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Natürliche Zahlen – Einführung

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Team Digital
Natürliche Zahlen – Einführung
lernst du in der 5. Klasse - 6. Klasse

Beschreibung zum Video Natürliche Zahlen – Einführung

Du benutzt sie jeden Tag, ohne zu wissen, wie sie heißen: die natürlichen Zahlen. Dieses Video schafft Abhilfe! Du wirst lernen, was natürliche Zahlen sind, was Vorgänger und Nachfolger sind und wie man eine Menge schreibt. Dazu gibt es für alles anschauliche Beispiele. Dein neues Wissen kannst du auch gleich im Anschluss testen: Du findest auf dieser Seite interaktive Übungen zu diesem Thema.

Grundlagen zum Thema Natürliche Zahlen – Einführung

Natürliche Zahlen – Definition

Die natürlichen Zahlen beginnen mit der Zahl $1$ oder der Zahl $0$. Von dort aus kommst du zur nächsten Zahl, indem du $+1$ rechnest. In Mathe heißen alle Zahlen, die auf diese Weise zustande kommen, natürliche Zahlen.

Du kannst die natürlichen Zahlen verwenden zum

  • Zählen
  • Nummerieren
  • oder Ordnen.

Natürliche Zahlen beschreiben also Anzahlen.

Die natürlichen Zahlen sind ganzzahlig und positiv.

Natürliche Zahlen – Symbol

Um die natürlichen Zahlen zusammenzufassen, kannst du diese als Menge notieren. Diese Menge lässt sich mit einem Symbol bezeichnen.

Die Menge aller natürlichen Zahlen wird mit dem Symbol $\mathbb{N}$ bezeichnet.

$\mathbb{N} = ${$ 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 12; 13; 14; \ldots$}

Die nächste Zahl der Menge erhältst du immer, indem dem du $+1$ rechnnest. Das lässt sich auch gut am Zahlenstrahl beobachten.

Wusstest du schon?

Ob die Zahl $0$ eine natürliche Zahl ist oder nicht, geht aus ihrer Definition nicht klar hervor. Um es eindeutig zu machen, schreibt man daher das Symbol $\mathbb N_0$ für die Menge der natürlichen Zahlen mit der Zahl $0$.

Natürliche und ganze Zahlen

Die natürlichen Zahlen beinhalten alle positiven, ganzen Zahlen. Ergänzt du die natürlichen Zahlen mit den negativen ganzen Zahlen, erhältst du die Menge der ganzen Zahlen ($\mathbb{Z}$).

Natürliche und ganze Zahlen

Eine natürliche Zahl besitzt in den ganzen Zahlen jeweils eine Gegenzahl. Das ist der negative Gegenspieler einer positiven Zahl.

$-15$ ist die Gegenzahl zu $15$.

Natürliche und rationale Zahlen

Die ganzen Zahlen wiederum können zu den rationalen Zahlen ($\mathbb{Q}$) ergänzt werden. Die rationalen Zahlen beinhalten neben den ganzen und somit auch den natürlichen Zahlen, Brüche und Dezimalzahlen mit einer endlichen oder periodischen Anzahl an Nachkommastellen.

Natürliche und reelle Zahlen

Die Erweiterung zu den reellen Zahlen schließt auch die irrationalen Zahlen mit ein. Also Zahlen mit unendlich vielen Nachkommastellen.

Natürliche und reelle Zahlen

Die natürlichen Zahlen sind eine Teilmenge der irrationalen Zahlen.

Natürliche Zahlen – Vorgänger und Nachfolger

Die natürlichen Zahlen beginnen mit der Zahl $1$ oder der Zahl $0$. Rechnest du eine natürliche Zahl $+1$, so erhältst du die nächstgrößere natürliche Zahl, den Nachfolger.

Der Nachfolger von $1\, 178\, 047$ ist $1\, 178\, 048$. Es gibt also keine größte natürliche Zahl. Außer der kleinsten natürlichen Zahl hat jede natürliche Zahl einen Vorgänger, d.h. eine Zahl, die um $1$ kleiner ist. Du erreichst den Vorgänger, indem du $-1$ rechnest.

Der Vorgänger von $1\, 178\, 047$ ist also $1\, 178\, 046$. Da die natürlichen Zahlen kein Ende haben, gibt es unendlich viele natürliche Zahlen.

Natürliche Zahlen: Vorgänger und Nachfolger

Natürliche Zahlen – Beispiel

Stell dir vor, du isst eine Tüte Chips. Damit ist nicht gemeint, dass du die Verpackung isst, sondern jedes einzelne Element in der Verpackung, also alle Chips.

Die Menge und die Mengenklammern in der Schreibweise fassen die einzelnen natürlichen Zahlen zusammen, wie die Chipstüte die einzelnen Chips zusammenfasst.

Zum Rechnen mit natürlichen Zahlen verwenden wir nur die einzelnen natürlichen Zahlen – nicht die Menge oder die Mengenklammern.

Menge der natürlichen Zahlen

Natürliche Zahlen – Zusammenfassung

  • Die natürlichen Zahlen werden abgekürzt mit dem Zeichen $\mathbb{N}$.
  • Sie beinhalten alle positiven, ganzzahligen Zahlen.
  • Natürliche Zahlen werden häufig zum Abzählen, Ordnen oder Nummerieren verwendet.

Häufig gestellte Fragen zum Thema natürliche Zahlen

Was sind alle natürlichen Zahlen?
Welche Zahlen gehören zu $\mathbb{N}$?
Was sind natürliche und rationale Zahlen?
Sind alle ganzen Zahlen natürliche Zahlen?
Ist die $0$ eine natürliche Zahl?

Transkript Natürliche Zahlen – Einführung

Edwin macht sich auf die Suche nach Weisheit. Ob er sie wohl dort oben finden wird? Edwin wagt den ersten Schritt und wir auch - mit den natürlichen Zahlen. Die natürlichen Zahlen beginnen bei "1" oder "0" und dann geht's mit "plus 1" immer schön der Reihe nach weiter zur nächstgrößeren natürlichen Zahl. Die natürlichen Zahlen benutzen wir zum Zählen, zum Nummerieren oder zum Ordnen. Sie helfen immer dann, wenn es um eine Anzahl geht - beispielsweise um eine Anzahl von Treppenstufen, Kisten, Personen oder Jahren. Wenn wir in einer Aufgabe von den natürlichen Zahlen sprechen, dann fassen wir die natürlichen Zahlen gerne mit diesem besonderen Buchstaben "Groß-N" zusammen. Mit diesem N ist der Zusammenschluss aller natürlichen Zahlen gemeint. So einen Zusammenschluss nennen wir in der Mathematik eine Menge. Die einzelnen Bestandteile einer Menge werden die Elemente der Menge genannt. Zum Beispiel ist die 14 ein Element von N - und genauso auch die 9. Möchtest du eine Menge mit ihren Elementen aufschreiben, dann benutze dafür immer diese Mengen-Klammern. Um all diese Bezeichnungen zu begreifen, hilft dir vielleicht ein Vergleich: Stell dir eine Tüte Chips vor. Wenn du sagst, du isst eine Tüte Chips, dann meinst du damit wahrscheinlich nie die Verpackung, sondern vielmehr die einzelnen Chips in der Tüte. Die Tüte hilft dir aber dabei, die Chips aus dem Schrank zu deinem Sofa zu bringen. Mit der Menge und den Elementen kannst du dir das genauso vorstellen. Die einzelnen CHIPS sind wie die Elemente der Menge. Die Chipstüte andererseits ist wie die geschweifte Mengenklammer die Verpackung drum herum. Genauso wie wir nur die Chips, aber nicht die Tüte, essen, verwenden wir nur die einzelnen Elemente zum Rechnen. Zurück zu den natürlichen Zahlen! Findest du, dass man mit der Null zählen kann? Die Null sorgt für ordentliche Meinungsverschiedenheiten. Für manche gehört sie nicht zu den natürlichen Zahlen, für andere jedoch schon. Zur Verdeutlichung schreiben einige 'N Null' statt N, wenn sie klar sagen wollen, dass die Null für sie dazugehört. Am besten fragst du bei deinem Lehrer nach, wenn du dir nicht sicher bist, wie es bei euch gemacht wird. Ob nun bei 0 oder 1 - auf jeden Fall haben die natürlichen Zahlen einen Anfangswert und werden davon ausgehend immer größer. Denken wir uns einmal irgendeine natürliche Zahl - zum Beispiel Edwins Alter. Der Vorgänger davon ist "um 1 kleiner" als die Zahl und der Nachfolger ist "um 1 größer". Bevor man seinen 16ten Geburtstag hat, muss man erst einmal 15 gewesen sein. Und nach dem 16ten Geburtstag kommt der 17te. Wie weit ist Edwin eigentlich während all unserer Überlegungen gekommen? Uii, er hat schon 1 Million 178 Tausend und 47 Stufen geschafft! Weißt du, wie davon der Vorgänger heißt? Genau! 1 Million 178 Tausend und Sechsundvierzig. Und der Nachfolger? Der heißt 1 Million 178 Tausend und Achtundvierzig. Du kannst übrigens zu jeder natürlichen Zahl den Nachfolger finden. Das bedeutet, dass es unendlich viele natürliche Zahlen geben muss. Daher gehört immer ein "Punkt-Punkt-Punkt" am Ende in die Mengen-Klammer, denn - anders als die Chips - haben die natürlichen Zahlen kein Ende. Zeit für eine Zusammenfassung. Die Menge der natürlichen Zahlen wird mit dem Buchstaben Groß-N bezeichnet. Sie beinhaltet die Zahlen zum Zählen. Das sind alle positiven ganzen Zahlen und je nach dem auch die Null - oder eben nicht. Beim Ausschreiben der Menge gehören immer die Mengenklammern um die Elemente. Die natürlichen Zahlen lassen sich ihrer Größe nach ordnen. Zu einer natürlichen Zahl ist der Vorgänger um "1 kleiner" und der Nachfolger um "1 größer". Weil jede natürliche Zahl einen Nachfolger hat, gibt es unendlich viele natürliche Zahlen. Mit einem "Punkt-Punkt-Punkt" in der Mengenklammer können wir zeigen, dass es noch unendlich weitergeht. Na, Edwin, bist du immer noch auf der Suche nach Weisheit? Was sagt denn dein Treppenstufenzähler? O-ha, schon 2 Milliarden 102 Millionen, 400 Tausend und 3 Stufen geschafft und noch immer ist kein Ende in Sicht! Aber immerhin - dieser Musculus Gluteus sieht prächtig aus!

43 Kommentare
43 Kommentare
  1. Omg

    Von EASY, vor 3 Monaten
  2. Coooool

    Von Puni 123, vor 5 Monaten
  3. Das ende ist sooooooooooo witzig

    Von Sophia, vor 6 Monaten
  4. coolesvideo

    Von Philipp, vor 7 Monaten
  5. Danke für das Video

    Von Henri, vor etwa einem Jahr
Mehr Kommentare

Natürliche Zahlen – Einführung Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Natürliche Zahlen – Einführung kannst du es wiederholen und üben.
  • Ergänze die Eigenschaften natürlicher Zahlen.

    Tipps

    Die natürlichen Zahlen benutzt du, wenn du herausfinden möchtest, wie viele Murmeln in einem Murmelsäckchen sind.

    Den Nachfolger einer natürlichen Zahl findest du durch Weiterzählen.

    Das Weiterzählen geht nie zu Ende.

    Lösung

    Zum Zählen verwendest du die natürlichen Zahlen. Sie beginnen mit $0$ oder $1$, genau wie du beim Zählen mit $0$ oder mit $1$ anfängst. Jede weitere natürliche Zahl findest du durch Weiterzählen um $+1$.

    Die Menge aller dieser Zahlen bezeichnen wir mit dem Buchstaben $\mathbb N$. Jede natürliche Zahl ist ein Element von $\mathbb N$. Die $0$ kann man als natürliche Zahl ansehen oder auch nicht. Darüber musst du dich mit deinen Lehrern einigen.

    Natürliche Zahlen verwendest du wie gesagt zum Zählen. Der Vorgänger einer natürlichen Zahl ist um $1$ kleiner, der Nachfolger um $1$ größer.

    Zu jeder natürlichen Zahl kannst du den Nachfolger finden, indem du um $1$ weiterzählst, d.h. indem du $+1$ rechnest. Da du immer weiterzählen kannst und nie an ein Ende gelangst, gibt es unendlich viele natürliche Zahlen.

  • Benenne Eigenschaften natürlicher Zahlen.

    Tipps

    Durch Weiterzählen findest du zu jeder natürlichen Zahl noch eine größere.

    Überlege, ob du beim Rückwärtszählen auch immer neue natürliche Zahlen findest.

    Ganze Zahlen sind $0$, $+1$, $-1$, $+2$, $-2$, $+3$, $-3$ $\ldots$

    Lösung

    Folgende Aussagen sind wahr:

    • „Zu jeder natürlichen Zahl gibt es einen Nachfolger.“ Den Nachfolger findest du, indem du $+1$ rechnest.
    • „Die Menge der natürlichen Zahlen hat unendlich viele Elemente.“ Da du immer weiterzählen kannst, gibt es unendlich viele natürliche Zahlen.
    • „Es gibt keine größte, aber eine kleinste natürliche Zahl.“ Du kannst immer weiterzählen, daher gibt es keine größte natürliche Zahl. Das Zählen beginnt aber bei $0$ oder $1$, daher gibt es eine kleinste natürliche Zahl.
    Diese Aussagen sind dagegen falsch:

    • „Das Symbol $\mathbb N$ bezeichnet die größte natürliche Zahl.“ Dieses Symbol bezeichnet die Menge der natürlichen Zahlen. Eine größte natürliche Zahl gibt es nicht.
    • „Den Vorgänger einer natürlichen Zahl findest du, indem du $+1$ rechnest.“ Um den Vorgänger zu finden, musst du rückwärts zählen, also $-1$ rechnen.
    • „Die größte natürliche Zahl ist $123.456.789.000.000$.“ Es gibt keine größte natürliche Zahl. Der Nachfolger der Zahl $123.456.789.000.000$ ist $123.456.789.000.001$ und ist größer.
  • Bestimme Vorgänger und Nachfolger.

    Tipps

    Zwei Zahlen sind benachbart, wenn sie sich um $+1$ oder um $-1$ unterscheiden.

    Achte beim Rückwärtszählen auf den Zehner-Übertrag.

    Der Vorgänger von $4.321$ ist $4.320$.

    Lösung

    Den Nachfolger zu einer natürlichen Zahl findest du, indem du $+1$ rechnest, den Vorgänger durch $-1$. Hier ergeben sich diese Zuordnungen:

    • Die Zahl $56.789$ hat den Vorgänger $56.788$ und den Nachfolger $56.790$.
    • Die Zahl $56.798$ hat als Vorgänger die Zahl $56.797$ und als Nachfolger $56.799$.
    • Der Vorgänger von $56.777$ ist die Zahl $56.776$, der Nachfolger ist $56.778$.
    • Für die Zahl $56.799$ ist der Nachfolger $56.800$, der Vorgänger ist die Zahl $56.798$.
  • Vergleiche die Zahlen.

    Tipps

    Beachte, dass du den Vorgänger oder Nachfolger finden musst.

    Rechnest du zu einer natürlichen Zahl $1$ dazu, so findest du den Nachfolger.

    Der Nachfolger von $71.999$ ist $72.000$.

    Lösung

    Den Nachfolger einer natürlichen Zahl findest du, indem du $+1$ rechnest. Den Vorgänger erhältst du, indem du $-1$ rechnest. Zwei Zahlen sind benachbart, wenn sie sich um $1$ unterscheiden. Da hier manche Zahlen mehrmals vorkommen, musst du genau aufpassen, die richtigen Paare benachbarter Zahlen zu finden. Du kannst z.B. mit den oberen Zahlen beginnen, jeweils $+1$ und $-1$ rechnen und nachschauen, welches der beiden Ergebnisse bei den unteren Zahlen vorkommt.

    Am Ende findest du folgende Zuordnung:

    • $987.654.321$ ist der Nachfolger von $987.654.320$.
    • $987.654.322$ ist der Nachfolger von $987.654.321$.
    • $98.765.432$ ist der Vorgänger von $98.765.433$.
    • $9.876.541$ ist der Nachfolger von $9.876.540$.
    • $9.876.540$ ist der Nachfolger von $9.876.539$.
  • Gib die Eigenschaften natürlicher Zahlen wieder.

    Tipps

    Bevor Edwin $16$ Jahre alt wurde, war er ein Jahr jünger.

    Stelle dir vor, du zählst beim Treppensteigen die Stufen. Überlege, was du von einer Stufe zur nächsten rechnen musst.

    Der Nachfolger von $599$ ist $600$.

    Lösung

    Die Treppenstufen zählst du vorwärts: Nach der Stufe Nr. $528$ kommt die Stufe Nr. $529$. Die Tage bis zu deinem Geburtstag zählst du rückwärts: Gestern waren es noch $34$ Tage, heute sind es nur noch $33$ und morgen hast du bereits in $32$ Tagen Geburtstag. Durch Vorwärtszählen oder das Rechnen von $+1$ findest du jeweils den Nachfolger einer natürlichen Zahl, durch Rückwärtszählen oder das Rechnen von $-1$ den Vorgänger.

    Edwin ist jetzt $16$ Jahre alt. Vor einem Jahr war er ein Jahr jünger, also $15$. In einem Jahr wird er $17$ Jahre alt sein. Edwin zählt die Stufen der Treppe der Weisheit, er beginnt mit $1$. Für jede weitere Stufe zählt er um $1$ weiter, d.h. er rechnet $+1$.

    Nach einiger Zeit hat Edwin schon die Stufe $1.178.047$ erreicht. Die vorige Stufe hatte die um $1$ kleinere Zahl, also $1.178.046$. Die Zahl der nächsten Stufe ist um $1$ größer als die der jetzigen Stufe, also $1.178.048$. Den Vorgänger einer natürlichen Zahl findest du, indem du rückwärts zählst oder $-1$ rechnest. Für den Nachfolger musst du um $1$ weiterzählen oder $+1$ rechnen.

    Edwin hat inzwischen schon sehr viele Stufen der Weisheit erklommen, nämlich $2.102.400.300$. Für die nächste Stufe rechnet er $+1$ und kommt auf $2.102.400.301$. Für die vorige Stufe rechnet er $-1$, beachtet dabei den Zehner- und den Hunderter-Übergang und kommt auf $2.102.400.299$.

  • Analysiere die Aussagen.

    Tipps

    Die Menge der natürlichen Zahlen verhält sich zu jeder einzelnen natürlichen Zahl wie die Verpackung zum Inhalt. Die Zahlen, mit denen Du rechnest, sind der Inhalt.

    Überlege, ob Du beim Vorwärts- und Rückwärtszählen in den natürlichen Zahlen an ein Ende kommst.

    Lösung

    Folgende Aussagen sind falsch:

    • „Es gibt nicht unendlich viele natürliche Zahlen.“ Die natürlichen Zahlen findest du durch Weiterzählen, ausgehend von $1$ oder $0$. Da du immer weiterzählen kannst, kommst du nie an ein Ende. Daher gibt es unendlich viele natürliche Zahlen.
    • „Es gilt $\mathbb N = \{0; 2; 4; 6; 8; \ldots\}$.“ Die gegebene Menge enthält nicht alle natürlichen, sondern nur die geraden natürlichen Zahlen. Da es auch ungerade natürliche Zahlen gibt, ist die Aussage falsch.
    • „$1$ ist die einzige Zahl aus $\mathbb N_0$, zu der es keinen Vorgänger in $\mathbb N_0$ gibt.“ Die Menge $\mathbb N_0$ enthält auch die Zahl $0$, diese ist der Vorgänger von $1$. Für die $0$ wäre die Aussage richtig: $0$ ist die einzige Zahl aus $\mathbb N_0$, zu der es keinen Vorgänger in $\mathbb N_0$ gibt.
    Diese Aussagen sind richtig:

    • „Es gibt eine kleinste, aber keine größte natürliche Zahl.“ Die kleinste natürliche Zahl ist je nach Konvention $0$ oder $1$, aber eine größte natürliche Zahl gibt es nicht.
    • „Die Menge der $\mathbb N_0$ enthält alle positiven geraden und ungeraden Zahlen und die $0$ und enthält keine weiteren Zahlen.“ Jede positive ganze Zahl ist eine natürliche Zahl. Nehmen wir zu diesen Zahlen noch die $0$ hinzu, sind keine weiteren Zahlen in $\mathbb N_0$ enthalten.
    • „Die Menge der natürlichen Zahlen ist selbst keine natürliche Zahl.“ Die Menge der natürlichen Zahlen ist keine natürliche Zahl, so wie die Chipstüte selbst kein Chip ist. Mit der Menge der natürlichen Zahlen kannst du nicht in derselben Weise rechnen oder zählen wie mit den Zahlen selbst. Analog isst du auch nicht die Verpackung der Chips, sondern nur ihren Inhalt.