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Brüche miteinander multiplizieren 07:10 min

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Transkript Brüche miteinander multiplizieren

Das Ende ist nah! Bald wird die Welt unter kaltem weißem Zeug begraben werden! Die Bäume werden ihr Laub fallen lassen! Und keine Nuss wird mehr zu finden sein! Wie jeden Oktober wähnt Papa Hamster den Weltuntergang direkt vor der Tür. Und wie jeden Oktober hat seine Familie deshalb einen mächtigen Nuss-Vorrat angelegt. Aber ob der reichen wird? Doch während all der Weltuntergangsstimmung bekommt Familie Hamster überraschend Besuch. Freddie Meerschwein will seine neu zugezogenen Nachbarn kennenlernen. Aber diese Panik kann er gar nicht verstehen. Also erklärt Vater Hamster, dass sie die Vorräte für den langen Winter gerecht aufteilen müssen. Und zwar, indem sie Brüche miteinander multiplizieren. Familie Hamster muss ihre Vorräte auf vier Monate verteilen und damit 5 hungrige Mäuler stopfen. Die zwei Eltern und die drei Kinder nämlich. Also muss der ganze Vorrat erst in vier Teile und dann nochmal jeweils in fünf Teile zerlegt werden. Wenn wir nun die Felder in unserer Tabelle zählen, stellen wir fest, dass es insgesamt zwanzig Felder sind. Also steht für jedes Familienmitglied jeden Monat ein Zwanzigstel des Vorrats zur Verfügung. Wie würde man das als Rechenaufgabe schreiben? An einem der vier Monate, also einem Viertel der Monate bekommt eines der 5 Familienmitglieder, also 1 Fünftel der Familienmitglieder seinen Anteil am Vorrat. Wir rechnen 1 Viertel mal 1 Fünftel und erhalten auch hier 1 zwanzigstel. Aber können wir solche Aufgaben auch geschickter lösen als mit so einer Tabelle? Dazu betrachten wir, welchen Anteil des Vorrats die beiden Eltern jeden Monat bekommen werden. Das entspricht der Rechenaufgabe 'ein Viertel' mal 'zwei Fünftel'. Wenn wir die gesamten Vorräte als Kreis aufzeichnen, können wir die Aufteilung in die vier Monate so darstellen. Das entspricht der Zahl im Nenner des ersten Bruches. Jeden Monat steht ein Viertel des Vorrats für alle zur Verfügung. Weil wir den Vorrat für einen Monat betrachten wollen, betrachten wir nur ein Viertel. Das entspricht dem Zähler des ersten Bruches. Da es insgesamt fünf Familienmitglieder gibt, zerteilen wir dieses Viertel also in fünf gleich große Teile. Genau, wie es im Nenner des zweiten Bruches steht. Insgesamt passen zwanzig solcher Stücke in den ganzen Kreis. Der Nenner des Ergebnisses entspricht genau diesen zwanzig Teilen. Und zwei der Stücke gehören den beiden Eltern. Der Zähler des Ergebnisses ist also 2. Wenn wir mit 2 kürzen, erhalten wir als Ergebnis 'ein Zehntel'. In unserem Kreis sieht das dann so aus. Die Eltern bekommen also pro Monat ein Zehntel des Gesamtvorrats. Was haben wir bei den Brüchen gerade gerechnet? Wir haben die beiden Zähler miteinander multipliziert denn 'ein mal zwei' ist zwei. Und wir haben die beiden Nenner miteinander multipliziert denn 'vier mal fünf' ist zwanzig. Das ergibt also zwei Zwanzigstel oder, gekürzt, ein Zehntel. Genauso viel wir eben herausbekommen haben. Funktioniert das immer so? Lass uns doch mal ausrechnen, welchen Anteil des Vorrats die drei Kinder in zwei der vier Monate verspeisen dürfen. Das entspricht der Rechenaufgabe 'zwei Viertel' mal 'drei Fünftel'. Wir beginnen mit den Nennern der Brüche: Wir haben das Ganze in 4 Teile unterteilt. Das entspricht dem Nenner des ersten Bruches. Jedes dieser 4 Teile müssen wir in fünf Teile unterteilen. Das entspricht dem Nenner des zweiten Bruches. Insgesamt haben wir dann 20 Teile. Was haben wir gerechnet? Vier Teile haben wir in jeweils fünf Teile unterteilt - also 4 mal 5 gerechnet - und so den Nenner des Ergebnisses erhalten: 20. Wir haben also den Nenner des ersten Bruches mit dem Nenner des zweiten Bruches multipliziert, um auf den Nenner des Ergebnisses zu kommen. Schauen wir uns nun die Zähler an: Weil wir zwei von vier Monaten betrachten, wählen wir zwei der vier Viertel aus. Der Zähler des ersten Bruches ist deshalb 2. Jedes der zwei Viertel ist in 5 Teile unterteilt und von diesen Teilen wählen wir jeweils 3 aus, weil wir hier nur die 3 Kinder betrachten. Der Zähler des zweiten Bruches ist daher 3. Weil wir aber bei jedem der zwei Viertel 3 Teile auswählen haben wir insgesamt 6 Teile ausgewählt. Der Zähler des Ergebnisses ist also 6. Was haben wir hier gerechnet? Von den zwei Vierteln haben wir jeweils drei Teile ausgewählt - also 2 mal 3 gerechnet - und so den Zähler des Ergebnisses erhalten: 6. Wir haben also den Zähler des ersten Bruches mit dem Zähler des zweiten Bruches multipliziert, um auf den Zähler des Ergebnisses zu kommen. Also erhalten wir insgesamt als Ergebnis: 6 zwanzigstel oder gekürzt: 3 Zehntel. Das ist genau die Hälfte des Vorrats. Dann betrachten wir den Nenner des zweiten Bruches: Wir zerlegen diese Hälfte also in Fünftelstücke. Insgesamt passen zehn solcher Stücke in den ganzen Kreis. Der Nenner des Ergebnisses ist also 10. Für die drei Kinder wählen wir drei dieser Stücke aus. Also ist der Zähler des Ergebnisses 3. Damit haben wir also insgesamt 'drei Zehntel'. Betrachten wir das ganze jetzt an der Rechenaufgabe: Wenn wir die Zähler miteinander multiplizieren die Nenner miteinander multiplizieren und Zähler durch Nenner teilen, kommt '6 Zwanzigstel' heraus. Das können wir wieder mit zwei kürzen, und das Ergebnis lautet 'drei Zehntel', wie zuvor. Diese Regel stimmt immer! Wenn du also zwei Brüche multiplizierst, musst du einfach die beiden Zähler miteinander multiplizieren und die beiden Nenner und bist fertig! Merke dir also: 'Zähler mal Zähler' durch 'Nenner mal Nenner'! Fassen wir zusammen. Wenn du zwei Brüche miteinander multiplizierst, kannst du dir immer als Hilfe vorstellen, dass du einen Kreis in Stücke zerlegst. Der Nenner des ersten Bruches gibt vor, in wie viele Teile der Kreis zerlegt wird. Der Zähler des ersten Bruches entspricht der Anzahl der Teile, die du davon auswählen musst. Fasse diese Teile zu einem Stück zusammen. Der Nenner des zweiten Bruches zeigt dir nun, in wie viele Stücke du dieses Stück teilen musst. Und schließlich gibt der Zähler des zweiten Bruches an, wie viele von diesen Stücken Du auswählst. Die Anzahl dieser Teile ist dann der Zähler des Ergebnisses. Und die Gesamtzahl solcher Teile im ganzen Kreis ist der Nenner des Ergebnisses. Brüche kannst du folgendermaßen: Die Regel beim Brüche miteinander multiplizieren lautet einfach: 'Zähler mal Zähler' durch 'Nenner mal Nenner'! Willst du zum Beispiel zwei Viertel mal drei Fünftel rechnen ist das gleich 'zwei mal drei' geteilt durch 'vier mal fünf', also sechs Zwanzigstel - oder, gekürzt, drei Zehntel. Freddy Meerschwein hat die Rechnung nun auch begriffen, aber diese Sache mit dem Weltuntergang findet er immer noch ziemlich lächerlich. An der sonnigen Küste von Peru gibt es nämlich gar nicht so viel Winter! Vielleicht hätte Papa Hamster beim Nüssesammeln mal genauer hinschauen sollen, wohin er da eigentlich gezogen ist. Das ist doch hier alles gar nicht so schlecht.

10 Kommentare
  1. Cool👍🏻🙃🙂😺🤗😆😛😜🙃😀🐱😃😊😉😶😸☺️😝😋😐😄😇😌

    Von Lianakatze, vor 2 Tagen
  2. Hallo Rosa, kannst du genauer sagen, was Dich bei Aufgabe 4 verwirrt hat? Die 4. Aufgabe gehört schon zu den schwierigen Aufgaben. Gerne kannst du dich auch an den Fach-Chat wenden, der von Montag bis Freitag zwischen 17-19 Uhr für dich da ist.
    Ich hoffe, dass wir dir weiterhelfen können.
    Viele Grüße aus der Redaktion.

    Von Albrecht Kröner, vor 24 Tagen
  3. Bei der Aufgabe 4 wird nicht genug erklärt.

    Von Rosa A., vor 25 Tagen
  4. Vielen Dank für euer Lob, das freut uns sehr! Liebe Grüße aus der Redaktion!

    Von Albrecht Kröner, vor 2 Monaten
  5. Mega Erklärung mit tollem Video, dadurch hat das Lernen auch noch Spaß gemacht!!!

    Von Jonas D., vor 2 Monaten
  1. Supi vielen,vielen Dank ;p. XD

    Von Malik B., vor 3 Monaten
  2. toll danke

    Von Yannic 1, vor 3 Monaten
  3. Super Video Meine Tochter hat deswegen eine 1 geschrieben:)

    Von Michalauterfeld, vor 6 Monaten
  4. danke :)

    Von Sinaweber0409, vor 8 Monaten
  5. Super Video! Habe alles sofort verstanden!

    Von San L, vor 8 Monaten
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Brüche miteinander multiplizieren Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Brüche miteinander multiplizieren kannst du es wiederholen und üben.

  • Berechne die Anteile.

    Tipps

    Für die Multiplikation von Brüchen gilt die Regel:

    $\frac{\text{Zähler mal Zähler}} {\text{Nenner mal Nenner}}$.

    Die Regel für die Multiplikation von Brüche kann man auch so schreiben:

    $\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d}$.

    In diese Regel kannst Du beliebige Zahlen $a$, $b$, $c$ und $d$ einsetzen, solange $b\neq 0$ und $d \neq 0$ ist.

    Den Anteil von vier der fünf Familienmitglieder kannst Du als $\frac{4}{5}$ schreiben. Diesem Familienanteil stehen für drei der vier Wintermonate dann

    $\frac{4}{5} \cdot \frac{3}{4}$

    des Gesamtvorrats zu.

    Lösung

    Die Hamsterfamilie teilt den Vorrat so ein, dass jedes der fünf Familienmitglieder in jedem der vier Wintermonate den gleichen Anteil bekommt. Für $4$ Monate und $5$ Familienmitglieder werden daher $4 \cdot 5 = 20$ Anteile gebraucht. Es steht also jedem Familienmitglied pro Monat $\frac{1}{20}$ des Vorrats zu. Der Aufteilung eines Monatsvorrats, d.h. $\frac{1}{4}$ des Gesamtvorrats auf die $5$ Familienmitglieder, entspricht die Rechnung:

    $\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{5} = \frac{1}{20}$.

    Der Anteil zweier Familienmitglieder am monatlichen Vorrat ist doppelt so groß wie der eines einzelnen Familienmitglieds, also $2 \cdot \frac{1}{20} = \frac{1}{10}$. Mit Brüchen gerechnet: Zwei Familienmitglieder machen $\frac{2}{5}$ der Hamsterfamilie aus. Ein Monatsvorrat ist $\frac{1}{4}$ des gesamten Wintervorrats. $\frac{2}{5}$ von $\frac{1}{4}$ sind:

    $\frac{2}{5} \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{10}$.

    Die drei restlichen Familienmitglieder machen $\frac{3}{5}$ der Familie aus. Der halbe Winter besteht aus zwei Monaten, das sind $\frac{1}{2}=\frac{2}{4}$ des Winters. Der gemeinsame Anteil der drei Familienmitglieder für den halben Winter am gesamten Wintervorrat beträgt daher:

    $\frac{3}{5} \cdot \frac{2}{4} = \frac{3}{10}$.

  • Bestimme die Anteile.

    Tipps

    Erstelle eine Tabelle, die Zeilen für die Hamster, die Spalten für die Füße. Der Sockenanteil pro Hamsterfuß ist der Anteil eines Feldes der Tabelle an allen Feldern.

    Würde man statt $5$ Hamster $5$ Bienen mit je sechs Beinen betrachten, so wäre der Anteil pro Bienenfuß:

    $\frac{1}{5} \cdot \frac{1}{6} = \frac{1}{30}$.

    Der Aufteilung eines Bruches in die Anteile eines zweiten Bruches entspricht der Multiplikation der beiden Brüche.

    Lösung

    Jeder der fünf Hamster soll vier warme Füße haben und deshalb den gleichen Anteil an Socken erhalten. In einer Tabelle kannst Du die Zeilen für die fünf Hamster und die Spalten für die jeweils vier Füße verwenden. Dann entspricht jedes Feld der Tabelle einem Hamsterfuß. Bei fünf vierfüßigen Hamstern kommen insgesamt $4 \cdot 5 = 20$ Füße zusammen. Die Socken müssen also in $20$ Teile aufgeteilt werden und jeder Hamsterfuß erhält $\frac{1}{20}$ der Socken.

    Die Aufteilung kannst Du auch mit Brüchen bestimmen. Jedem der fünf Hamster steht $\frac{1}{5}$ der Socken zu, das er unter seinen vier Füßen aufteilt. Die Aufteilung von $\frac{1}{5}$ in $4$ gleiche Teile entspricht folgender Multiplikation:

    $\frac{1}{5} \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{20}$.

    Für die beiden Vorderfüße eines jeden Hamsters stehen doppelt so viele Socken zur Verfügung wie für einen einzelnen Fuß. Der Anteil an allen Socken beträgt also:

    $2 \cdot \frac{1}{20} = \frac{1}{10}$.

    Du kannst die Rechnung auch mit Brüchen durchführen. Die Vorderfüße machen $\frac{2}{4}$ der Füße eines Hamsters aus. Der Anteil der Socken für die beiden Vorderfüße eines Hamsters an der Gesamtzahl der Socken beträgt dann:

    $\frac{1}{5} \cdot \frac{2}{4} =\frac {2}{20}= \frac{1}{10}$.

  • Benenne die Rechenregeln.

    Tipps

    Der Aufteilung von $\frac{1}{4}$ des Vorrats in $5$ gleiche Teile entspricht die Rechnung:

    $\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{5} = \frac{1}{20}$.

    Das Produkt $\frac{1}{c} \cdot \frac{1}{d}$ kann man mit einer Tabelle ausrechnen: $c$ ist die Anzahl der Zeilen, $d$ die Anzahl der Spalten und $\frac{1}{c} \cdot \frac{1}{d}$ der Anteil eines Feldes an der Gesamtzahl der Felder.

    Für das Produkt $\frac{a}{c} \cdot \frac{b}{d}$ wählt man in jeder Zeile $a$ Felder und in jeder Spalte $b$ Felder aus. Die Zahl dieser Felder ist der Zähler des Produkts.

    Lösung

    Für die Multiplikation von Brüchen gilt die Regel:

    $~\frac{\text{Zähler mal Zähler}} {\text{Nenner mal Nenner}}$.

    Daraus ergeben sich folgende wahre Aussagen:

    • „Es ist immer: $~\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b\cdot d}$.“
    • „Es gilt die Regel: der Zähler eines Produktes ist das Produkt der Zähler.“
    • „Das Produkt der Nenner ist der Nenner des Produkts.“
    Die folgenden Aussagen dagegen sind falsch:

    • „Es gilt: $~\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot b}{c\cdot d}$.“
    $\rightarrow$ Es gilt vielmehr: $~\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b\cdot d}$.
    • „Das Produkt der Brüche $\frac{a}{b}$ und $\frac{c}{d}$ ist wie folgt gegeben: $~\frac{a+c}{b+d}$.“
    $\rightarrow$ Es gilt hier: $~\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d}$.
    • „Für die Multiplikation von Brüchen gilt folgende Regel: $~\frac{\text{Zähler}\ \cdot\ \text{Zähler}}{\text{Nenner}\ +\ \text{Nenner}}$.“
    $\rightarrow$ Die korrekte Regel findest Du ganz oben.
    • „Die Regel $\frac{\text{Zähler}\ \cdot\ \text{Zähler}}{\text{Nenner}\ \cdot\ \text{Nenner}}$ stimmt nicht für alle Brüche.“
    $\rightarrow$ Doch! Diese Regel gilt immer.
  • Erschließe die Brüche.

    Tipps

    In Worten lautet die Regel zur Multiplikation von drei Brüchen:

    $\frac{\text{Zähler mal Zähler mal Zähler}}{\text{Nenner mal Nenner mal Nenner}}$.

    Lösung

    Für die Multiplikation von drei Brüchen gilt die Regel:

    $\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} \cdot \frac{e}{f} = \frac{a \cdot c \cdot e}{b \cdot d \cdot f}$.

    Daraus ergeben sich folgende Gleichungen:

    $\frac{5}{3} \cdot \frac{1}{4} \cdot \frac{6}{5} = \frac{5 \cdot 1 \cdot 6}{3 \cdot 4 \cdot 5} = \frac{1}{2}$

    $\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{2}{7} = \frac{2 \cdot 3 \cdot 2}{3 \cdot 4 \cdot 7} = \frac{1}{7}$

    $\frac{4}{3} \cdot \frac{5}{8} \cdot \frac{6}{7} = \frac{4 \cdot 5 \cdot 6}{3 \cdot 8 \cdot 7} = \frac{5}{7}$

    $\frac{7}{8} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{5}{21} = \frac{7 \cdot 4 \cdot 5}{8 \cdot 5 \cdot 21} = \frac{1}{6}$

  • Bilde das Produkt der Brüche.

    Tipps

    Für die Multiplikation von Brüchen gilt die Regel:

    $\frac{\text{Zähler mal Zähler}}{\text{Nenner mal Nenner}}$.

    Kürze die Brüche, wenn möglich.

    $\frac{1}{3} \cdot \frac{3}{4} = \frac{1}{4}$

    Lösung

    Für die Multiplikation von Brüchen gilt die Regel:

    $\frac{\text{Zähler mal Zähler}}{\text{Nenner mal Nenner}}$.

    Daraus ergeben sich die folgenden Gleichungen:

    \begin{align} \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{5} &= \frac{2}{15} \\ & \\ \frac{3}{8} \cdot \frac{4}{5} &= \frac{3}{10} \\ & \\ \frac{2}{5} \cdot \frac{3}{2} &= \frac{3}{5} \\ & \\ \frac{7}{4} \cdot \frac{2}{3} &= \frac{7}{6} \\ & \\ \frac{3}{2} \cdot \frac{4}{7} &= \frac{6}{7} \end{align}

  • Analysiere die Brüche.

    Tipps

    Schreibe den Anteil der Mädchen und der Jungen in der Klasse als Bruch auf und kürze, wenn möglich.

    Beachte genau, welche Brüche Du multiplizieren musst, um den Anteil zu bestimmen.

    $\frac{1}{3}$ aller Fußballspieler schießt am liebsten mit links. $\frac{2}{5}$ aller Fußballspieler lieben Vanilleeis nach dem Spiel, die übrigen $\frac{3}{5}$ mögen kein Vanilleeis. Der Anteil aller Fußballspieler, die mit links schießen und kein Vanilleeis mögen, beträgt:

    $\frac{1}{3} \cdot \frac{3}{5} = \frac{1}{5}$.

    Lösung

    Eichhörnchen:

    Das Eichhörnchen sammelt seinen Wintervorrat und verteilt ihn gleichmäßig in drei Verstecke. In jedem Versteck liegt dann derselbe Anteil am Wintervorrat. Bei $3$ Verstecken ist das $\frac{1}{3}$ des Vorrats pro Versteck. Für jeden der vier Monate hat das Eichhörnchen $\frac{1}{4}$ seines Vorrats zur Verfügung. Der Anteil am Gesamtvorrat aus einem Versteck für einen Monat ist dann:

    $\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{12}$.

    Schulklasse:

    Die Schulklasse besteht aus $21 = 12 + 9$ Kindern. Der Anteil der Mädchen beträgt $\frac{12}{21} = \frac{4}{7}$, der Anteil der Jungen $\frac{9}{21} = \frac{3}{7}$. Der Anteil der Jungen, die Mathematik lieben, beträgt:

    $\frac{3}{7} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{7}$.