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Rationale Zahlen – Addition und Subtraktion 06:13 min

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Transkript Rationale Zahlen – Addition und Subtraktion

Das ist Peter Paket. Er ist Paketbote und wird jeden Tag vor eine neue Herausforderung gestellt. Wie das eine Mal als er bis in den elften Stock gelaufen ist und dann hing ein Schild an der Tür, dass er das Paket 16 Halbe Stockwerke weiter unten abgeben soll. Hier wohnt eindeutig ein Scherzkeks. Um herauszufinden, wo er wirklich hinmuss, muss er Rationale Zahlen addieren und subtrahieren. Wiederholen wir dazu zunächst einmal, was rationale Zahlen überhaupt sind. Rationale Zahlen sind positive und negative Zahlen, die sich als Bruch darstellen lassen. Auch die ganzen Zahlen sind in der Menge der rationalen Zahlen enthalten. An der Zahlengeraden haben wir also den negativen Bereich, die Null und den positiven Bereich. Wir können Brüche und Dezimalbrüche zwischen den ganzen Zahlen eintragen. Der Betrag einer Zahl ist der Abstand dieser Zahl zur 0. So ist der Betrag von Minus 3,5 gleich dem Betrag von 3,5 und das ist gleich 3,5. Beginnen wir mit der Addition und schauen uns dazu dieses Beispiel an: 1,5 + 2,5. 1,5 liegt auf dem Zahlenstrahl hier. Nun wollen wir 2,5 dazu addieren. Wir gehen also 2,5 Schritte in die positive Richtung und erhalten 4. Beim Addieren einer positiven Zahl geht man auf der Zahlengerade also um ihren Wert nach rechts. Aber wie sieht es denn aus, wenn wir eine negative Zahl addieren? Schauen wir uns dazu dieses Beispiel an: minus 2,5 + minus 2,5. Da wir eine negative Zahl addieren, gehen wir dieses mal 2,5 Schritte nach links und erhalten minus 5. Beim Addieren einer negativen Zahl geht man um deren Betrag nach links. Wie sieht es denn bei dieser Aufgabe aus? Minus ein Halb ist das gleiche wie minus 0,5. Wir addieren dann eine positive Zahl, gehen also um ihren Wert nach rechts. Bis zur 0 sind es 0,5 Schritte, bleibt also noch ein Schritt übrig. Wir erhalten 1. Und was ist Minus 5 plus 3,5? Minus 5 liegt hier. Da wir eine positive Zahl addieren, gehen wir 3,5 Schritte nach rechts und erhalten Minus 1,5. Wir müssen uns aber nicht immer einen Zahlenstrahl zur Hilfe nehmen, um rationale Zahlen zu addieren. Schauen wir uns die Rechnungen dazu doch noch einmal genau an, um einige Regeln zu finden. Bei dieser Rechnung haben wir zwei positive Zahlen addiert und ein positives Ergebnis erhalten und hier haben wir zwei negative Zahlen addiert und ein negatives Ergebnis erhalten. Haben die Summanden also das gleiche Vorzeichen, so hat auch das Ergebnis das gemeinsame Vorzeichen. Wir addieren die Beträge und müssen dann nur noch darauf achten, welches Vorzeichen wir vor das Ergebnis setzen. Bei diesen beiden Rechnungen hatten wir jeweils unterschiedliche Vorzeichen, haben aber einmal ein positives Ergebnis und einmal ein negatives Ergebnis. Um herauszufinden, welches Vorzeichen das Ergebnis erhält, müssen wir die Beträge der Summanden miteinander vergleichen. Da 1,5 größer als ein halb ist, haben wir hier ein positives Vorzeichen. Du kannst dir dabei vorstellen, dass du 1,5 minus ein halb gerechnet hast. Weil 5 größer als 3,5 ist, haben wir hier ein negatives Vorzeichen. Das Ergebnis hat nämlich immer das Vorzeichen der Zahl mit dem größeren Betrag. Wie funktioniert denn die Subtraktion bei rationalen Zahlen? Schauen wir uns das zunächst wieder am Zahlenstrahl an. Subtrahieren wir eine positive Zahl, so gehen wir den Betrag dieser Zahl nach links. 3,5 minus 2,5 ist also 1. Subtrahieren wir eine negative Zahl, so machen wir genau das Gegenteil: wir gehen den Betrag der Zahl nach rechts. Minus 3,5 - Minus 2,5 ist also gleich Minus 1. Aber haben wir dann nicht eigentlich addiert? Das Ergebnis ist ja größer als der Minuend. Genau! Du kannst nämlich jede Subtraktion als Addition darstellen, indem du ihre Gegenzahl verwendest. So ist minus 3,5 - minus 2,5 das gleiche wie minus 3,5 plus 2,5. Und Minus 3,5 - 2,5 ist das gleiche wie Minus 3,5 + Minus 2,5. Man kann also eine rationale Zahl subtrahieren, indem man ihre Gegenzahl addiert. Bevor wir sehen, ob Peter es die ganzen Treppenstufen hinunter geschafft hat, um das Paket zuzustellen, fassen wir zusammen. Du kannst dir folgende Regeln merken: Haben die Summanden das gleiche Vorzeichen, so hat auch das Ergebnis das gemeinsame Vorzeichen. Haben die Summanden verschiedene Vorzeichen, dann subtrahiert man den kleineren Betrag vom größeren Betrag. Das Ergebnis erhält das Vorzeichen des Summanden mit dem größeren Betrag. Man subtrahiert eine rationale Zahl, indem man ihre Gegenzahl addiert. Es hilft also die Differenz in eine Summe umzuschreiben. Und Peter hat es geschafft! Da hat er aber nochmal Glück gehabt.

6 Kommentare
  1. Hallo Nadia H.,
    was hast du denn für eine Frage? Wenn du Probleme beim Lösen der Übungsaufgaben hast, kannst Du Dich an den Fach-Chat wenden, der von Montag bis Freitag zwischen 17-19 Uhr für dich da ist.
    Ich hoffe, dass wir dir weiterhelfen können.

    Liebe Grüße aus der Redaktion

    Von Cansu Ayguezel, vor 4 Monaten
  2. Tolles Video aber ich habe eine frage

    Von Nadia H., vor 4 Monaten
  3. Hallo Anne Beutler,

    meinst du die Stelle 5:33 im Video? Wenn nicht, wäre es toll, wenn du die konkrete Stelle im Video mit Minuten und Sekunden angeben würdest.

    Liebe Grüße aus der Redaktion

    Von Cansu Ayguezel, vor 4 Monaten
  4. Hallo, habe mal eine Frage zur Videozusammenstellung in der Tabelle am Schluss:
    1,5 +0, 5 sind doch 2 und nicht 4, oder?
    Gruß
    Julian

    Von Anne Beutler, vor 4 Monaten
  5. Hallo Tobias, vielen Dank für dein positives Feedback, das freut uns sehr! Liebe Grüße aus der Redaktion!

    Von Albrecht Kröner, vor 6 Monaten
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Rationale Zahlen – Addition und Subtraktion Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Rationale Zahlen – Addition und Subtraktion kannst du es wiederholen und üben.

  • Bestimme das Ergebnis.

    Tipps

    Die Subtraktion einer Zahl ist dasselbe wie eine Addition mit der Gegenzahl.

    Beachte, dass gilt:

    $-(-3)=+3$

    Hier ist eine Beispielrechnung:

    $2,3-(-1,1) = 2,3+1,1=3,4$

    Lösung

    Bei der Addition positiver Zahlen gehst du auf dem Zahlenstrahl um die entsprechenden Schritte nach rechts, bei der Addition negativer Zahlen nach links: Bei der Addition von $2,5$ gehst du also um $2,5$ Schritte nach rechts:

    $1,5 + 2,5 = 4$

    Das Ergebnis einer Addition mit $-2,5$ liegt um $2,5$ Schritte weiter links als die Zahl, zu der du $-2,5$ addierst:

    $(-2,5)+(-2,5) = -5$

    Bei der Subtraktion ist es genau umgekehrt: Die Subtraktion einer positiven Zahl führt dich um die entsprechenden Schritte nach links, die Subtraktion einer negativen Zahl nach rechts. Insbesondere ist die Subtraktion einer negativen Zahl dasselbe wie die Addition der positiven Gegenzahl:

    $3,5 -(-2,5) = 3,5 + 2,5 = 6$

    Ganz analog ist auch die Addition einer negativen Zahl dasselbe wie die Subtraktion der positiven Gegenzahl.

    Einen Bruch kannst du in einen Dezimalbruch umwandeln, um die Rechnung auszuführen:

    $-\dfrac{1}{2} + 1,5 = -0,5+1,5=1$

    So erhältst du folgende Zuordnung:

    • $1,5+2,5=4$
    • $- \dfrac{1}{2} + 1,5 = 1$
    • $(-2,5)+(-2,5) = -5$
    • $-5+2,5 = -1,5$
    • $3,5-(-2,5) = 6$
  • Vervollständige die Sätze.

    Tipps

    Die Subtraktion von $-1$ liefert dasselbe Ergebnis wie die Addition von $1$.

    Der Betrag einer negativen Zahl ist das Negative dieser Zahl.

    Hier ist eine Beispielrechnung:

    $-3,8-(-4,5) = 0,7$

    Lösung

    Beim Addieren einer positiven Zahl gehst du auf dem Zahlenstrahl nach rechts, beim Subtrahieren nach links. Für negative Zahlen ist es genau umgekehrt: Die Addition einer negativen Zahl führt auf dem Zahlenstrahl nach links, die Subtraktion nach rechts. Die Gegenzahl eine Zahl ist die betragsgleiche Zahl mit dem umgekehrten Vorzeichen. Der Betrag jeder Zahl außer $0$ ist positiv, denn der Betrag ist genau der Abstand der Zahl zu $0$. Daher haben eine Zahl und ihre Gegenzahl denselben Abstand zu $0$.

    So findest du folgende korrekten Sätze:

    • „Die Addition einer Zahl ... ergibt dasselbe wie die Subtraktion der Gegenzahl.“ Z.B. ist $4,3+(-1,1) = 4,3 - 1,1 = 3,2$.
    • „Die Subtraktion einer negativen Zahl ... ist dasselbe wie die Addition der positiven Gegenzahl.“ Hier ist z.B. $-1,5 -(-2,3) = -1,5 + 2,3 = 0,8$.
    • „Die Summe zweier positiver Zahlen ... ist eine positive Zahl.“ Denn die Addition einer positiven Zahl führt auf dem Zahlenstrahl nach rechts.
    • „Die Differenz zweier negativer Zahlen ... ist nicht notwendigerweise eine negative Zahl.“ Denn die Subtraktion einer negativen Zahl führt auf dem Zahlenstrahl nach rechts und evtl. über die Null hinaus. Für die Differenz der negativen Zahlen $-2,3$ und $-3,2$ ergibt sich z. B. $-2,3-(-3,2) = -2,3+3,2 = 0,9$.
    • „Keine rationale Zahl ... hat einen negativen Betrag.“ Denn der Betrag ist der Abstand zu $0$ und niemals negativ.
  • Erschließe die Rechnungen.

    Tipps

    Du kannst die Differenz $1,4-5,7$ auch als Summe $1,4+(-5,7)$ schreiben.

    Das Ergebnis der Subtrktion $1,4-5,7$ hat ein negatives Vorzeichen, da $|1,4|<|5,7|$.

    Lösung

    Die Summe positiver Zahlen ist positiv, die Summe negativer Zahlen ist negativ. Bei der Addition von Zahlen mit verschiedenem Vorzeichen hat die Summe dasselbe Vorzeichen wie der betragsgrößte Summand. Um das Vorzeichen einer Differenz zu bestimmen, kannst du die Differenz als Summe schreiben. Dazu musst du nur den Subtrahenden durch seine Gegenzahl ersetzen.

    So erhältst du folgende Zuordnungen:

    $2,8$:

    • $1,3-(-1,5) = 1,3+1,5=2,8$
    • $4,1-1,3 = 2,8$
    • $(-2,8)-(-5,6) = -2,8-5,6=2,8$
    $-1,6$:
    • $3-4,6 =3+(-4,6)=-1,6$
    • $-2,8+1,2=-1,6$
    • $(-1,8)-(-0,2)=-1,8+0,2=-1,6$
    $4,7$:
    • $2,3+2,4=4,7$
    • $5,3-0,6=4,7$
    • $(-0,8)-(-5,5)=-0,8+5,5=4,7$
    $-0,3$:
    • $3,8-4,1=3,8+(-4,1)=-0,3$
    • $(-1,2)+0,9=-0,3$
    • $0,3-0,6=0,3+(-0,6)=-0,3$

  • Bestimme die Lösungen.

    Tipps

    Du kannst jede Differenz als Summe schreiben, indem du den Subtrahenden durch seine Gegenzahl ersetzt.

    Die Gegenzahl von $-1,7$ ist $1,7$.

    Hier ist eine Beispielrechnung:

    $3,2-(-3,3) = - 3,2+3,3=0,1$

    Lösung

    Bei der Addition einer positiven Zahl gehst du auf dem Zahlenstrahl nach rechts, bei der Addition einer negativen Zahl nach links. Bei der Addition und Subtraktion von Kommazahlen musst du immer den Übertrag zwischen den Kommastellen beachten. So ist z. B. $0,6 + 0,5 = 1,1$.

    Die Addition einer negativen Zahl führt dich auf dem Zahlenstrahl nach links, die Subtraktion nach rechts. Außerdem ist immer die Addition einer Zahl dasselbe wie wie Subtraktion der Gegenzahl.

    Die Summe zweier positiver Zahlen ist positiv, die Summe zweier negativer Zahlen ist negativ. Die Summe einer positiven und einer negativen Zahl hat das Vorzeichen der Zahl, deren Betrag größer ist. Um das Vorzeichen einer Differenz zu bestimmen, kannst du die Differenz als Summe schreiben, indem du den Subtrahenden durch seine Gegenzahl ersetzt.

    So erhältst du folgende Rechnungen:

    • $1,3 +3,8 =5,1$. Das Ergebnis ist die Summe positiver Zahlen und daher positiv.
    • $(-1,1) +(-3,4) =-4,5$. Hier ist das Ergebnis die Summe negativer Zahlen und daher negativ. Du kannst die Beträge der Zahlen addieren und dann diese Summe mit einem negativen Vorzeichen versehen.
    • $1,2-(-2,1) =3,3$. Die Subtraktion einer negativen Zahl ergibt dasselbe wie die Addition der positiven Gegenzahl: $1,2-(-2,1) = 1,2+2,1 = 3,3$.
    • $1,2-2,1=-0,9$. Bei dieser Rechnung ist $\vert {-2,1}\vert \gt \vert 1,2\vert$, daher ist das Ergebnis negativ.
    • $-2,3-(-2,3)=0$. Hier kannst du wieder die Subtraktion der negativen Zahl $-2,3$ durch die Addition der positiven Gegenzahl $2,3$ ersetzen: $-2,3-(-2,3) = -2,3+2,3$. Hier steht nun die Summe einer Zahl und ihrer Gegenzahl. Das Ergebnis ist also $0$.
    • $3,4-\frac{3}{2} =1,9$. Um die Subtraktion durchzuführen, kannst du zuerst den Bruch in einen Dezimalbruch umwandeln: $3,4-\frac{3}{2} = 3,4-1,5$. Dann kannst du die Subtraktion ausführen: $3,4-1,5=1,9$.
  • Benenne die Eigenschaften rationaler Zahlen.

    Tipps

    Jede natürliche Zahl ist eine rationale Zahl.

    Haben zwei Zahlen denselben Betrag, so sind sie gleich oder Gegenzahlen voneinander.

    Je weiter eine negative Zahl von $0$ entfernt ist, desto größer ist ihr Betrag.

    Lösung

    Folgende Aussagen sind richtig:

    • „Eine Zahl und ihre Gegenzahl haben denselben Betrag.“ Denn der Betrag ist der Abstand zu $0$. Ein Zahl und ihre Gegenzahl haben genau denselben Abstand zu $0$, also genau denselben Betrag.
    • „Jede Kommazahl ist eine rationale Zahl.“ Rationale Zahlen sind alle ganzen Zahlen, alle endlichen Dezimalbrüche (oder Kommazahlen) und alle Zahlen, die als Bruch geschrieben werden können.
    • „Der Betrag einer Zahl ist ihr Abstand zu $0$.“ Dies ist die Definition des Betrages.
    Folgende Aussagen sind falsch:

    • „Der Betrag einer negativen Zahl ist negativ.“ Der Betrag ist immer positiv, denn der Betrag ist der Abstand zu $0$.
    • „Jede rationale Zahl liegt zwischen zwei natürlichen Zahlen.“ Die Zahl $-2,3$ liegt zwischen den ganzen Zahlen $-2$ und $-3$. Aber $-2,3$ liegt nicht zwischen zwei natürlichen Zahlen, sondern links aller natürlicher Zahlen. Denn keine natürlichen Zahlen liegt links von $0$.
    • „Jede rationale Zahl ist eine Kommazahl.“ Ganze Zahlen gehören auch zur Menge der rationalen Zahlen. $13$ z. B. ist eine ganze Zahl, aber keine Kommazahl. Du kannst zwar $13$ auch als Dezimalbruch $13,0$ schreiben, trotzdem fasst man ganze Zahlen, also Zahlen ohne Nachkommastellen, nicht als Kommazahlen auf.
  • Bestimme die Lösungen.

    Tipps

    Das Ergebnis der Addition $-1,3+5,1$ ist positiv, da $|-1,3|<|5,1|$.

    Das Kommutativgesetz der Addition:

    • $a+b=b+a$
    kann dir helfen Aufgaben zu vereinfachen.

    Lösung

    Die Summe einer positiven und einer negativen Zahl ist positiv, wenn der Betrag des positiven Summanden größer ist als der Betrag des negativen Summanden. Ist der Betrag des negativen Summanden größer, so ist auch die Summe negativ. Haben beide Summanden denselben Betrag, so ist die Summe $0$.

    Du kannst jede Differenz als Summe schreiben, indem du den Subtrahenden durch seine Gegenzahl ersetzt. Bei einer Summe mit mehr als zwei Summanden kannst du das Assoziativgesetz verwenden und jeweils zwei Summanden zusammenfassen. So ist z. B.

    $1,2-2,1-(-1,7) = (1,2-2,1)+1,7 = (-0,9)+1,7 = 0,8$

    Zur Vereinfachung der Rechnungen kannst du auch das Kommutativgesetz der Addition verwenden und die Reihenfolge von Summanden vertauschen. Aber Achtung! Das Kommutativgesetz gilt nur für die Addition, nicht für die Subtraktion!

    So findest du folgende Ergebnisse für die vorgegebenen Rechnungen:

    Grün:

    Zuerst kannst du die Rechnung als Summe umschreiben und erhältst:

    $-2,3+1,8+3,2-(-2,3) = -2,3+1,8+3,2+2,3$

    Mit dem Kommutativgesetz der Addition kannst du die Reihenfolge der Summanden vertauschen:

    $-2,3+1,8+3,2+2,3=-2,3+2,3+1,8+3,2$

    Mit dem Assoziativgesetz der Addition kannst du die beiden ersten und die beiden letzten Summanden zusammenfassen:

    $ \begin{array}{rcl} -2,3+2,3+1,8+3,2 &=& (-2,3+2,3)+(1,8+3,2) \\ &=& 0+5 \\ &=& 5 \end{array} $

    Gelb:

    In dem Term $1,2 -0,75 + \frac{3}{4} -1$ kannst du zuerst den Bruch in einen Dezimalbruch umwandeln:

    $1,2 -0,75 + \frac{3}{4} -1 = 1,2 -0,75 + 0,75 -1$

    Als Nächstes schreibst du die Differenz als Summe:

    $1,2 -0,75 + 0,75 -1 = 1,2+( -0,75) + 0,75 +(-1)$

    Nun kannst du mit dem Assoziativgesetz die beiden mittleren Summanden zusammenfassen:

    $ \begin{array}{rcl} 1,2+( -0,75) + 0,75 +(-1) &=& 1,2+( -0,75+ 0,75) +(-1) \\ &=& 1,2+(-1) \\ &=& 0,2 \end{array} $

    Blau:

    Bei dem Term $-1,9+\frac{4}{5} +1,1 - 0,4$ schreibst du wieder zuerst den Bruch als Dezimalbuch um:

    $-1,9+\frac{4}{5} +1,1 - 0,4 = -1,9+0,8 +1,1 - 0,4$

    Nun schreibst du die Differenz als Summe:

    $-1,9+0,8 +1,1 - 0,4 = -1,9+0,8 +1,1 +(- 0,4)$

    Mit dem Assoziativgesetz fasst du die beiden ersten Summanden zusammen:

    $ \begin{array}{rcl} -1,9+0,8 +1,1 +(- 0,4) &=& (-1,9+0,8) +1,1 +(- 0,4) \\ &=& (-1,1) + 1,1+(-0,4) \end{array} $

    Nun kannst du wieder die beiden ersten Summanden zusammenfassen:

    $ \begin{array}{rcl} -1,1 + 1,1+(-0,4) &=& (-1,1+1,1) +(-0,4) \\ &=& 0+(-0,4) \\ &=& -0,4 \end{array} $

    Violett:

    Du kannst wieder zuerst den Bruch in einen Dezimalbruch umwandeln:

    $7,3-1,4+\frac{12}{5}-9,2=7,3-1,4+2,4-9,2$

    Als Nächstes kannst du die Differenz als Summe schreiben und die beiden mittleren Summanden zusammenfassen:

    $ \begin{array}{rcl} 7,3-1,4+2,4-9,2 &=& 7,3+(-1,4)+2,4+(-9,2) \\ &=& 7,3+(-1,4+2,4)+(-9,2) \\ &=& 7,3+1+(-9,2) \end{array} $

    Hier kannst du noch einmal die beiden ersten Summanden zusammenfassen:

    $ \begin{array}{rcl} 7,3+1+(-9,2) &=& (7,3+1)+(-9,2) \\ &=& (8,3)+(-9,2) \\ &=& -0,9 \end{array} $