Negative Zahlen – Anordnung und Betrag

Negative Zahlen – Anordnung und Betrag Übung

• Vervollständige den Text zu negativen Zahlen und Gegenzahl.

  Tipps

  Je weiter rechts eine Zahl auf der Zahlengerade liegt, desto größer ist sie.

  Die Gegenzahl von $+6$ ist $-6$.

  Lösung

  Negative Zahlen kennen wir bereits aus dem Alltag. Beispielsweise ist es bei einer Außentemperatur von $-3^{\circ}\text{C}$ ziemlich kalt.

  Negative Zahlen können an der Zahlengerade veranschaulicht werden. Zu dem Abschnitt der bereits bekannten positiven Zahlen kommt der Abschnitt der negativen Zahlen hinzu.
  Diese stehen links von $0$ und werden mit einem Minus als Vorzeichen gekennzeichnet, zum Beispiel $-8$. Positive Zahlen hingegen haben ein positives Vorzeichen, welches man aber meistens einfach weglässt. Beispielsweise schreibt man $2,5$ statt $+2,5$.
  An der Zahlengerade gilt: Je weiter links eine Zahl liegt, desto kleiner ist sie. Somit ist zum Beispiel $-4 \lt -3$.

  Jede Zahl hat eine Gegenzahl. Zahl und Gegenzahl unterscheiden sich nur durch ihr Vorzeichen. Zahl und Gegenzahl liegen jeweils symmetrisch zur Null. Die Gegenzahl der $5$ ist die Zahl $-5$.

• Gib die Zahlen der Größe nach geordnet an.

  Tipps

  Der Betrag einer Zahl gibt ihren Abstand zur Null an.

  Beispiel:

  $\vert-2,3\vert = 2,3$

  Je weiter rechts eine Zahl auf der Zahlengeraden liegt, desto größer ist sie.

  Lösung

  Um die Zahlen zu sortieren, können wir uns überlegen, an welcher Position der Zahlengeraden sie liegen. Denn es gilt: Je weiter rechts eine Zahl liegt, desto größer ist sie.

  Dazu betrachten wir zuerst die Beträge. Der Betrag einer Zahl gibt ihren Abstand zur Null an. Daher ist er immer positiv. Es gilt:

  $\vert2,5\vert = 2,5$
  $\vert-4,8\vert = 4,8$

  Wir müssen also die folgenden Zahlen sortieren:

  • $-3,5$
  • $4,2$
  • $4,8$
  • $2,5$

  Die negative Zahl $-3,5$ ist am kleinsten. Sie steht ganz links.
  Die $2,5$ steht an zweiter Stelle. Außerdem gilt:

  $4,2 \lt 4,8$

  Es ergibt sich somit folgende Reihenfolge:

  $-3,5 \lt \vert2,5\vert \lt 4,2 \lt \vert-4,8\vert$

• Vergleiche die Zahlen.

  Tipps

  • $\vert-3\vert = 3$
  • $\vert2,7\vert = 2,7$
  • $\vert+12\vert = 12$
  • $\vert-4,5\vert = 4,5$

  Je weiter rechts eine Zahl auf der Zahlengeraden liegt, desto größer ist sie.

  Lösung

  Um die Zahlen zu vergleichen, können wir uns überlegen, an welcher Position der Zahlengeraden sie liegen. Denn es gilt: Je weiter rechts eine Zahl liegt, desto größer ist sie.
  Außerdem müssen wir beachten, dass der Betrag einer Zahl immer positiv ist. Damit ergibt sich:

  Beispiel 1:

  $-6,25$ liegt weiter rechts als $-6,5$, also:

  $-6,25 \gt -6,5$

  Beispiel 2:

  $\vert-3,2\vert = 3,2$

  $3,2$ liegt weiter rechts als $-3,1$, also:

  $-3,1 \lt \vert-3,2\vert$

  Beispiel 3:

  $\vert-22,2\vert = 22,2$, also:

  $\vert-22,2\vert = 22,2$

  Beispiel 4:

  $-12,12$ liegt weiter rechts als $-12,21$, also:

  $-12,12 \gt -12,21$

  Beispiel 5:

  $\vert-13,4\vert = 13,4$

  $\vert13\vert = 13$

  $13,4$ liegt weiter rechts als $13$, also:

  $\vert-13,4\vert \gt \vert13\vert$

• Ordne gleiche Zahlen einander zu.

  Tipps

  Zahl und Gegenzahl unterscheiden sich nur durch ihr Vorzeichen.

  Achte auf die Reihenfolge:

  • Bei der Gegenzahl von $\vert 3 \vert$ musst du zunächst den Betrag bilden, dann die Gegenzahl.

  • Bei $\vert$Gegenzahl von $3 \vert$ musst du erst die Gegenzahl bilden und dann den Betrag.

  Beispiel:

  Die Gegenzahl von $\vert-4,5\vert$ ist die Gegenzahl von $4,5$ und diese ist $-4,5$.

  Lösung

  Um die Zahlen zuordnen zu können, müssen wir wissen, was der Betrag einer Zahl und was die Gegenzahl einer Zahl ist:

  Der Betrag einer Zahl ist ihr Abstand zur Null. Er ist immer positiv.
  Wir schreiben die Zahl dann in Betragstriche: $\vert-3,4\vert$.

  Die Gegenzahl einer Zahl ist die Zahl, welche das entgegengesetzte Vorzeichen hat.

  Somit ergibt sich:

  • $\vert -24 \vert$ ist $24$.
  • Die Gegenzahl von $24$ ist $-24$.
  • $-2,4$ ist die Gegenzahl von $2,4$.
  • Der Betrag von $-2,4$ ist $\vert-2,4\vert$.
  • Die Gegenzahl von $\vert-1,24\vert$ ist gleich der Gegenzahl von $1,24$. Dies ist gleich $-1,24$.
  • $\vert$Gegenzahl von $-1,24\vert$ ist $\vert1,24\vert = 1,24$.

• Bestimme die markierten Zahlen.

  Tipps

  Achte auf das Vorzeichen der Zahlen: Die Zahlen, welche links von der Null liegen, sind negative Zahlen. Sie haben als Vorzeichen ein Minuszeichen wie $-4$.

  Die Zahl $-2,5$ liegt zwischen der $-2$ und der $-3$.

  Die Zahl $5,5$ liegt zwischen der $5$ und der $6$.

  Lösung

  Negative Zahlen können an der Zahlengeraden veranschaulicht werden. Dazu wird zum Abschnitt der positiven Zahlen der Abschnitt der negativen Zahlen hinzugenommen.

  Wir unterscheiden in unserem Beispiel also zunächst einmal zwischen negativen Zahlen, welche links von $0$ liegen, und positiven Zahlen, welche rechts von $0$ liegen.

  Die Zahl $-4,5$ ist negativ und liegt in der Mitte zwischen der $-4$ und der $-5$. Die Zahl $-1,5$ liegt genau zwischen der $-1$ und der $-2$. Auch die Zahl $-3$ ist negativ und liegt links von $0$.

  Die Zahl $2,2$ ist eine positive Zahl. Sie liegt zwischen der $2$ und der $3$, nahe bei der $2$. Und die Zahl $3,9$ liegt zwischen der $3$ und der $4$, nahe der $4$.

• Ordne die Zahlen der Größe nach.

  Tipps

  Je weiter links eine Zahl auf der Zahlengeraden liegt, desto kleiner ist sie.

  Der Betrag einer Zahl ist ihr Abstand zur Null. Er ist immer positiv. Wir schreiben die Zahl dann in Betragstriche: $\vert-3,4\vert$.

  Die Gegenzahl einer Zahl ist die Zahl, welche das entgegengesetzte Vorzeichen hat.

  Lösung

  Um die Zahlen zu sortieren, können wir uns überlegen, an welcher Position der Zahlengeraden sie liegen. Denn es gilt: Je weiter rechts eine Zahl liegt, desto größer ist sie.

  Dazu betrachten wir zuerst den Betrag. Dabei gilt:

  $\vert3,1\vert = 3,1$

  Wir betrachten nun die Gegenzahlen. Dabei gilt:

  Gegenzahl von $21,3 = -21,3$
  Gegenzahl von $-4 = 4$

  Wir müssen also folgende Zahlen sortieren:

  • $4$
  • $-21,3$
  • $3,1$
  • $-20,3$
  • $-3,2$
  • $4,2$

  Die negativen Zahlen liegen generell weiter links als die positiven Zahlen. $-21,3$ ist die kleinste Zahl, da sie am weitesten links liegt. Außerdem ist $-20,3 \lt -3,2$. Bei den positiven Zahlen ist die Reihenfolge $3,1 \lt 4 \lt 4,2$. Insgesamt ergibt sich also:

  Gegenzahl von $21,3 \lt -20,3 \lt -3,2 \lt \vert3,1\vert \lt$ Gegenzahl von $-4 \lt 4,2$