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Rationale Zahlen – Multiplikation und Division

Lerne, wie man rationale Zahlen multipliziert und dividiert, warum das wichtig ist und wie es dir hilft, zum Beispiel Temperaturwerte zu verstehen. Interessiert? Das und vieles mehr findest du im folgenden Text!

Alle Inhalte sind von Lehrkräften & Lernexperten erstellt
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Team Digital
Rationale Zahlen – Multiplikation und Division
lernst du in der 7. Klasse - 8. Klasse

Rationale Zahlen – Multiplikation und Division Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Rationale Zahlen – Multiplikation und Division kannst du es wiederholen und üben.
  • Berechne die Produkte und Quotienten.

    Tipps

    Beachte die Vorzeichenregel Minus mal Minus ergibt Plus.

    Das Doppelte von $-4,8$ ist $-9,6$.

    Hier ist eine Beispielrechnung:

    $ (-2,3) \cdot 3,1 = 2,3 \cdot (-3,1) = - 7,13 $

    Lösung

    Bei der Multiplikation und Division rationaler Zahlen kannst du zunächst mit den reinen Zahlenwerten rechnen und das Vorzeichen dann mit der Regel Minus mal Minus ergibt Plus bestimmen. Etwas genauer: Ist die Anzahl der Minuszeichen der Fakoren gerade, hat das Produkt das Vorzeichen $+$. Ist die Anzahl der Minuszeichen der Faktoren ungerade, hat das Produkt das Vorzeichen $-$. Bei Divisionen gilt dasselbe.

    So erhältst du folgende Gleichungen:

    • $(-2,5) \cdot (-4,2) = + 10,5$
    • $2,5 \cdot (-4,2) = - 10,5$
    • $(-2,5) \cdot (-1,5) \cdot 3,5 = 13,125$
    • $(-2,5) \cdot (-1,5) = 3,75$
    • $(-10,25) : 5 = - 2,05$
  • Bestimme die Gleichungen.

    Tipps

    Überprüfe die Vorzeichen der beiden Seiten jeder Gleichung.

    Die Anzahl an Minuszeichen in einer Gleichung von Produkten oder Quotienten ist auf beiden Seiten gerade oder auf beiden Seiten ungerade.

    Folgende Gleichung ist falsch:

    $ (-1,1) \cdot (1,1) \cdot (-2) = - 2,42 $

    Auf der linken Seite steht eine gerade Anzahl von Minuszeichen, auf der rechten Seite eine ungerade Anzahl.

    Lösung

    Um die Gleichungen zu überprüfen, kannst du zuerst auf die Vorzeichen achten: Nach der Regel Minus mal Minus ergibt Plus ist das Produkt zweier negativer Zahlen immer positiv, das Produkt dreier negativer Zahlen immer negativ usw. Stimmen die Vorzeichen beider Seiten einer Gleichung überein, musst du noch die Zahlenwerte rechnerisch überprüfen.

    Folgende Gleichungen sind richtig:

    • $(-2,5) \cdot (-1,5) = 3,75$
    • $3,75 \cdot 3,5 = 13,125$
    • $(-2,5) \cdot (-4,2) = 10,5$
    Folgende Gleichungen sind falsch:

    • $(-10,25):(-5) \neq -2,05$, denn die Vorzeichen auf beiden Seiten der Gleichung sind nicht konsistent. Tatsächlich ist $(-10,25):(-5) = +2,05$.
    • $(-2,5) \cdot (-1,5) \cdot (-3,5) \neq 13,125$, denn $(-2,5) \cdot (-1,5) = 3,75$ und $3,75 \cdot (-3,5) = -13,125$.
    • $(-2,5) \cdot (-1,5) \neq 3,5$, denn hier stimmen zwar die Vorzeichen, aber nicht der Zahlenwert. Tatsächlich ist $(-2,5) \cdot (-1,5) = 3,75$.
  • Bestimme die Produkte und Quotienten.

    Tipps

    Vergleiche die Vorzeichen der beiden Seiten einer Gleichung.

    Hier ist eine Beispielrechnung:

    $(-5,5) : (-1,1) = 5$

    Dividierst du eine Zahl durch einen positiven Dezimalbruch $<1$, so wird die Zahl größer.

    Lösung

    Bei der Division rationaler Zahlen gilt eine ähnliche Regel wie die Regel Minus mal Minus ergibt Plus für die Multiplikation: Sind Dividend und Divisor beide negativ, ist der Quotient positiv. Ist von Divisor und Dividend nur einer der beiden negativ, der andere positiv, ist der Quotient negativ.

    Bei der Rechnung kannst du zunächst mit den reinen Zahlenwerten rechnen und dann die Vorzeichen vergleichen.

    So erhältst du folgende Gleichungen:

    • $(-1,2) \cdot (-2,3) \cdot (-1,1) = -3,036$
    • $(-1,4) \cdot 0,9 \cdot (-1,1) = 1,386$
    • $1,2 \cdot (-1,5) \cdot 1,8 = -3,24$
    • $1,3 :(-0,2) = -6,5$
    • $(-7,2):(-2,4) = 3$
  • Erschließe die rationalen Zahlen.

    Tipps

    Das Produkt aus dem Divisor und dem Quotienten einer Division ergibt wieder den Dividenden.

    Bei einer Division mit negativen Vorzeichen kannst du zuerst die Division mit den Zahlenwerten mit positiven Vorzeichen ausrechnen und danach das Vorzeichen ergänzen: Sind Dividend und Divisor beide negativ, so ist der Quotient positiv. Sind nur der Divisor oder nur der Dividend negativ, so ist der Quotient ebenfalls negativ.

    Lösung

    Um die Aufgabe zu lösen, musst du die fehlenden Terme in den Rechnungen erschließen. Die Rechnungen sind Multiplikationen und Divisionen rationaler Zahlen. Allerdings fehlen nicht immer die Ergebnisse, sondern machmal auch Zwischenschritte, die du aus dem Ergebnis erschließen kannst. Dabei gilt neben der Berechnung der reinen Zahlenwerte immer die Vorzeichenregel Minus mal Minus ergibt Plus.

    Du kannst folgende Rechnungen erschließen:

    • $(-1,3) : (-0,65) =\Box$: Gesucht ist eine positive Zahl, da auf der linken Seite zwei negative Zahlen multipliziert werden. Den Zahlenwert ermittelst du, indem du $1,3 : 0,65 = 2$ rechnest. Die vollständige Rechnung lautet: $(-1,3) : (-0,65) = +2 = 2$.
    • $(1,2) \cdot (\Box)\cdot (-1,5) = 4,14$: Gesucht ist hier eine rationale Zahl, die mit den beiden anderen Faktoren der linken Seite zusammen das Produkt $4,14$ ergibt. Die gesuchte Zahl muss negativ sein, denn auf der linken Seite steht nur eine weitere negative Zahl, auf der rechten Seite der Gleichung aber eine positive Zahl. Den Zahlenwert erhältst du, indem du zunächst die beiden Zahlenwerte links multiplizierst zu $1,2 \cdot 1,5 = 1,8$ und dann die rechte Seite durch $1,8$ dividierst zu $4,14 : 1,8 = 2,3$. Die vollständige Rechnung lautet also: $(1,2) \cdot (-2,3) \cdot (-1,5) = 4,14$.
    • $(1,98) : (-0,9) = (\Box)$: Der Quotient auf der rechten Seite muss negativ sein, da der Dividend positiv und der Divisor negativ ist. Du kannst zuerst die Division für die Zahlenwerte ausrechnen und dann das Vorzeichen ergänzen: $1,98:0,9 = 2,2$. Daher lautet die vollständige Rechnung mit den korrekten Vorzeichen: $(1,98) : (-0,9) = (-5,5) \cdot (+0,4) = 2,2$.
  • Zeige die rationalen Zahlen auf dem Zahlenstrahl.

    Tipps

    Je größer der Zahlenwert einer negativen Zahl ist, desto kleiner ist die Zahl.

    Auf der Zahlengeraden stehen die Zahlen nach der Größe geordnet, von links nach recht aufsteigend.

    Die rationale Zahl $-\frac{1}{3}$ ist größer als $-1$ und kleiner als $0$.

    Lösung

    Auf der Zahlengeraden sind die Zahlen nach der Größe angeordnet: Je kleiner eine Zahl ist, desto weiter links steht sie. Negative Zahlen sind kleiner als $0$ und stehen daher links von $0$ auf dem Zahlenstrahl. Von zwei negativen Zahlen ist jeweils die mit dem größeren Zahlenwert die kleinere Zahl.

    Der Abstand zweier benachbarter ganzer Zahlen ist auf der Zahlengeraden immer derselbe. Nicht ganze rationale Zahlen stehen jeweils zwischen zwei ganzen Zahlen. Die Zahl $-\frac{1}{3}$ steht zwischen den Zahlen $-1$ und $0$, die Zahl $\frac{1}{3}$ zwischen $0$ und $1$. Die Zahlen $1,7$ und $-1,7$ haben jeweils denselben Abstand zur $0$. Die Zahl $1,7$ steht zwischen $1$ und $2$. Auch die Zahlen $-3,5$ und $3,5$ haben denselben Abstand zu $0$. Die Zahl $-3,5$ steht rechts der $-4$ und links der $-3$.

  • Berechne die Produkte und Quotienten.

    Tipps

    Es gilt:

    $(2 \cdot 3) : 4 = 6 : 4 = 1,5$ und $2 \cdot (3:4) = 2 \cdot 0,75 = 1,5$

    Lösung

    Du kannst je nach Belieben zuerst die Multiplikationen oder zuerst die Divisionen ausführen und erhältst folgende Gleichungen:

    • $(-1,1) \cdot (-2,2) : 0,5 = 4,84 = 4,84 \cdot 0,5 \cdot 2$
    • $0,25 \cdot (-4,84) : (-0,2) = 6,05 = 0,5 \cdot (-24,2):(-2)$
    • $(-1,3) \cdot (-2,4) :(-1,5) = -2,08 = 4,16:(-2)$
    • $(-4,0) \cdot 0,125 \cdot (-4,16) = 2,08 = (-8,32) \cdot (-0,25)$