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Was sind rationale Zahlen? 04:08 min

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Transkript Was sind rationale Zahlen?

Das ist Peter. Er liebt seinen Job als Paketbote, doch jeden Tag muss er andere Hindernisse überwinden. Wie das eine Mal als er im Aufzug stecken geblieben ist. Zwischen zwei Stockwerken. Also könnte man auch sagen, er ist im Stockwerk Vier Drei Viertel stecken geblieben. Aber was ist das denn überhaupt für eine Zahl? Das ist eine rationale Zahl und genau die schauen wir uns in diesem Video einmal genauer an. Du kennst bestimmt schon die natürlichen Zahlen, die sogenannten "Zählzahlen", wie zum Beispiel die 5, 89 oder auch 300. Fügen wir zu den natürlichen Zahlen noch die negativen ganzen Zahlen hinzu, so erhalten wir die Menge der ganzen Zahlen. Nehmen wir dazu dann noch alle negativen und positiven Zahlen, die man als Bruch schreiben kann, so erhalten wir die Menge der rationalen Zahlen. Wir bezeichnen sie mit einem großen Q. Aber welche Zahlen kann man denn als Bruch schreiben? Die ganzen Zahlen sind Teil der Menge der rationalen Zahlen, da man sie als Bruch schreiben kann. So kann man 5 als 5 Ganze schreiben und auch minus 4 als minus 4 Ganze schreiben. Auch endliche und periodische Dezimalbrüche können in einen Bruch umgewandelt werden. So sind minus 0,18 minus 18 Zehntel. 0, periode 3 sind 1 Drittel. Zu den rationalen Zahlen gehören also sowohl ganze Zahlen, als auch Dezimalbrüche und gemeine Brüche. Wir können rationale Zahlen auch auf einer Zahlengeraden darstellen. Es gibt die Null, die Zahlen größer als oder auch rechts von der null und die Zahlen kleiner als oder auch links von der Null. Die Zahlen größer null sind die positiven Zahlen. Die Zahlen kleiner null sind die negativen Zahlen. Die Zahlen werden von rechts nach links kleiner und von links nach rechts größer. Wir können zwischen den ganzen Zahlen dann Brüche und Dezimalbrüche eintragen zum Beispiel minus 3,5 minus 1,7 minus ein Drittel. Ein Drittel, 1,7 und 3,5. Ist dir bei diesen Zahlenpaaren etwas aufgefallen? Minus 3,5 und 3,5 Minus 1,7 und 1,7 und minus ein Drittel und ein Drittel haben alle jeweils paarweise den gleichen Abstand zur Null. Minus 3,5 und 3,5 sind also gleich weit von der Null entfernt. Und dieser Abstand zur 0 wird als Betrag bezeichnet. Man schreibt dies so. Der Betrag von 3,5 ist also gleich dem Betrag von minus 3,5 und das ist 3,5. Der Betrag einer Zahl ungleich 0 ist also immer positiv. Ist der Betrag positiver und negativer Zahlen gleich, so sind diese Zahlen Gegenzahlen zueinander. 3,5 ist also die Gegenzahl von minus 3,5 und umgekehrt. Man findet die Gegenzahl einer Zahl auf einer Zahlengerade, indem man die Zahl an der Null spiegelt. Bevor wir schauen, ob Peter mittlerweile aus dem Aufzug entkommen ist, fassen wir zusammen. Rationale Zahlen sind positive und negative Zahlen, die sich als Bruch darstellen lassen. Auch die ganzen Zahlen sind in der Menge der rationalen Zahlen enthalten. Der Betrag einer Zahl ist der Abstand dieser Zahl zur 0. Eine positive Zahl und ihre negative Gegenzahl haben immer den gleichen Betrag. Steckt Peter denn immer noch im Aufzug fest? Oh! Da wartet ja doch jemand auf sein Paket. Da hat Peter wohl doch die richtige Adresse gefunden.

6 Kommentare
  1. geiles video sehr gut erklärt hat sofoert klick gemacht

    Von Angelika Grosse, vor etwa einem Monat
  2. Hallo Claudia Raedel, bitte beschreibe genauer, was du nicht verstanden hast. Gib beispielsweise die konkrete Stelle im Video mit Minuten und Sekunden an. Gerne kannst du dich auch an den Fach-Chat wenden, der von Montag bis Freitag zwischen 17-19 Uhr für dich da ist.
    Ich hoffe, dass wir dir weiterhelfen können.

    Von Albrecht Kröner, vor 8 Monaten
  3. ich fand die Erklärung könnte etwas besser sein :)

    Von Claudia Raedel, vor 8 Monaten
  4. Cool👍...aber könnte es noch mehr Aufgaben geben?

    Von A Volberg, vor 8 Monaten
  5. cool

    Von Barth Man, vor 8 Monaten
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Was sind rationale Zahlen? Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Was sind rationale Zahlen? kannst du es wiederholen und üben.

  • Beschreibe, was rationale Zahlen sind.

    Tipps

    Natürliche Zahlen sind die Zahlen, mit denen du zählst.

    $\mathbb N$ ist das Symbol für die Menge der natürlichen Zahlen.

    $0,75=\frac{3}{4}$ ist keine ganze Zahl und $-2$ ist keine natürliche Zahl.

    Lösung

    Rationale Zahlen sind eine Erweiterung der natürlichen Zahlen, mit denen zu zählst und Anzahlen bestimmst. Die Menge aller natürlichen Zahlen wird mit dem Symbol $\mathbb N$ bezeichnet. Die natürlichen Zahlen bilden zusammen mit den negativen ganzen Zahlen und der $0$ die Menge der ganzen Zahlen. Für diese Menge verwendet man das Symbol $\mathbb Z$.

    Jede Zahl, die man als Bruch schreiben kann, heißt rationale Zahl. Zähler und Nenner dieses Bruches sind ganze Zahlen.

    Die Menge der rationalen Zahlen wird mit $\mathbb Q$ bezeichnet. Die Menge $\mathbb N$ der natürlichen Zahlen ist eine Teilmenge der Menge $\mathbb Z$ der ganzen Zahlen. Diese wiederum ist eine Teilmenge der Menge $\mathbb Q$ der rationalen Zahlen.

    Brüche, die durch Kürzen oder Erweitern auseinander hervorgehen, bestimmen dieselbe rationale Zahl. Dadurch ist jede ganze Zahl $z \in \mathbb Z$ auch eine rationale Zahl, denn man kann sie wie folgt als Bruch $z=\frac{z}{1}$ mit dem Nenner $1$ schreiben:

    $5 = \frac{5}{1}$ und $-4 =\frac{-4}{1} = -\frac{4}{1}$

    Auch jeden endlichen Dezimalbruch kann man als Bruch schreiben, nämlich als Bruch mit einer Zehnerpotenz im Nenner. Der Zähler dieses Bruches ergibt sich aus den Ziffern des Dezimalbruchs. Man geht also wie folgt vor:

    $-0,18 =-\frac{18}{100}$

  • Vervollständige die Sätze.

    Tipps

    Der Abstand einer Zahl zu Null ist dasselbe wie der Betrag der Zahl.

    Jede rationale Zahl lässt sich als endlicher oder periodischer Dezimalbruch darstellen.

    Die Gegenzahl von $-2$ ist $-(-2) = 2$, der Betrag von $-2$ ist $|-2|=2$.

    Lösung

    Negative Zahlen liegen auf der Zahlengeraden links von Null, positive rechts von Null. Der Abstand einer Zahl zu Null ist ihr Betrag, er ist nicht negativ. Ist die Zahl von Null verschieden, so ist der Betrag sogar positiv. Eine Zahl und ihre Gegenzahl gehen durch Multiplikation mit $-1$ auseinander hervor. Sie haben jeweils den gleichen Abstand zu Null, also den gleichen Betrag. Jeder periodische Dezimalbruch ist eine rationale Zahl.

    Du erhältst daher folgende korrekten Sätze:

    • Jede Zahl $< 0$ ... heißt negative Zahl.
    • Jeder negative periodische Dezimalbruch ... ist eine negative rationale Zahl.
    • Eine rationale Zahl $>0$, die keine ganze Zahl ist, ... liegt auf dem Zahlenstrahl zwischen zwei natürlichen Zahlen.
    • Eine Zahl und ihre Gegenzahl ... haben denselben Abstand zu $0$.
    • Der Betrag einer negativen Zahl ... ist dasselbe wie ihre Gegenzahl.
  • Bestimme die Gegenzahl.

    Tipps

    Eine Zahl und ihre Gegenzahl unterscheiden sich nur durch das Vorzeichen.

    $3,4$ ist die Gegenzahl von $-3,4$.

    $\frac{3}{5}$ ist nicht die Gegenzahl von $\frac{5}{3}$.

    Lösung

    Eine Zahl und ihre Gegenzahl haben genau denselben Abstand zu $0$, also denselben Betrag. Sie unterscheiden sich nur durch das Vorzeichen. Gegenzahlen rationaler Zahlen sind nicht zu verwechseln mit den Kehrwerten: Die Gegenzahl von $\frac{3}{5}$ ist $-\frac{3}{5}$. Die Zahl $\frac{5}{3}$ ist nicht die Gegenzahl, sondern der Kehrwert von $\frac{3}{5}$.

    Du erhältst folgende Zuordnungen:

    • Die Gegenzahl von $3,5$ ist die Zahl $-3,5$.
    • Zu $2,1$ findest du die Gegenzahl $-2,1$.
    • $-1,2$ hat die Gegenzahl $1,2$.
    • $\frac{4}{3}$ hat die Gegenzahl $-\frac{4}{3}$.
    • Zu der Zahl $\frac{3}{4}$ dagegen gehört die Gegenzahl $-\frac{3}{4}$.
  • Zeige die rationalen Zahlen auf der Zahlengeraden.

    Tipps

    Ein echter Bruch mit dem Nenner $4$ entspricht zum Beispiel der rationalen Zahl $0,25$ oder $0,5$ oder $0,75$.

    Ein Bruch mit dem Nenner $1$ entspricht einer ganzen Zahl.

    Lösung

    Du kannst die Markierungen auf dem Zahlenstrahl eintragen, indem du die rationalen Sprungstellen der Flöhe identifizierst:

    • Rationale Zahlen mit dem Nenner $1$ sind genau die ganzen Zahlen. Auf dem Zahlenstrahl sind hier die Zahlen $-1$ und $1$ gelb zu markieren, weil die $0$ ausgeschlossen wurde.
    • Zahlen mit dem Betrag $0,3$ sind $0,3$ und $-0,3$, Zahlen mit dem Betrag $0,7$ sind $0,7$ und $-0,7$. Diese Zahlen markierst du blau.
    • Brüche mit dem Nenner $2$, die keine ganzen Zahlen beschreiben, entsprechen Kommazahlen mit der Nachkommastelle $5$, denn $\frac{1}{2} = 0,5$. Hier sind daher die Zahlen $-1,5$ und $-0,5$ und $0,5$ und $1,5$ violett zu markieren.
    • Brüche mit dem Nenner $5$, die keine ganzen Zahlen beschreiben, entsprechen Bruchzahlen mit geraden Nachkommastellen $\neq 0$, denn $\frac{1}{5} = 0,2$. Hier sind nur die negativen solcher Zahlen grün zu markieren, also $-1,4$ und $-1,2$ und $-0,8$ und $-0,6$ und $-0,4$ und $-0,2$.
  • Bestimme die Positionen auf der Zahlengeraden.

    Tipps

    Unterscheiden sich zwei Zahlen nur durch das Vorzeichen, so liegen sie auf der Zahlengeraden gleich weit von $0$ entfernt.

    Je größer der Zahlenwert hinter dem negativen Vorzeichen ist, desto weiter links auf dem Zahlenstrahl liegt eine Zahl.

    Im Bild liegt die Zahl $-3,5$ ganz links, die Zahl $3,5$ ganz rechts.

    Lösung

    Auf der Zahlengeraden kannst du zuerst die ganzen Zahlen abtragen. Der Abstand zweier benachbarter ganzer Zahlen ist stets der gleiche.

    Jede rationale Zahl, die keine ganze Zahl ist, z. B. eine Kommazahl oder ein echter Bruch, liegt auf dem Zahlenstrahl zwischen zwei benachbarten ganzen Zahlen.

    Der Abstand einer Zahl zu $0$ heißt der Betrag dieser Zahl. Eine Zahl und ihre Gegenzahl haben denselben Abstand zu $0$.

    Ein echter Bruch liegt auf dem Zahlenstrahl stets zwischen $0$ und $1$, seine Gegenzahl zwischen $-1$ und $0$. Jede positive Kommazahl liegt zwischen der ganzen Vorkommazahl und ihrem Nachfolger. Eine negative Kommazahl liegt zwischen der ganzen Vorkommazahl und ihrem Vorgänger.

    Die Zahlen $-13$, $-5$, $5,3$ und $7,1$ liegen auf dem Zahlenstrahl jenseits des hier dargestellten Bereiches. Die Zahl $\frac{1}{3} = 0,\overline{3}$ liegt zwischen $0$ und $1$, ihre Gegenzahl $-\frac{1}{3}$ zwischen $-1$ und $0$. Die Zahl $-1,7$ liegt zwischen ihrer Vorkommazahl $-1$ und dem Vorgänger $-2$. Die Gegenzahl $1,7$ liegt daher zwischen $1$ und $2$. Die Zahl $3,5$ schließlich liegt zwischen ihrer Vorkommazahl $3$ und deren Nachfolger $4$. Die zugehörige Gegenzahl $-3,5$ liegt daher zwischen $-4$ und $-3$.

  • Analysiere die rationalen Zahlen.

    Tipps

    Je größer der Betrag einer negativen Zahl ist, desto kleiner ist die Zahl.

    Wandle die Brüche in gemischte Brüche oder Dezimalbrüche um.

    Lösung

    Je größer der Betrag einer positiven Zahl ist, desto größer ist die Zahl. Bei negativen Zahlen gilt das Umgekehrte: je größer ihr Betrag ist, desto kleiner ist die Zahl. Positive Zahlen sind größer als negative Zahlen.

    Um die Größe eines unechten Bruches mit der eines Dezimalbruches zu vergleichen, hilft es, den unechten Bruch in einen gemischten Bruch zu verwandeln. Die ganze Zahl eines positiven gemischten Bruches ist dann genau die nächstkleinere ganze Zahl, die ganze Zahl eines negativen gemischten Bruches ist die nächstgrößere ganze Zahl: So ist z. B. $-2\frac{4}{5} = -2,8$, die ganze Zahl $-2$ ist die nächstgrößere ganze Zahl zu $-2,8$.

    Du erhältst daher folgende Sortierung (beginnend mit der kleinsten Zahl):

    $-5,2 < -\frac{23}{6} = -3,8\overline{3} < -\frac{23}{8} =-2,875 < -2,5 < -\frac{11}{10} =-1,1 < \frac{4}{3} = 1,\overline{3} < \frac{7}{4} = 1,75 < 2,3$