Was sind rationale Zahlen?

Was sind rationale Zahlen? Übung

• Beschreibe, was rationale Zahlen sind.

  Tipps

  Natürliche Zahlen sind die Zahlen, mit denen du zählst.

  $\mathbb N$ ist das Symbol für die Menge der natürlichen Zahlen.

  $0,75=\frac{3}{4}$ ist keine ganze Zahl und $-2$ ist keine natürliche Zahl.

  Lösung

  Rationale Zahlen sind eine Erweiterung der natürlichen Zahlen, mit denen zu zählst und Anzahlen bestimmst. Die Menge aller natürlichen Zahlen wird mit dem Symbol $\mathbb N$ bezeichnet. Die natürlichen Zahlen bilden zusammen mit den negativen ganzen Zahlen und der $0$ die Menge der ganzen Zahlen. Für diese Menge verwendet man das Symbol $\mathbb Z$.

  Jede Zahl, die als Bruch geschrieben werden kann, heißt rationale Zahl. Zähler und Nenner dieses Bruches sind ganze Zahlen.

  Die Menge der rationalen Zahlen wird mit $\mathbb Q$ bezeichnet. Die Menge $\mathbb N$ der natürlichen Zahlen ist eine Teilmenge der Menge $\mathbb Z$ der ganzen Zahlen. Diese wiederum ist eine Teilmenge der Menge $\mathbb Q$ der rationalen Zahlen.

  Brüche, die durch Kürzen oder Erweitern auseinander hervorgehen, bestimmen dieselbe rationale Zahl. Dadurch ist jede ganze Zahl $z \in \mathbb Z$ auch eine rationale Zahl, denn man kann sie wie folgt als Bruch $z=\frac{z}{1}$ mit dem Nenner $1$ schreiben:

  $5 = \frac{5}{1}$ und $-4 =\frac{-4}{1} = -\frac{4}{1}$

  Jeden endlichen Dezimalbruch kann man ebenfalls als Bruch schreiben, nämlich als Bruch mit einer Zehnerpotenz im Nenner. Der Zähler dieses Bruches ergibt sich aus den Ziffern des Dezimalbruchs. Man geht also wie folgt vor:

  $-0,18 =-\frac{18}{100}$

• Vervollständige die Sätze.

  Tipps

  Der Abstand einer Zahl zu $0$ ist dasselbe wie der Betrag der Zahl.

  Jede rationale Zahl lässt sich als endlicher oder periodischer Dezimalbruch darstellen.

  Die Gegenzahl von $-2$ ist $-(-2) = 2$, der Betrag von $-2$ ist $|-2|=2$.

  Lösung

  Negative Zahlen liegen auf der Zahlengeraden links von $0$, positive rechts von $0$. Der Abstand einer Zahl zu $0$ ist ihr Betrag, er ist nicht negativ. Ist die Zahl von $0$ verschieden, so ist der Betrag sogar positiv. Eine Zahl und ihre Gegenzahl gehen durch Multiplikation mit $-1$ auseinander hervor. Sie haben jeweils den gleichen Abstand zu $0$, also den gleichen Betrag. Jeder periodische Dezimalbruch ist eine rationale Zahl.

  Du erhältst daher folgende korrekten Sätze:

  • Jede Zahl $< 0$ heißt negative Zahl.

  • Jeder negative periodische Dezimalbruch ist eine negative rationale Zahl.

  • Eine rationale Zahl $>0$, die keine ganze Zahl ist, liegt auf dem Zahlenstrahl zwischen zwei natürlichen Zahlen.

  • Eine Zahl und ihre Gegenzahl haben denselben Abstand zu $0$.

  • Der Betrag einer negativen Zahl ist dasselbe wie ihre Gegenzahl.

• Bestimme die Gegenzahl.

  Tipps

  Eine Zahl und ihre Gegenzahl unterscheiden sich nur durch das Vorzeichen.

  $3,4$ ist die Gegenzahl von $-3,4$.

  $\frac{3}{5}$ ist nicht die Gegenzahl von $\frac{5}{3}$.

  Lösung

  Eine Zahl und ihre Gegenzahl haben genau denselben Abstand zu $0$, also denselben Betrag. Sie unterscheiden sich nur durch das Vorzeichen.

  Gegenzahlen rationaler Zahlen sind nicht zu verwechseln mit den Kehrwerten: Die Gegenzahl von $\frac{3}{5}$ ist $-\frac{3}{5}$. Die Zahl $\frac{5}{3}$ ist nicht die Gegenzahl, sondern der Kehrwert von $\frac{3}{5}$.

  So erhältst du folgende Zuordnungen:

  • Die Gegenzahl von $3,5$ ist die Zahl $-3,5$.

  • Zu $2,1$ findest du die Gegenzahl $-2,1$.

  • $-1,2$ hat die Gegenzahl $1,2$.

  • $\frac{4}{3}$ hat die Gegenzahl $-\frac{4}{3}$.

  • Zu der Zahl $\frac{3}{4}$ dagegen gehört die Gegenzahl $-\frac{3}{4}$.

• Analysiere die rationalen Zahlen.

  Tipps

  Je größer der Betrag einer negativen Zahl ist, desto kleiner ist die Zahl.

  Wandle die Brüche in gemischte Brüche oder Dezimalbrüche um.

  Lösung

  Je größer der Betrag einer positiven Zahl ist, desto größer ist die Zahl. Bei negativen Zahlen gilt das Umgekehrte: Je größer ihr Betrag ist, desto kleiner ist die Zahl. Positive Zahlen sind größer als negative Zahlen.

  Um die Größe eines unechten Bruches mit der eines Dezimalbruches zu vergleichen, hilft es, den unechten Bruch in einen gemischten Bruch umzuwandeln. Die ganze Zahl eines positiven gemischten Bruches ist dann genau die nächstkleinere ganze Zahl, die ganze Zahl eines negativen gemischten Bruches ist die nächstgrößere ganze Zahl.

  Beispiel:

  $-2\frac{4}{5} = -2,8$

  Die ganze Zahl $-2$ ist die nächstgrößere ganze Zahl zu $-2,8$.

  Daher ist die folgende Sortierung korrekt (beginnend mit der kleinsten Zahl):

  $-5,2 < -\frac{23}{6} = -3,8\overline{3} < -\frac{23}{8} =-2,875 < -2,5 < -\frac{11}{10} =-1,1 < \frac{4}{3} = 1,\overline{3} < \frac{7}{4} = 1,75 < 2,3$

• Bestimme die Positionen auf der Zahlengeraden.

  Tipps

  Unterscheiden sich zwei Zahlen nur durch das Vorzeichen, so liegen sie auf der Zahlengeraden gleich weit von $0$ entfernt.

  Je größer der Zahlenwert hinter dem negativen Vorzeichen ist, desto weiter links auf dem Zahlenstrahl liegt eine Zahl.

  Im Bild liegt die Zahl $-3,5$ ganz links, die Zahl $3,5$ ganz rechts.

  Lösung

  Auf der Zahlengeraden kannst du zuerst die ganzen Zahlen abtragen. Der Abstand zweier benachbarter ganzer Zahlen ist stets der gleiche.

  Jede rationale Zahl, die keine ganze Zahl ist, z. B. eine Kommazahl oder ein echter Bruch, liegt auf dem Zahlenstrahl zwischen zwei benachbarten ganzen Zahlen.

  Der Abstand einer Zahl zu $0$ heißt der Betrag dieser Zahl. Eine Zahl und ihre Gegenzahl haben denselben Abstand zu $0$.

  Ein echter Bruch liegt auf dem Zahlenstrahl stets zwischen $0$ und $1$, seine Gegenzahl zwischen $-1$ und $0$. Jede positive Kommazahl liegt zwischen der ganzen Vorkommazahl und ihrem Nachfolger. Eine negative Kommazahl liegt zwischen der ganzen Vorkommazahl und ihrem Vorgänger.

  Die Zahlen $-13$, $-5$, $5,3$ und $7,1$ liegen auf dem Zahlenstrahl jenseits des hier dargestellten Bereiches. Die Zahl $\frac{1}{3} = 0,\overline{3}$ liegt zwischen $0$ und $1$, ihre Gegenzahl $-\frac{1}{3}$ zwischen $-1$ und $0$. Die Zahl $-1,7$ liegt zwischen ihrer Vorkommazahl $-1$ und dem Vorgänger $-2$. Die Gegenzahl $1,7$ liegt deshalb zwischen $1$ und $2$. Die Zahl $3,5$ schließlich liegt zwischen ihrer Vorkommazahl $3$ und deren Nachfolger $4$. Die zugehörige Gegenzahl $-3,5$ liegt daher zwischen $-4$ und $-3$.

• Zeige die rationalen Zahlen auf der Zahlengeraden.

  Tipps

  Ein echter Bruch mit dem Nenner $4$ entspricht zum Beispiel der rationalen Zahl $0,25$ oder $0,5$ oder $0,75$.

  Lösung

  Du kannst die Markierungen auf dem Zahlenstrahl eintragen, indem du die rationalen Sprungstellen der Flöhe identifizierst:

  • Ganze Zahlen außer die $0$ auf dem Zahlenstrahl sind hier die Zahlen $\text{{\color{yellow}-1}}$ und $\text{{\color{yellow}1}}$. Diese Zahlen markierst du gelb.

  • Zahlen mit dem Betrag $0,3$ sind $\text{{\color{blue}0,3}}$ und $\text{{\color{blue}-0,3}}$, Zahlen mit dem Betrag $0,7$ sind $\text{{\color{blue}0,7}}$ und $\text{{\color{blue}-0,7}}$. Diese Zahlen markierst du blau.

  • Brüche mit dem Nenner $2$, die keine ganzen Zahlen beschreiben, entsprechen Kommazahlen mit der Nachkommastelle $5$, denn $\frac{1}{2} = 0,5$. Hier sind daher die Zahlen $\text{{\color{purple}-1,5}}$ und $\text{{\color{purple}-0,5}}$ und $\text{{\color{purple}0,5}}$ und $\text{{\color{purple}1,5}}$ violett zu markieren.

  • Brüche mit dem Nenner $5$ zwischen $-1$ und $0$ entsprechen Bruchzahlen mit geraden Nachkommastellen $\neq 0$, denn $\frac{1}{5} = 0,2$. Hier sind nur die negativen solcher Zahlen grün zu markieren, also $\text{{\color{green}-0,8}}$ und $\text{{\color{green}-0,6}}$ und $\text{{\color{green}-0,4}}$ und $\text{{\color{green}-0,2}}$.