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Doppelbrüche 03:40 min

Textversion des Videos

Transkript Doppelbrüche

Oh Mist, das ist ja ein Doppelbruch! Gleich zwei Brüche auf einmal! Aber keine Sorge, das kriegen wir schon hin. Denn Doppelbrüche sind behandelbar! Sehen wir uns so einen Doppelbruch mal genauer an: An diesem Beispiel hier siehst du, dass bei einem Doppelbruch Zähler und Nenner jeweils aus einem Bruch bestehen. Zähler und Nenner werden durch den Hauptbruchstrich getrennt. Der Hauptbruchstrich ist etwas länger oder dicker, damit er immer klar erkennbar ist. Du hast verschiedene Möglichkeiten, um einen Doppelbruch zu vereinfachen. Fangen wir mit einem etwas einfacheren Beispiel an. Zwei geteilt durch ein Viertel. Der Zähler dieses Bruches ist eine ganze Zahl, der Nenner ist ein Bruch. Bildlich kannst du dir das so vorstellen: Wie viele Viertelstücke passen in zwei Ganze? Wenn du die zwei Ganzen mit Viertelstücken ausfüllen möchtest, benötigst du acht Stück. Also ist zwei geteilt durch ein Viertel gleich acht. Du kannst das aber auch rechnerisch herausfinden. Wir teilen schließlich 2 durch den Bruch 'ein Viertel'. Um durch einen Bruch zu teilen, multipliziert man mit dem Kehrwert. Der Kehrwert von 'ein Viertel' ist 'vier Eintel' und vier Eintel sind vier. Also müssen wir jetzt nur noch 2 mal 4 rechnen und das ergibt 8. Es gibt sogar noch eine zweite Variante: Dazu erweiterst du den Bruch so, dass der Nenner zu einer ganzen Zahl wird. Hier erweiterst du also am besten mit vier. Du musst also den Zähler und den Nenner mit vier multiplizieren und erhältst dann im Zähler eine acht und im Nenner eine eins. Also kommt auch mit dieser Variante wieder 8 heraus. Jetzt sehen wir uns an, wie das ganze funktioniert, wenn im Zähler ein Bruch steht und im Nenner eine ganze Zahl. Du kannst dir das wieder bildlich vorstellen. Du hast einen halben Kreis und teilst diesen in drei Stücke auf. Eines dieser Teilstücke ist dann 'ein Sechstel' des ganzen Kreises. Auch so einen Bruch kannst du rechnerisch vereinfachen. Ein halb' geteilt durch drei ist das gleiche wie 'ein halb' mal 'ein drittel'. Wenn du das ausrechnest, erhältst du auch wieder 'ein Sechstel'. Auch diesen Bruch kannst du vereinfachen, indem du ihn geschickt erweiterst. Diesmal muss der Zähler eine ganze Zahl werden, also erweiterst du mit zwei. Dann erhältst du 'ein Halb' mal 2 im Zähler das ergibt eins. Und im Nenner steht 3 mal 2 , das ergibt 6. Also lautet auch hier das Ergebnis ein Sechstel. Jetzt können wir uns an die 'richtigen' Doppelbrüche wagen, zum Beispiel den hier. Du hast drei halbe Kreise gegeben. Wie viele Sechstelstücke sind das insgesamt? Die Stücke sollen immer Sechstel eines ganzen Kreises sein, also besteht jeder der halben Kreise aus drei solcher Stücke. Insgesamt hast du also 9 Stücke. Rechnerisch kannst du diesen Doppelbruch genauso behandeln wie zuvor. Du multiplizierst den Zählerbruch wie gewohnt mit dem Kehrwert des Nennerbruchs rechnest alles aus und erhältst 9. Oder du erweiterst den Doppelbruch so, dass am Ende Zähler und Nenner ganzzahlig sind. Um einen ganzzahligen Zähler zu erhalten, erweiterst du mit zwei. Das rechnest du erstmal aus. Dann erweiterst für den ganzzahligen Nenner mit drei. Auch so erhältst du schließlich das Ergebnis 9. So, ab sofort kann dich kein Doppelbruch mehr aufhalten!

3 Kommentare
  1. Hi Artur, du kannst die Geschwindigkeit unserer Videos selbst anpassen. Dafür klickst du einfach auf das kleine Tacho-Symbol unten rechts im Videofenster.
    Liebe Grüße aus der Redaktion.

    Von Albrecht Kröner, vor 10 Tagen
  2. voll schnell erklärt man könnte auch lansamer

    Von Artur S., vor 13 Tagen
  3. gut erklärt

    Von Yiren Y., vor 5 Monaten

Doppelbrüche Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Doppelbrüche kannst du es wiederholen und üben.

  • Bestimme die korrekten Aussagen zu Doppelbrüchen.

    Tipps

    Einen Doppelbruch kannst du beispielsweise so lösen:

    $\dfrac{2}{\dfrac{1}{4}} = \dfrac{2 \cdot 4 }{\dfrac{1}{4} \cdot 4}= \frac{8}{1}= 8$

    Der Kehrwert eines Bruchs vertauscht die Zahlen im Nenner und Zähler eines Bruchs.

    Lösung

    Diese Aussagen sind falsch:

    „Zähler und Nenner eines Doppelbruchs bestehen immer aus ganzen Zahlen."

    • Zähler und Nenner des Hauptbruches können aus Brüchen oder ganzen Zahlen bestehen.
    „Zum Auflösen von Doppelbrüchen kannst du den Nennerbruch mit dem Kehrwert des Zählerbruchs multiplizieren."

    • Um einen Doppelbruch so aufzulösen, musst du den Zählerbruch mit dem Kehrwert des Nennerbruchs multiplizieren.
    Diese Aussagen sind richtig:

    „Um einen Doppelbruch aufzulösen, kannst du ihn so erweitern, dass die Brüche aus Nenner und Zähler verschwinden."

    „Zähler und Nenner des Hauptbruches werden durch den Hauptbruchstrich getrennt."

    „Um einen Doppelbruch aufzulösen, kannst du den Zählerbruch mit dem Kehrwert des Nennerbruchs multiplizieren."

  • Ergänze die rechnerischen Lösungen.

    Tipps

    In den Zeichnungen geben die dunkelgelben Kreise an, welche Zahl im Zähler des Doppelbruches steht. Die eingezeichneten Kreisteile geben an, durch welchen Bruch geteilt wird.

    Die Doppelbrüche wurden mit der Methode der Multiplikation mit dem Kehrwert des Nennerbruchs gelöst.

    Lösung

    In den Zeichnungen geben die dunkelgelben Kreise an, welche Zahl im Zähler des Doppelbruches steht. Die eingezeichneten Kreisteile geben an, durch welchen Bruch geteilt wird. Dann wurden die Doppelbrüche mit der Methode der Multiplikation mit dem Kehrwert des Nennerbruchs gelöst. Damit kannst du die Rechnungen so zuordnen:

    • Zu den zwei vollen Kreisen gehört:
    $\begin{array}{&&} \dfrac{2}{\frac{1}{4}} &= 2:\frac{1}{4} \\ &= 2 \cdot \frac{4}{1}\\ &=8\\ \end{array}$

    • Zu dem Halbkreis gehört:

    $\begin{array}{ll} \dfrac{\frac{1}{2} }{ \frac{1}{6}} &= \frac{1}{2} : \frac{1}{6} \\ &= \frac{1}{2} \cdot \frac{6}{1}\\ &=\frac{6}{2}\\ &=3\\ \end{array}$

    • Und die Rechnung für die drei Halbkreise lautet:

    $\begin{array}{ll} \dfrac{\frac{3}{2} }{\frac{1}{6} }&= \frac{3}{2} :\frac{1}{6} \\ &= \frac{3}{2} \cdot \frac{6}{1} \\ &= \frac{18}{2} \\ &=9 \end{array}$

  • Berechne das Ergebnis des Doppelbruchs.

    Tipps

    In einem Doppelbruch wird ein Bruch durch einen anderen geteilt. Eine Merkregel für die Rechnung in diesen Fall lautet:

    „Mit dem Kehrbruch multiplizieren"

    Geschicktes Erweitern bedeutet hier, dass du den Hauptbruch nacheinander mit dem Nenner des Zählerbruchs und anschließend mit dem Nenner des Nennerbruchs erweiterst. Dabei werden die Brüche in Nenner und Zähler zu ganzen Zahlen.

    Lösung

    Den Lückentext kannst du so vervollständigen:

    „Möchtest du diesen Bruch graphisch lösen, musst du dir überlegen, wie viele Sechstel eines ganzen Kreises in drei halbe Kreise passen. Jeder dieser halben Kreise besteht aus $3$ Sechsteln eines ganzen Kreises. Das Ergebnis ist also:

    $3 \cdot 3=9^“$

    • Mit einer graphischen Lösung kannst du dir die rechnerische Lösung veranschaulichen.
    „Um den Bruch rechnerisch zu lösen, kannst du den Zählererbruch mit dem Kehrwert des Nenners multiplizieren. Dabei erhältst du:

    $\dfrac{\frac{3}{2}}{\frac{1}{6}}=\frac{3}{2} \cdot \frac{6}{1} =\frac{18}{2} =9^“$

    • In einem Doppelbruch wird ein Bruch durch einen anderen geteilt. Eine Merkregel für die Rechnung in diesen Fall lautet: „Mit dem Kehrbruch multiplizieren“.
    „Eine weitere Möglichkeit den Hauptbruch rechnerisch zu lösen, ist geschicktes Erweitern. Um den Bruch aus dem Zähler verschwinden zu lassen, erweiterst du mit $2$:

    $\dfrac{\frac{3}{2} \cdot 2 }{\frac{1}{6} \cdot 2}= \dfrac{3}{\frac{2}{6}}$

    Durch Erweitern des Hauptbruchs mit $6$ verschwindet der Bruch im Nenner:

    $\dfrac{3 \cdot 6 }{\frac{2}{6} \cdot 6}= \dfrac{18}{2}=9^“$

    • Geschicktes Erweitern bedeutet hier, dass du den Hauptbruch nacheinander mit dem Nenner des Zählerbruchs und anschließend mit dem Nenner des Nennerbruchs erweiterst. Dabei werden die Brüche in Nenner und Zähler zu ganzen Zahlen.
  • Erschließe, welche Rechnungen korrekt durchgeführt wurden.

    Tipps

    Bestimme, welche Aufgaben richtig gelöst wurden, indem du die Lösungen selbst bestimmst. Vereinfache dazu die Rechnungen in den Brüchen und multipliziere anschließend mit dem Kehrbruch.

    Lösung

    Bestimme, welche Aufgaben richtig gelöst wurde, indem du die Lösunges selbst bestimmst. Vereinfache dazu die Rechnungen in den Brüchen und multipliziere anschließend mit dem Kehrbruch. Dann erhältst du, dass diese Rechnungen falsch sind:

    • „$\dfrac{\frac{3-5}{8}}{\frac{9-3}{2}} \neq-\frac{1}{3}$"
    Hier erhältst du korrekterweise:

    $\begin{array}{llll} \dfrac{\frac{3-5}{8}}{\frac{9-3}{2}}&=\dfrac{\frac{-2}{8}}{\frac{6}{2}}\\ &=\frac{-2}{8} \cdot \frac{2}{6}\\ &=\frac{-1}{4} \cdot \frac{1}{3}\\ &=-\frac{1}{12}\\ \end{array}$

    • „$\dfrac{\frac{12-4}{3}}{\frac{3 \cdot 2}{5+8}} \neq\frac{13}{9}$"
    Hier lautet die Rechnung:

    $\begin{array}{llll} \dfrac{\frac{12-4}{3}}{\frac{3 \cdot 2}{5+8}}&=\dfrac{\frac{8}{3}}{\frac{6}{13}}\\ &=\frac{8}{3} \cdot \frac{13}{6}\\ &=\frac{4}{3} \cdot \frac{13}{3}\\ &=\frac{52}{9}\\ \end{array}$

    Diese Rechnungen wurden korrekt durchgeführt:

    • „$\dfrac{\frac{3 \cdot 2}{5-7}}{\frac{8}{3+5}}=-3$"
    • „$\dfrac{\frac{-3-5}{12}}{\frac{18-6}{2+3}}=-\frac{5}{18}$"
    • „$\dfrac{\frac{3-12}{2 \cdot 9 }}{\frac{-18}{9}}=\frac{1}{4}$"
  • Entscheide, welche Lösung zu welchem Doppelbruch gehört.

    Tipps

    Du kannst die Doppelbrüche berechnen, indem du den Zähler des Hauptbruchs mit dem Kehrbruch des Nenners multiplizierst.

    Anschließend kannst du kürzen und vereinfachen.

    Lösung

    Du kannst die Doppelbrüche berechnen, indem du den Zähler des Hauptbruchs mit dem Kehrbruch des Nenners multiplizierst. Anschließend kannst du kürzen und vereinfachen. So erhältst du:

    • $\dfrac{\frac{3}{5}}{6}=\frac{3}{5} \cdot \frac{1}{6}=\frac{1}{5} \cdot \frac{1}{2}= \frac{1}{10}$
    • $\dfrac{\frac{3}{2}}{6}=\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{6}=\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}= \frac{1}{4}$
    • $\dfrac{\frac{5}{4}}{\frac{2}{10}}=\frac{5}{4} \cdot \frac{10}{2} = \frac{25}{4}$
    • $\dfrac{\frac{3}{2}}{4}=\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{4}=\frac{3}{8}$
  • Ermittle das Ergebnis der Doppelbrüche.

    Tipps

    Mit dem Kehrbruch kannst du die Lösungen bestimmen. Ein Beispiel kann lauten:

    $\dfrac{\frac{5}{4}}{\frac{2}{10}}=\frac{5}{4} \cdot \frac{10}{2} = \frac{25}{4}$

    Lösung

    Du kannst die Doppelbrüche berechnen, indem du den Zähler des Hauptbruchs mit dem Kehrbruch des Nenners multiplizierst. Anschließend kannst du kürzen und vereinfachen. So erhältst du:

    • $\dfrac{\frac{8}{6}}{\frac{4}{3}}= \frac{8}{6} \cdot\frac{3}{4}= \frac{4}{2} \cdot \frac{1}{1}= 2$
    • $\dfrac{\frac{4}{3}}{\frac{2}{9}}= \frac{4}{3} \cdot \frac{9}{2}= \frac{2}{1} \cdot \frac{3}{1}=6 $
    • $\dfrac{\frac{6}{2}}{\frac{9}{6}}=2$
    • $\dfrac{\frac{9}{8}}{\frac{3}{24}}=9$
    • $\dfrac{\frac{12}{2}}{\frac{6}{3}}=3$
    • $\dfrac{\frac{63}{3}}{\frac{12}{4}}=7$