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Negative Zahlen im Koordinatensystem 07:56 min

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Transkript Negative Zahlen im Koordinatensystem

Hallo, heute wollen wir uns mit dem Koordinatensystem beschäftigen. Vielleicht hast du schon ein Koordinatensystem kennen gelernt. Heute werden wir es um die negativen Zahlen erweitern. Dazu werde ich dir zunächst noch einmal das Wichtigste zum Koordinatensystem erklären, wie du es bisher kanntest.

Dann Erweitern wir das Koordinatensystem um die negativen Zahlen und lernst dabei, wie man ein Koordinatensystem beschriftet und Punkte in einem Koordinatensystem einträgt. Abschließend werden wir das Gelernte gemeinsam an Übungsaufgaben wiederholen.

Das Koordinatensystem

Das Koordinatensystem - so wie du es bisher vielleicht kennengelernt hast - sieht so aus: Das Koordinatensystem besteht aus zwei Zahlenstrahlen.

Der eine Zahlenstrahl heißt x-Achse. Die x-Achse beginnt links bei der 0 und setzt sich nach rechts ins positive Unendliche fort. Der andere Zahlenstrahl heißt y-Achse. Die y-Achse verläuft von unten nach oben, beginnt bei der null und setzt sich nach oben ins positive Unendliche fort.

Die Null haben beide Achsen gemeinsam und ist quasi der Anfangspunkt, der Ursprung, beider Zahlenstrahle. Deshalb wird die Null auch als Koordinatenursprung bezeichnet. Da die zwei Achsen im rechten Winkel stehen, bildet sich ein Koordinatengitter, dass aus gleichgroßen Kästchen besteht.

Möchte ich die Position dieses Punktes - nennen wir ihn A - in unserem Koordinatensystem beschreiben, so muss ich dessen Koordinaten nennen. Um zum Punkt A zu gelangen, gehen wir vom Ursprung um zwei Einheiten nach rechts und um drei Einheiten nach oben.

Wir können die Koordinaten des Punktes folgendermaßen aufschreiben. Groß A für den Punkt A, dann Klammer auf, 2 strich 3, Klammer zu. Im Alphabet kommt das x vor dem y, also nennt man immer als Erstes die x-Koordinate - zwei - dann die y-Koordinate - drei.

Damit haben wir nun das Wichtigste wiederholt. Du kennst die x-Achse, die y-Achse. Du weißt, das beide Zahlenstrahl sind, beginnend bei der Null im Koordinatenursprung. Die Koordinaten eines Punktes beschreiben seine Lage im Koordinatensystem.

Negative Zahlen im Koordinatensystem

Nun hast du ja bereits die negativen Zahlen kennen gelernt. Diese finden sich bislang nicht im Koordinatensystem. Was aber, wenn ein Punkt - nennen wir ihn B - hier außerhalb des Koordinatensystems liegt. Wie können wir dann seine Position bestimmen? Richtig. Wir machen es genauso wie mit dem Zahlenstrahl, der zur Zahlengerade wird.

Wir erweitern das Koordinatensystem ganz einfach, um die negativen Zahlen, indem wir aus den zwei Zahlenstrahlen zwei Zahlengeraden machen. Die x-Achse verlängern wir nach links. Auf die Null folgt dann nach links die minus 1 , dann die -2, dann die -3 und so weiter. Die x-Achse setzt sich nun - genauso wie nach rechts - unendlich fort. Sie verläuft ins negative Unendliche. Die y-Achse verlängern wir nach demselben Prinzip nach unten ins Negative.

Nun können wir die Koordinaten des Punktes B ablesen. Wir gehen vom Ursprung um drei Einheiten nachlinks und eine Einheit nach unten. Wir schreiben die Koordinaten wie auch beim Punkt A folgendermaßen auf: Groß B Klammer auf, -3, strich, -1, Klammer zu.

Übungsaufgaben zu negativen Zahlen im Koordinatensystem

So nun wollen wir das Gelernte noch einmal bei zwei Übungsaufgaben wiederholen. Dazu zeichnen wir ein neues Koordinatensystem. Das ist auch schon die erste Aufgabe:

Zeichne ein Koordinatensystem, das an der x- und y- Achse jeweils den Ausschnitt von -4 bis 4 zeigt. Weißt du noch, wie du ein Koordinatensystem zeichnest?

Erst zeichnest du die x-Achse und dann im rechten Winkel die y-Achse. An der Stelle, an der sich beide Achsen scheiden, ist der Koordinatenursprung, also die Null bei beiden Achsen.

Wir wählen die Einheit 1 cm. In Zentimeterabständen trägst du an der x- und y-Achse die Zahlen von -4 bis 4 ein. Am rechten Ende der x-Achse und am oberen Ende der y-Achse zeichnest du jeweils einen Pfeil. Er deutet an, dass es sich um Zahlengeraden handelt und sie sich weiter fortsetzen. Abschließend beschriftest du die beiden Achsen mit einem x und einem y. Fertig!

Die zweite Aufgabe lautet folgendermaßen: Trage die beiden Punkte A (-1|2) und B (4|-2) in das Koordinatensystem ein. Beginnen wir mit dem Punkt A. Die minus eins ist die x-Koordinate und die 2 die y-Koordinate. Um den Punkt A ins Koordinatensystem einzutragen, gehen wir vom Ursprung um 2 Einheiten nach links und um zwei Einheiten nach oben. An dieser Stelle markieren wir den Punkt A.

Der Punkt B hat die vier als x-Koordinate und die minus 2 als y-Koordinate. Um den Punkt B ins Koordinatensystem einzutragen, gehen wir vom Ursprung um vier Einheiten nach rechts und um zwei Einheiten nach unten. An dieser Stelle markieren wir den Punkt B.

Zusammenfassung

Wir fassen zusammen: Du hast heute das dir bekannte Koordinatensystem wiederholt, welches aus zwei zueinander senkrechte Zahlenstrahlen besteht.

Wir haben mithilfe der Kenntnis negativer Zahlen unser Koordinatensystem erweitert und nun ein Koordinatensystem aus zwei zueinander senkrechten Geraden erhalten. Nun kannst du auch Punkte mit negativen Koordinaten darstellen.

Auf Wiedersehen.

13 Kommentare
  1. Hallo Cynthiarwolf,
    bitte beschreibe genauer, was du nicht verstanden hast. Gib beispielsweise die konkrete Stelle im Video mit Minuten und Sekunden an. Gerne kannst du dich auch an den Fach-Chat wenden, der von Montag bis Freitag zwischen 17-19 Uhr für dich da ist.
    Ich hoffe, dass wir dir weiterhelfen können.
    Viele Grüße aus der Redaktion

    Von Jonas Dörr, vor 5 Monaten
  2. ich verstehe das nicht

    Von Cynthiarwolf, vor 5 Monaten
  3. Sofatutor ist cool

    Von Diamondprincess, vor 8 Monaten
  4. Zuerst hab ich es nicht so verstanden aber jetzt check ich das

    Von Diamondprincess, vor 8 Monaten
  5. Ich liebe das Mathe- Team !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
    ;-) ;) ;)

    Von Mousaalbakour 1975, vor 10 Monaten
  1. Tolles Video! :D Mach so weiter! Hoffe das Sie mehr Videos machen werdet!

    Von Lana V., vor mehr als einem Jahr
  2. @Helena K.
    Bei uns wird die -3 angezeigt.

    Die Geschwindigkeit kannst du mit dem Tachometer im Player, 3. Symbol von rechts, einstellen.

    Von Karsten Schedemann, vor etwa 2 Jahren
  3. mann sieht die minus 3 bei 7.56 min nicht warum ist das so ist die Kamera zu klein oder wie aber sonst gut aber es ist zu schnell ich komme nicht mit kann mann das irgendwie einstellen????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????

    Von Helena K., vor mehr als 2 Jahren
  4. rechenforteile? sonst sehr gut

    Von Mia G., vor mehr als 2 Jahren
  5. hallo ! ich wollte fragen gibt es auch ein video von Rechenvorteilen?

    Von Christina Mara Antonia K., vor mehr als 3 Jahren
  6. cool danke

    Von John B., vor mehr als 3 Jahren
  7. Danke! Das hat mir sehr doll geholfen!

    Von Henne67, vor mehr als 4 Jahren
  8. Zuerst hatte ich es nicht verstanden aber nun ist es mir klar geworden. Mit sofatutor werden meine Noten garantiert besser

    Von Sukunkel71, vor mehr als 4 Jahren
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Negative Zahlen im Koordinatensystem Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Negative Zahlen im Koordinatensystem kannst du es wiederholen und üben.

  • Bestimme die Koordinaten des Punktes P im Koordinatensystem.

    Tipps

    Überlege dir, wie viele Einheiten einem Kästchen in der Höhe sowie der Breite entsprechen.

    Punkt P ist zwei Einheiten nach rechts entlang der x-Achse und drei Einheiten parallel zur y-Achse nach oben verschoben.

    Lösung

    Die Koordinaten des Punktes sind P(2|3).

    Wir haben ein Koordinatensystem, das einen Ausschnitt von -5 bis 5 auf der x-, sowie auf der y-Achse zeigt, gegeben. Ein Kästchen ist je eine Einheit breit (Richtung x-Achse) bzw. hoch (Richtung y-Achse).

    P ist um zwei Einheiten nach rechts auf der x-Achse und drei Einheiten nach oben parallel zur y-Achse vom Ursprung aus verschoben.

    Wenn wir die Koordinaten eines Punktes angeben wollen, geben wir immer zu erst die x- und dann die y-Koordinate des Punktes an.

  • Gib die Eigenschaften eines erweiterten Koordinatensystems an.

    Tipps

    Das erweiterte Koordinatensystem besteht aus zwei Zahlengeraden.

    Der Koordinatenursprung kann auch als Punkt $U(0|0)$ angegeben werden.

    Lösung

    Durch die Erweiterung des Koordinatensystems sind aus zwei senkrecht zueinander stehenden Zahlenstrahlen, zwei senkrecht zueinander stehende Zahlengerade geworden.

    Das erweiterte Koordinatensystem besteht aus zwei Zahlengeraden. Die eine Zahlengerade heißt x-Achse und geht von links nach rechts. Senkrecht zur x-Achse und durch den Koordinatenursprung verläuft die andere Zahlengerade. Sie wird als y-Achse bezeichnet. In unserem Beispiel sehen wir auf der x- und y-Achse jeweils nur einen Ausschnitt von -6 bis 6. Da die zwei Achsen im rechten Winkel stehen, bildet sich ein Koordinatengitter, das aus gleich großen Kästen besteht. Wenn wir Punkte im Koordinatensystem beschreiben wollen, benutzen wir Koordinaten. Wir nennen immer als erstes die x- und dann die y-Koordinate, wenn wir einen Punkt beschreiben.

    In unserem Beispiel sind zwei Punkte angegeben:

    $A(2|3)$ und $B(-3|-1)$.

  • Berechne den Inhalt der von den vier Punkten P,Q,R und S eingeschlossenen Fläche.

    Tipps

    Um die Fläche des Rechtecks P,Q,R,S zu berechnen, müssen wir die Streckelängen $\lvert \overline{SR}\rvert$ mit der Streckenlänge $\lvert \overline{QR}\rvert$ multiplizieren.

    Die Strecke $\overline{SR}$ geht von Punkt S zu Punkt R. Die y-Koordinate bleibt gleich. Entlang der x-Achse gehen wir von -4 zu 2.

    Die Strecke $\overline{QR}$ läuft von Punkt Q zu Punkt R. Hierbei bleibt die x-Koordinate konstant. Es verändert sich lediglich die y-Koordinate. Parallel zur y-Achse verläuft die Strecke von 2 zu -1.

    Lösung

    Wenn man die vier Punkte P,Q,R und S miteinander verbindet, entsteht ein Rechteck. Das Rechteck besteht aus je zwei gleich langen Seiten: $\overline{PQ}$ und $\overline{SR}$ sowie $\overline{PS}$ und $\overline{QR}$.

    Um die Fläche des Rechtecks P,Q,R,S zu berechnen, müssen wir die Streckenlängen $\lvert \overline{SR}\rvert$ mit der Streckenlänge $\lvert\overline{QR}\rvert$ multiplizieren.

    Um die Länge der Strecken zu bestimmen, müssen wir zunächst die Koordinaten der Punkte im Koordinatensystem ablesen.

    $P(-4|2)$

    $Q(2|2)$

    $R(2|-1)$

    $S(-4|-1)$

    Die Strecke $\overline{SR}$ geht also von Punkt $S(-4|-1)$ zu Punkt $R(2|-1)$. Die y-Koordinate bleibt gleich. Entlang der x-Achse gehen wir von -4 zu 2. Das heißt, insgesamt sechs Einheiten nach rechts. Die Strecke $\overline{SR}$ ist also 6 LE (Längeneinheiten) lang.

    Die Strecke $\overline{QR}$ läuft von Punkt $Q(2|2)$ zu Punkt $R(2|-1)$. Hierbei bleibt die x-Koordinate konstant. Es verändert sich lediglich die y-Koordinate. Parallel zur y-Achse verläuft die Strecke von 2 zu -1. Also insgesamt drei Einheiten nach unten. Die Strecke $\overline{QR}$ ist 3 LE lang.

    Wenn wir nun den Flächeninhalt des Rechtecks, welches von den vier Punkten begrenzt wird, berechnen wollen, müssen wir folgende Rechnung machen:

    \begin{align} A&=6LE\cdot3LE \\ &=18FE \\ \end{align}

    FE soll hier für Flächeneinheiten stehen. Das Rechteck ist also 18 FE groß.

  • Bestimme die Koordinaten der angegebenen Punkte.

    Tipps

    Um einen Punkt zu beschreiben, benötigen wir die x- und y-Koordinate des Punktes.

    Die x-Koordinate gibt an, um wie viele LE (Längeneinheiten) der Punkt nach rechts oder links verschoben ist.

    Die y-Koordinate gibt an, um wie viele LE (Längeneinheiten) der Punkt nach oben oder unten verschoben ist.

    Lösung

    Wir sollen die Koordinaten der Punkte in dem Koordinatensystem ermitteln.

    Um einen Punkt zu beschreiben, benötigen wir die x- und y-Koordinate des Punktes.

    Wenn weder Zentimeter noch andere Einheiten angegeben sind, sprechen wir meist einfach von Längeneinheiten (LE).

    Beginnen wir mit dem Punkt A. Dieser liegt oberhalb der x-Achse und links von der y-Achse.

    Punkt A ist vom Ursprung aus um eine LE nach links und um zwei LE nach oben verschoben. Seine x-Koordinate ist daher -1 und seine y-Koordinate 2. Also ist $A(-1|2)$.

    Punkt B liegt unterhalb der x-Achse und rechts von der y-Achse.

    Punkt B ist vom Ursprung aus vier LE nach rechts und zwei LE nach unten verschoben. Seine x-Koordinate ist daher 4 und seine y-Koordinate -2. Also ist $B(4|-2)$.

  • Entscheide, welche Koordinaten die eingezeichneten Punkte besitzen.

    Tipps

    Wir wissen, dass die x-Achse jeweils die horizontale Linie (von links nach rechts) und die y-Achse die vertikale Linie (von unten nach oben) darstellt.

    Gibt ein Kästchen auch wirklich immer eine Längeneinheit (LE) an? Oder ist das von Diagramm zu Diagramm unterschiedlich?

    Lösung

    Das schwierige bei der Aufgabe ist es, dass wir jeweils nur Ausschnitte der Koordinatensysteme sehen.

    Aber in den Ausschnitten sind genügend Informationen, damit wir die Koordinaten der markierten Punkte bestimmen können.

    Wir wissen, dass die x-Achse jeweils die horizontale (von links nach rechts) Linie und die y-Achse die vertikale (von unten nach oben) Linie darstellt.

    Wichtig ist nun, dass wir darauf achten, in welchem Maßstab die Achsen beschriftet sind. Gibt ein Kästchen auch wirklich eine Längeneinheit (LE) an? Oder ist das von Diagramm zu Diagramm unterschiedlich?

    Schauen wir uns die Ausschnitte einmal genauer an. (von links nach rechts)

    Diagramm 1:

    Hier sieht alles ganz „normal“ aus. Von Strich zu Strich sind es genau eine LE, auf der x-Achse, wie auch auf der y-Achse. Wir können den Punkt also einfach ablesen.

    -> A(2|2)

    Diagramm 2:

    Hier müssen wir aufpassen. Zwei Striche links von der Null entsprechen 10 LE. Das heißt, ein Strich entsprechen fünf LE. Der Punkt ist vom Ursprung aus zwei Striche nach links und drei Striche nach unten verschoben.

    -> A(-10|-15)

    Diagramm 3:

    Auch hier müssen wir wieder ganz genau hinschauen. Der Punkt ist zwar jeweils nur ein Strich nach oben und nach links verschoben, aber ein Strich entspricht zwei LE.

    -> A(-2|2)

    Diagramm 4:

    In diesem Koordinatensystem entspricht ein Strich 10 LE. Der Punkt A hat daher folgende Koordinaten.

    -> A(30|-10)

  • Entscheide, welcher Punkt in welchem Quadranten liegt.

    Tipps

    Um die Punkte den einzelnen Quadranten zuzuordnen, ist es sinnvoll, wenn wir uns ein Koodinatensystem zeichnen und die Punkte darin markieren.

    Überlege dir, welche Eigenschaften die Koordinaten der Punkte in den einzelnen Quadranten haben. Wie unterscheiden sie sich in ihren Vorzeichen?

    Lösung

    Um die Punkte den einzelnen Quadranten zuzuordnen, ist es sinnvoll, wenn wir uns ein Koodinatensystem zeichnen und die Punkte darin markieren.

    Es reicht allerdings auch aus, wenn wir uns das Koordinatensystem jeweils im Kopf mit dem darin markierten Punkt vorstellen.

    Um die Punkte zu den einzelnen Quadranten zuzuordnen, gibt es aber auch ein paar Tricks.

    Punkte, die im I. Quadranten liegen, haben immer positive x- und positive y-Koordinaten. Sie liegen vom Ursprung gesehen immer „rechts oben“.

    Punkte, die im II. Quadranten liegen, haben immer eine negative x-Koordinate und eine positive y-Koordinate. Sie liegen vom Ursprung gesehen immer „links oben“.

    Punkte, die im III. Quadranten liegen, haben immer eine negative x- und eine negative y-Koordinate. Sie liegen vom Ursprung gesehen immer „links unten“.

    Punkte, die im IV. Quadranten liegen, haben immer eine positive x-Koordinate und eine negative y-Koordinate. Sie liegen vom Ursprung aus gesehen immer „rechts unten“.