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Ganze Zahlen multiplizieren 04:28 min

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Transkript Ganze Zahlen multiplizieren

Was die Multiplikation ganzer Zahlen mit Autos zu tun hat?! Das zeigen wir dir hier. Schnall dich an, los geht's!

Die Landstraße als Zahlengerade

Stell dir vor, du stehst an einer großen Landstraße. Autos fahren nach Osten und nach Westen. Das kannst du auch an einem Zahlenstrahl darstellen.

Wir legen für uns einfach fest:

  • Wir stehen bei Null.
  • Richtung Osten geht es in positive Richtung, also nach rechts auf dem Zahlenstrahl.
  • Richtung Westen geht es in negative Richtung, also nach links.

Fahrtrichtung Osten

Ein blaues Auto fährt an dir vorbei. Es fährt Richtung Osten, also in positive Richtung auf dem Zahlenstrahl, und das mit einer Geschwindigkeit von 50km/h.

Nach einer Stunde ist das Auto hier: 50km östlich von deinem Standpunkt. Und nach zwei Stunden ist das Auto 100 km östlich, also bei +100 auf dem Zahlenstrahl. 2 Stunden lang mit 50km/h Richtung Osten zu fahren, lässt sich auch als Gleichung ausdrücken:

2 * 50 = 100

Fahrtrichtung Westen

Aber was passiert, wenn ein Auto in die andere Richtung fährt? Also zurück zu deinem Standpunkt. Dieses Mal fährt ein rotes Auto Richtung Westen, also in negative Richtung auf dem Zahlenstrahl. Zwei Stunden später ist das rote Auto 100 KM westlich von dir, also bei -100. Nicht vergessen, dieses Mal fährt das Auto mit 50km/h in die negative Richtung, und das zwei Stunden lang. Die Gleichung dazu lautet deshalb:

2 * (-50) = -100

Blick auf Vergangene Ereignisse

Gehen wir nun einen Schritt weiter. Ein Auto fährt mit 50km/h Richtung Osten, also in positive Richtung, an dir vorbei. Wo befand sich dieses Auto vor zwei Stunden? Vor zwei Stunden war dieses Auto 100km westlich von dir, also bei minus 100 auf dem Zahlenstrahl. In einer Gleichung kannst du "vor 2 Stunden" mit minus 2 ausdrücken. Das Auto ist in positive Richtung, nämlich nach Osten unterwegs. Die Gleichung lautet also:

(-2) * 50 = -100

Und ein Auto, das Richtung Westen, also in negative Richtung, mit 50 km/h unterwegs ist, wo war das vor zwei Stunden? Vor zwei Stunden war dieses Auto 100km östlich von dir. Also bei +100 auf dem Zahlenstrahl. Auch hier kannst du "vor zwei Stunden" mit minus 2 ausdrücken. Und 50 km/h in negative Richtung sind minus 50. Die Gleichung dazu lautet:

(-2) * (-50) = 100

Übersicht

Diese Gleichung nutzt du, wenn ein Auto 2 Stunden mit 50 km/h lang in positive Richtung fährt. 2 mal fünfzig ist gleich 100. Diese Gleichung steht für ein Auto, das 2 Stunden lang mit 50 km/h in negative Richtung fährt. 2 mal minus fünfzig ist gleich minus 100. Mit der nächsten Gleichung rechnen wir aus, wo ein Auto, das in positive Richtung fährt, vor 2 Stunden war. minus 2 mal fünfzig ist gleich minus 100. Die letzte Gleichung zeigt, wo ein Auto, das in negative Richtung unterwegs ist, vor 2 Stunden war. minus 2 mal minus 50 ist gleich 100.

Na, erkennst du schon eine Regel?

Wenn du 2 positive Zahlen multiplizierst, erhältst du ein positives Ergebnis. Multiplizierst du eine positive mit einer negativen Zahl, kommt ein negatives Ergebnis heraus und rechnest du eine negative mal eine positive Zahl, erhältst du ebenfalls eine negative Zahl. Aber... multiplizierst du zwei negative Zahlen, kommt ein positives Ergebnis heraus.

Merkregel

Multiplizierst du zwei Zahlen mit gleichem Vorzeichen, erhältst du ein positives Ergebnis. Multiplizierst du aber zwei Zahlen mit unterschiedlichen Vorzeichen, ergibt das ein negatives Ergebnis.
Und, was noch besser ist: diese Regel gilt für die Multiplikation UND die Division. UND nicht nur für ganze Zahlen sondern sogar für Brüche!

Doch aufgepasst - die Manipulation von Zeit und Raum kann ungeahnte Folgen haben.

Ganze Zahlen multiplizieren Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Ganze Zahlen multiplizieren kannst du es wiederholen und üben.

  • Bestimme mittels Multiplikation die Position auf dem Zahlenstrahl.

    Tipps

    Bei der Zeitangabe „vor zwei Stunden“ handelt es sich um eine vergangene Zeit. In deiner Rechnung kannst du diese mit einem negativen Vorzeichen berücksichtigen.

    Die gesuchte Position entspricht der zurückgelegten Strecke. Diese erhältst du wie folgt:

    Strecke $=$ Geschwindigkeit $\cdot$ Zeit.

    Lösung

    Bevor wir die vier Fälle betrachten, halten wir Folgendes fest:

    • Richtung Osten: nach rechts auf dem Zahlenstrahl $\rightarrow$ positives Vorzeichen
    • Richtung Westen: nach links auf dem Zahlenstrahl $\rightarrow$ negatives Vorzeichen
    • nach 2 Stunden: Zeit in der Zukunft $\rightarrow$ positives Vorzeichen
    • vor 2 Stunden: Zeit in der Vergangenheit $\rightarrow$ negatives Vorzeichen
    Damit können wir nun die Berechnungen für alle vier Fälle durchführen. Wir erhalten:

    Fall 1
    Ein Auto fährt Richtung Osten an Max vorbei. Auf welcher Position des Zahlenstrahls befindet sich das Auto nach $2$ Stunden?

    $2\cdot 50=100$

    Fall 2
    Ein Auto fährt Richtung Westen an Max vorbei. Auf welcher Position des Zahlenstrahls befindet sich das Auto nach $2$ Stunden?

    $2\cdot (-50)=-100$

    Fall 3
    Ein Auto fährt Richtung Osten an Max vorbei. Auf welcher Position des Zahlenstrahls befand sich das Auto vor $2$ Stunden?

    $(-2)\cdot 50=-100$

    Fall 4:
    Ein Auto fährt Richtung Westen an Max vorbei. Auf welcher Position des Zahlenstrahls befand sich das Auto vor $2$ Stunden?

    $(-2)\cdot (-50)=100$

  • Gib die Rechenaufgabe zu der jeweiligen Vorzeichenregel an.

    Tipps

    Achte auf die Vorzeichen der Zahlen. Falls kein Vorzeichen vorhanden ist, handelt es sich um eine positive Zahl.

    Lösung

    Folgende Regeln gelten bei der Multiplikation zweier Zahlen:

    • Die Multiplikation zweier Zahlen mit dem gleichen Vorzeichen liefert ein positives Ergebnis.
    • Die Multiplikation zweier Zahlen mit unterschiedlichem Vorzeichen liefert ein negatives Ergebnis.
    Aus diesen beiden Regeln lassen sich vier verschiedene Vorzeichen-Kombinationen bei der Multiplikation ableiten. Nun möchten wir die vorgegebenen Aufgaben diesen vier Vorzeichenregeln zuordnen. Es folgt:

    $ \begin{array}{llllllllllr} + \cdot + = + && \Rightarrow && (+2)\cdot (+2)=+4 && \Rightarrow && 2\cdot 2&=&4 \\ + \cdot - = - && \Rightarrow && (+2)\cdot (-2) = -4 && \Rightarrow && 2\cdot (-2) &=& -4\\ - \cdot + = - && \Rightarrow && (-2)\cdot (+2) = -4 && \Rightarrow && (-2)\cdot 2 &=& -4\\ - \cdot - = + && \Rightarrow && (-2)\cdot (-2) = +4 && \Rightarrow && (-2)\cdot (-2) &=& 4 \end{array} $

  • Gib an, welche Regeln bei der Multiplikation von Zahlen gelten.

    Tipps

    Da eine Multiplikation die mehrfache Addition desselben Summanden ist, kannst du den Term $3\cdot (-5)$ auch darstellen als:

    $-5+(-5)+(-5)=-15$.

    Für die obige Addition erhalten wir ein negatives Ergebnis. Dieses Ergebnis entspricht ebenfalls dem Resultat für $3\cdot(-5)$. Was stellst du nun bezüglich der Vorzeichen der Faktoren fest?

    Wenn $3\cdot (-5)=-15$ ist, dann gilt:

    $-15 : 3=-5$.

    Lösung

    Sowohl bei der Multiplikation als auch bei der Division von Zahlen gelten folgende Regeln:

    $ \begin{array}{lllll} + \cdot + & \Rightarrow & + && \text{Plus mal Plus ergibt Plus.} \\ + \cdot - & \Rightarrow & - && \text{Plus mal Minus ergibt Minus.} \\ - \cdot + & \Rightarrow & - && \text{Minus mal Plus ergibt Minus.} \\ - \cdot - & \Rightarrow & + && \text{Minus mal Minus ergibt Plus.} \\ \end{array} $

    Diese kann man zu folgenden Regeln zusammenfassen:

    • Die Multiplikation zweier Zahlen mit dem gleichen Vorzeichen liefert ein positives Ergebnis.
    • Die Multiplikation zweier Zahlen mit unterschiedlichem Vorzeichen liefert ein negatives Ergebnis.
    • Diese Regeln gelten sowohl für die Multiplikation als auch für die Division.
  • Ermittle die fehlende Zahl.

    Tipps

    Bei einer Multiplikation mit mehr als drei Faktoren gilt Folgendes:

    • Wenn die Anzahl der negativen Faktoren gerade ist, so ist das Ergebnis positiv.
    • Wenn die Anzahl der negativen Faktoren ungerade ist, so ist das Ergebnis negativ.

    Schau dir folgende Beispiele an:

    1. $(-3)\cdot 6\cdot (-1)=18$;
    2. $3\cdot 6\cdot (-1)=-18$.
    In der ersten Aufgabe haben wir $2$ negative Faktoren und somit eine gerade Anzahl an negativen Faktoren. Also ist das Ergebnis positiv.

    In der zweiten Aufgabe liegt nur ein negativer Faktor vor. Da wir eine ungerade Anzahl an negativen Faktoren haben, resultiert ein negatives Ergebnis.

    Lösung

    In dieser Aufgabe tauchen nun Rechnungen mit mehr als zwei Faktoren auf. In so einem Fall ist Folgendes zu beachten:

    • Wenn die Anzahl der negativen Faktoren gerade ist, so ist das Ergebnis positiv.
    • Wenn die Anzahl der negativen Faktoren ungerade ist, so ist das Ergebnis negativ.
    Ausgehend von dieser Regel, werden wir nun die Aufgaben lösen.

    Aufgabe 1

    $(-2)\cdot$ ___ $=6$

    Es ist ein negativer Faktor und ein positives Ergebnis gegeben. Damit das Ergebnis positiv sein kann, muss der zweite Faktor ebenfalls negativ sein, denn „Minus mal Minus ergibt Plus“. Somit lautet die Lösung:

    $(-2)\cdot (-3)=6$.

    Aufgabe 2

    $4\cdot 5\cdot (-1)=$ ___

    Es sind ein negativer und zwei positive Faktoren gegeben. Somit haben wir eine ungerade Anzahl an negativen Faktoren und erhalten folgende Lösung:

    $4\cdot 5\cdot (-1)=-20$.

    Aufgabe 3

    $5\cdot$ ___ $\cdot (-1)=-30$

    Es ist ein negativer und ein positiver Faktor gegeben. Das Ergebnis ist negativ. Da wir bereits eine ungerade Anzahl an negativen Faktoren haben, muss der gesuchte Wert positiv sein, damit ein negatives Ergebnis möglich ist. Wir erhalten folgende Lösung:

    $5\cdot 6\cdot (-1)=-30$.

    Aufgabe 4

    ___ $\cdot (-2)\cdot (-2)=12$

    Es sind zwei negative Faktoren gegeben. Das Ergebnis ist positiv. Da wir bereits eine gerade Anzahl an negativen Faktoren haben, muss der gesuchte Wert positiv sein, damit ein positives Ergebnis möglich ist. Wir erhalten folgende Lösung:

    $3\cdot (-2)\cdot (-2)=12$.

  • Ermittle die gesuchte Größe mittels Multiplikation.

    Tipps

    Unsere Ausgaben führen zu einer Abnahme unseres Vermögens. Daher haben Ausgaben negative Vorzeichen.

    Wenn wir etwas über einen Zeitpunkt in der Vergangenheit errechnen möchten, hat die Zeitangabe ebenfalls ein negatives Vorzeichen.

    Die Multiplikation zweier Zahlen mit dem gleichen Vorzeichen liefert ein positives Ergebnis.

    Lösung

    Wir halten Folgendes fest:

    • Lisa hat genau heute kein Geld mehr.
    • Lisa hat in der letzten Woche jeden Tag $10\ €$ ausgegeben.
    Gesucht ist der Betrag, den Lisa vor drei Tagen noch hatte. Dieser soll mittels einer Multiplikation bestimmt werden. Da es sich hierbei um Ausgaben handelt, ist einer der Faktoren in unserer Rechnung die $(-10)$. Zudem möchten wir in die Vergangenheit zurückrechnen. Auch dies erfolgt mit einem negativen Faktor, nämlich der $(-3)$. Somit erhalten wir:

    $(-3)\cdot (-10)$.

    Wir wissen, dass die Multiplikation zweier Zahlen mit dem gleichen Vorzeichen ein positives Ergebnis liefert. Also folgt:

    $(-3)\cdot (-10)=30$.

  • Bestimme die gesuchten Produkte.

    Tipps

    Multipliziere die Einträge in der Tabellenspalte mit den Einträgen in der Tabellenzeile. Schau dir folgendes Beispiel an:

    $ \begin{array}{l|l|l} \text{multipliziere} & -4 & 2 \\ \hline \\ 2 & -8 & 4 \\ \hline \\ -1 & 4 &-2 \end{array} $

    Beachte die unten aufgeführten Regeln bei der Multiplikation.

    $ \begin{array}{lllll} + \cdot + & \Rightarrow & + && \text{Plus mal Plus ergibt Plus.} \\ + \cdot - & \Rightarrow & - && \text{Plus mal Minus ergibt Minus.} \\ - \cdot + & \Rightarrow & - && \text{Minus mal Plus ergibt Minus.} \\ - \cdot - & \Rightarrow & + && \text{Minus mal Minus ergibt Plus.} \\ \end{array} $

    Lösung

    Wir multiplizieren die Einträge in der Tabellenspalte mit den Einträgen in der Tabellenzeile. Dabei beachten wir, dass folgende Regeln für die Vorzeichen gelten:

    • Die Multiplikation zweier Zahlen mit dem gleichen Vorzeichen liefert ein positives Ergebnis.
    • Die Multiplikation zweier Zahlen mit unterschiedlichem Vorzeichen liefert ein negatives Ergebnis.
    Damit erhalten wir folgende Einträge in der Tabelle:

    $ \begin{array}{l|l|l} \text{multipliziere} & -3 & 7 \\ \hline \\ -4 & 12 & -28 \\ \hline \\ 6 & -18 &42 \end{array} $