe.
    Folgende Aussagen sind falsch:

    • „Eine Zahl ist genau dann durch $9$ teilbar, wenn sie durch $3$ teilbar und die Quersumme ungerade ist.“ Die Zahl $21$ ist durch $3$ teilbar und hat eine ungerade Quersumme. Aber $21$ ist nicht durch $9$ teilbar.
    • „Ist eine Zahl durch $6$ und durch $9$ teilbar, so ist sie auch durch $6 \cdot 9$ teilbar.“ Da $6$ und $9$ den gemeinsamen Teiler $3$ haben, kann man nicht von der Teilbarkeit durch die Faktoren $6$ und $9$ auf die Teilbarkeit durch das Produkt $6 \cdot 9$ schließen. Z.B. ist die Zahl $72$ durch $6$ und durch $9$ teilbar, aber nicht durch $6 \cdot 9=54$.
    • „Ist eine Zahl durch $3$ und durch $6$ teilbar, so ist sie auch durch $9$ teilbar.“ Teilbarkeit durch $3$ und durch $9$ kannst du allein mit der Quersumme testen. Aber eine Zahl ist nur dann durch $6$ teilbar, wenn die Quersumme durch $3$ teilbar und die Zahl selbst gerade ist. Z.B. ist die Zahl $42$ durch $3$ und durch $6$ teilbar, aber nicht durch $9$.
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