Mit negativen Zahlen rechnen 06:37 min
Transkript Mit negativen Zahlen rechnen
Sebastian das Pferd liebt das Wasser und wäre so gern ein Seepferdchen geworden. Um mit seinen, naja, ähm, Wunsch-Artgenossen herumzutollen, möchte er das Seepferdchen-Abzeichen machen. Dazu muss er in der Lage sein, in verschiedene Tiefen zu tauchen. Im Moment befindet er sich 3 Meter unter der Wasseroberfläche. Die Tiefe unter der Wasseroberfläche stellen wir als negative Zahl auf dem Zahlenstrahl dar. Eine Tiefe von 3 Metern kennzeichnen wir also mit einer Minus 3 auf dem Zahlenstrahl. Nun versucht Sebastian 2 Meter tiefer zu tauchen, er will also 2 Meter an Tiefe dazu bekommen. Das Wort dazu kann durch eine Addition, also eine Plusrechnung, ausgedrückt werden. Wir können also schreiben: Minus 3 Plus. Er möchte 2 Meter Tiefe dazugewinnen, also addieren wir Minus 2. Da bei einer Rechnung nie zwei Rechenzeichen direkt aufeinanderfolgen dürfen, müssen wir hier noch Klammern ergänzen. In welcher Tiefe wird Sebastian landen? Dazu lernen wir das Rechnen mit negativen Zahlen. Schauen wir uns Sebastians Tauchgang an. Er taucht zu einer Tiefe von 5 Metern. Diese Tiefe ist mit der Minus 5 auf dem Zahlenstrahl markiert. Also muss das Ergebnis der Rechnung Minus 5 sein. Doch was muss man rechnen, wenn Sebastian weniger tief tauchen möchte? Sebastian ist bei einer Tiefe von 5 Metern und muss dringend Luft holen. Dazu möchte er 6 Meter weniger tief tauchen, also 6 Meter an Tiefe verlieren. Das Wort verlieren können wir durch eine Subtraktion ausdrücken, also eine Minusrechnung. Wir subtrahieren also Minus 6. Er springt aus dem Wasser – bis zur Plus 1 auf dem Zahlenstrahl. Also ergibt Minus 5 Minus in Klammern Minus 6 offenbar Plus 1. Doch wie funktionieren die Rechnungen genau? Schauen wir uns zunächst die Addition von negativen Zahlen an: Was ergibt Minus 4 Plus in Klammern minus 1? Wenn du zwei negative Zahlen addierst, kannst du das Pluszeichen und die Klammer weglassen. Also können wir auch Minus 4 Minus 1 rechnen. Wir starten auf dem Zahlenstrahl bei der Minus 4. Das Minus bedeutet, dass wir in negative Richtung auf dem Zahlenstrahl wandern, also nach links. Die Zahl hinter dem Minus gibt an, wie viele Schritte wir wandern müssen: bei uns also einen Schritt. Wir landen bei der minus 5 auf dem Zahlenstrahl. Also ergibt Minus 4 plus in Klammern Minus 1 Minus 5. Addierst du zwei negative Zahlen, ist das Ergebnis immer negativ. Wie müssen wir vorgehen, wenn wir zwei negative Zahlen subtrahieren wollen? Was ergibt zum Beispiel Minus 4 Minus in Klammern Minus 1? Wenn wir die Klammern weglassen und dann die beiden Minuszeichen durch ein Pluszeichen ersetzen, verändern wir das Ergebnis nicht. Also ist Minus 4 minus in Klammern minus 1 gleich Minus 4 plus 1. Wir starten also auf dem Zahlenstrahl wieder bei der Minus 4. Das Pluszeichen bedeutet, dass wir in positive Richtung auf dem Zahlenstrahl wandern müssen also eine Stelle nach rechts. Wir landen bei der Minus 3. Die Rechnung Minus 4 Minus in Klammern Minus 1 ergibt also Minus 3. Doch wie sieht es bei dieser Rechnung aus? Mit unserer Regel können wir die Klammern weglassen und die beiden Minus-Zeichen in ein Plus verwandeln. Also können wir die Rechnung als minus 4 Plus 6 schreiben. Auf dem Zahlenstrahl starten wir wieder bei der Minus 4 und gehen 6 Schritte nach rechts. Wir landen bei der Plus 2. Also ist minus 4 minus in Klammern minus 6 gleich plus 2. Bei der Subtraktion von negativen Zahlen musst du also darauf achten, ob die zweite Zahl kleiner, also weiter links auf dem Zahlenstrahl oder größer, also weiter rechts auf dem Zahlenstrahl ist, als die erste. Wie sieht es bei der Multiplikation, also beim Malrechnen, von negativen Zahlen aus? 3 mal 3 ergibt 9, das kennst du schon. Ändern wir in dieser Rechnung das Vorzeichen einer Zahl, rechnen also 3 mal in Klammern Minus 3 oder Minus 3 mal 3, erhalten wir ein negatives Ergebnis. Wenn wir jetzt auch noch das zweite Vorzeichen ändern, wechselt das Vorzeichen des Ergebnisses wieder – es wird also positiv. Minus 3 mal in Klammern Minus 3 ergibt Plus 9. Merke dir: Minus mal Minus ist Plus. Fehlt noch die Division von negativen Zahlen. Wie war das noch mit zwei positiven Zahlen? 6 geteilt durch 3 ergibt 2. Ändern wir in der Rechnung das Vorzeichen einer Zahl, rechnen also 6 geteilt durch in Klammern Minus 3 oder Minus 6 geteilt durch 3, erhalten wir ein negatives Ergebnis. Wie bei der Multiplikation gilt: wenn bei beiden Zahlen das Vorzeichen negativ ist, wird das Ergebnis wieder positiv. Minus 6 geteilt durch in Klammern Minus 3 ergibt Plus 2. Merke dir: Minus geteilt durch Minus ist Plus. Während Sebastian fröhlich taucht, fassen wir alles nochmal zusammen. Multiplizierst du zwei negative Zahlen, so ist das Ergebnis immer positiv. Man sagt: Minus mal Minus ist plus. Dividierst du zwei negative Zahlen, so ist das Ergebnis immer positiv. Minus geteilt durch Minus ist Plus. Addierst du zwei negative Zahlen, ist das Ergebnis immer negativ. Subtrahierst du zwei negative Zahlen, musst du aber etwas aufpassen! Ist die zweite Zahl kleiner als die erste, ist das Ergebnis positiv. Wenn die zweite Zahl aber größer ist als die erste, ist das Ergebnis negativ. Beim Subtrahieren von zwei negativen Zahlen können also positive oder negative Zahlen herauskommen. Sebastian hat es geschafft und kann mit seinen Seepferdchenfreunden durch die Weltmeere ziehen. Oh nein, was ist das! Da wollte wohl jemand ein Haipferdchen werden. Wenn du Mathe kannst, kannst du alles werden!
Videobeschreibung
Nach dem Schauen dieses Videos wirst du in der Lage sein, negative Zahlen zu addieren, subtrahieren, multiplizieren und dividieren.
Zunächst lernst du das Addieren und Subtrahieren negativer Zahlen. Anschließend lernst du das Multiplizieren und Dividieren negativer Zahlen. Abschließend lernst du, auf welche Kombinationen du besonders achten muss, da sich dort eventuell das Vorzeichen beim Rechnen ändert.
Lerne etwas über Seebastian das Pferd, welches lieber ein Seepferdchen sein wollte und wie er mithilfe der negativen Zahlen im Meer auf- und abtaucht.
Das Video beinhaltet Schlüsselbegriffe, Bezeichnungen und Fachbegriffe wie negative Zahlen addieren, negative Zahlen subtrahieren, negative Zahlen multiplizieren und negative Zahlen dividieren.
Bevor du dieses Video schaust, solltest du bereits wissen, wie du mit positiven Zahlen rechnest, wie Zahlen auf einer Zahlengerade eingetragen werden und was negative Zahlen sind.
Nach diesem Video wirst du darauf vorbereitet sein, das Rechnen mit positiven und negativen Zahlen zu lernen.
Die Tutoren:
Mit negativen Zahlen rechnen
Mit negativen Zahlen rechnen Übung
Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Mit negativen Zahlen rechnen kannst du es wiederholen und üben.
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Berechne das Ergebnis der Aufgaben mit negativen Zahlen.
Tipps
Bei einer Addition, wenn du also ein Pluszeichen ($+$) verwendest, bewegst du dich auf dem Zahlenstrahl nach rechts. Bei einer Subtraktion ist das umgekehrt.
Bist du im negativen Bereich (z.B. $-5$) und möchtest einen negativen Betrag (z.B. $-3$) dazu addieren, dann schreibst du das so:
$-5+(-3)=-5-3=-8$
Lösung
So kannst du den Lückentext vervollständigen:
„Seebastian startet bei einer Tiefe von $3$ Metern und möchte noch $2$ Meter an Tiefe gewinnen. Das drückt er aus durch:
$-3+(-2)$“
- Hier bist du im negativen Bereich und möchtest einen negativen Betrag addieren.
Das Ergebnis lautet dann:
$-3-2=-5$“
- Hast du bei Strichrechnungen zwei unterschiedliche direkt hintereinanderstehende Vorzeichen, ergibt sich ein Minuszeichen ($-$).
$-5-(-6)$“
- Du befindest dich im negativen Bereich und möchtest einen negativen Betrag abziehen.
Das Ergebnis lautet dann:
$-5+6=1$“
- Hast du bei Strichrechnungen zwei gleiche direkt hintereinanderstehende Vorzeichen, ergibt sich ein Pluszeichen ($+$).
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Bestimme die Ergebnisse der Rechnungen mit negativen Zahlen.
Tipps
Ziehst du von einer negativen Zahl etwas Negatives ab, wird das Ergebnis positiver.
Haben die Bestandteile einer Multiplikation oder Division gleiche Vorzeichen, ist das Ergebnis immer positiv.
Lösung
Führst du die Rechnungen durch, kannst du die Ergebnisse der Größe nach sortieren. Dann erhältst du:
$3 \cdot (-3)=-9$
- Hier multiplizierst du eine positive Zahl mit einer negativen. Das Ergebnis ist negativ.
- Hier fügst du einer negativen Zahl etwas Negatives hinzu. Das Ergebnis wird also noch negativer.
- Hier ziehst du einer negativen Zahl etwas Negatives ab. Das Ergebnis wird also positiver.
- Haben die Bestandteile einer Multiplikation oder Division unterschiedliche Vorzeichen, ist das Ergebnis immer negativ.
$3 \cdot 3=9$
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Erschließe die Lösungen der Rechnungen.
Tipps
Bei Strichrechnungen gilt Folgendes: Zwei gleiche hintereinanderstehende Vorzeichen werden zu $+$ und zwei unterschiedliche hintereinanderstehende Vorzeichen werden zu $-$.
Diese Rechnung wurde korrekt durchgeführt:
$3 \cdot (-5)=-3 \cdot 5=-15$
Lösung
Mit den Regeln für das Rechnen mit negativen Zahlen kannst du die Lösungen bestimmen. Bei Strichrechnungen gilt Folgendes: Zwei gleiche hintereinanderstehende Vorzeichen werden zu $+$ und zwei unterschiedliche hintereinanderstehende Vorzeichen werden zu $-$.
$3-(-5)=3+5=8$
$-1+(-3)=-1-3=-4$
Hast du bei Punktrechnungen zwei unterschiedliche Vorzeichen, wird das Ergebnis negativ, ansonsten positiv.
$4 \cdot (-2)=-4 \cdot 2=-8$
$12:(-4)=-12:4=-3$
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Ermittle die Ergebnisse der Rechnungen.
Tipps
Hast du bei Punktrechnungen zwei unterschiedliche Vorzeichen, wird das Ergebnis negativ, ansonsten positiv.
Diese Rechnung wurde korrekt durchgeführt:
$-4+(-4)=-4-4=-8$
Lösung
Mit den Regeln für das Rechnen mit negativen Zahlen kannst du die Lösungen bestimmen. Bei Strichrechnungen gilt Folgendes: Zwei gleiche hintereinanderstehende Vorzeichen werden zu $+$ und zwei unterschiedliche hintereinanderstehende Vorzeichen werden zu $-$.
Hast du bei Punktrechnungen zwei unterschiedliche Vorzeichen, wird das Ergebnis negativ, ansonsten positiv. Damit erhältst du folgende Lösungen:
$-4-5=-9$
$-3 \cdot (-5)=15$
$-3+6=3$
$-12 : (-3)=4$
$3 \cdot (-8)=-24$
$-4+(-3)=-7$
$3+(-6)=-3$
$14:(-7)=-2$
$-5-(+8)=-13$
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Bestimme die korrekten Aussagen zum Rechnen mit negativen Zahlen.
Tipps
Addierst du zwei negative Zahlen, fügst du etwas Negativem noch etwas Negatives hinzu.
Sind bei einer Multiplikation und Division die Vorzeichen gleich, wird das Ergebnis immer positiv. Sind sie unterschiedlich, wird das Ergebnis negativ.
Lösung
Diese Aussagen sind falsch:
„Bei einem Pluszeichen ($+$) musst du in die positive Richtung auf dem Zahlenstrahl wandern, also nach links.“
„Bewegst du dich auf dem Zahlenstrahl nach rechts, entspricht das einer Subtraktion.“
- Bei einer Addition, wenn du also ein Pluszeichen ($+$) verwendest, bewegst du dich auf dem Zahlenstrahl nach rechts. Bei einer Subtraktion ist das umgekehrt.
„Da in der Mathematik keine zwei Rechenzeichen hintereinanderstehen können, benötigt man beim Rechnen mit negativen Zahlen oft eine Klammer.“
„Addierst du zwei negative Zahlen, ist das Ergebnis stets negativ.“
- Hier fügst du etwas Negativem etwas Negatives hinzu. Also muss das Ergebnis negativ sein.
- Sind bei einer Multiplikation und Division die Vorzeichen gleich, wird das Ergebnis immer positiv. Sind sie unterschiedlich, wird das Ergebnis negativ.
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Erschließe, welche Rechnungen korrekt durchgeführt wurden.
Tipps
Hier musst du beachten, dass Punktrechnungen immer vor Strichrechnungen durchgeführt werden.
Lösung
Wende auch hier die Regeln zum Rechnen mit negativen Zahlen an:
- Bei Strichrechnungen werden zwei gleiche hintereinanderstehende Vorzeichen zu $+$, während zwei unterschiedliche hintereinanderstehende Vorzeichen zu $-$ werden.
- Hast du bei Punktrechnungen zwei unterschiedliche Vorzeichen, wird das Ergebnis negativ, ansonsten positiv.
- Außerdem musst du beachten, dass Punktrechnungen immer vor Strichrechnungen durchgeführt werden.
Folgende Aussagen sind falsch:
„$-4-(-3)+5-3 \cdot (-4) \neq 18$“
- Es gilt nämlich: $-4-(-3)+5-3 \cdot (-4) =-4+3+5+12=16$
- Es gilt nämlich: $-3 \cdot 6 + 4-(-3):(-1)=-18 +4 -3= -17$
„$4 \cdot (-3) - 8 \cdot 2=-12 -16= -28$“
„$2 \cdot (-5) - (-9):(-3)=-10-3= -13$“
„$16:(-8) \cdot 2 +(-4)=-2 \cdot 2 -4 =-8$“
