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Ganze Zahlen – Einführung

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Team Digital
Ganze Zahlen – Einführung
lernst du in der 5. Klasse - 6. Klasse

Beschreibung Ganze Zahlen – Einführung

Einführung: Ganze Zahlen

Paketbote Peter liefert jeden Tag Pakete aus. Normalerweise ist das kein Problem, wie zum Beispiel bei Frau Pfaff im fünften Stock in der Pfannkuchenstraße fünfzig. Aber heute hat er eine merkwürdige Adresse: Pomadenpromenade 12, minus zweiter Stock. Was soll das denn sein? Um das zu verstehen, beschäftigen wir uns heute mit den Ganzen Zahlen.

Was sind ganze Zahlen?

Schauen wir uns einen Zahlenstrahl mit den natürlichen Zahlen an. Am linken Ende steht die $0$ und die Zahlen werden nach rechts größer, und zwar immer um $1$. Wenn wir uns auf die $12$ stellen, werden die Zahlen also nach rechts größer und nach links kleiner. Jetzt ziehen wir $8$ ab. Das heißt, wir müssen auf dem Zahlenstrahl genau $8$ Schritte nach links laufen und landen bei der $4$. Also: $12-8=4$.

Aber was passiert, wenn wir auf der $8$ stehen, und $12$ subtrahieren wollen? Auf dem Zahlenstrahl bedeutet das, dass wir $12$ Schritte nach links gehen müssen. Nach $8$ Schritten stehen wir auf der Null – aber wir haben noch $4$ Schritte übrig. Wir gehen also weiter nach links, und landen auf der $-4$.

Die $-4$ hat den gleichen Abstand zur Null wie die $4$, aber liegt auf der linken Seite des Zahlenstrahls. Diese Zahlen nennt man negative Zahlen. Jede natürliche Zahl hat so ein Gegenstück. Man nennt sie deswegen auch Gegenzahl. Die $-4$ ist also die Gegenzahl der $4$. Wir haben sie erhalten, indem wir $12-8$ zu $8-12$ getauscht haben. Und das funktioniert immer: Wenn wir bei der Subtraktion Minuend und Subtrahend miteinander vertauschen, erhalten wir die Gegenzahl. So kannst du immer die Gegenzahlen einer Zahl bestimmen. Zum Beispiel ist $3-1=2$, aber $1-3=-2$, und $-2$ ist die Gegenzahl zur $2$.

Ganze Zahlen – Definition

Die $0$ ist eine besondere Zahl. Sie ist weder positiv noch negativ, und deswegen ist sie auch ihre eigene Gegenzahl. Die negativen Zahlen bilden zusammen mit der $0$ und den positiven Zahlen die Ganzen Zahlen. Diese Definition der ganzen Zahlen wird durch ihr Symbol ergänzt, das ein Z mit einem Doppelbalken ist. Es sieht so aus: $\mathbb{Z}$

Die Zahlengerade der ganzen Zahlen

Auf der Zahlengeraden der ganzen Zahlen hat jede Zahl einen Nachfolger. Der Nachfolger der $0$ ist die $1$, und der Nachfolger der $4$ ist die $5$. Und sogar die $4126$ hat einen Nachfolger, und zwar die $4127$. Der Nachfolger einer ganzen Zahl ist also immer genau $1$ größer. Und weil jede Zahl einen Nachfolger hat, geht der Zahlenstrahl unendlich weiter. Jede ganze Zahl hat aber auch einen Vorgänger. Bei der $4127$ ist das natürlich die $4126$. Der Vorgänger der $3$ ist die $2$, und der Vorgänger der $1$ ist die $0$. Bei den natürlichen Zahlen wäre hier Schluss, und die $0$ hätte keinen Vorgänger. Bei den ganzen Zahlen ist das anders. Hier hat die $0$ einen Vorgänger, und zwar die $-1$. Auch die hat einen Vorgänger, und das ist die $-2$. So können wir den Zahlenstrahl immer weiter ins Negative verfolgen, bis ins Unendliche – denn jede negative Zahl hat einen Vorgänger, der genau $1$ kleiner ist. Und genauso wie bei den positiven Zahlen hat auch jede negative Zahl einen Nachfolger, der genau $1$ größer ist. Der Nachfolger der $-5$ ist zum Beispiel die $-4$. Und der Nachfolger der $-1$ ist die $0$.

Zahlenstrahl der ganzen Zahlen, Mathematik

Dieses Video

In diesem Video lernst du den Unterschied zwischen natürlichen Zahlen und ganzen Zahlen kennen. Wir zeigen dir zu den ganzen Zahlen Beispiele und erklären, was eine Gegenzahl ist und was Nachfolger und Vorgänger auf dem Zahlenstrahl bedeuten. Auch zum Thema ganze Zahlen gibt es Übungen und Aufgaben, mit denen du nach dem Schauen dieses Videos weiter lernen kannst. Danach wird auch eine Textaufgabe mit ganzen Zahlen kein Problem für dich sein. Viel Spaß!

Transkript Ganze Zahlen – Einführung

Paket-Peter ist Paketbote. Er liefert Pakete schnell und zu günstigen Preisen. Zum Glück gibt es in den meisten Hochhäusern einen Fahrstuhl, so dass Adressen wie Petunienstraße 15, 21. Stock, für ihn kein Problem sind. Zu Frau Pfaff im fünften Stock der Pfannkuchenstraße Fünfzig schafft er es sogar zu Fuß die Treppe hinauf. Aber heute hat er eine merkwürdige Adresse: Pomadenpromenade 12, minus zweiter Stock. Was soll das denn sein? Dazu beschäftigen wir uns mit den Ganzen Zahlen! Dafür schauen wir uns erst mal das Subtrahieren natürlicher Zahlen am Zahlenstrahl an und rechnen 12 minus 8. Dazu stellen wir uns auf die 12. Rechts von uns werden die Zahlen größer und links werden sie kleiner. Weil wir minus 8 rechnen, gehen wir nun nach links und zwar 8 Schritte. Wir kommen bei der 4 an. 12 -8 ist also 4. Aber was ist 8 minus 12? Wir benutzen wieder den Zahlenstrahl. Diesmal fangen wir bei der 8 an und gehen 12 Schritte nach links: nach 8 Schritten sind wir erstmal bei der 0 angekommen. Und jetzt? Wir gehen weiter nach links: 4 Schritte. Diese Zahl heißt minus 4! Das ist auch unser Ergebnis. Sie ist genauso weit von der Null entfernt, wie die 4. Solche Zahlen nennt man negative Zahlen. Zu jeder natürlichen Zahl gibt es ein negatives Gegenstück, die Gegenzahl. Bei jeder Subtraktion kann man Minuend und Subtrahend vertauschen, und erhält so die Gegenzahl. Zum Beispiel ist 3 minus 1 gleich 2. Jetzt vertauschen wir Minuend und Subtrahend und rechnen 1 minus 3 ist minus 2. Minus 2 ist also die Gegenzahl von 2. Die 0 ist eine besondere Zahl, sie ist weder positiv, noch negativ und ihre eigene Gegenzahl. Die positiven Zahlen bilden zusammen mit den negativen Zahlen und der Null die ganzen Zahlen. Die bezeichnet man mit diesem Z. Wir legen die Zahlengerade einmal an das Hochhaus in der Pomadenpromenade 12 an. Alle Stockwerke, die wir sehen können, liegen oberirdisch und sind aufsteigend mit natürlichen Zahlen bezeichnet. Das Erdgeschoss hat die Null als Stockwerknummer. Um zur Stockwerknummer minus 2 zu kommen, müssen wir also von der Null auf der Zahlengeraden zwei Schritte nach unten gehen. Aha, das ist also im Keller! Paket-Peter findet den Weg und gibt das Paket bei Herrn Duster ab. Indem wir bequem mit dem Fahrstuhl die Zahlengerade hoch- und runterfahren, können wir nun die ganzen Zahlen erkunden. Jede ganze Zahl hat also einen Nachfolger. Der Nachfolger der 0 ist die 1 der Nachfolger der 4 ist die 5 und der Nachfolger der 4126 ist die 4127. Jetzt sind wir schon ziemlich weit oben. Fahren wir doch einmal nach unten. Von der 4127 kommen wir zur 4126. Jede ganze Zahl hat nämlich auch einen Vorgänger. Der Vorgänger von 3 ist 2 und der Vorgänger der 1 ist die 0. Bei den natürlichen Zahlen wäre hier Schluss und wir müssten aussteigen. Schließlich ist Null die kleinste natürliche Zahl. Aber hier gibt es negative Zahlen und wir fahren einfach weiter nach unten: Ins erste Untergeschoss, Stockwerknummer -1. Der Vorgänger der Null ist also - 1. Und der Vorgänger der -1 ist die -2. Auch die -4 hat einen Vorgänger: die -5. Der Vorgänger ist immer die nächstkleinere Zahl. Denn die -5 ist kleiner als die -4. Aber auch die negativen Zahlen haben einen Nachfolger. Wenn wir zum Beispiel von der -5 ein Stockwerk hochfahren, landen wir beim Nachfolger -4. Wenn wir von der -4 hochfahren, gelangen wir zur -3 und fahren wir von der -1 hoch, sind wir bei ihrem Nachfolger, der Null - also im Erdgeschoss. Der Nachfolger ist immer die nächstgrößere Zahl. Also ist zum Beispiel die -3 der Nachfolger der -4, weil sie die nächstgrößere Zahl ist. Während Paket-Peter noch fleißig seine Pakete austrägt, fassen wir zusammen: Die ganzen Zahlen bestehen aus den positiven Zahlen, der Null und den negativen Zahlen. Jede positive Zahl hat eine negative Gegenzahl. Das Paar aus Zahl und Gegenzahl erhält man durch Vertauschung einer Subtraktion. Zum Beispiel ist 5-3=2 und 3-5=-2. Minus 2 ist also die Gegenzahl zur 2. Jede ganze Zahl hat einen Nachfolger. Der Nachfolger der 3 ist beispielsweise die 4 und der Nachfolger der -4 ist die -3. Jede ganze Zahl hat auch einen Vorgänger. Der Vorgänger der 4 ist die 3 und der Vorgänger der -3 ist die -4. Bei den positiven Zahlen gibt es unendlich viele. Aber wie viele negative Zahlen gibt es? Auch unendlich viele! Schließlich hat jede der unendlich vielen positiven Zahlen eine negative Gegenzahl. Wir können also mit diesem Fahrstuhl unendlich weit hinauffahren, aber auch unendlich weit hinunter! Bis ins Weltall! Hallo? Paket ist da!

7 Kommentare

7 Kommentare
  1. Sehr gutes Video. Mal sehen wie es mit den Übungen wird. Bisher war es gut wenn ich es richtig verstanden habe werde ich die Übungen schaffen

    Von Miriam Reinhard, vor 2 Monaten
  2. Sehr schönes Video!
    Nur, dass die Null einfach so als kleinste natürliche Zahl bezeichnet wird, finde ich ungünstig. Das ist eine Definitionsfrage.

    Von Güde J., vor 5 Monaten
  3. das witzigste war ,,paket ist da‘‘ am ende ¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡

    Von Miriam G., vor 8 Monaten
  4. Vielen Dank für euer positives Feedback. Es freut uns zu hören, dass euch das Video so gut gefällt. Viel Spaß weiterhin mit unseren Inhalten.
    Liebe Grüße aus der Redaktion

    Von Adina Schulz, vor 10 Monaten
  5. Hallo Team Digital!
    Ich fand das Video sehr hilfreich, weil ich das Thema gerade im Unterricht habe. Es war auch eine tolle Übung. Die Krönung des Videos war das Ende: „Packet ist da!“.
    Liebe Grüße
    Selma👍

    Von Atifcinar, vor 10 Monaten
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Ganze Zahlen – Einführung Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Ganze Zahlen – Einführung kannst du es wiederholen und üben.
  • Ergänze die Eigenschaften ganzer Zahlen.

    Tipps

    Die negativen Zahlen kommen als Lösungen von Minus-Rechnungen vor.

    Das Ergebnis zu $8-12$ ist die Gegenzahl zu dem Ergebnis zu $12-8$.

    Das Weitergehen auf dem Zahlenstrahl um fünf Schritte nach rechts entspricht der Addition von $5$.

    Lösung

    Der Zahlenstrahl der ganzen Zahlen ist eine Erweiterung des natürlichen Zahlenstrahls: er erstreckt sich in beide Richtungen. Die ganzen Zahlen bestehen aus den positiven Zahlen, den negativen Zahlen und $0$.

    Negative Zahlen treten ganz natürlich beim Subtrahieren auf. Das Ergebnis zu $8-12$ findest Du, indem Du von der Zahl $8$ aus $12$ Schritte auf dem Zahlenstrahl nach links gehst. Vertauschst Du in der Aufgabe Minuend und Subtrahend, so ist das Ergebnis die Gegenzahl des vorigen Ergebnisses.

    Den Nachfolger einer ganzen Zahl findest Du heraus, indem Du von der ganzen Zahl um $1$ weiter zählst, den Vorgänger findest Du, indem Du um $1$ zurück zählst. Der Vorgänger von $-4$ ist demnach $-5$, der Nachfolger von $-4$ ist $-3$. Der Nachfolger ist dabei immer die nächstgrößere, der Vorgänger die nächstkleinere ganze Zahl.

    Beachte, dass der letzte Satz nur in den ganzen Zahlen richtig ist: den Vorgänger von $0$ gibt es nicht, solange Du nur natürliche Zahlen berücksichtigst, denn $0$ ist die kleinste natürliche Zahl. Den Vorgänger von $0$ findest Du, wenn Du die nächstkleinere ganze Zahl suchst: diese ist $-1$.

  • Benenne die Eigenschaften ganzer Zahlen.

    Tipps

    Den Vorgänger einer Zahl findest Du, indem Du auf dem Zahlenstrahl einen Schritt nach links gehst.

    Auf dem Zahlenstrahl werden die Zahlen von links nach rechts größer, von rechts nach links kleiner.

    Ist eine ganze Zahl die Lösung einer Subtraktionsaufgabe, so ist ihre Gegenzahl die Lösung der Subtraktionsaufgabe mit vertauschtem Subtrahend und Minuend.

    Lösung

    Folgende Aussagen sind falsch:

    • „Zu jeder natürlichen Zahl gibt es einen Nachfolger und einen Vorgänger.“ Die Zahl $0$ hat keine natürliche Zahl als Vorgänger.
    • „Die $0$ hat keine Gegenzahl.“ Die Gegenzahl von $0$ ist $0$ selbst.
    • „Der Nachfolger einer negativen Zahl ist kleiner als ihr Vorgänger.“ Für jede ganze Zahl gilt: Ihr Nachfolger ist um $1$ größer als diese Zahl und die Zahl selbst ist um $1$ größer als ihr Vorgänger. Damit ist der Nachfolger einer Zahl immer um $2$ größer als ihr Vorgänger.
    • „Jede ganze Zahl ist entweder positiv oder negativ.“ Die ganze Zahl $0$ ist weder positiv noch negativ. $0$ ist die einzige solche Zahl.
    Folgende Aussagen sind richtig:

    • „Der Vorgänger von $0$ ist keine natürliche Zahl.“ Der Vorgänger von $0$ ist die ganze, nicht-natürliche Zahl $-1$.
    • „Die einzige ganze Zahl, die weder positiv noch negativ ist, ist $0$.“
    • „$-6$ ist kleiner als $-5$, denn $-6$ ist der Vorgänger von $-5$.“
  • Bestimme Vorgänger und Nachfolger.

    Tipps

    Du findest den Vorgänger einer Zahl, indem Du um eins zurückzählst.

    Ist die letzte Ziffer einer negativen Zahl nicht $9$, so ist die letzte Ziffer des Vorgängers um $1$ größer.

    Der Vorgänger von $-3.210$ ist $-3.211$.

    Lösung

    Den Nachfolger einer ganzen Zahl findest Du, indem Du um $+1$ weiterzählst bzw. die nächstgrößere Zahl suchst. Den Vorgänger findest Du durch rückwärts zählen oder $-1$ rechnen. Der Vorgänger ist die nächstkleinere Zahl. Bei den Zehner-Übergängen musst Du aufpassen, um die richtigen Vorgänger oder Nachfolger zu finden.

    Folgende Paare kommen hier vor:

    • Der Nachfolger von $6.789$ ist die Zahl $6.790$, der Vorgänger ist $6.788$.
    • Zu der Zahl $-6.797$ ist der Vorgänger $-6.798$ und der Nachfolger $-6.796$.
    • Die Zahl $6.790$ hat den Vorgänger $6.789$ und den Nachfolger $6.791$.
    • Schließlich ist von $-6.800$ der Vorgänger $-6.801$ und der Nachfolger $-6.799$.
  • Analysiere die Aussagen.

    Tipps

    Das Erdgeschoss trägt die Etagen-Zahl $0$. Es liegt weder über noch unter der Erde.

    Lösung

    Folgende Aussagen sind richtig:

    • „Der Nachfolger der Gegenzahl ist die Gegenzahl des Vorgängers.“ So ist z.B. der Nachfolger von $-5$ die Zahl $-4$, und dies ist die Gegenzahl zu $4$, also zum Vorgänger von $5$.
    • „Der Nachfolger einer negativen Zahl ist eine nicht-positive Zahl.“ Der Nachfolger jeder negativen Zahl außer $-1$ ist selbst eine negative Zahl. Der Nachfolger von $-1$ ist die nicht-positive Zahl $0$.
    • „Jede negative Zahl ist kleiner als jede positive Zahl.“ Negative Zahlen liegen auf dem Zahlenstrahl weiter links als positive, also sind sie kleiner.
    Folgende Aussagen sind falsch:

    • „Der Vorgänger einer nicht-negativen Zahl ist eine positive Zahl.“ $0$ ist eine nicht-negative Zahl, aber der Vorgänger ist $-1$, dies ist keine positive Zahl.
    • „Die Gegenzahl einer Zahl ist kleiner als die Zahl.“ $0$ ist ihre eigene Gegenzahl, aber $0$ ist nicht kleiner als $0$.
    • „Eine beliebige nicht-negative Zahl ist größer als eine beliebige nicht-positive Zahl.“ Wieder ist die $0$ das Gegenbeispiel: $0$ ist sowohl nicht-negativ als auch nicht-positiv. Und $0$ ist nicht größer als $0$.
  • Gib die Eigenschaften ganzer Zahlen an.

    Tipps

    Fährt Paket-Peter um fünf Stockwerke nach oben, so rechnet er die Etagenzahl $+5$.

    Fährt Paket-Peter von der dritten Etage fünf Stockwerke nach unten, so kommt er in der Etage

    $3-5=-2$

    an.

    Zur Vorgänger-Etage fährt Paket-Peter mit dem Aufzug nach unten, zur Nachfolger-Etage nach oben.

    Lösung

    Paket-Peter fährt mit dem Aufzug in dem Hochhaus rauf und runter. Die Etagen-Zahlen sind angeordnet wie die Zahlen auf dem Zahlenstrahl. Der Richtung nach rechts auf dem Zahlenstrahl entspricht die Richtung nach oben im Hochhaus.

    Von der Etage $12$ fährt Paket-Peter $8$ Stockwerke nach unten. Um die Etagenzahl zu bestimmen, rechnet er:

    $12-8 = 4$

    Allgemein gilt: Fährt er mit dem Aufzug nach oben, so ist die Zahl der nächsten Etage der Nachfolger der aktuellen Etagenzahl. Fährt er nach unten, so ist die Zahl der nächsten Etage der Vorgänger der aktuellen Etagenzahl.

    Von der Etage $8$ fährt Paket-Peter zwölf Stockwerke nach unten. Die Fahrt dauert lange genug, um auszurechnen, in welcher Etage er ankommen wird:

    $8-12 = -4$

    In diesem speziellen Hochhaus gibt es zu jeder ganzen Zahl eine Etage. Das sind unendlich viele, denn der Zahlenstrahl erstreckt sich unendlich in beide Richtungen. Die Etagen mit den positiven Zahlen liegen über der Erde, die mit den negativen Zahlen im Keller. Das Erdgeschoss liegt weder über noch unter der Erde, die Etagenzahl $0$ ist daher weder positiv noch negativ.

    Zu jeder Etagenzahl findet Paket-Peter den Nachfolger, indem er um $1$ weiter zählt oder mit dem Aufzug nach oben fährt. Den Vorgänger findet er, indem er um $1$ zurück zählt oder nach unten fährt.

  • Bestimme die ganzen Zahlen.

    Tipps

    Beachte stets die Regel:

    Minus mal Minus ergibt Plus

    Lösung

    Für die Multiplikation ganzer Zahlen musst Du die Regel

    Minus mal Minus ergibt Plus

    beachten. Diese Regel legt das Vorzeichen eines Produktes fest. Die Zahl (ohne Vorzeichen) findest Du wie beim Multiplizieren natürlicher Zahlen.

    Du kannst Dir die Regel so klar machen: Multiplizieren mit $-1$ dreht immer die Richtung des Aufzuges um. Statt ins dritte Kellergeschoss fährt der Aufzug ins Stockwerk mit der Zahl $3$, wenn Du die $-3$ des Kellergeschosses mit $-1$ multiplizierst. Umgekehrt führt die Multiplikation des Stockwerks $4$ mit $-1$ ins vierte Kellergeschoss, also das Stockwerk $-4$.

    Mit dieser Regel findest Du folgende Zuordnungen:

    • $(-12) \cdot 3 = -36$
    • $(-6) \cdot (-6) = 36$
    • $(-3) \cdot 43 = -129$
    • $26 \cdot (-5) = -130$
    • $(-32) \cdot (-4) = 128$
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