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Teilbarkeitsregeln – Endziffernregeln (1)

Was sind die Endziffernregeln? Die Endziffernregeln überprüfen die Teilbarkeit von Zahlen anhand ihrer letzten Ziffer. Lerne, wie man Zahlen durch $2$, $5$ und $10$ teilt und entdecke dazu Beispiele! Interessiert? Dann findest du dies und vieles mehr im folgenden Text.

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Sabine Blumenthal
Teilbarkeitsregeln – Endziffernregeln (1)
lernst du in der 5. Klasse - 6. Klasse

Teilbarkeitsregeln – Endziffernregeln (1) Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Teilbarkeitsregeln – Endziffernregeln (1) kannst du es wiederholen und üben.
  • Vervollständige die Endziffernregeln.

    Tipps

    Hier siehst du durch $2$ teilbare Zahlen:

    $412; 568; 500$.

    Hier siehst du Zahlen, die nicht durch $2$ teilbar sind:

    $453; 17; 521$.

    Die $10$-er Malfolge lautet:

    • $1\cdot 10=10$
    • $2\cdot 10=20$
    • $3\cdot 10=30$
    • $4\cdot 10=40$
    • ...

    Es gibt übrigens auch Zahlen, die sowohl durch $5$ als auch durch $2$ teilbar sind. Diese Zahlen haben immer eine $0$ am Ende.

    Jede Zahl, die durch $10$ teilbar ist, ist auch durch $2$ und durch $5$ teilbar.

    Lösung

    Wann ist eine Zahl durch $2$ teilbar?

    Schau dir die $2$-er Malfolge an:

    • $1\cdot 2=2$
    • $2\cdot 2=4$
    • $3\cdot 2=6$
    • $4\cdot 2=8$
    • $5\cdot 2=10$
    • ...
    Du kannst dir noch weitere Vielfache von $2$ anschauen:

    $V_2=\{2;4;6;8;10;...;112;114;116;...\}$

    Jede dieser Zahlen endet mit einer $0$, $2$, $4$, $6$ oder $8$. Zahlen, die durch $2$ teilbar sind, werden auch gerade Zahlen genannt.

    Ebenso kannst du dir die anderen beiden Endziffernregeln vor Augen führen.

    Wann ist eine Zahl durch $5$ teilbar?

    Hier siehst du die $5$er-Malfolge:

    • $1\cdot 5=5$
    • $2\cdot 5=10$
    • $3\cdot 5=15$
    • $4\cdot 5=20$
    • ...
    Jede dieser Zahlen endet auf $5$ oder auf $0$. Solche Zahlen sind durch $5$ teilbar.

    Wann ist eine Zahl durch $10$ teilbar?

    Die $10$-er Malfolge lautet:

    • $1\cdot 10=10$
    • $2\cdot 10=20$
    • $3\cdot 10=30$
    • $4\cdot 10=40$
    • ...
    Jede dieser Zahlen endet mit einer $0$. Das bedeutet, dass Zahlen, die auf $0$ enden, durch $10$ teilbar sind.

  • Gib an, ob die gegebene Zahl durch $2$, $5$ oder $10$ teilbar ist.

    Tipps

    Du kannst die Teilbarkeit durch $2$, $5$ bzw. $10$ immer an der letzten Ziffer (Endziffer) erkennen. Betrachte dazu die jeweiligen Malreihen.

    Jede Zahl, die auf $0$, $2$, $4$, $6$ oder $8$ endet, ist durch $2$ teilbar.

    Jede Zahl, die eine $0$ als letzte Ziffer hat, ist durch $10$ teilbar.

    Lösung

    In dieser Aufgabe geht es um die Teilbarkeit natürlicher Zahlen durch $2$, $5$ bzw. $10$.

    Hier siehst du die zugehörigen Endziffernregeln:

    • Jede Zahl, die auf $0$, $2$, $4$, $6$ oder $8$ endet, ist durch $2$ teilbar.
    • Jede Zahl, die auf $0$ oder $5$ endet, ist durch $5$ teilbar.
    • Jede Zahl, die auf $0$ endet, ist durch $10$ teilbar.
    Das schauen wir uns nun an Beispielen an:

    • $428$ endet auf $8$, ist also durch $2$ teilbar.
    • $75397$ endet auf $7$. Diese Zahl ist nicht durch $2$ teilbar.
    • $325$ endet auf $5$ und ist somit durch $5$ teilbar.
    • Da $79203$ auf $3$ und damit nicht auf $5$ oder $0$ endet, ist sie nicht durch $5$ teilbar.
    • $3240$ hat eine $0$ am Ende und ist also durch $10$ teilbar.
    • Da die $45122$ nicht auf $0$ endet, ist sie auch nicht durch $10$ teilbar.
  • Prüfe die Zahlen auf ihre Teilbarkeit.

    Tipps

    Eine Zahl kann durch alle drei Zahlen teilbar sein.

    Beispielsweise ist $20$ durch $2$, $5$ und $10$ teilbar.

    • Eine Zahl kann durch $2$ und weder durch $5$ noch durch $10$ teilbar sein.
    • Eine Zahl kann durch $5$ und weder durch $2$ noch durch $10$ teilbar sein.

    Eine Zahl, die durch $10$ teilbar ist, ist auch durch $2$ und durch $5$ teilbar.

    Lösung

    Wenn du mehrere Zahlen auf Teilbarkeit untersuchen willst, kannst du dies mit Hilfe einer Tabelle machen.

    In der ersten Zeile schreibst du von links nach rechts Zahl und anschließend die Zahlen, auf deren Teilbarkeit du prüfen willst.

    In die erste Spalte schreibst du dann jeweils eine Zahl, die du untersuchen möchtest. In die anschließenden Felder schreibst du dann ja bzw. nein.

    Hier siehst du noch ein paar Regeln, die die Inhalte der Tabelle erklären:

    • Jede Zahl, die auf $0$ endet, ist durch $10$ teilbar. Eine solche Zahl ist auch durch $2$ und durch $5$ teilbar. Zum Beispiel gilt dies für $6430$.
    • Eine Zahl kann durch $2$ und weder durch $5$ noch durch $10$ teilbar sein. Das siehst du am Beispiel der Zahl $31414$. Dies gilt für alle Zahlen mit den Endziffern $2$,$4$,$6$ und $8$.
    • Eine Zahl kann auch durch $5$, allerdings weder durch $2$ noch durch $10$ teilbar sein. Beispiele hierfür sind die verbleibenden drei Zahlen $725$, $80135$ und $12345$.
  • Entscheide, welche der Zahlen durch $2$, $5$ oder $10$ teilbar ist.

    Tipps

    Die Endziffer ist die Einerstelle einer Zahl.

    • Ist die Endziffer eine $0$, $2$, $4$, $6$ oder $8$, so ist die Zahl durch $2$ teilbar.
    • Ist die Endziffer eine $5$ oder $0$, so ist die Zahl durch $5$ teilbar.
    • Ist die Endziffer eine $0$, so ist die Zahl durch $10$ teilbar.
    In den verbleibenden Fällen ist die Zahl weder durch $2$ noch durch $5$ oder $10$ teilbar.

    Lösung

    In dieser Aufgabe sollst du selbstständig die (größte) der drei Zahlen $2$, $5$ bzw. $10$ eintragen, durch die die jeweilige Zahl teilbar ist.

    Ist die Zahl durch keine der drei genannten Zahlen teilbar, so trägst du ein Minuszeichen $(-)$ ein.

    1. Die Zahl $3452$ hat die Endziffer $2$ und ist somit durch $2$ teilbar. Sie ist nicht durch $5$ oder $10$ teilbar.
    2. Die Zahl $4523$ hat die Endziffer $3$. Diese Zahl ist weder durch $2$ noch durch $5$ oder $10$ teilbar. Diese Zahl ist übrigens eine Primzahl. Primzahlen sind solche Zahlen, die genau zwei Teiler haben. Diese sind die $1$ und die Zahl selbst.
    3. Die Zahl $2345$ hat die Endziffer $5$ und ist somit durch $5$ teilbar.
    4. Die Zahl $4520$ endet auf $0$. Diese kann durch $2$, $5$ und $10$ geteilt werden. Die größte dieser Zahlen ist die $10$.
  • Gib an, was eine Endziffer ist.

    Tipps

    Du kannst direkt vom Namen der Regel auf die Bedeutung schließen.

    Die Endziffer ist die Einerstelle einer Zahl.

    Die Endziffer von $54$ ist die $4$.

    Lösung

    Die Teilbarkeit von natürlichen Zahlen kann oft mit den sogenannten Endziffernregeln bestimmt werden.

    Eine Endziffer ist, wie du bereits am Namen erkennen kannst, die letzte Ziffer einer Zahl.

    Hinweis: Es gibt auch Regeln, bei denen nicht nur die letzte Ziffer betrachtet wird.

    Hier siehst du zwei Beispiele:

    • Die Endziffer von $54$ ist die $4$.
    • Die Endziffer von $8413$ ist die $3$.
  • Leite weitere Teilbarkeitsregeln her.

    Tipps

    Wenn du glaubst, dass eine Aussage falsch ist, kannst du dir ein Gegenbeispiel einfallen lassen.

    Was bedeutet „zweimal durch $2$ teilbar“?

    Schau dir dies an dem Beispiel $216$ an.

    • $216$ ist einmal durch $2$ teilbar, da die Endziffer eine $2$ ist. Es ist $216:2=108$.
    • Da auch die $108$ durch $2$ teilbar ist, ist $216$ zweimal durch $2$ teilbar. Es ist $108:2=54$.
    Schließlich ist $216:4=216:2:2=108:2=54$. Somit ist $216$ durch $4$ teilbar.

    $256$ ist sogar dreimal durch $2$ teilbar:

    • $256:2=128$
    • $128:2=64$
    • $64:2=32$
    Du kannst nun so weiter machen.

    Lösung

    Es gibt noch viele weitere Teilbarkeitsregeln. Einen Teil davon kannst du dir aus bereits bekannten Regeln herleiten.

    Teilbarkeit durch $4$

    Wenn eine Zahl zweimal durch $2$ teilbar ist, dann ist sie auch durch $4$ teilbar. Du kannst auch hier eine Endziffernregel angeben. Wenn die letzten beiden Stellen der Zahl durch $4$ teilbar sind, ist auch die Zahl durch $4$ teilbar.

    Das schauen wir uns am Beispiel $148$ an.

    • Die beiden letzten Stellen sind $48$. Es ist $48:4=12$, also ist $48$ durch $4$ teilbar. Auch $148$ ist durch $4$ teilbar.
    • Wende nun die Teilbarkeit durch $2$ an. $148$ ist durch $2$ teilbar, da die Endziffer eine $8$ ist. Rechne $148:2=74$. Auch $74$ ist durch $2$ teilbar. Rechne $74:2=37$.
    Schließlich gilt $148:4=37$.

    Teilbarkeit durch $8$

    Ist eine Zahl dreimal durch $2$ teilbar, so ist sie auch durch $8$ teilbar. Du kannst auch hier eine Endziffernregel angeben: Wenn die letzten drei Stellen der Zahl durch $8$ teilbar sind, ist auch die Zahl durch $8$ teilbar.

    Das schauen wir uns ebenfalls an einem Beispiel an. Betrachte die Zahl $1008$.

    • Die letzten drei Stellen sind $008$. Es ist $008:8=8:8=1$, also ist $008$ durch $8$ teilbar. Auch $1008$ ist durch $8$ teilbar.
    • Verwende die Teilbarkeit durch $2$: $1008$ ist durch $2$ teilbar, da die Endziffer eine $8$ ist. Rechne $1008:2=504$. Diese Zahl ist wieder durch $2$ teilbar, denn $504:2=252$. Noch einmal kannst du durch $2$ teilen $252:2=126$. Du kannst also dreimal durch $2$ teilen.
    Insgesamt erhältst du $1008:8=126$.

    Teilbarkeit durch $100$

    Hier siehst du die Vielfachen von $100$. Die letzten beiden Ziffern sind immer $00$:

    • $1\cdot 100=100$
    • $2\cdot 100=200$
    • $3\cdot 100=300$
    • ...
    Teilbarkeit durch $25$

    Hier schaust du dir die Vielfachenmenge von $25$ an: $V_{25}=\{25;50;75;100;125;150;175;200;...\}$.

    Du siehst, jede der Zahlen endet auf $00$, $25$, $50$ oder $75$. Eine einzelne $0$ am Ende genügt nicht, wie zum Beispiel $60$ zeigt. $60$ ist sicher nicht durch $25$ teilbar.