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Was ist der Betrag einer Zahl? 03:15 min

Textversion des Videos

Transkript Was ist der Betrag einer Zahl?

Lara und Philipp machen Ferien in den Niederlanden. Das Gelände hier ist total flach und liegt kaum über dem Meeresspiegel.Der Urlaub ist so wunderbar, dass die beiden schon darüber nachdenken, wohin sie als nächstes reisen möchten.Lara will unbedingt bergsteigen, aber Philipp will lieber tauchen gehen. Die beiden sind sich vielleicht uneins, was sie tun wollen, bei einer Sache sind sie sich aber einig: Sie wollen so weit weg vom Meeresspiegel wie möglich. Wo auch immer das sein mag. Lara schlägt den Mount Everest vor, mit gut 8.800 Metern über dem Meeresspiegel der höchste Punkt auf Erden. Philipp denkt eher an eine Reise zum Marianengraben. Das ist nämlich der tiefste Punkt auf der Erde, er liegt etwa -11.000 Meter tief, also 11.000 Meter unter dem Meeresspiegel. Helfen wir den beiden dabei, das richtige Reiseziel zu finden. Wie wir wissen, sind negative Zahlen kleiner als positive Zahlen. -11.000 Meter, die Tiefe des Marianengrabens, ist also kleiner als die Höhe des Mount Everests mit über 8.800 Metern. Ist der Mount Everest also das Reiseziel der Wahl? Nicht unbedingt. Um die Fragestellung zu lösen, brauchen wir den Betrag von der Tiefe und von der Höhe der beiden Orte. Der Betrag einer Zahl ist der Abstand, den die Zahl zur 0 hat, ganz egal ob sie positiv oder negativ ist. Eine Tiefe von -11.000 Metern liegt 11.000 Meter unter dem Meeresspiegel. Der Betrag von -11.000 ist also 11.000. Eine Höhe von 8.800 Metern ist 8.800 Meter vom Meeresspiegel entfernt. Der Betrag von 8.800 ist also 8.800. Eine Betrag ist immer positiv ohne Ausnahme. Der Betrag von -11.000 ist größer als der Betrag von 8.800, weil 11.000 größer als 8.800 ist. Die tiefste Stelle im Marianengraben ist also weiter vom Meeresspiegel entfernt als die Spitze des Mount Everests. Wir haben einen Gewinner! Bevor Lara und Philipp Taucherbrille und Sonnencreme einpacken, schauen wir uns das noch mal an. Der Betrag einer positiven Zahl ist identisch mit dieser Zahl. Der Betrag einer negativen Zahl entspricht ihrer Gegenzahl und ist damit immer positiv. Der Betrag von 0 ist 0. Schauen wir uns ein paar Beispiele an. Was bekommt man, wenn man vor den Betrag einer positiven Zahl ein Minuszeichen setzt? Eine negative Zahl. Und was bekommt man, wenn man vor den Betrag einer negativen Zahl ein Minuszeichen setzt? Ebenfalls eine negative Zahl. Was machst du mit einem Term, der zwischen den Betragsstrichen steht? Du musst ihn erst vereinfachen und dann den Betrag bestimmen. Achte bei komplexen Aufgaben darauf, dass du die Punkt-vor-Strich Regel beachtest. Als Taucher im Marianengraben hat Philipp so viel Spaß wie noch nie in seinem Leben. Aber was ist mit Lara? Ach was? Hat sie doch noch einen Berg zum besteigen gefunden? Oh oh, oder vielleicht doch nicht?

3 Kommentare
  1. Ich liebe TEAM DIGITAL

    Von Yiren Y., vor 3 Monaten
  2. Danke, das Video war sehr toll und hat meine Fragen beantwortet

    Von Loewengitarre, vor 8 Monaten
  3. Hi hat mir geholfen

    Von Maximilian M., vor 9 Monaten

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Betrag einer Zahl – Was ist damit gemeint? (1 Videos)

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Was ist der Betrag einer Zahl? Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Was ist der Betrag einer Zahl? kannst du es wiederholen und üben.

  • Bestimme mithilfe von Beträgen das beste Reiseziel.

    Tipps

    Für den Vergleich der Höhen betrachten wir die gegebenen Zahlen aus der Aufgabenstellung.

    Für den Vergleich der Abstände zum Meeresspiegel betrachten wir die Beträge der gegebenen Zahlen aus der Aufgabenstellung.

    So berechnest du den Betrag einer Zahl:

    • Ist die Zahl positiv oder null, ändert der Betrag nichts an der Zahl. Es gilt $\vert x\vert=x$.
    • Ist die Zahl negativ, ändert der Betrag nur das Vorzeichen der Zahl. Es gilt $\vert -x\vert=x$.
    Lösung

    Natürlich könnten wir die Frage auch aus dem Bauchgefühl beantworten. Hier möchten wir aber herausfinden, welche Rechnung im Bauchgefühl eigentlich verborgen ist.
    Vergleiche von Größen treffen wir mit den Bezeichnungen „größer als“, in Zeichen „$\gt$,“ oder „kleiner als“, in Zeichen „$\lt$“, aber auch mit „größer oder gleich“, in Zeichen „$\geq$,“ oder „kleiner oder gleich“, in Zeichen „$\leq$“.

    Höhen / Zahlen

    In der ersten Rechnung vergleichen wir die beiden Höhen. Die Höhe des Mount Everests ist mit $8800$ Metern und die Höhe des Marianengrabens mit $-11000$ Metern gegeben.

    Der mathematische Vergleich der Zahlen liefert $-11000\lt 8800$. Doch auch wenn die Zahl $-11000$ kleiner als die Zahl $8800$ ist, vermuten wir: Die Zahl $8800$ liegt nicht weiter von der Null entfernt als die Zahl $-11000$. Genau das können wir mit Beträgen auch berechnen.

    Abstand zum Meeresspiegel / Betrag

    Der Betrag einer Zahl stellt ihren Abstand zur Null dar. In dieser Textaufgabe steht der Betrag der Höhe eines Ortes für dessen Abstand zum Meeresspiegel. Um die Beträge miteinander zu vergleichen, ermitteln wir ihre Zahlenwert.:

    • Abstand des Mount Everests zum Meeresspiegel. Es gilt $\vert 8800 \vert=8800$.
    • Abstand des Marianengrabens zum Meeresspiegel. Es gilt $\vert -11000 \vert=11000$.
    Der abschließende Vergleichen liefert:

    $\vert 8800 \vert=8800 \lt 11000 =\vert -11000 \vert$ bzw. $\vert 8800 \vert \lt \vert -11000 \vert$.

    Der Marianengraben liegt also weiter vom Meeresspiegel entfernt und ist somit das perfekte Reiseziel für Philip und Lara.

  • Vereinfache die Betragsausdrücke so weit wie möglich.

    Tipps

    Der Betrag einer Zahl (außer null) ist immer positiv.

    Zum Beispiel gelten folgende Gleichungen:

    • $\vert {-6}\vert =6$,
    • $\vert 6\vert =6$.
    Es gelten auch folgende Gleichungen:

    • $\vert {-500}\vert =500$,
    • $\vert 500\vert =500$.
    Lösung

    Der Betrag einer Zahl ist der Abstand dieser Zahl zur Null. Da Abstände immer positiv oder null sind, sind auch Beträge immer positiv oder null.

    Der Betrag einer Zahl (außer null) ist positiv:

    • ${\vert {-5}\vert}= {5}$,
    • $\vert {8800}\vert={8800}$,
    • ${\vert {-11000}\vert}=11000$,
    • ${\vert {-2}\vert}=2 $.
    Der Betrag von null ist null:
    • $\vert 0\vert = 0$.

  • Ergänze die Grundregeln für den Umgang mit Beträgen.

    Tipps

    Ein Beispiel zu Beträgen und Summen:

    Berechnest du die Summe der einzelnen Beträge von $40$ und ${-50}$, erhältst du

    $\vert {40}\vert+\vert {-50}\vert=40+50=90$.

    Berechnest du den Betrag der Summe von $40$ und ${-50}$, erhältst du jedoch

    $\vert 40+({-50})\vert = \vert {-10} \vert = 10$.

    Worin unterscheiden sich die beiden Rechnungen?

    Lösung

    Um den Betrag einer Zahl zu berechnen, musst du auf Folgendes achten.

    Positive Beträge

    • Ist eine Zahl $x$ positiv oder null, ändert der Betrag nichts an der Zahl. Es gilt $\vert x\vert=x$.
    • Ist eine Zahl $-x$ negativ, ändert der Betrag nur das Vorzeichen der Zahl. Es gilt $\vert -x\vert=x$.
    Der Betrag einer Zahl (außer null) ist immer positiv und der Betrag von null ist null.

    Negative Beträge

    Steht vor dem Betrag ein Minus, ist das Ergebnis immer negativ, z.B. ${-\vert {-9}\vert}={-(+9)}={-9}$. Auch hier gilt wieder, dass der Betrag von null eine Ausnahme bildet.

    Beträge von Rechenausdrücken

    Um Beträge von Rechenausdrücken zu berechnen gilt: Erst den Ausdruck (z.B. die Summe) berechnen und dann erst den Betrag ermitteln.

  • Berechne die Rechenausdrücke mit Beträgen.

    Tipps

    Der Betrag einer Zahl (außer null) ist positiv.

    Hier siehst du ein Beispiel für

    $a={-50}$ und $b=3$.

    • $\vert a \vert = \vert {-50}\vert = 50$
    • $\vert b \vert = \vert {3}\vert = 3$
    • $\vert a-b \vert = \vert {{-50}-3}\vert = \vert {-53}\vert = 53$
    • $\vert a \vert - \vert b \vert = \vert {-50}\vert-\vert{3}\vert = 50 - 3 = 47$

    Näheres zu dem Beispiel aus dem zweiten Tipp:

    $\underbrace{\underbrace{\vert {-50}\vert}_{\text{erster Betrag}}-\underbrace{\vert{3}\vert}_{\text{zweiter Betrag}}}_{\text{Differenz zweier Beträge}} = \underbrace{50}_{\text{erster Betrag}} - \underbrace{3}_{\text{zweiter Betrag}} = 47$.

    Lösung

    Erste Aufgabe: $~ a=7, ~ b={-8}$

    • $\vert {a}\vert = \vert {7}\vert =7$
    • $\vert {b}\vert = \vert {-8}\vert = {8}$
    Bei der Aufgabe ${\vert {a-b}\vert}$ handelt es sich um den Betrag eines Rechenausdrucks, hier der Betrag einer Differenz. Um den Betrag zu berechenen, musst zu zuerst die Rechnung lösen.
    $ \underbrace{\vert ~ \underbrace{a-b}_{\text{Differenz}} ~\vert}_{\text{Betrag einer Differenz}} = \vert ~ \underbrace{7-(-8)}_{\text{Differenz}} ~\vert = \vert \underbrace{15}_{\text{Differenz}} \vert = {15}$

    Bei der Aufgabe ${\vert {a}\vert}-{\vert {b}\vert}$ hingegen handelt es sich um einen Rechenausdruck, in denen Beträge enthalten sind, hier eine Differenz von Beträgen. Um den einen Betrag vom anderen abziehen zu können, musst du erst die einzelnen Beträge ausrechnen.
    $ \underbrace{\underbrace{\vert {a}\vert}_{\text{erster Betrag}} - \underbrace{\vert {b}\vert}_{\text{zweiter Betrag}}}_{\text{Differenz zweier Betr}\ddot{\text{a}}\text{ge}} = \underbrace{\vert {7}\vert}_{\text{erster Betrag}} - \underbrace{\vert {-8}\vert}_{\text{zweiter Betrag}} = \underbrace{7}_{\text{erster Betrag}}-\underbrace{8}_{\text{erster Betrag}} = {-1}$

    Zweite Aufgabe: $~ a={-3}, ~ b={2}$

    • $\vert {a}\vert = \vert {-3}\vert = 3$
    • $\vert {b}\vert = \vert {2}\vert = {2}$
    • ${\vert {a-b}\vert} = {\vert {{-3}-{2}}\vert} = {\vert {-5}\vert} = 5$
    • ${\vert {a}\vert}-{\vert {b}\vert} = {\vert {-3}\vert}-{\vert {2}\vert} = {3}-{2} =1$
    Dritte Aufgabe: $~ a={10000}, ~ b={-6000}$
    • $\vert {a}\vert = \vert {10000}\vert = 10000$
    • $\vert {b}\vert = \vert {-6000}\vert = {6000}$
    • ${\vert {a-b}\vert} = {\vert {{10000}-({-6000})}\vert} = {\vert {16000}\vert} = 16000$
    • ${\vert {a}\vert}-{\vert {b}\vert} = {\vert {10000}\vert}-{\vert {-6000}\vert} = {10000}-{6000} =4000$

  • Zeige, wie unterschiedlich wir eine Zahl mittels Beträgen darstellen können.

    Tipps

    Der Betrag einer Zahl (außer null) ist positiv, z.B. gilt $\vert 10\vert =10$.

    Der negative Betrag einer Zahl (außer null) ist negativ, z.B. gilt ${-\vert 10\vert} ={-10}$.

    Für den Betrag eines Rechenausdrucks berechne erst den Ausdruck, dann den Betrag. Es gilt beispielsweise:

    $\vert 2\cdot 5\vert = \vert 10\vert= 10$.

    Lösung

    All diese Aufgaben kannst du nach den folgenden Leitsätzen lösen:

    1. Der Betrag einer Zahl (außer null) ist positiv.
    2. Der negative Betrag einer Zahl (außer null) ist negativ.
    3. Für den Betrag eines Rechenausdrucks berechne erst den Ausdruck, dann den Betrag.
    Bei diesen Umformungen wurden der erste und der dritte Leitsatz angewendet:
    • ${\vert {-5}\cdot 3\vert}=\vert {-15}\vert=15$
    • ${\vert {15}-30\vert}={\vert {-15}\vert}=15$
    • ${\vert {20-11}\vert}={\vert {9}\vert}=9$
    • ${\vert {27}: ({-3})\vert}={\vert {-9}\vert}=9$
    • ${\vert 11-20 \vert}={\vert {-9} \vert}=9$
    • ${\vert 20-11\vert}={\vert 9 \vert}=9$
    Bei den anderen Umformungen wurden jeweils der zweite und der dritte Leitsatz angewendet:
    • ${-\vert {-5}\cdot 3\vert}={-\vert {-15}\vert}={-(+15)}={-15}$
    • ${-\vert 3\cdot 5\vert}={-\vert 15\vert}={-15}$
    • ${-\vert 25-10\vert}={-\vert 15\vert}={-15}$
    • ${-\vert {-15}+30\vert}={-\vert 15\vert}={-15}$
    • ${-\vert {3}\cdot 3\vert}={-\vert 9 \vert}={-9}$
    • ${-\vert {27}: 3\vert}={-\vert 9\vert}={-9}$
    • ${-\vert 20-11 \vert}={-\vert 9 \vert}={-9}$

  • Ordne die Ausdrücke ihrer Größe nach auf der Zahlengeraden ein.

    Tipps

    Es gilt $\vert{-50}\vert=50$. Daher ist ${-50}\lt\vert-50\vert$.

    Wegen ${-\vert{-50}\vert}={-50}$ gilt ${-\vert{-50}\vert}\lt 50$.

    Lösung

    In der Abbildung siehst du die Ergebnisse der Rechnungen direkt an der richtigen Stelle auf der Zahlengerade eingeordnet. Hier siehst du nochmal alle Rechnungen, die zu den Werten führen. Wir starten dabei mit dem kleinsten Wert.

    • $-\vert 2\cdot 20 \vert={-\vert 40\vert}={-40}$
    • $-\vert 10-45\vert={-\vert {-35}\vert}={-35}$
    • $-\vert {-25}\vert={-25}$
    • $-\vert {18}\vert={-18}$
    • $\vert 0\vert=0$
    • $\vert{-10}\vert=10$
    • $\vert {-18}\vert=18$
    • $\vert {-35}\vert=35$
    • $\vert 90-(+50))\vert={\vert 40\vert}=40$
    • $\vert ({-5})\cdot 11\vert={\vert -55\vert}=55$