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Ganze Zahlen – Grundrechenarten 05:58 min

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Transkript Ganze Zahlen – Grundrechenarten

Jeden Tag gehst du zur Schule. Immer den gleichen Weg. Immer die gleichen Schritte. Genauso ist das mit den natürlichen Zahlen. Die kennst du auch schon in- und auswendig. Mit denen kannst du schon im Schlaf rechnen. Aber irgendwann fragst du dich vielleicht, ob du nicht auch mal einen Schritt in die andere Richtung wagen solltest. Wer weiß, was dich dort erwartet? Ein völlig neues Gebiet! Merkwürdige Zahlen und fremdartige Rechenweisen! Ein ganz anderes Land! Du musst nur die ersten Schritte wagen mit den Grundrechenarten mit ganzen Zahlen. Wir beginnen mit der Addition! Addierst du zu einer Zahl eine positive Zahl, dann gehst du auf dem Zahlenstrahl nach rechts. Addierst du aber eine negative Zahl, dann gehst du nach links. Sehen wir uns dazu zwei Beispiele an: Wenn wir 'minus 5' + 1 ausrechnen, starten wir auf dem Zahlenstrahl bei minus 5 und gehen einen Schritt nach rechts, denn wir rechnen hier plus eine positive Zahl. Wir landen beim Ergebnis minus 4. Jetzt rechnen wir 'minus 4' + 'minus 5' aus. Bei diesem Beispiel liegt unser Startpunkt bei minus 4 und wir gehen fünf Schritte nach links denn wir rechnen plus eine negative Zahl. Dann landen wir beim Ergebnis minus 9. Die Addition einer Zahl ist das Gleiche, wie die Subtraktion ihrer Gegenzahl. Dann erhältst du dasselbe Ergebnis. Und damit sind wir schon bei der Subtraktion. Da ist es genau umgekehrt: Wenn Du eine positive Zahl subtrahierst, gehst du nach links. Und entsprechend gehst Du nach rechts, wenn du eine negative Zahl subtrahierst. Schauen wir uns auch dazu zwei Beispiele an: Wenn du 'minus 9' minus 2 berechnest, startest du auf der 'minus 9' und gehst 2 Schritte nach links zur 'minus 11'. Du kannst diese Aufgabe nämlich als 'minus 9' minus 'plus 2' lesen: So siehst du, dass du eine positive Zahl subtrahierst. Du kannst die Aufgabe aber auch lesen als: 'minus 9' plus 'minus 2'. Dann addierst du eine negative Zahl. Auch dabei kommst du bei der 'minus 11' an. Schauen wir uns jetzt 'minus 11' minus 'minus 4' an. Du startest auf der 'minus 11' bewegst dich 4 Schritte nach rechts und kommst auf das Ergebnis 'minus 7'. Denn hier haben wir eine negative Zahl subtrahiert. Für das Lösen solcher Aufgaben kannst du dir merken, dass die Subtraktion einer Zahl das Gleiche ist, wie die Addition ihrer Gegenzahl. Übrigens: Im Gegensatz zu den natürlichen Zahlen kann man bei den ganzen Zahlen jede beliebige Minusrechnung ausführen. Es ist ja kein Problem, wenn eine negative Zahl als Ergebnis herauskommt! Jetzt kommen wir zur Multiplikation. Auch hier betrachten wir einige Beispiele. Eine positive Zahl mal eine positive Zahl ergibt ein positives Ergebnis. Deshalb erhältst du bei der Rechnung 3 mal 2 ein positives Ergebnis, nämlich 6. Werden dagegen eine positive und eine negative Zahl miteinander multipliziert, ist das Ergebnis negativ. Wie bei 3 mal 'minus 2' – das ergibt nämlich 'minus 6'. Weil für die Multiplikation das Kommutativgesetz gilt, darfst Du auch beide Faktoren vertauschen: Minus 2' mal 3 ist also AUCH 'minus 6'. Wenn du also eine negative und eine positive Zahl miteinander multiplizierst, ist das Ergebnis auch negativ. Und wie ist das bei zwei negativen Zahlen? Minus 2' mal 'minus 3' ist 'plus 6'. Das Ergebnis ist also wieder positiv. Du merkst dir also minus mal minus ist plus. Diese Regeln gelten, weil du bei negativen Zahlen immer eine 'minus eins' ausklammern kannst. Wenn du jetzt das Kommutativgesetz benutzt, multiplizierst du nur die positiven Zahlen und zählst ab, wie oft der Faktor 'minus eins' auftritt. Ist die Anzahl der 'minus Einsen' gerade, so wird das Ergebnis der Rechnung positiv. Bei ungerader Anzahl ist das Ergebnis dagegen negativ. Das funktioniert genauso auch bei der Division. Beim Dividieren zweier positiver Zahlen bleibt auch das Ergebnis positiv. 8 durch 2 ist 4. Dagegen wird das Ergebnis einer negativen Zahl dividiert durch eine positive Zahl negativ. 'Minus 8' durch 2 ist 'minus 4'. Genauso ist es, wenn du eine positive Zahl durch eine negative teilst: 8 durch 'minus 2' ist also auch 'minus 4'. Und wenn du zwei negative Zahlen dividierst, erhältst du ein positives Ergebnis. Minus 8' durch 'minus 2' ist gleich 4. Auch bei der Division rechnest du am besten nur mit den Zahlwerten. Das Vorzeichen des Ergebnisses bestimmst du dann, indem du zählst, wie viele Minuszeichen in der Rechnung vorkommen. Ist die Anzahl gerade, so ist dein Ergebnis positiv, ist die Anzahl ungerade, so ist dein Ergebnis negativ. Fassen wir nochmal zusammen: Für die Strichrechnung, also plus und minus, musst du beachten, in welche Richtung du auf dem Zahlenstrahl gehst. Bei der Addition einer positiven Zahl oder der Subtraktion einer negativen Zahl gehst du nach rechts. Bei der Addition einer negativen Zahl oder der Subtraktion einer positiven Zahl gehst du nach links. Für die Punktrechnung, also mal und geteilt, ermittelst du das Vorzeichen des Ergebnisses, indem du die Anzahl der Minuszeichen bestimmst. Ist die Anzahl ungerade, so ist das Ergebnis negativ. Ist die Anzahl aber gerade, dann ist das Ergebnis positiv. So kommst du weiter und weiter. Du lernst ferne Zahlen kennen, sehr, sehr kleine Zahlen, die sehr, sehr weit von der Null entfernt sind. Hm, das sieht alles trotzdem irgendwie bekannt aus! Irgendwie kommt man ja dann doch immer wieder da raus, wo man sich auskennt.

2 Kommentare
  1. Hallo Conductor_Q, danke für Dein positives Feedback! Das freut uns hier in der Matheredaktion sehr! Liebe Grüße!

    Von Albrecht Kröner, vor 18 Tagen
  2. Gutes Viedeo war sehr lehrreich Übungen waren sehr passend und Lehrreich

    Dankeschön

    Eurer Conductor_Q2

    Von Conductor Q., vor 20 Tagen

Ganze Zahlen – Grundrechenarten Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Ganze Zahlen – Grundrechenarten kannst du es wiederholen und üben.

  • Gib die richtigen Rechnungen wieder.

    Tipps

    Die Addition einer negativen Zahl ist dasselbe wie die Subtraktion der zugehörigen positiven Zahl.

    Die Subtraktion von $-2$ ist dasselbe wie die Addition von $2$.

    $10:(-2) = -5$

    Lösung

    Die Strichrechnung mit ganzen Zahlen kannst du dir an der Zahlengeraden veranschaulichen: Die Addition positiver Zahlen oder Subtraktion negativer Zahlen führt dich nach rechts, die Subtraktion positiver Zahlen oder Addition negativer Zahlen nach links. Bei der Strichrechnung kannst du für jedes Minus den Faktor $(-1)$ ausklammern und musst dann nur noch die Regel Minus mal Minus ergibt Plus berücksichtigen. Bei der Division gilt ganz ähnlich: Haben Dividend und Divisor dasselbe Vorzeichen, so ist das Ergebnis positiv, andernfalls negativ. Die Rechnung kannst du wie bei der Multiplikation zunächst mit den Zahlwerten ohne Vorzeichen ausführen und dann das passende Vorzeichen ergänzen.

    Richtig sind folgende Rechnungen:

    • $(-8):2=-4\quad$ Dividend und Divisor haben verschiedene Vorzeichen, daher ist das Ergebnis negativ.
    • $(-3) \cdot 2 = -6\quad$ Die Anzahl negativer Faktoren ist $1$, also ungerade, daher ist das Produkt ebenfalls ungerade.
    • $8:(-2) = -4\quad$ Die Rechnung der Zahlwerte ist $8:2=4$; Dividend und Divisor haben verschiedene Vorzeichen, daher ist das Ergebnis $-4$.
    • $-4+(-5) = -9\quad$ Die Addition der negativen Zahl führt auf der Zahlengeraden fünf Schritte nach links: von $-4$ zu $-9$.
    Falsch sind folgende Rechnungen:

    • $-4+1=-5\quad$ Die Addition einer positiven Zahl führt auf der Zahlengeraden einen Schritt nach rechts: Richtig wäre daher $-4+1=-3$.
    • $-11-(-4)=7\quad$ Die Subtraktion einer Zahl ist dasselbe wie die Addition der Gegenzahl. Die Gegenzahl zu $-7$ ist $7$, daher ist die Subtraktion von $-7$ dasselbe wie die Addition von $7$, und dies führt auf der Zahlengeraden sieben Schritte nach rechts. Die korrekte Rechnung lautet also: $-11-(-4) = -11+4 = -7$.
    • $(-8):(-2) = -4\quad$ Dividend und Divisor haben dasselbe Vorzeichen, daher muss das Ergebnis positiv sein. Die richtige Rechnung lautet also: $(-8):(-2) = 4$.
  • Berechne die ganzen Zahlen.

    Tipps

    Die Addition einer positiven Zahl führt dich auf dem Zahlenstrahl nach rechts, die Addition einer negativen Zahl nach links.

    Beachte bei der Multiplikation die Regel Minus mal Minus ergibt Plus.

    $(-13)-(-2) = -11$.

    Lösung

    Die korrekte Zuordnung lautet wie folgt:

    • $-4+1 = -3$: Die Addition bedeutet einen Schritt auf der Zahlengeraden nach rechts.
    • $-4+(-5) = -9$: Die Addition von $-5$ bedeutet fünf Schritte auf der Zahlengeraden nach links: Du startest bei $-4$ und endest bei $-9$.
    • $-11-(-4)=-7$: Die Subtraktion von $-4$ ist dasselbe wie die Addition der Gegenzahl $4$. Du gehst also vier Schritte auf der Zahlengeraden nach rechts: von $-11$ bis zu $-7$.
    • $(-3) \cdot (-2)=6$: Du kannst zweimal $(-1)$ ausklammern und erhältst dann: $(-3) \cdot (-2) = (-1) \cdot (-1) \cdot 3 \cdot 2 = 3 \cdot 2 = 6$.
    • $(-3) \cdot 2 = -6$: Du kannst einmal $(-1)$ ausklammern und erhältst damit: $(-3) \cdot 2 = (-1) \cdot 3 \cdot 2 = (-1) \cdot 6 = -6$.
  • Erschließe die Ergebnisse.

    Tipps

    Beachte beim Ausrechnen der Terme die Regel Punktrechnung vor Strichrechnung.

    Lösung

    Du musst neben den üblichen Rechenregeln für die Grundrechenarten jetzt auch die Regel Punktrechnung vor Strichrechnung berücksichtigen. Hier sind die richtigen Zuordnungen (mit Zwischenschritten):

    • $23-(-18):(-2) = 23 -9 = 14$
    • $11 \cdot (-8-(-3)) = 11 \cdot (-8+3) = 11 \cdot (-5) = -55$
    • $-11 \cdot 7 + (-27) \cdot (-3) = -77 + 81 = 4$
    • $42 - 14:(-2) = 42 -(-7) = 42 + 7 = 49$
    • $(14-42):2 = (-28):2 = -14$.
  • Beschreibe das Rechnen mit ganzen Zahlen.

    Tipps

    Auf dem Zahlenstrahl werden die Zahlen nach rechts hin immer größer.

    Beim Addieren natürlicher Zahlen ist die Summe größer als die Summanden, d.h., das Ergebnis liegt weiter rechts auf dem Zahlenstrahl.

    $(-4) + (-5) = -9$

    Lösung

    Die Addition und Subtraktion ganzer Zahlen kannst du dir mit Hilfe der Schritte entlang der Zahlengeraden veranschaulichen. Addierst du eine positive Zahl, so gehst du nach rechts, subtrahierst du eine positive Zahl, so gehst du auf der Zahlengeraden nach links. Beim Rechnen mit negativen Zahlen ist es genau umgekehrt: Die Addition einer negativen Zahl führt dich nach links, die Subtraktion einer negativen Zahl nach rechts.

    Im konkreten Beispiel bedeutet das:

    $(-11) -(-4) =-7$

    Für die Multiplikation ganzer Zahlen gibt es kein so einfaches Bild wie das Voranschreiten auf der Zahlengeraden. Hier bestimmt die Anzahl der negativen Faktoren das Vorzeichen des Ergebnisses. Bei einer geraden Anzahl negativer Faktoren ist das Produkt positiv, bei einer ungeraden Zahl negativer Faktoren es negativ.

    Konkret heißt das:

    $(-2) \cdot (-3) =6$

    und

    $2 \cdot (-3) =-6$

    Bei der Division gilt nun etwas Ähnliches: Haben Dividend und Divisor dasselbe Vorzeichen, so ist das Ergebnis der Division positiv, haben sie verschiedene Vorzeichen, so ist es negativ.

    Im Beispiel bedeutet das:

    $(-8):2 =-4$

    und

    $(-8):(-2) = 4$

  • Arbeite die Regeln für das Rechnen mit ganzen Zahlen heraus.

    Tipps

    Die Gegenzahl der Gegenzahl ist die ursprüngliche Zahl.

    Um die Gegenzahl von $(3-4)$ zu bestimmen, kannst du entweder zuerst die Differenz ausrechnen und dann die Gegenzahl bestimmen, oder die Differenz mit $(-1)$ multiplizieren und dann die Klammern auflösen und ausrechnen.

    Die Anzahl negativer Vorzeichen bestimmt bei der Punktrechnung das Vorzeichen des Ergebnisses eindeutig, aber nicht bei der Strichrechnung.

    Lösung

    Folgende Aussagen sind falsch:

    • „In den ganzen Zahlen kannst du jede beliebige Division ausführen und das Ergebnis ist wieder eine ganze Zahl.“ Die Division $1:(-2)$ hat kein ganzzahliges Ergebnis.
    • „Die Summe einer geraden Anzahl negativer Zahlen ist positiv.“ Gegenbeispiel: $(-2) + (-3) = -5$. Die Anzahl der negativen Vorzeichen legt nur bei der Punktrechnung das Vorzeichen des Ergebnisses fest.
    • „Multiplizierst Du zwei ganze Zahlen, so ist das Produkt größer als jeder der beiden Faktoren.“ Gegenbeispiel: $(2-) \cdot 3 = -6$: Das Ergebnis ist kleiner als beide Faktoren.
    • „Die Gegenzahl des Produktes ist dasselbe wie das Produkt der Gegenzahlen.“ Bei der Multiplikation gilt die Regel Minus mal Minus ergibt Plus. Multiplizierst du zwei Gegenzahlen, so kannst du zweimal $(-1)$ ausklammern und erhältst das Produkt der beiden ursprünglichen Zahlen, nicht die Gegenzahl des Produktes.
    Folgende Aussagen sind richtig:

    • „Die Subtraktion der Gegenzahl ist dasselbe wie die Addition der ursprünglichen Zahl.“
    • „Die Division zweier Zahlen liefert dasselbe Ergebnis wie die Division der Gegenzahlen.“ Du kannst die beiden Faktoren $(-1)$ ausklammern. Sie ändern dann nichts daran, ob Dividend und Divisor dasselbe oder verschiedene Vorzeichen haben.
    • „Die Gegenzahl einer Differenz ist dasselbe wie die Differenz der Gegenzahlen.“ Auch hier kannst Du $(-1)$ ausklammern, bzw. in die Differenz hineinmultiplizieren. Ein Beispiel: $-(3-4) = ((-3) - (+4))$.
  • Werte die Rechnungen aus.

    Tipps

    Bei der Multiplikation ganzer Zahlen gilt die Regel Minus mal Minus ergibt Plus.

    Die Subtraktion einer Zahl liefert dasselbe Ergebnis wie die Addition der Gegenzahl.

    $124:(-4) = -31$.

    Lösung

    Wenn du jede Aufgabe einzeln ausrechnest, findest du folgende Zuordnungen:

    • $(-7) \cdot 3 = -21 = 8-29 = -63:3 = 7-28$
    • $(-3) \cdot (-6) = 18 = 54:3 = 72-54 = 9-(-9) = 92-74$
    • $13+(-31) = -18 = 63-81 = -54:3 = 19-37 = -72:4$
    • $(-4)+(-19) = -23 = 40-63 = -69:3 = 11-34 = -71:3$