Brüche dividieren – Kehrwertregel

Brüche dividieren – Kehrwertregel Übung

• Bestimme die Rechenschritte, die zu den Aufgaben gehören.

  Tipps

  Bei der Division von zwei Brüchen wird der erste Bruch mit dem Kehrwert des zweiten Bruchs multipliziert.

  Den Kehrwert eines Bruchs erhalten wir, wenn wir Zähler und Nenner des Bruchs vertauschen.

  Für die Multiplikation wird wie gewohnt Zähler mal Zähler und Nenner mal Nenner gerechnet.

  Lösung

  Zur Division von zwei Brüchen multiplizieren wir den ersten Bruch mit dem Kehrwert des zweiten Bruchs. Den Kehrwert eines Bruchs bilden wir durch Vertauschen von Zähler und Nenner. Die Multiplikation wird im Anschluss wie gewohnt durchgeführt und das Ergebnis wenn möglich gekürzt.

  Die Formel dazu lautet:
  $\dfrac{\text{Zähler}}{\text{Nenner}}:\dfrac{\text{Zähler}}{\text{Nenner}} = \dfrac{\text{Zähler}}{\text{Nenner}} \cdot \dfrac{\text{Nenner}}{\text{Zähler}} = \dfrac{\text{Zähler}~\cdot~\text{Nenner}}{\text{Nenner}~\cdot~\text{Zähler}}$

  Beispiel 1:
  $\dfrac{5}{9}:\dfrac{1}{3} = \dfrac{5}{9}\cdot\dfrac{3}{1} = \dfrac{5\cdot3}{9\cdot1} = \dfrac{15}{9} = \dfrac{5}{3}$

  Beispiel 2:
  $\dfrac{5}{8}:\dfrac{1}{4} = \dfrac{5}{8}\cdot\dfrac{4}{1} = \dfrac{5\cdot4}{8\cdot1} = \dfrac{20}{8} = \dfrac{5}{2}$

• Vervollständige den Text zur Division von Brüchen.

  Tipps

  $24:6 = 4$ bedeutet, dass die $6$ genau viermal in die $24$ passt.

  Der Kehrwert von $\frac{2}{7}$ ist $\frac{7}{2}$.

  Lösung

  Das Ergebnis einer Division gibt immer an, wie oft die zweite Zahl, also der Divisor, in die erste Zahl, also den Dividenden, hineinpasst. Das gilt für Brüche ebenso wie für natürliche Zahlen.

  Mit der Kehrwertregel können wir Brüche dividieren. Dazu wird der erste Bruch mit dem Kehrwert des zweiten Bruchs multipliziert. Den Kehrwert erhält man dabei durch Vertauschen von Zähler und Nenner.
  Wollen wir zum Beispiel wissen, wie of $\frac{1}{3}$ in $\frac{1}{2}$ passt, so rechnen wir:

  $\dfrac{1}{2}:\dfrac{1}{3} = \dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{3}{1} = \dfrac{1~\cdot~3}{2~\cdot~1} = \dfrac{3}{2} = 1\dfrac{1}{2}$

  Das bedeutet $\frac{1}{3}$ passt $1\frac{1}{2}$-mal in $\frac{1}{2}$.

• Ermittle, ob die Rechenwege korrekt sind.

  Tipps

  Überprüfe die einzelnen Schritte der Rechnungen.

  Kehrwertregel zur Division von Brüchen lautet:
  $\frac{\text{Zähler}}{\text{Nenner}}:\frac{\text{Zähler}}{\text{Nenner}} = \frac{\text{Zähler}}{\text{Nenner}} \cdot \frac{\text{Nenner}}{\text{Zähler}} = \frac{\text{Zähler}~\cdot~ \text{Nenner}}{\text{Nenner}~\cdot~ \text{Zähler}}$

  Bei der Multiplikation von Brüchen kannst du kürzen, auch über Kreuz.

  Lösung

  Bei der Division von zwei Brüchen multiplizieren wir den ersten Bruch mit dem Kehrwert des zweiten Bruchs. Den Kehrwert erhältst du durch Vertauschen von Zähler und Nenner.

  $\frac{\text{Zähler}}{\text{Nenner}}:\frac{\text{Zähler}}{\text{Nenner}} = \frac{\text{Zähler}}{\text{Nenner}} \cdot \frac{\text{Nenner}}{\text{Zähler}} = \frac{\text{Zähler}~\cdot~ \text{Nenner}}{\text{Nenner}~\cdot ~\text{Zähler}}$

  Du kannst dann bei der Multiplikation wie gewohnt kürzen, auch über Kreuz.

  Beispiel 1: richtig
  $\dfrac{2}{3}:\dfrac{1}{3} = \dfrac{2}{3} \cdot \dfrac{3}{1} = \dfrac{2 ~\cdot~ 3 \color{dodgerblue}{\,{:}\,3}}{3\color{dodgerblue}{\,{:}\,3}\color{black}{ ~\cdot~ 1}} = \dfrac{2 ~\cdot~ 1}{1 ~\cdot~ 1} = \dfrac{2}{1} = 2$

  Beispiel 2: falsch
  $\dfrac{1}{3}:\dfrac{2}{3} = \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{2}{3} = \dfrac{1 ~\cdot~ 2}{3 ~\cdot~ 3} = \dfrac{2}{9}$
  Korrektur: Es muss mit dem Kehrwert des zweiten Bruchs multipliziert werden.
  $\dfrac{1}{3}:\dfrac{2}{3} = \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{3}{2} = \dfrac{1 ~\cdot~ 3 \color{dodgerblue}{\,{:}\,3}}{3\color{dodgerblue}{\,{:}\,3}\color{black}{ ~\cdot~ 2}} = \dfrac{1 ~\cdot~ 1}{1 ~\cdot~ 2} = \dfrac{1}{2}$

  Beispiel 3: falsch
  $\dfrac{2}{3}:\dfrac{4}{7} = \dfrac{3}{2} \cdot \dfrac{4}{7} = \dfrac{3 ~\cdot~ 4 \color{dodgerblue}{\,{:}\,2}}{2\color{dodgerblue}{\,{:}\,2}\color{black}{ ~\cdot~ 7}} = \dfrac{3 ~\cdot~ 2}{1 ~\cdot~ 7} = \dfrac{6}{7}$
  Korrektur: Du brauchst den Kehrwert des zweiten, nicht den des ersten Bruchs.
  $\dfrac{2}{3}:\dfrac{4}{7} = \dfrac{2}{3} \cdot \dfrac{7}{4} = \dfrac{2\color{dodgerblue}{\,{:}\,2}\color{black}{ ~\cdot~ 7}}{3 ~\cdot~ 4 \color{dodgerblue}{\,{:}\,2}} = \dfrac{1 ~\cdot~ 7}{3 ~\cdot~ 2} = \dfrac{7}{6}$

  Beispiel 4: richtig
  $\dfrac{1}{5}:\dfrac{5}{7} = \dfrac{1}{5} \cdot \dfrac{7}{5} = \dfrac{1 ~\cdot~ 7}{5 ~\cdot~ 5} = \dfrac{7}{25}$

  Beispiel 5: richtig
  $\dfrac{4}{7}:\dfrac{2}{3} = \dfrac{4}{7} \cdot \dfrac{3}{2} = \dfrac{4\color{dodgerblue}{\,{:}\,2}\color{black}{ ~\cdot~ 3}}{7 ~\cdot~ 2 \color{dodgerblue}{\,{:}\,2}} = \dfrac{2 ~\cdot~ 3}{7 ~\cdot~ 1} = \dfrac{6}{7}$

  Beispiel 6: falsch
  $\dfrac{1}{5}:\dfrac{5}{7} = \dfrac{1}{5} \cdot \dfrac{5}{7} = \dfrac{1 ~\cdot~ 5 \color{dodgerblue}{\,{:}\,5}}{5\color{dodgerblue}{\,{:}\,5}\color{black}{ ~\cdot~ 7}} = \dfrac{1 ~\cdot~ 1}{1 ~\cdot~ 7} = \dfrac{1}{7}$
  richtig wie in Beispiel 4

• Ordne den Divisionsaufgaben die richtigen Ergebnisse zu.

  Tipps

  Du teilst zwei Brüche, indem du den ersten Bruch mit dem Kehrwert des zweiten Bruchs multiplizierst.
  Wir wandeln also die Division in eine Multiplikation.

  Vergiss nicht, dein Ergebnis so weit wie möglich zu kürzen.
  Das geht bei der Multiplikation von Brüchen auch über Kreuz.

  Lösung

  Bei der Division von zwei Brüchen multiplizieren wir den ersten Bruch mit dem Kehrwert des zweiten Bruchs. Den Kehrwert erhältst du durch Vertauschen von Zähler und Nenner.

  $\frac{\text{Zähler}}{\text{Nenner}}:\frac{\text{Zähler}}{\text{Nenner}} = \frac{\text{Zähler}}{\text{Nenner}} \cdot \frac{\text{Nenner}}{\text{Zähler}} = \frac{\text{Zähler}~\cdot~ \text{Nenner}}{\text{Nenner}~\cdot~ \text{Zähler}}$

  Beispiel 1:
  $\dfrac{2}{25}:\dfrac{4}{5} = \dfrac{2}{25} \cdot \dfrac{5}{4} = \dfrac{2 \color{gold}{\,{:}\,2}\color{black}{~\cdot~5} \color{dodgerblue}{\,{:}\,5}}{25 \color{dodgerblue}{\,{:}\,5}\color{black}{~\cdot~4} \color{gold}{\,{:}\,2}} = \dfrac{1 ~\cdot~ 1}{5 ~\cdot~ 2} = \dfrac{1}{10}$

  Beispiel 2:
  $\dfrac{21}{2}:\dfrac{14}{3} = \dfrac{21}{2} \cdot \dfrac{3}{14} = \dfrac{21 \color{gold}{\,{:}\,7}\color{black}{~\cdot~3}}{2 ~\cdot~ 14 \color{gold}{\,{:}\,7}} = \dfrac{3 ~\cdot~ 3}{2 ~\cdot~ 2} = \dfrac{9}{4}$

  Beispiel 3:
  $\dfrac{5}{3}:\dfrac{7}{9} = \dfrac{5}{3} \cdot \dfrac{9}{7} = \dfrac{5 ~\cdot~ 9 \color{dodgerblue}{\,{:}\,3}}{3 \color{dodgerblue}{\,{:}\,3}\color{black}{~\cdot~7}} = \dfrac{5 ~\cdot~ 3}{1 ~\cdot~ 7} = \dfrac{15}{7}$

  Beispiel 4:
  $\dfrac{13}{12}:\dfrac{26}{60} = \dfrac{13}{12} \cdot \dfrac{60}{26} = \dfrac{13 \color{gold}{\,{:}\,13}\color{black}{~\cdot~60} \color{dodgerblue}{\,{:}\,12}}{12 \color{dodgerblue}{\,{:}\,12}\color{black}{~\cdot~ 26} \color{gold}{\,{:}\,13}} = \dfrac{1 ~\cdot~ 5}{1 ~\cdot~ 2} = \dfrac{5}{2}$

• Gib die passende Reihenfolge der Rechenschritte zur Berechnung von $\frac{11}{5} : \frac{33}{40}$ an.

  Tipps

  Lies dir zunächst alle Schritte aufmerksam durch und überlege, welche Schritte Voraussetzung für andere Schritte sind.

  Um zwei Brüche zu dividieren, musst du zuerst den Kehrwert des zweiten Bruchs bilden.

  Am Ende der Rechnung sollte dein Endergebnis stehen.

  Lösung

  Die Schritte zur Division von zwei Brüchen lauten wie folgt:

  1. Bilde den Kehrwert des zweiten Bruchs.
  2. Ersetze die Division durch eine Multiplikation und den zweiten Bruch durch seinen Kehrbruch.
  3. Kürze so weit wie möglich.
  4. Multipliziere die Brüche und gib das Endergebnis an.

  In unserem Beispiel $\frac{11}{5} : \frac{33}{40}$ sehen die Schritte wie folgt aus:

  1. Der Kehrwert von $\frac{33}{40}$ ist $\frac{40}{33}$.
  2. Wir schreiben $\frac{11}{5} : \frac{33}{40} = \frac{11}{5} \cdot \frac{40}{33}$.
  3. Kürzen mit $11$ und $5$ ergibt $\frac{1~\cdot~8}{1~\cdot~3}$.
  4. Die Multiplikation liefert als Endergebnis $\frac{1~\cdot~8}{1~\cdot~3} = \frac{8}{3}$.

• Bestimme die Ergebnisse der Divisionsaufgaben.

  Tipps

  Führe die Berechnung Schritt für Schritt durch. Vergiss dabei nicht, das Ergebnis so weit wie möglich zu kürzen.

  Das Ergebnis kann auch eine ganze Zahl sein, wie in diesem Beispiel:
  $\dfrac{6}{7}:\dfrac{2}{14} = \dfrac{6}{7} \cdot \dfrac{14}{2} = \dfrac{3 ~\cdot~ 2}{1 ~\cdot~ 1} = \dfrac{6}{1} = 6$

  Lösung

  Bei der Division von zwei Brüchen multiplizieren wir den ersten Bruch mit dem Kehrwert des zweiten Bruchs. Den Kehrwert erhältst du durch Vertauschen von Zähler und Nenner.

  $\frac{\text{Zähler}}{\text{Nenner}}:\frac{\text{Zähler}}{\text{Nenner}} = \frac{\text{Zähler}}{\text{Nenner}} \cdot \frac{\text{Nenner}}{\text{Zähler}} = \frac{\text{Zähler}~\cdot ~\text{Nenner}}{\text{Nenner}~\cdot~ \text{Zähler}}$

  Beispiel 1:
  $\dfrac{22}{5}:\dfrac{33}{5} = \dfrac{22}{5} \cdot \dfrac{5}{33} = \dfrac{22 \color{gold}{\,{:}\,11}\color{black}{~\cdot~5} \color{dodgerblue}{\,{:}\,5}}{5\color{dodgerblue}{\,{:}\,5}\color{black}{~\cdot~33} \color{gold}{\,{:}\,11}} = \dfrac{2 ~\cdot~ 1}{1 ~\cdot~ 3} = \dfrac{2}{3}$

  Beispiel 2:
  $\dfrac{2}{17}:\dfrac{8}{7} = \dfrac{2}{17} \cdot \dfrac{7}{8} = \dfrac{2 \color{gold}{\,{:}\,2}\color{black}{~\cdot~7}}{17 ~\cdot~ 8 \color{gold}{\,{:}\,2}} = \dfrac{1 ~\cdot~ 7}{17 ~\cdot~ 4} = \dfrac{7}{68}$

  Beispiel 3:
  $\dfrac{5}{12}:\dfrac{5}{36} = \dfrac{5}{12} \cdot \dfrac{36}{5} = \dfrac{5 \color{gold}{\,{:}\,5}\color{black}{~\cdot~36} \color{dodgerblue}{\,{:}\,12}}{12 \color{dodgerblue}{\,{:}\,12}\color{black}{~\cdot~5} \color{gold}{\,{:}\,5}} = \dfrac{1 ~\cdot~ 3}{1 ~\cdot~ 1} = \dfrac{3}{1} = 3$

  Beispiel 4:
  $\dfrac{16}{3}:\dfrac{25}{9} = \dfrac{16}{3} \cdot \dfrac{9}{25} = \dfrac{16 ~\cdot~ 9 \color{dodgerblue}{\,{:}\,3}}{3 \color{dodgerblue}{\,{:}\,3}\color{black}{~\cdot~25}} = \dfrac{16 ~\cdot~ 3}{1 ~\cdot~ 25} = \dfrac{48}{25}$