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Brüche durcheinander dividieren

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Team Digital
Brüche durcheinander dividieren
lernst du in der 5. Klasse - 6. Klasse - 7. Klasse - 8. Klasse

Grundlagen zum Thema Brüche durcheinander dividieren

Brüche dividieren

Stell dir vor, du hast einen Krug mit 7,5 Liter Wasser und ein paar Becher mit jeweils $\frac{1}{4}$ Liter Fassungsvermögen. Wie viele Becher kannst du insgesamt mit dem Krug befüllen? Um das herauszufinden, müssen wir zwei Brüche durcheinander dividieren. Zuerst stellen wir die 7,5 Liter Wasser als Bruch dar. Das sind genau $\frac{15}{2}$.

Brüche dividieren Beispiel

Wir müssen also $\frac{15}{2}$ durch $\frac{1}{4}$ teilen, um herauszufinden, wie viele Becher wir insgesamt befüllen können:

$\dfrac{15}{2} : \dfrac{1}{4} =\,?$

Aber wie dividiert man Brüche miteinander?

Man kann zwei Brüche durcheinander dividieren, indem man den ersten Bruch mit dem Kehrwert des zweiten Bruchs multipliziert.

Brüche dividieren – Regeln

Du kannst dir diese Regel und auch die Regel für die Multiplikation von Brüchen vielleicht besser mit einem Merksatz merken:

Merke:
Bruch mal Bruch, das ist für Kenner:
Zähler mal Zähler, Nenner mal Nenner.
Teilst du durch die gebroch’ne Zahl,
nimmst du mit dem Kehrwert mal.

Brüche dividieren – Erklärung

Wir betrachten die Rechnung noch einmal, dieses Mal allerdings ganz allgemein:

$\dfrac{a}{b} : \dfrac{c}{d} = \dfrac{a:c}{b:d}$

Hier teilen wir zunächst also einfach Zähler durch Zähler und Nenner durch Nenner. Auf der rechten Seite erweitern wir jetzt mit $c$ und $d$.

$\dfrac{a}{b} : \dfrac{c}{d} = \dfrac{a:c}{b:d} = \dfrac{a:c \cdot c \cdot d}{b:d \cdot c \cdot d}$

Wenn wir die Reihenfolge von $c$ und $d$ im Nenner vertauschen, sehen wir, dass sich sowohl im Zähler als auch im Nenner zwei Terme miteinander aufheben. Im Zähler steht nämlich

$: c \cdot c$

und im Nenner kommt

$: d \cdot d$

vor. Beides hebt sich jeweils gegenseitig auf. Deswegen erhalten wir folgendes Ergebnis:

$\dfrac{a}{b} : \dfrac{c}{d} = \dfrac{a:c}{b:d} = \dfrac{a:c \cdot c \cdot d}{b:d \cdot d \cdot c} = \dfrac{a \cdot d}{b \cdot c} = \dfrac{a}{b} \cdot \dfrac{d}{c}$

Auch im allgemeinen Fall multiplizieren wir also mit dem Kehrwert des Divisors (also des zweiten Bruchs):

$\dfrac{a}{b} : \dfrac{c}{d} = \dfrac{a}{b} \cdot \dfrac{d}{c}$

Brüche dividieren – Beispiel

Mit dieser neuen Regel kommen wir zurück zu unserem ursprünglichen Problem. Wir hatten einen Krug mit 7,5 Litern Wasser und ein paar Becher mit jeweils $\frac{1}{4}$ Liter Fassungsvermögen und wollten wissen, wie viele Becher wir insgesamt füllen können. Wir müssen also die folgende Aufgabe lösen:

$\dfrac{15}{2} : \dfrac{1}{4} =\,?$

Wir wenden die Regel zum Dividieren von Brüchen an und multiplizieren den ersten Bruch mit dem Kehrwert des zweiten Bruchs:

$\dfrac{15}{2} : \dfrac{1}{4} = \dfrac{15}{2} \cdot \dfrac{4}{1} = \dfrac{15 \cdot 4}{2 \cdot 1} = \dfrac{60}{2} = 30$

Wir können also $30$ Becher mit Wasser füllen. Ob das stimmt, können wir mit einer Probe überprüfen.

Probe:
Wenn wir die Anzahl der Becher mit deren Fassungsvermögen multiplizieren, muss das Ergebnis die Gesamtmenge des Wassers sein. Wir rechnen:

$30 \cdot \dfrac{1}{4} = \dfrac{30}{1} \cdot \dfrac{1}{4} = \dfrac{30 \cdot 1}{1 \cdot 4} = \dfrac{30}{4} = \dfrac{15}{2} = 7{,}5$

Wir haben also richtig gerechnet!

Natürliche Zahlen durch Brüche teilen

Du kannst nicht nur Brüche durch Brüche, sondern unter anderem auch natürliche Zahlen durch Brüche teilen. Dafür schreibst du die natürliche Zahl zu einem Bruch um.

$5 : \frac{1}{2}$ würde zu $\frac{5}{1} : \frac{1}{2}$ werden. Anschließend rechnest du wie gewohnt mit dem Kehrwert weiter.

$\dfrac{5}{1} : \dfrac{1}{2} = \dfrac{5}{1} \cdot \dfrac{2}{1} = \dfrac{10}{1} = 10$

Brüche dividieren – Zusammenfassung

  • Zwei Brüche dividierst du, indem du den ersten Bruch mit dem Kehrwert des zweiten Bruchs multiplizierst.
  • Bei der Division zweier Brüche kannst du dich an folgender Formel orientieren: $\dfrac{a}{b} : \dfrac{c}{d} = \dfrac{a}{b} \cdot \dfrac{d}{c}$
  • Auch natürliche und ganze Zahlen können durch Brüche dividiert werden.

Brüche dividieren – Übungen

Berechne die folgenden Divisionen.

$\dfrac{5}{9} : \dfrac{1}{4}$
$\dfrac{6}{7} : \dfrac{3}{4}$
$\dfrac{15}{5} : \dfrac{1}{3}$

Häufig gestellte Fragen zum Thema Brüche dividieren

Wie dividiert man einen Bruch?
Was ist der Merksatz, um die Division der Brüchen zu merken?
Warum sollten wir Brüche überhaupt dividieren?
Wie dividiert man einen Bruch durch eine ganze Zahl?
Kann man Brüche mit unterschiedlichen Nennern dividieren?
Wie erkennt man, ob das Ergebnis einer Bruchdivision richtig ist?

Transkript Brüche durcheinander dividieren

Der Händler Victor ist in der Wüste unterwegs. Was ist das? Etwa eine Oase? Nach mehreren Tagen in der Wüste, entdeckt er endlich eine Wasserquelle. Diese Entdeckung bringt ihn auf die Geschäftsidee. Zum Glück hat er einen siebeneinhalb Liter großen Krug dabei. Den kann er mit Wasser füllen, um es Mitten in der Wüste als Durstlöscher gewinnbringend zu verkaufen. Wie gut, dass er noch ein paar Becher mit je einem Viertel Liter Fassungsvermögen dabei hat. Doch wie viele ein Viertel Liter Becher kann er mit siebeneinhalb Litern Wasser füllen? Wie oft passt also 1 Viertel in siebeneinhalb? Um das herauszufinden, müssen wir Brüche durcheinander dividieren. Der Krug hat ein Fassungsvermögen von siebeneinhalb Litern - was dem Bruch 15 Halbe entspricht. Victor möchte nun 15 halbe Liter Wasser auf die Viertel Liter Becher aufteilen. Wir rechnen also fünfzehn Halbe geteilt durch ein Viertel. Wie oft passt nun ein Viertel in fünfzehn Halbe?Schauen wir uns zunächst ein bekanntes Beispiel an, nämlich die Aufgabe 4 geteilt durch 2. Das ergibt 2. Diese Division können wir auch schreiben als, 4 Eintel, geteilt durch, 2 Eintel, gleich 2 Eintel. Zudem können wir die Division, 4 geteilt durch 2, auch in Form eines Bruches, nämlich als 4 Halbe, ausdrücken. Diesen Bruch erweitern wir nun mit 1 und vertauschen die Faktoren im Nenner. Nun können wir diesen Bruch auch so schreiben. Wir sehen, dass 4 Eintel, geteilt durch, 2 Eintel, das Gleiche ist wie, 4 Eintel mal 1 Halb. Man kann also zwei Brüche durcheinander dividieren, indem man den ersten Bruch mit dem Kehrwert des zweiten Bruches multipliziert. Aber warum ist das so? Um auf Nummer sicher zu gehen, dass wir für alle Brüche so vorgehen können, schauen wir uns die Rechnung mal allgemein mit Brüchen an. a durch b, geteilt durch, c durch d, schreiben wir so. Warum das so ist, können wir uns an der Rechnung, 4 Eintel geteilt durch 2 Eintel, anschauen. Das schreiben wir so als einen Bruch, teilen 4 durch 2, das ergibt 2 und 1 durch 1, was 1 ergibt. Diese Umformung ist also korrekt. Erweitern wir den Bruch mit c und d, vertauschen wir diese Faktoren im Nenner, dann sehen wir, dass wir im Zähler durch c teilen, und mit c multiplizieren und im Nenner durch d teilen, und mit d multiplizieren. Diese Rechnungen heben sich also gegenseitig auf. Diesen Bruch können wir auch so schreiben. Also ist a durch b, geteilt durch, c durch d, gleich, a durch b, mal d durch c. Merke dir: Du kannst zwei Brüche durcheinander dividieren, indem du den ersten Bruch mit dem Kehrwert des zweiten Bruches multiplizierst. So, nun zurück zu Victor und seinem Wasserverkauf. Die Frage ist hier also, wie oft passt ein Viertel in 15 Halbe? Mathematisch also, 15 Halbe geteilt durch 1 Viertel. Wenden wir das Gelernte an, und multilpizieren den ersten Bruch mit dem Kehrwert des zweiten Bruches, schreiben das als einen Bruch,so ergibt das 60 Halbe. Diesen Bruch können wir kürzen, das ergibt 30 Eintel, also 30. Victor kann 30 Becher mit Wasser verkaufen. Ob das stimmt? Lass uns die Probe durchführen. Multiplizieren wir die Anzahl der Becher mit dem Fassungsvermögen eines Bechers in Liter, so muss die Gesamtmenge Wasser in Liter herauskommen. Rechnen wir also 30 mal ein Viertel, so muss 7,5 herauskommen. Wir wandeln die 30, in den Bruch 30 Eintel um, und multiplizieren Zähler mit Zähler und Nenner mit Nenner. Wir erhalten das Ergebnis 30 Viertel und können mit 2 kürzen. Das ergibt 15 Halbe, also 7,5. Sehr schön, das stimmt. Lass uns das Vorgehen bei der Division zweier Brüche noch kurz zusammenfassen. Um zwei Brüche zu dividieren, kannst du den ersten Bruch mit dem Kehrwert des zweiten multiplizieren. Dann multiplizierst du die Zähler und die Nenner. Anschließend vereinfachst du den Bruch sinnvoll, kürzt, und vereinfachst, wenn möglich. Endlich ist Victor fertig mit seinen Überlegungen und bereit zum Abfüllen der Krüge. Oh Nein!!! Victors Begleiter hätte ja ruhig auch teilen können!

75 Kommentare
75 Kommentare
  1. wie lange kaut der kamel das grass er isst das am anfang eine weile später mann sieht ih immer noch am kauen owol er rechts ist und nicht lings entweder kaut es lange oder es ist ein mystisches tier .🫢🫢🫢😩😩🙀🙀🙀🙀🙀🙀🐫🐫🐫🐫🐫🐫

    Von Memett , vor 30 Tagen
  2. findet ihr es auch so ?

    Von Liliana, vor etwa einem Monat
  3. SUPER VIDEO , sehr gut zu empfelen

    Von Liliana, vor etwa einem Monat
  4. Gut zu empfehlen

    Von Javier, vor 2 Monaten
  5. Danke 🙏🏼 👍🏼

    Von Javier, vor 2 Monaten
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Brüche durcheinander dividieren Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Brüche durcheinander dividieren kannst du es wiederholen und üben.
  • Berechne das Ergebnis der Division zweier Brüche.

    Tipps

    Um eine Dezimalzahl in einen Bruch umzuwandeln, schreibst du die Zahl als Bruch. Dazu teilst du durch $1$ und erweiterst so lange, bis du eine ganze Zahl im Nenner erhält.

    Beispiel:

    $\begin{array}{llll} 3,\!5 &=&\dfrac{3,\!5 \cdot 2}{1 \cdot 2} \\ \\ &=& \dfrac{7}{2} \end{array}$

    Um aus einem Bruch den Kehrwert zu erhalten, musst du Nenner und Zähler vertauschen.

    Lösung

    Die Rechnung verläuft wie folgt:

    • Beide Zahlen müssen als Bruch vorliegen. Dazu wandelt er $7,\!5$ zuerst um:
    $7,\!5=\dfrac{15}{2}$

    Um eine Dezimalzahl in einen Bruch umzuwandeln, schreibt er die Zahl als Bruch. Dazu teilt er durch $1$, teilt und erweitert so lange, bis er eine ganze Zahl im Nenner erhält. Hier ergibt sich:

    $\begin{array}{llll} 7,\!5 &=&\dfrac{7,\!5 \cdot 2}{1 \cdot 2} \\ \\ &=& \dfrac{15}{2} \end{array}$

    • Dann stellt er die Rechnung auf:
    $\dfrac{15}{2} :\dfrac{1}{4}$

    • Um das zu berechnen, muss er den Kehrwert des zweiten Bruchs bilden und ihn mit dem ersten Bruch multiplizieren:
    $=\dfrac{15}{2} \cdot \dfrac{4}{1}$

    Um den Kehrwert zu bilden, vertauscht er Nenner und Zähler.

    • Für die Multiplikation schreibt er die Rechnung als einen Bruch:
    $=\dfrac{15 \cdot 4}{2 \cdot 1} $

    • Nun rechnet Viktor aus:
    $=\dfrac{60}{2 }$

    • Zuletzt kürzt und vereinfacht er:
    $=30$

  • Beschreibe das Vorgehen bei der Division zweier Brüche.

    Tipps

    Für die Multiplikation von Brüchen gibt es die Merkregel: Nenner mal Nenner und Zähler mal Zähler.

    Um Brüche zu dividieren, musst du den Kehrwert des zweiten Bruchs bilden und die Brüche multiplizieren. Das kann wie folgt geschrieben werden:

    $\dfrac{a}{b} : \dfrac{c}{d} = \dfrac{a}{b} \cdot \dfrac{d}{c}$

    Lösung

    Die Rechnung wird wie folgt durchgeführt:

    • Zuerst schreibt er die Rechnung auf:
    $ \dfrac{15}{2}: \dfrac{1}{4}$

    • Dann schreibt er die Rechnung um:
    $=\dfrac{15}{2} \cdot \dfrac{4}{1}$

    Um Brüche zu dividieren, musst du den Kehrwert des zweiten Bruchs bilden und die Brüche multiplizieren.

    • Er bringt sie auf einen Bruchstrich:
    $=\dfrac{15 \cdot 4}{2 \cdot 1}$

    Um Brüche zu multiplizieren ist es hilfreich, sie zuerst auf einen Bruchstrich zu schreiben.

    • Danach berechnet Viktor die Multiplikationen:
    $=\dfrac{60}{2}$

    • Er kürzt:
    $=\dfrac{30}{1}$

    • Zum Schluss vereinfacht er:
    $=30$

  • Bestimme das Ergebnis der Divisionen zweier Brüche.

    Tipps

    Um aus einem Bruch den Kehrwert zu erhalten, vertauschst du Zähler und Nenner.

    Gehe die drei Divisionsrechnungen jeweils Schritt für Schritt auf Papier durch und überprüfe, welche Zwischenschritte du hier wiederfindest.

    Lösung

    Die erste Rechnung wird so durchgeführt:

    $\begin{array}{llll} \dfrac{3}{2} : \dfrac{6}{8} &=&\dfrac{3}{2} \cdot \dfrac{8}{6} \\ \\ &=&\dfrac{3 \cdot 8}{2 \cdot 6}\\ \\ &=&\dfrac{1 \cdot 4}{1 \cdot 2}\\ \\ &=&\dfrac{4}{2 }\\ \\ &=&2 \end{array}$

    Die zweite Division geht wie folgt:

    $\begin{array}{llll} \dfrac{4}{5} : \dfrac{10}{8} &=&\dfrac{4}{5} \cdot \dfrac{8}{10} \\ \\ &=&\dfrac{4 \cdot 8}{5 \cdot 10}\\ \\ &=&\dfrac{4 \cdot 4}{5 \cdot 5}\\ \\ &=&\dfrac{16}{25 } \end{array}$

    Für die letzte Rechnung ergibt sich:

    $\begin{array}{llll} \dfrac{1}{3} : \dfrac{1}{2} &=&\dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{2}{1} \\ \\ &=&\dfrac{2}{3} \end{array}$

  • Bestimme das Ergebnis der Division zweier Brüche.

    Tipps

    Um Brüche zu dividieren, muss man den ersten Bruch mit dem Kehrwert des zweiten Bruchs multiplizieren.

    Lösung

    Die erste Rechnung führen wir folgendermaßen durch:

    $\begin{array}{llll} \dfrac{8}{3} : \dfrac{4}{9} &=&\dfrac{8}{3} \cdot \dfrac{9}{4} \\ \\ &=&\dfrac{8 \cdot 9}{3 \cdot 4}\\ \\ &=&\dfrac{2 \cdot 3}{1 \cdot 1}\\ \\ &=&\dfrac{6}{1 }\\ \\ &=&6 \end{array}$

    Analog berechnen wir die zweite Division:

    $\begin{array}{llll} \dfrac{1}{8} : \dfrac{3}{2} &=& \dfrac{1}{8}\cdot\dfrac{2}{3} \\ \\ &=& \dfrac{1\cdot 2}{8 \cdot 3}\\ \\ &=& \dfrac{1}{4\cdot 3} \\ \\ &=& \dfrac{1}{12} \end{array}$

    Bei der dritten Rechnung können wir geschickt vorgehen, um uns einiges an Schreibarbeit zu ersparen. Wir wissen nämlich, dass $\frac{8}{8}=1$ gilt! Wir teilen also durch $1$, das heißt, der erste Bruch bleibt einfach stehen:

    $\dfrac{3}{2} : \dfrac{8}{8} = \dfrac{3}{2}$

    Und für die vierte Rechnung können wir uns ebenfalls einen kleinen Trick zunutze machen, um das Rechnen etwas zu beschleunigen. Da wir wissen, dass wir bei der Division mit dem Kehrwert des zweiten Bruchs multiplizieren werden, wissen wir auch: Wenn die beiden anfänglichen Brüche den gleichen Nenner haben, wird sich dieser bei der Multiplikation wegkürzen!
    Wir erweitern also den ersten Bruch so, dass wie beim zweiten Bruch $14$ im Nenner steht und müssen dann nur noch die Zähler durcheinander teilen:

    $\begin{array}{llll} \dfrac{2}{7} : \dfrac{3}{14} &=& \dfrac{4}{14} : \dfrac{3}{14}\\ \\ &=& \dfrac{4}{3} \end{array}$

    Wenn du möchtest, kannst du die letzten beiden Brüche auch noch einmal mit der ausführlichen Methode berechnen.

  • Bestimme die korrekten Aussagen zur Division von Brüchen.

    Tipps

    Die Merkregel für das Dividieren von Brüchen lautet: mit dem Kehrwert multiplizieren.

    Um einen Kehrwert zu erhalten, teilst du $1$ durch den Bruch.

    Für den Bruch $\frac{a}{b}$ erhältst du:

    $\begin{array}{llll} \dfrac{a}{b} &\Rightarrow& 1: \dfrac{a}{b} \\ \\ &=&\dfrac{1}{1} : \dfrac{a}{b} \\ \\ &=& \dfrac{1}{1} \cdot \dfrac{b}{a} \\ \\ &=& \dfrac{b}{a} & \end{array}$

    Lösung

    Diese Aussagen sind richtig:

    • Um aus einem Bruch den Kehrwert zu erhalten, muss man Nenner und Zähler vertauschen.
    Um einen Kehrwert zu ermitteln, teilst du $1$ durch den Bruch.

    Für den Bruch $\frac{a}{b}$ erhältst du:

    $\begin{array}{llll} \dfrac{a}{b}&\Rightarrow& 1: \dfrac{a}{b} \\ \\ &=&\dfrac{1}{1} : \dfrac{a}{b} \\ \\ &=& \dfrac{1}{1} \cdot \dfrac{b}{a} \\ \\ &=& \dfrac{b}{a} & \end{array}$

    Also vertauschst du den Nenner und den Zähler.

    • Um Brüche zu dividieren, muss man den ersten Bruch mit dem Kehrwert des zweiten Bruchs multiplizieren.
    Das ist die Regel für die Division von Brüchen.

    • Um die Probe durchzuführen, multipliziert man das Ergebnis der Division mit dem zweiten Bruch.
    Mit der Probe überprüfst du, ob du richtig gerechnet hast: Das Ergebnis dieser Rechnung sollte der erste Bruch sein.

    Diese Aussagen sind falsch:

    • Um Brüche zu dividieren, kann man sie auch einfach multiplizieren.
    • Um Brüche zu dividieren, muss man den zweiten Bruch mit dem Kehrwert des ersten Bruchs multiplizieren.
    Die Regel für die Division von Brüchen lautet:
    Um Brüche zu dividieren, musst du den ersten Bruch mit dem Kehrwert des zweiten Bruchs multiplizieren.

  • Bestimme die Seitenlänge eines Rechtecks.

    Tipps

    Um die Probe durchzuführen, multipliziert man das Ergebnis der Division mit dem zweiten Bruch.

    Lösung

    Die Rechnung wird folgendermaßen vervollständigt:

    • Ein Rechteck mit den Seitenlängen $a$ und $b$ hat den Flächeninhalt $A$ und wird berechnet mit:
    $A= a \cdot b$

    • Eine Seitenlänge $a$ und der Flächeninhalt $A$ sind bekannt. Richard muss also die zweite Seitenlänge $b$ bestimmen.
    • Um das zu berechnen, muss er nur noch die bekannten Größen einsetzen, also:
    $b=\dfrac{A}{a}=\dfrac{45}{2}~\text{m}^2:\dfrac{10}{3}~\text{m}$

    Mit dem Flächeninhalt $A$ und einer Seitenlänge $a$ kann Richard die letzte Seitenlänge $b$ durch eine Division von Brüchen berechnen.

    • Ausgerechnet ergibt das:
    $b=\dfrac{45}{2} \cdot \dfrac{3}{10}~\text{m} = \dfrac{9 \cdot 3 }{2 \cdot 2}~\text{m}=\dfrac{27 }{4}~\text{m}$

    Um Brüche zu dividieren, muss Richard den ersten Bruch mit dem Kehrwert des zweiten Bruchs multiplizieren.

    • Der Zaun muss also $\frac{27 }{4}~\text{m}$ Meter lang werden. Doch ist dieses Ergebnis auch richtig? Um sicherzugehen, macht Richard die Probe:
    $\dfrac{27 }{4}~\text{m} \cdot \dfrac{10}{3}~\text{m}=\dfrac{45}{2}~\text{m}^2$

    Um die Probe durchzuführen, multipliziert er das Ergebnis der Division mit dem zweiten Bruch.