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Neutrale Elemente, Gegenzahlen und Kehrwerte

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Team Digital
Neutrale Elemente, Gegenzahlen und Kehrwerte
lernst du in der 7. Klasse - 8. Klasse

Grundlagen zum Thema Neutrale Elemente, Gegenzahlen und Kehrwerte

Was sind neutrale Elemente und Gegenzahlen?

In der Mathematik gibt es einige schöne Tricks mit Zahlen. Manche sind ganz einfach und die wollen wir dir heute erklären. Sie handeln von neutralen Elementen, von Gegenzahlen und vom Kehrwert. Schauen wir uns diese Tricks doch einmal an.

Neutrale Elemente – Definition

Ein Zauberer hat fünf Kaninchen. Sein Trick besteht darin, sie um genau $0$ Kaninchen zu vermehren. Toll, nicht? Wie viele Kaninchen hat er nach Anwendung seines Tricks? Genauso viele wie vorher, nämlich fünf. Die Addition von $0$ ändert die Zahl nämlich gar nicht, zu der wir addieren. Genau wegen dieser Eigenschaft heißt die Zahl $0$ das neutrale Element der Addition. Wir können die Rechnung so aufschreiben:

$5+0=5$

Dieselbe Rechnung funktioniert auch mit jeder beliebigen Zahl $x$ anstelle von $5$:

$x+0=x$

  • $0$ ist das neutrale Element der Addition. Das bedeutet: Addiert man $0$ zu einer beliebigen Zahl, so bleibt diese Zahl gleich.

Unser Zauberer hat noch mehr solcher Tricks auf Lager: Er verwandelt eine Tomate, indem er ihr Gewicht um den Faktor $1$ erhöht. Das Gewicht ändert sich von $200~\pu{g}$ vor der Anwendung des Tricks auf $200~\pu{g}$ danach. Es ändert sich also wieder nichts. Die Multiplikation mit $1$ lässt das Gewicht unverändert. Man sagt daher: Das neutrale Element der Multiplikation ist die Zahl $1$. Wir schreiben das wieder als Formeln auf:

$200 \cdot 1= 200$

$x \cdot 1 = x$

  • $1$ ist das neutrale Element der Multiplikation. Das bedeutet: Multipliziert man eine beliebige Zahl mit $1$, so bleibt diese Zahl gleich.

Gegenzahl einer Zahl

Ein anderer Trick in der Mathematik lässt Zahlen wie Kaninchen verschwinden: Wie ein Zauberer Kaninchen wegzaubert, können wir Zahlen zu null zaubern. Das geht mit der Gegenzahl. Zauberst du von fünf Kaninchen fünf weg, so bleiben gar keine Kaninchen übrig:

$5-5=0$

Wir können die Rechnung auch so aufschreiben:

$5+(-5)=0$

Die Zahl, mit der dieser Trick funktioniert, heißt Gegenzahl: Addierst du zu einer Zahl ihre Gegenzahl, so erhältst du $0$. Das funktioniert mit jeder beliebigen Zahl $x$:

$x+(-x)=0$

Addierst du zu einer positiven Zahl $x$ ihre negative Gegenzahl $-x$, so erhältst du $0$. Und das geht auch umgekehrt:

$(-x)+x=0$

Addierst du zu einer negativen Zahl $-x$ ihre positive Gegenzahl $x$, so erhältst du ebenfalls $0$.

Gegenzahlen

Kehrwert einer Zahl

Der letzte Mathetrick, den wir heute zeigen, macht kleine Zahlen größer und große Zahlen kleiner, sodass immer derselbe Wert herauskommt. Wir schreiben zuerst die Rechnung zu diesem Trick auf:

$200 \cdot \frac{1}{200} =1$

Diejenige Zahl, die $200$ durch Multiplikation zu $1$ macht, heißt Kehrwert von $200$. Für eine beliebige Zahl $x\neq 0$ ist der Kehrwert $\frac{1}{x}$. Multipliziert man eine Zahl und ihren Kehrwert, so erhält man stets $1$. Das schreiben wir so auf:

$x \cdot \frac{1}{x} =1$

Die Zahl $0$ ist die einzige Zahl, die keinen Kehrwert besitzt. Denn es gibt keine Zahl, die bei Multiplikation mit $0$ den Wert $1$ ergibt.

Kurze Zusammenfassung zum Video Neutrale Elemente, Gegenzahlen und Kehrwerte

In diesem Video werden dir neutrale Elemente sowie Gegenzahlen und Kehrwerte einfach und verständlich erklärt und du erfährst, wie man mit ihnen rechnet. Zu diesem Video gibt es interaktive Übungen. Du kannst gleich loslegen und dein neues Wissen testen.

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Vorschaubild einer Übung

Transkript Neutrale Elemente, Gegenzahlen und Kehrwerte

Oswald der Zauberer hat seine Zauberkunststücke ausgiebig geübt und ist sich sicher, dass das Publikum ihn lieben wird. Heute ist seine erste Aufführung. Zur Seite steht ihm seine Assistentin Wanna. Das Publikum hat keine Ahnung, dass Oswald bei seinen Tricks neutrale Elemente, Gegenzahlen und Kehrwerte anwenden wird. Bei seinem ersten Trick will Oswald die Anzahl der Kaninchen erhöhen. Zu Beginn hat er 5. Ein wenig Zauberei und simsalabim! Dank seines begrenzten Talents konnte Oswald nur null neue Kaninchen hinzufügen. Die Menge buht und wirft mit Tomaten. Hm, was ergibt 5 + 0? Es ergibt natürlich 5. Wenn du 0 zu einer Zahl hinzu addierst, bleibt die Zahl gleich. Die 0 ist das neutrale Element der Addition. Neutrales Element der Addition" bedeutet ganz einfach: Wenn man die 0 zu einer Zahl addiert, bleibt die Zahl gleich. Für seinen nächsten Trick nutzt Oswald eine der Tomaten, die man auf ihn geworfen hat. Er will sie in eine Riesentomate verwandeln, behauptet er zumindest. Im Moment wiegt die Tomate noch 200 Gramm. Oswald wedelt mit seinem Zauberstab und schon hat sich das Gewicht der Tomate um den Faktor 1 vermehrt. Wie viel wiegt sie also jetzt? 200 mal 1 ist gleich 200. Tatsächlich bleibt jede Zahl, die man mit 1 multipliziert, gleich. 1 ist das neutrale Element der Multiplikation. Ähnlich wie beim neutralen Element der Addition bedeutet das: Jede Zahl, die man mit 1 multipliziert, bleibt gleich. Oswald verlässt die Bühne. Er ist maßlos enttäuscht, dass das Publikum seine Zauberei mit den neutralen Elementen der Addition und der Multiplikation so wenig zu schätzen weiß. Seine Assistentin Wanna beschließt, die Aufführung fortzusetzen und dabei das Gegenteil von Oswald auszuprobieren. Auch sie möchte etwas mit den Kaninchen machen. Sie nimmt die 5 Kaninchen und lässt 5 davon mit einem Streich ihres Zauberstabes verschwinden. Alle weg! Die Menge tobt! 5 minus 5 ergibt 0. Minus 5 ist die Gegenzahl von 5. Wenn man zu einer Zahl ihre Gegenzahl addiert, dann erhält man als Ergebnis 0. Wenn man eine positive Zahl hat und zu dieser Zahl ihre negative Gegenzahl addiert, dann erhält man stets 0. Genauso erhält man, wenn man zu einer negativen Zahl ihre positive Gegenzahl addiert, 0. Wanna greift zu der Tomate, an der sich auch schon Oswald versucht hat. Sie verrät den Zuschauern, dass sie die Tomate schrumpfen lassen wird. Sie schwingt ihren Zauberstab und - abrakadabra - schon hat sie eine kleine Cherrytomate in der Hand. Das Publikum flippt aus! Und wie viel wiegt die Tomate jetzt noch? 200 mal ein Zweihundertstel ergibt 1. Ein Zweihundertstel ist der Kehrwert von 200. Multipliziert man beide, erhält man als Produkt 1. Multipliziert man den Kehrwert einer Zahl mit dieser Zahl, dann erhält man stets 1. Bei einer Zahl x ist der Kehrwert immer 1 geteilt durch x. Denn wenn man das dann multipliziert, erhält man 1. Völlig niedergeschlagen trottet Oswald der Zauberer nach Hause. Würde er doch nur Zauberkunststücke beherrschen, die das Publikum sehen will?

6 Kommentare
6 Kommentare
  1. Es hat Spaß gemacht und ich habe wider was dazu Gelernt 😎

    Von Leonie, vor 10 Monaten
  2. Zum Schluss war es sehr gemein ,aber das Video an sich hat mir sehr gefallen ein super Lob von mir aber der das erzählt hat,hat mir nicht gefallen

    Von Tennisprofi , vor fast 3 Jahren
  3. Ein sehr hilfreiches viedio wenn man immoment das thema in mathe hatt

    Von Ripperda, vor etwa 3 Jahren
  4. thx

    Von Yiren Y., vor etwa 3 Jahren
  5. I am chilling

    Von Lucy Qi1977, vor etwa 3 Jahren
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Neutrale Elemente, Gegenzahlen und Kehrwerte Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Neutrale Elemente, Gegenzahlen und Kehrwerte kannst du es wiederholen und üben.
  • Beschreibe das Rechnen mit Gegenzahlen.

    Tipps

    Nimmst du von drei Kaninchen drei Kaninchen weg, so bleibt kein Kaninchen übrig.

    Die Zahlen, mit denen du zum Beispiel deine Finger zählst, sind positiv.

    Zwei Zahlen, die sich nur durch das Vorzeichen unterscheiden, sind Gegenzahlen voneinander.

    Lösung

    Wannas Zahlentrick benutzt das neutrale Element der Addition und die Gegenzahlen. Das neutrale Element der Addition ist die Zahl $0$. Subtrahiert Wanna eine Zahl von sich selbst, so erhält sie $0$. Für die Zahl $5$ sieht das so aus:

    $5-5=0$

    Statt zu subtrahieren, kann Wanna auch addieren. Sie benutzt dann statt des Subtrahenden $5$ den Summanden $-5$:

    $5-5= 5 +(-5)=0$

    Die Zahl $-5$, die Wanna addiert, ist die Gegenzahl von $5$. Das bedeutet, dass $0$ herauskommt, wenn Wanna $-5$ zu $5$ addiert. Die Gegenzahl einer positiven Zahl ist negativ und die Gegenzahl einer negativen Zahl ist positiv. Außerdem ist die Gegenzahl der Gegenzahl wieder die ursprüngliche Zahl.

    Im Allgemeinen kannst du Wannas Trick so beschreiben: Die Gegenzahl einer Zahl $x$ ist die Zahl $-x$. Addierst du eine Zahl $x$ und ihre Gegenzahl $-x$, so erhältst du immer die Zahl $0$:

    $x+(-x)=0$

    Schließlich wendet Wanna ihren Trick auch noch auf die Gegenzahl von $x$ an. Wenn der Trick wirklich funktioniert, so sollte sie eine Zahl herausbekommen, die $0$ ergibt, wenn sie sie zu $-x$ addiert. Tatsächlich ist die Gegenzahl von $-x$ wieder die Zahl $x$ selbst. Das kann Wanna beweisen bzw. nachrechnen:

    $-x +x=0$

  • Vervollständige die Sätze.

    Tipps

    Addierst du $0$ zu einer Zahl $x$, so erhältst du wieder die Zahl $x$.

    Um eine Zahl $x \neq 0$ zu $1$ zu machen, kannst du $x$ mit seinem Kehrwert multiplizieren.

    Überlege, ob die ganze Zahl $0$ einen Kehrwert hat.

    Lösung

    Das neutrale Element der Addition ist diejenige Zahl, die eine andere Zahl bei Addition unverändert lässt. Die einzige Zahl mit dieser Eigenschaft ist $0$, denn für jede Zahl $x$ ist $0+x=x$. Analog ist $1$ das neutrale Element der Multiplikation, denn für jede Zahl $x$ ist $1 \cdot x=x$.

    Die Summe einer Zahl und ihrer Gegenzahl ist $0$. Zu einer Zahl $x$ ist $-x$ die Gegenzahl, denn $x+(-x)=0$. Eine Zahl, die mit $x$ multipliziert $1$ ergibt, heißt Kehrwert von $x$. Zu jeder Zahl $x \neq 0$ ist $\frac{1}{x}$ der Kehrwert, denn $x \cdot \frac{1}{x}=1$.

    Die ganze Zahl $0$ hat keinen Kehrwert, denn keine Zahl ergibt bei Multiplikation mit $0$ die Zahl $1$. Andersherum ist auch $\frac10$ nicht definiert. Die $0$ hat aber eine Gegenzahl: sich selbst. Das sieht man an folgender Gleichung: $0+0=0$.

    So erhältst du folgende Sätze:

    • Das neutrale Element der Multiplikation ... ist $1$.
    • Zu jeder ganzen Zahl $x$ ... gibt es genau eine Gegenzahl $-x$.
    • Die Gegenzahl einer positiven Zahl ... ist negativ.
    • Eine Zahl und ihr Kehrwert ... haben dasselbe Vorzeichen.
  • Analysiere die Ergebnisse.

    Tipps

    $1$ ist das neutrale Element der Multiplikation.

    Addierst du zu einer ganzen Zahl ihren Kehrwert, so erhältst du nicht $1$.

    Hier ist eine Beispielrechnung:

    $(-4) \cdot \frac{1}{(-4)} =1$

    Lösung

    Die Zahl $0$ ist das neutrale Element der Addition. Das bedeutet: Die Summe von $0$ und einer beliebigen Zahl $x$ ist wieder diese Zahl $x$. Analog ist $1$ das neutrale Element der Multiplikation, denn das Produkt einer beliebigen Zahl $x \neq 0$ mit $1$ ist wieder $x$.

    Die Summe einer Zahl $x$ und ihrer Gegenzahl $-x$ ist $0$. Analog ist das Produkt einer Zahl $x \neq 0$ und ihres Kehrwertes $\frac{1}{x}$ die Zahl $1$.

    Folgende Gleichungen sind richtig:

    • $1 \cdot 9=9$: Das neutrale Element der Multiplikation ist $1$, das Produkt von $1$ und $9$ ist also $9$.
    • $-3 + 3 =0$: Die Addition einer Zahl und ihrer Gegenzahl ergibt stets $0$.
    • $3 \cdot \frac{1}{3} =1$: Das Produkt einer Zahl und ihres Kehrwerts ergibt $1$.
    Folgende Gleichungen sind falsch:
    • $7+0\neq 0$: Die Addition mit $0$ ergibt stets wieder den anderen Summanden. Richtig wäre also $7+0=7$.
    • $4+(-4) \neq 8$: Die Gegenzahl von $4$ ist $-4$, daher ist die Summe der beiden Zahlen $0$.
    • $\frac{1}{4} \cdot 4 \neq 0$: Ein Produkt ist nur dann $0$, wenn einer der Faktoren $0$ ist.
    • $3 + \frac{1}{3} \neq 1$: Der Kehrwert von $3$ ist $\frac{1}{3}$. Nur wenn du eine Zahl und ihren Kehrwert multiplizierst, erhältst du $1$, nicht bei der Addition.

  • Erschließe die Rechnungen.

    Tipps

    Der Kehrwert von $-4$ ist $\frac{1}{-4}$.

    Hier ist eine Beispielrechnung:

    $(-9) + 9=0$

    Lösung

    Die Zahl $0$ ist nur dann das Ergebnis einer Multiplikation, wenn einer der Faktoren $0$ ist.

    Multiplizierst du eine Zahl und ihren Kehrwert, so erhältst du $1$. Der Kehrwert einer Zahl $x\neq 0$ ist $\frac{1}{x}$. Addierst du eine Zahl und ihre Gegenzahl, so ist das Ergebnis $0$. Die Gegenzahl einer Zahl $x$ ist $-x$.

    Addierst du $0$ zu einer Zahl $x$, so ergibt sich wieder $x$. Multiplizierst du $x$ mit $1$, so erhältst du ebenfalls $x$.

    So findest du folgende Zuordnungen:

    $1$:

    • $=3 \cdot \frac{1}{3}$: Multiplikation mit Kehrwert
    • $=0+1$: Addition des neutralen Elements der Addition $0$
    • $=(-5) \cdot \frac{1}{(-5)}$: Multiplikation mit Kehrwert
    $0$:
    • $=0 \cdot 1$: Multiplikation mit dem neutralen Element der Multiplikation $1$
    • $=3+(-3)$: Addition der Gegenzahl
    • $=(-1)+1$: Addition der Gegenzahl
    $3$:
    • $=0+3$: Addition des neutralen Elements
    • $=1 \cdot 3$: Multiplikation mit dem neutralen Element der Multiplikation $1$
    $-5$:
    • $=0+(-5)$: Addition des neutralen Elements der Addition $0$
    • $=(-5) \cdot 1$: Multiplikation mit dem neutralen Element der Multiplikation $1$

  • Bestimme die Ergebnisse.

    Tipps

    Addierst du eine negative Zahl, so kannst du auch die positive Gegenzahl subtrahieren.

    Multiplizierst du eine Zahl mit $1$, so verändert sich diese Zahl nicht.

    Hier ist eine Beispielrechnung für die Multiplikation mit dem Kehrwert:

    $5 \cdot \frac{1}{5} =1$

    Lösung

    Addierst du $0$ zu einer beliebigen Zahl $x$, so erhältst du wieder die Zahl $x$, denn $0+x=x$. Man nennt $0$ das neutrale Element der Addition. Ähnliches gilt für die Zahl $1$ bei der Multiplikation: $1 \cdot x =x$. Daher heißt $1$ das neutrale Element der Multiplikation.

    Addierst du zu einer Zahl $x$ ihre Gegenzahl $-x$, so erhältst du $0$, denn $x+(-x) = x-x=0$. Multiplizierst du eine Zahl $x\neq 0$ mit ihrem Kehrwert $\frac{1}{x}$, so erhältst du $1$, denn $x \cdot \frac{1}{x} = 1$.

    So erhältst du folgende Gleichungen:

    • $5+(-5) = 0$: Hier addierst du die Zahl $5$ mit ihrer Gegenzahl $-5$, daher ist das Ergebnis $0$.
    • $5+0 = 5$: Das neutrale Element der Addition ist $0$. Das bedeutet: Addierst du $0$ zu einer Zahl, z. B. $5$, so ist das Ergebnis wieder diese Zahl, also $5$.
    • $8 \cdot 1 = 8$: Das neutrale Element der Multiplikation ist $1$. Multiplizierst du eine Zahl, z. B. $8$, mit $1$, so ist das Ergebnis wieder diese Zahl, also $8$.
    • $8 \cdot \frac{1}{8} =1$: Der Kehrwert der Zahl $8$ ist $\frac{1}{8}$. Multiplizierst du eine Zahl mit ihrem Kehrwert, so ist das Ergebnis $1$.
  • Analysiere die Aussagen.

    Tipps

    Für jede Zahl $x$ gilt:

    $0 \cdot x=0$

    Bedenke, dass die ganzen Zahlen aus den natürlichen Zahlen, ihren negativen Gegenzahlen und der $0$ bestehen.

    Lösung

    Folgende Aussagen sind richtig:

    • „Die Gegenzahl von $0$ ist $0$.“ Denn die Summe der beiden Zahlen ist $0$.
    • „Ist der Kehrwert einer ganzen Zahl $x$ wieder eine ganze Zahl, so ist $x=1$ oder $x=-1$.“ Der Kehrwert von $x \neq 0$ ist $\frac{1}{x}$. Ist $x \neq \pm 1$, so ist $\frac{1}{x}$ keine ganze Zahl.
    Folgende Aussagen sind falsch:

    • „Jede ganze Zahl hat einen Kehrwert.“ Die ganze Zahl $0$ hat keinen Kehrwert.
    • „Für jede ganze Zahl $x$ ist $1 \cdot x=1$.“ Für $x=0$ ist die Gleichung falsch, denn $1 \cdot 0 = 0 \neq 1$.
    • „Der Kehrwert einer negativen Zahl ist positiv.“ Eine Zahl und ihr Kehrwert haben dasselbe Vorzeichen, sonst wäre ihr Produkt nicht $1$, sondern hätte ein negatives Vorzeichen.