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Neutrale Elemente, Gegenzahlen und Kehrwerte

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Die Autor/-innen
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Team Digital

Neutrale Elemente, Gegenzahlen und Kehrwerte

lernst du in der 7. Klasse - 8. Klasse

Beschreibung Neutrale Elemente, Gegenzahlen und Kehrwerte

Nach dem Schauen dieses Videos wirst du in der Lage sein, mit neutralen Elementen, Gegenzahlen und Kehrwerten zu rechnen.

Zunächst lernst du, dass Null das neutrale Element der Addition und Eins das der Multiplikation ist. Anschließend siehst du, dass die Addition von einer Zahl und ihrer Gegenzahl immer das Ergebnis Null liefert. Abschließend lernst du, dass die Multiplikation einer Zahl mit ihrem Kehrwert immer Eins ergibt..

Lerne etwas über neutrale Elemente, Gegenzahlen und Kehrwerte, indem du Oswald bei seinen Zauberkunststücken unterstützt.

Das Video beinhaltet Schlüsselbegriffe, Bezeichnungen und Fachbegriffe wie Gegenzahl, neutrales Element, Kehrwert, Bruch, Multiplikation, Addition, Null, Eins und Zahl.

Bevor du dieses Video schaust, solltest du bereits wissen, wie du mit ganzen Zahlen rechnest und Brüche multiplizierst.

Nach diesem Video wirst du darauf vorbereitet sein, dein Wissen zu neutralen Elementen, Gegenzahlen und Kehrwerten zu vertiefen.

Transkript Neutrale Elemente, Gegenzahlen und Kehrwerte

Oswald der Zauberer hat seine Zauberkunststücke ausgiebig geübt und ist sich sicher, dass das Publikum ihn lieben wird. Heute ist seine erste Aufführung. Zur Seite steht ihm seine Assistentin Wanna. Das Publikum hat keine Ahnung, dass Oswald bei seinen Tricks neutrale Elemente, Gegenzahlen und Kehrwerte anwenden wird. Bei seinem ersten Trick will Oswald die Anzahl der Kaninchen erhöhen. Zu Beginn hat er 5. Ein wenig Zauberei und simsalabim! Dank seines begrenzten Talents konnte Oswald nur null neue Kaninchen hinzufügen. Die Menge buht und wirft mit Tomaten. Hm, was ergibt 5 + 0? Es ergibt natürlich 5. Wenn du 0 zu einer Zahl hinzu addierst, bleibt die Zahl gleich. Die 0 ist das neutrale Element der Addition. Neutrales Element der Addition" bedeutet ganz einfach: Wenn man die 0 zu einer Zahl addiert, bleibt die Zahl gleich. Für seinen nächsten Trick nutzt Oswald eine der Tomaten, die man auf ihn geworfen hat. Er will sie in eine Riesentomate verwandeln, behauptet er zumindest. Im Moment wiegt die Tomate noch 200 Gramm. Oswald wedelt mit seinem Zauberstab und schon hat sich das Gewicht der Tomate um den Faktor 1 vermehrt. Wie viel wiegt sie also jetzt? 200 mal 1 ist gleich 200. Tatsächlich bleibt jede Zahl, die man mit 1 multipliziert, gleich. 1 ist das neutrale Element der Multiplikation. Ähnlich wie beim neutralen Element der Addition bedeutet das: Jede Zahl, die man mit 1 multipliziert, bleibt gleich. Oswald verlässt die Bühne. Er ist maßlos enttäuscht, dass das Publikum seine Zauberei mit den neutralen Elementen der Addition und der Multiplikation so wenig zu schätzen weiß. Seine Assistentin Wanna beschließt, die Aufführung fortzusetzen und dabei das Gegenteil von Oswald auszuprobieren. Auch sie möchte etwas mit den Kaninchen machen. Sie nimmt die 5 Kaninchen und lässt 5 davon mit einem Streich ihres Zauberstabes verschwinden. Alle weg! Die Menge tobt! 5 minus 5 ergibt 0. Minus 5 ist die Gegenzahl von 5. Wenn man zu einer Zahl ihre Gegenzahl addiert, dann erhält man als Ergebnis 0. Wenn man eine positive Zahl hat und zu dieser Zahl ihre negative Gegenzahl addiert, dann erhält man stets 0. Genauso erhält man, wenn man zu einer negativen Zahl ihre positive Gegenzahl addiert, 0. Wanna greift zu der Tomate, an der sich auch schon Oswald versucht hat. Sie verrät den Zuschauern, dass sie die Tomate schrumpfen lassen wird. Sie schwingt ihren Zauberstab und - abrakadabra - schon hat sie eine kleine Cherrytomate in der Hand. Das Publikum flippt aus! Und wie viel wiegt die Tomate jetzt noch? 200 mal ein Zweihundertstel ergibt 1. Ein Zweihundertstel ist der Kehrwert von 200. Multipliziert man beide, erhält man als Produkt 1. Multipliziert man den Kehrwert einer Zahl mit dieser Zahl, dann erhält man stets 1. Bei einer Zahl x ist der Kehrwert immer 1 geteilt durch x. Denn wenn man das dann multipliziert, erhält man 1. Völlig niedergeschlagen trottet Oswald der Zauberer nach Hause. Würde er doch nur Zauberkunststücke beherrschen, die das Publikum sehen will?

4 Kommentare

4 Kommentare
  1. Ein sehr hilfreiches viedio wenn man immoment das thema in mathe hatt

    Von Ripperda, vor 21 Tagen
  2. thx

    Von Yiren Y., vor 22 Tagen
  3. I am chilling

    Von Lucy Qi1977, vor etwa einem Monat
  4. Das hat mir nur zur hälfte geholfen und das Ende ist traurig

    Von Timea H., vor 2 Monaten

Neutrale Elemente, Gegenzahlen und Kehrwerte Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Neutrale Elemente, Gegenzahlen und Kehrwerte kannst du es wiederholen und üben.
  • Beschreibe das Rechnen mit Gegenzahlen.

    Tipps

    Nimmst du von drei Kaninchen drei Kaninchen weg, so bleibt kein Kaninchen übrig.

    Die Zahlen, mit denen du zum Beispiel deine Finger zählst, sind positiv.

    Zwei Zahlen, die sich nur um das Vorzeichen unterscheiden, sind Gegenzahlen voneinander.

    Lösung

    Wannas Zahlentrick benutzt das neutrale Element der Addition und die Gegenzahlen. Das neutrale Element der Addition ist die Zahl $0$. Subtrahiert Wanna eine Zahl von sich selbst, so erhält sie $0$. Für die Zahl $5$ sieht das so aus:

    $5-5=0$

    Statt zu subtrahieren, kann Wanna auch addieren. Sie benutzt dann statt des Subtrahenden $5$ den Summand $-5$:

    $5-5= 5 +(-5)=0$

    Die Zahl $-5$, die Wanna addiert, ist die Gegenzahl von $5$. Das bedeutet, dass $0$ herauskommt, wenn Wanna $-5$ zu $5$ addiert. Die Gegenzahl einer positiven Zahl ist negativ, und die Gegenzahl einer negativen Zahl ist positiv. Außderdem ist die Gegenzahl der Gegenzahl wieder die ursprüngliche Zahl.

    Im Allgemeinen kannst du Wannas Trick so beschreiben: Die Gegenzahl einer Zahl $x$ ist die Zahl $-x$. Addierst du eine Zahl $x$ und ihre Gegenzahl $-x$, so erhältst du immer die Zahl $0$:

    $x+(-x)=0$

    Schließlich wendet Wanna wendet ihren Trick auch noch auch auf die Gegenzahl von $x$ an. Wenn der Trick wirklich funktioniert, so sollte sie eine Zahl herausbekommen, die $0$ ergibt, wenn sie sie zu $-x$ addiert. Tatsächlich ist die Gegenzahl von $-x$ wieder die Zahl $x$ selbst. Das kann Wanna beweisen bzw. nachrechnen:

    $-x +x=0$

  • Vervollständige die Sätze.

    Tipps

    Addierst du $0$ zu einer Zahl $x$, so erhältst du wieder die Zahl $x$.

    Um eine Zahl $x \neq 0$ zu $1$ zu machen, kannst du $x$ mit seinem Kehrwert multiplizieren.

    Überlege, ob die ganze Zahl $0$ einen Kehrwert hat.

    Lösung

    Das neutrale Element der Addition ist diejenige Zahl, die eine andere Zahl bei Addition unverändert lässt. Die einzige Zahl mit dieser Eigenschaft ist $0$, denn für jede Zahl $x$ ist $0+x=x$. Analog ist $1$ das neutrale Element der Multiplikation, denn für jede Zahl $x$ ist $1 \cdot x=x$.

    Die Summe einer Zahl und ihrer Gegenzahl ist $0$. Zu einer Zahl $x$ ist $-x$ die Gegenzahl, denn $x+(-x)=0$. Eine Zahl, die mit $x$ multipliziert $1$ ergibt, heißt Kehrwert von $x$. Zu jeder Zahl $x \neq 0$ ist $\frac{1}{x}$ der Kehrwert, denn $x \cdot \frac{1}{x}=1$.

    Die ganze Zahl $0$ hat keinen Kehrwert, denn keine Zahl ergibt bei Multiplikation mit $0$ die Zahl $1$. Andersherum ist auch $\frac10$ nicht definiert. Die $0$ hat aber eine Gegenzahl: sich selbst. Das sieht man an folgender Gleichung: $0+0=0$

    So erhältst du folgende Sätze:

    • Das neutrale Element der Multiplikation ... ist $1$.
    • Zu jeder ganzen Zahl $x$ ... gibt es genau eine Gegenzahl $-x$.
    • Die Gegenzahl einer positiven Zahl ... ist negativ.
    • Eine Zahl und ihr Kehrwert ...haben dasselbe Vorzeichen.
  • Analysiere die Ergebnisse.

    Tipps

    $1$ ist das neutrale Element der Multiplikation.

    Addierst du zu einer ganzen Zahl ihren Kehrwert, so erhältst du nicht $1$.

    Hier ist eine Beispielrechnung:

    $(-4) \cdot \frac{1}{(-4)} =1$

    Lösung

    Die Zahl $0$ ist das neutrale Element der Addition. Das bedeutet: Die Summe von $0$ und einer beliebigen Zahl $x$ ist wieder diese Zahl $x$. Analog ist $1$ das neutrale Element der Multiplikation, denn das Produkt einer beliebigen Zahl $x \neq 0$ mit $1$ ist wieder $x$.

    Die Summe einer Zahl $x$ und ihrer Gegenzahl $-x$ ist $0$. Analog ist das Produkt einer Zahl $x \neq 0$ und ihres Kehrwertes $\frac{1}{x}$ die Zahl $1$.

    Folgende Gleichungen sind richtig:

    • $1 \cdot 9=9$: Das neutrale Element der Multiplikation ist $1$, das Produkt von $1$ und $9$ ist also $9$.
    • $-3 + 3 =0$: Die Addition einer Zahl und ihrer Gegenzahl ergibt stets $0$.
    • $3 \cdot \frac{1}{3} =1$: Das Produkt einer Zahl und ihres Kehrwertes ergibt $1$.
    Folgende Gleichungen sind falsch:
    • $7+0\neq 0$: Die Addition mit $0$ ergibt stets wieder den anderen Summanden. Richtig wäre also $7+0=7$.
    • $4+(-4) \neq 8$: Die Gegenzahl von $4$ ist $-4$, daher ist die Summe der beiden Zahlen $0$.
    • $\frac{1}{4} \cdot 4 \neq 0$: Ein Produkt ist nur dann $0$, wenn einer der Faktoren $0$ ist.
    • $3 + \frac{1}{3} \neq 1$: Der Kehrwert von $3$ ist $\frac{1}{3}$. Nur wenn du eine Zahl und ihren Kehrwert multiplizierst, erhältst du $1$, nicht bei der Addition.

  • Erschließe die Rechnungen.

    Tipps

    Der Kehrwert von $-4$ ist $\frac{1}{-4}$.

    Hier ist eine Beispielrechnung:

    $(-9) + 9=0$

    Lösung

    Die Zahl $0$ ist nur dann das Ergebnis einer Multiplikation, wenn einer der Faktoren $0$ ist.

    Multiplizierst du eine Zahl und ihren Kehrwert, so erhältst du $1$. Der Kehrwert einer Zahl $x\neq 0$ ist $\frac{1}{x}$. Addierst du eine Zahl und ihre Gegenzahl, so ist das Ergebnis $0$. Die Gegenzahl einer Zahl $x$ ist $-x$.

    Addierst du $0$ zu einer Zahl $x$, so ergibt sich wieder $x$. Multiplizierst du $x$ mit $1$, so erhältst du ebenfalls wieder $x$.

    So findest du folgende Zuordnungen:

    $1$:

    • $=3 \cdot \frac{1}{3}$: Multiplikation mit Kehrwert
    • $=0+1$: Addition des neutralen Elements der Addition $0$
    • $=(-5) \cdot \frac{1}{(-5)}$: Multiplikation mit Kehrwert
    $0$:
    • $=0 \cdot 1$: Multiplikation mit dem neutralen Element der Multiplikation $1$
    • $=3+(-3)$: Addition der Gegenzahl
    • $=(-1)+1$: Addition der Gegenzahl
    $3$:
    • $=0+3$: Addition des neutralen Elements
    • $=1 \cdot 3$: Multiplikation mit dem neutralen Element der Multiplikation $1$
    $-5$:
    • $=0+(-5)$: Addition des neutralen Elements der Addition $0$
    • $=(-5) \cdot 1$: Multiplikation mit dem neutralen Element der Multiplikation $1$

  • Bestimme die Ergebnisse.

    Tipps

    Addierst du eine negative Zahl, so kannst du auch die positive Gegenzahl subtrahieren.

    Multiplizierst du eine Zahl mit $1$, so verändert sich diese Zahl nicht.

    Hier ist eine Beispielrechnung für die Multiplikation mit dem Kehrwert:

    $5 \cdot \frac{1}{5} =1$

    Lösung

    Addierst du $0$ zu einer beliebigen Zahl $x$, so erhältst du wieder die Zahl $x$, denn $0+x=x$. Man nennt $0$ das neutrale Element der Addition. Etwas ähnliches gilt für die Zahl $1$ bei der Multiplikation: $1 \cdot x =x$. Daher heißt $1$ das neutrale Element der Multiplikation.

    Addierst du zu einer Zahl $x$ ihre Gegenzahl $-x$, so erhältst du $0$, denn $x+(-x) = x-x=0$. Multiplizierst du eine Zahl $x\neq 0$ mit ihrem Kehrwert $\frac{1}{x}$, so erhältst du $1$, denn $x \cdot \frac{1}{x} = 1$.

    So erhältst du folgende Gleichungen:

    • $5+(-5) = 0$: Hier addierst du die Zahl $5$ mit ihrer Gegenzahl $-5$, daher ist das Ergebnis $0$.
    • $5+0 = 5$: Das neutrale Element der Addition ist $0$. Das bedeutet: Addierst du $0$ zu einer Zahl, z.B. $5$, so ist das Ergebnis wieder diese Zahl, also $5$.
    • $8 \cdot 1 = 8$: Das neutrale Element der Multiplikation ist $1$. Multiplizierst du eine Zahl, z.B. $8$, mit $1$, so ist das Ergebnis wieder diese Zahl, also $8$.
    • $8 \cdot \frac{1}{8} =1$: Der Kehrwert der Zahl $8$ ist $\frac{1}{8}$. Multiplizierst du eine Zahl mit ihrem Kehrwert, so ist das Ergebnis $1$.
  • Analysiere die Aussagen.

    Tipps

    Für jede Zahl $x$ gilt:

    $0 \cdot x=0$

    Bedenke, dass die ganzen Zahlen aus den natürlichen Zahlen, ihren negativen Gegenzahlen und der $0$ bestehen.

    Lösung

    Folgende Aussagen sind richtig:

    • „Die Gegenzahl von $0$ ist $0$.“ Denn die Summe der beiden Zahlen ist $0$.
    • „Ist der Kehrwert einer ganzen Zahl $x$ wieder eine ganze Zahl, so ist $x=1$ oder $x=-1$.“ Der Kehrwert von $x \neq 0$ ist $\frac{1}{x}$. Ist $x \neq \pm 1$, so ist $\frac{1}{x}$ keine ganze Zahl.
    Folgende Aussagen sind falsch:

    • „Jede ganze Zahl hat einen Kehrwert.“ Die ganze Zahl $0$ hat keinen Kehrwert.
    • „Für jede ganze Zahl $x$ ist $1 \cdot x=1$.“ Für $x=0$ ist die Gleichung falsch, denn $1 \cdot 0 = 0 \neq 1$.
    • „Der Kehrwert einer negativen Zahl ist positiv.“ Eine Zahl und ihr Kehrwert haben dasselbe Vorzeichen, sonst wäre ihr Produkt nicht $1$, sondern hätte ein negatives Vorzeichen.
    • „$x$ ist der Kehrwert des Kehrwertes von $-x$, sofern $x\neq0$.“ Der Kehrwert von $x$ ist $\frac{1}{x}$, der Kehrwert von $\frac{1}{x}$ ist $\frac{1}{\frac{1}{x}} = x$. Setzt du statt $x$ nun $-x$ ein, so ist $-x$ und nicht $x$ der Kehrwert des Kehrwertes von $-x$.
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