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Brüche durcheinander dividieren

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Team Digital
Brüche durcheinander dividieren
lernst du in der 5. Klasse - 6. Klasse - 7. Klasse - 8. Klasse

Grundlagen zum Thema Brüche durcheinander dividieren

Inhalt

Brüche durcheinander dividieren

Stell dir vor, du hast einen Krug mit 7,5 Liter Wasser und ein paar Becher mit jeweils $\frac{1}{4}$ Liter Fassungsvermögen. Wie viele Becher kannst du insgesamt mit dem Krug befüllen? Um das herauszufinden, müssen wir zwei Brüche durcheinander dividieren. Zuerst stellen wir die 7,5 Liter Wasser als Bruch dar. Das sind genau $\frac{15}{2}$.

Brüche dividieren Beispiel

Wir müssen also $\frac{15}{2}$ durch $\frac{1}{4}$ teilen, um herauszufinden, wie viele Becher wir insgesamt befüllen können:

$\frac{15}{2} : \frac{1}{4} = ?$

Aber wie dividiert man Brüche miteinander?

Brüche dividieren – Mathematik

Um das Dividieren von Brüchen zu verstehen, schauen wir uns ein ganz einfaches Beispiel an. Wir teilen vier durch zwei:

$4 : 2 = 2$

Vielleicht wunderst du dich, weil da gar kein Bruch steht. Aber wir können diese Aufgabe auch anders schreiben. Vier können wir als vier geteilt durch eins schreiben und das Gleiche können wir mit der Zwei machen:

$\frac{4}{1} : \frac{2}{1} = \frac{2}{1}$

Außerdem können wir $4 : 2$ auch als Bruch schreiben, und zwar so:

$4 : 2 = \frac{4}{2} $

Wenn wir diesen Bruch mit $1$ erweitern und die Faktoren im Nenner vertauschen, erhalten wir diese Gleichung:

$4 : 2 = \frac{4}{2} = \frac{4 \cdot 1}{2 \cdot 1} = \frac{4 \cdot 1}{1 \cdot 2} = \frac{4}{1} \cdot \frac{1}{2}$

Jetzt müssen wir die unterschiedlichen Darstellungen, die wir gefunden haben, nur noch zusammenfassen:

$4 : 2 = \frac{4}{1} : \frac{2}{1} = \frac{4}{1} \cdot \frac{1}{2} = 4 : 2$

Man kann also zwei Brüche durcheinander dividieren, indem man den ersten Bruch mit dem Kehrwert des zweiten Bruchs multipliziert. Aber warum ist das so? Wenn wir Brüche dividieren, warum multiplizieren wir dann mit dem Kehrwert? Und funktioniert das immer?

Brüche dividieren – Erklärung

Wir betrachten die Rechnung noch einmal, dieses Mal allerdings ganz allgemein:

$\frac{a}{b} : \frac{c}{d} = \frac{a:c}{b:d}$

Hier teilen wir zunächst also einfach Zähler durch Zähler und Nenner durch Nenner. Auf der rechten Seite erweitern wir jetzt mit $c$ und $d$.

$\frac{a}{b} : \frac{c}{d} = \frac{a:c}{b:d} = \frac{a:c \cdot c \cdot d}{b:d \cdot c \cdot d} $

Wenn wir jetzt die Reihenfolge von $c$ und $d$ im Nenner vertauschen, sehen wir, dass sich sowohl im Zähler als auch im Nenner zwei Terme miteinander aufheben. Im Zähler steht

$c \cdot c$

und im Nenner

$d \cdot d$.

Beides hebt sich gegenseitig auf. Deswegen erhalten wir folgendes Ergebnis:

$\frac{a}{b} : \frac{c}{d} = \frac{a:c}{b:d} = \frac{a:c \cdot c \cdot d}{b:d \cdot d \cdot c} = \frac{a \cdot d}{b \cdot c} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c}$

Auch im allgemeinen Fall multiplizieren wir also mit dem Kehrwert des Divisors (zweiter Bruch). Wir können also eine Regel aufstellen.

Brüche dividieren – Regeln

Wie rechnet man also Bruch durch Bruch?

Man kann zwei Brüche durcheinander dividieren, indem man den ersten Bruch mit dem Kehrwert des zweiten Bruchs multipliziert.

Du kannst dir diese Regel und auch die Regel für die Multiplikation von Brüchen vielleicht besser mit einem Merksatz merken:

Bruch mal Bruch, das ist für Kenner: Zähler mal Zähler, Nenner mal Nenner. Teilst du durch die gebroch’ne Zahl, nimmst du mit dem Kehrwert mal.

Brüche dividieren – Beispiele

Mit dieser neuen Regel kommen wir zurück zu unserem ursprünglichen Problem. Wir hatten einen Krug mit 7,5 Litern Wasser und ein paar Becher mit jeweils $\frac{1}{4}$ Liter Fassungsvermögen und wollten wissen, wie viele Becher wir insgesamt füllen können. Wir müssen also die folgende Aufgabe lösen:

$\frac{15}{2} : \frac{1}{4} = ?$

Wir wenden die Regel zum Dividieren von Brüchen an und multiplizieren den ersten Bruch mit dem Kehrwert des zweiten Bruchs:

$\frac{15}{2} : \frac{1}{4} = \frac{15}{2} \cdot \frac{4}{1} = \frac{15 \cdot 4}{2 \cdot 1} = \frac{60}{2} = 30$

Wir können also $30$ Becher mit Wasser füllen. Ob das stimmt, können wir mit einer Probe überprüfen.

Probe

Wenn wir die Anzahl der Becher mit deren Fassungsvermögen multiplizieren, muss das Ergebnis die Gesamtmenge des Wassers sein. Wir rechnen also:

$30 \cdot \frac{1}{4} = \frac{30}{1} \cdot \frac{1}{4} = \frac{30 \cdot 1}{1 \cdot 4} = \frac{30}{4} = \frac{15}{2} = 7,5$

Wir haben also richtig gerechnet!

Brüche dividieren – Zusammenfassung

In diesem Video lernst du, Brüche durcheinander zu teilen. Wir rechnen zum Thema Brüche dividieren eine Aufgabe und du findest Übungen und ein Arbeitsblatt neben diesem Video.

Transkript Brüche durcheinander dividieren

Der Händler Victor ist in der Wüste unterwegs. Was ist das? Etwa eine Oase? Nach mehreren Tagen in der Wüste, entdeckt er endlich eine Wasserquelle. Diese Entdeckung bringt ihn auf die Geschäftsidee. Zum Glück hat er einen siebeneinhalb Liter großen Krug dabei. Den kann er mit Wasser füllen, um es Mitten in der Wüste als Durstlöscher gewinnbringend zu verkaufen. Wie gut, dass er noch ein paar Becher mit je einem Viertel Liter Fassungsvermögen dabei hat. Doch wie viele ein Viertel Liter Becher kann er mit siebeneinhalb Litern Wasser füllen? Wie oft passt also 1 Viertel in siebeneinhalb? Um das herauszufinden, müssen wir Brüche durcheinander dividieren. Der Krug hat ein Fassungsvermögen von siebeneinhalb Litern - was dem Bruch 15 Halbe entspricht. Victor möchte nun 15 halbe Liter Wasser auf die Viertel Liter Becher aufteilen. Wir rechnen also fünfzehn Halbe geteilt durch ein Viertel. Wie oft passt nun ein Viertel in fünfzehn Halbe?Schauen wir uns zunächst ein bekanntes Beispiel an, nämlich die Aufgabe 4 geteilt durch 2. Das ergibt 2. Diese Division können wir auch schreiben als, 4 Eintel, geteilt durch, 2 Eintel, gleich 2 Eintel. Zudem können wir die Division, 4 geteilt durch 2, auch in Form eines Bruches, nämlich als 4 Halbe, ausdrücken. Diesen Bruch erweitern wir nun mit 1 und vertauschen die Faktoren im Nenner. Nun können wir diesen Bruch auch so schreiben. Wir sehen, dass 4 Eintel, geteilt durch, 2 Eintel, das Gleiche ist wie, 4 Eintel mal 1 Halb. Man kann also zwei Brüche durcheinander dividieren, indem man den ersten Bruch mit dem Kehrwert des zweiten Bruches multipliziert. Aber warum ist das so? Um auf Nummer sicher zu gehen, dass wir für alle Brüche so vorgehen können, schauen wir uns die Rechnung mal allgemein mit Brüchen an. a durch b, geteilt durch, c durch d, schreiben wir so. Warum das so ist, können wir uns an der Rechnung, 4 Eintel geteilt durch 2 Eintel, anschauen. Das schreiben wir so als einen Bruch, teilen 4 durch 2, das ergibt 2 und 1 durch 1, was 1 ergibt. Diese Umformung ist also korrekt. Erweitern wir den Bruch mit c und d, vertauschen wir diese Faktoren im Nenner, dann sehen wir, dass wir im Zähler durch c teilen, und mit c multiplizieren und im Nenner durch d teilen, und mit d multiplizieren. Diese Rechnungen heben sich also gegenseitig auf. Diesen Bruch können wir auch so schreiben. Also ist a durch b, geteilt durch, c durch d, gleich, a durch b, mal d durch c. Merke dir: Du kannst zwei Brüche durcheinander dividieren, indem du den ersten Bruch mit dem Kehrwert des zweiten Bruches multiplizierst. So, nun zurück zu Victor und seinem Wasserverkauf. Die Frage ist hier also, wie oft passt ein Viertel in 15 Halbe? Mathematisch also, 15 Halbe geteilt durch 1 Viertel. Wenden wir das Gelernte an, und multilpizieren den ersten Bruch mit dem Kehrwert des zweiten Bruches, schreiben das als einen Bruch,so ergibt das 60 Halbe. Diesen Bruch können wir kürzen, das ergibt 30 Eintel, also 30. Victor kann 30 Becher mit Wasser verkaufen. Ob das stimmt? Lass uns die Probe durchführen. Multiplizieren wir die Anzahl der Becher mit dem Fassungsvermögen eines Bechers in Liter, so muss die Gesamtmenge Wasser in Liter herauskommen. Rechnen wir also 30 mal ein Viertel, so muss 7,5 herauskommen. Wir wandeln die 30, in den Bruch 30 Eintel um, und multiplizieren Zähler mit Zähler und Nenner mit Nenner. Wir erhalten das Ergebnis 30 Viertel und können mit 2 kürzen. Das ergibt 15 Halbe, also 7,5. Sehr schön, das stimmt. Lass uns das Vorgehen bei der Division zweier Brüche noch kurz zusammenfassen. Um zwei Brüche zu dividieren, kannst du den ersten Bruch mit dem Kehrwert des zweiten multiplizieren. Dann multiplizierst du die Zähler und die Nenner. Anschließend vereinfachst du den Bruch sinnvoll, kürzt, und vereinfachst, wenn möglich. Endlich ist Victor fertig mit seinen Überlegungen und bereit zum Abfüllen der Krüge. Oh Nein!!! Victors Begleiter hätte ja ruhig auch teilen können!

51 Kommentare

51 Kommentare
  1. Vallah

    Von Master-X-Fire, vor 3 Monaten
  2. Gut erklärt. Hat mir sehr geholfen 5 von 5 Sterne.
    Super empfelbar

    Von Harpreet Singh Sandhu, vor 4 Monaten
  3. gutes video👍🏻

    Von GiuliaTheQueen, vor 4 Monaten
  4. Das Video war eigentlich ganz in Ordnung

    Von Nadine, vor 6 Monaten
  5. Das video hat mir sehr geholfen. Danke

    Von Woodstock, vor 6 Monaten
Mehr Kommentare

Brüche durcheinander dividieren Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Brüche durcheinander dividieren kannst du es wiederholen und üben.
  • Berechne das Ergebnis der Division zweier Brüche.

    Tipps

    Um eine Dezimalzahl in einen Bruch umzuwandeln, schreibst du die Zahl als Bruch. Dazu teilst du durch $1$ und erweiterst so lange, bis du eine ganze Zahl im Nenner erhält. Zum Beispiel:

    $\begin{array}{llll} 3,5 &=&\frac{3,5}{1} \\ &=& \frac{7}{2}\\ \end{array}$

    Um aus einem Bruch den Kehrwert zu erhalten, musst du Nenner und Zähler vertauschen.

    Lösung

    Die Rechnung verläuft wie folgt:

    • Beide Zahlen müssen als Bruch vorliegen. Dazu wandelt er $7,5$ zuerst um.
    $7,5=$ $\frac{15}{2}$

    Um eine Dezimalzahl in einen Bruch umzuwandeln, schreibt er die Zahl als Bruch. Dazu teilt er durch $1$ teilt und erweitert so lange, bis er eine ganze Zahl im Nenner erhält. Hier ergibt sich:

    $\begin{array}{llll} 7,5 &=&\frac{7,5}{1} \\ &=& \frac{15}{2}\\ \end{array}$

    • Dann stellt er die Rechnung auf.
    $\frac{15}{2} :\frac{1}{4}$

    • Um das zu berechnen, muss er den Kehrwert des zweiten Bruchs bilden und ihn mit dem ersten Bruch multiplizieren.
    $=\frac{15}{2} \cdot \frac{4}{1}$

    Um den Kehrwert zu bilden, vertauscht er Nenner und Zähler.

    • Für die Multiplikation schreibt man die Rechnung als einen Bruch
    $=\frac{15 \cdot 4}{2 \cdot 1} $

    • und rechnet aus.
    $=\frac{60}{2 }$

    • Zuletzt kürzt und vereinfacht er.
    $=30$

  • Beschreibe das Vorgehen bei der Division zweier Brüche.

    Tipps

    Für die Multiplikation von Brüchen gibt es die Merkregel: "Nenner mal Nenner und Zähler mal Zähler".

    Um Brüche zu dividieren, musst du den Kehrwert des zweiten Bruchs bilden und die Brüche multiplizieren. Das kann geschrieben werden durch:

    $\frac{a}{b} : \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c}$.

    Lösung

    Die Rechnung wird wie folgt durchgeführt:

    • Zuerst schreibt er die Rechnung auf:
    $ \frac{15}{2}: \frac{1}{4}$.

    • Dann schreibt er die Rechnung um:
    $=\frac{15}{2} \cdot \frac{4}{1}$.

    Um Brüche zu dividieren musst du den Kehrwert des zweiten Bruchs bilden und die Brüche multiplizieren.

    • Er bringt sie auf einen Bruchstrich:
    $=\frac{15 \cdot 4}{2 \cdot 1}$.

    Um Brüche zu multiplizieren ist es hilfreich, sie zuerst auf einen Bruchstrich zu schreiben.

    • Er berechnet die Multiplikationen:
    $=\frac{60}{2}$.

    • Er kürzt:
    $=\frac{30}{1}$.

    • Und vereinfacht zum Schluss:

    $=30$.

  • Bestimme das Ergebnis der Divisionen zweier Brüche.

    Tipps

    Um aus einem Bruch den Kehrwert zu erhalten, vertauschst du Zähler und Nenner.

    Gehe die drei Divisionsrechnungen jeweils Schritt für Schritt auf Papier durch und überprüfe, welche Zwischenschritte du hier wiederfindest.

    Lösung

    Die erste Rechnung wird so durchgeführt:

    $\begin{array}{llll} \frac{3}{2} : \frac{6}{8} &=&\frac{3}{2} \cdot \frac{8}{6} \\ &=&\frac{3 \cdot 8}{2 \cdot 6}\\ &=&\frac{1 \cdot 4}{1 \cdot 2}\\ &=&\frac{4}{2 }\\ &=&2\\ \end{array}$

    Die zweite Division geht wie folgt:

    $\begin{array}{llll} \frac{4}{5} : \frac{10}{8} &=&\frac{4}{5} \cdot \frac{8}{10} \\ &=&\frac{4 \cdot 8}{5 \cdot 10}\\ &=&\frac{4 \cdot 4}{5 \cdot 5}\\ &=&\frac{16}{25 }\\ \end{array}$

    Für die letzte Rechnung ergibt sich:

    $\begin{array}{llll} \frac{1}{3} : \frac{1}{2} &=&\frac{1}{3} \cdot \frac{2}{1} \\ &=&\frac{2}{3}\\ \end{array}$

  • Bestimme das Ergebnis der Division zweier Brüche.

    Tipps

    Um Brüche zu dividieren, muss man den ersten Bruch mit dem Kehrwert des zweiten Bruchs multiplizieren.

    Lösung

    Die erste Rechnung führen wir folgendermaßen durch:

    $\begin{array}{llll} \frac{8}{3} : \frac{4}{9} &=&\frac{8}{3} \cdot \frac{9}{4} \\ &=&\frac{8 \cdot 9}{3 \cdot 4}\\ &=&\frac{2 \cdot 3}{1 \cdot 1}\\ &=&\frac{6}{1 }\\ &=&6\\ \end{array}$

    Analog berechnen wir die zweite Division:

    $\begin{array}{llll} \frac{1}{8} : \frac{3}{2} &=& \frac{1}{8}\cdot\frac{2}{3} \\ &=& \frac{1\cdot 2}{8 \cdot 3}\\ &=& \frac{1}{4\cdot 3} \\ &=& \frac{1}{12}\\ \end{array}$

    Bei der dritten Rechnung können wir geschickt vorgehen, um uns einiges an Schreibarbeit zu ersparen. Wir wissen nämlich, dass $\frac{8}{8}=1$ gilt! Wir teilen also durch $1$, das heißt, der erste Bruch bleibt einfach stehen:

    $\frac{3}{2} : \frac{8}{8} = \frac{3}{2}$.

    Und auch für die letzte Rechnung können wir uns einen kleinen Trick zunutze machen, um die Rechnung etwas zu beschleunigen. Da wir wissen, dass wir bei der Division mit dem Kehrwert des zweiten Bruches multiplizieren werden, wissen wir auch: Wenn die beiden anfänglichen Brüche den gleichen Nenner haben, wird sich dieser bei der Multiplikation genau wegkürzen!
    Wir erweitern also den ersten Bruch so, dass wie beim zweiten Bruch $14$ im Nenner steht und müssen dann nur noch die Zähler durcheinander teilen:

    $\begin{array}{llll} \frac{2}{7} : \frac{3}{14} &=& \frac{4}{14} : \frac{3}{14}\\ &=& \frac{4}{3}\\ \end{array}$

    Wenn du möchtest, kannst du die letzten beiden Brüche auch noch einmal mit der ausführlichen Methode berechnen.

  • Bestimme die korrekten Aussagen zur Division von Brüchen.

    Tipps

    Die Merkregel zum Dividieren von Brüchen lautet: "Mit dem Kehrwert multiplizieren".

    Um einen Kehrwert zu erhalten, teilst du $1$ durch den Bruch. Für den Bruch $\frac{a}{b}$ erhältst du:

    $\begin{array}{llll} \frac{a}{b}&=& 1: \frac{a}{b} \\ &=&\frac{1}{1} : \frac{a}{b} \\ &=& \frac{1}{1} \cdot \frac{b}{a} \\ &=& \frac{b}{a} & \end{array}$

    Lösung

    Diese Aussagen sind wahr:

    • Um aus einem Bruch den Kehrwert zu erhalten, muss man Nenner und Zähler vertauschen.
    Um einen Kehrwert zu erhalten, teilst du $1$ durch den Bruch. Für den Bruch $\frac{a}{b}$ erhältst du:

    $\begin{array}{llll} \frac{a}{b}&=& 1: \frac{a}{b} \\ &=&\frac{1}{1} : \frac{a}{b} \\ &=& \frac{1}{1} \cdot \frac{b}{a} \\ &=& \frac{b}{a} & \end{array}$

    Also vertauschst du den Nenner und den Zähler.

    • Um Brüche zu dividieren, muss man den ersten Bruch mit dem Kehrwert des zweiten Bruchs multiplizieren.
    Das ist die Regel für die Division von Brüchen.

    • Um die Probe durchzuführen, multipliziert man das Ergebnis der Division mit dem zweiten Bruch.
    Mit der Probe überprüfst du, ob du richtig gerechnet hast. Das Ergebnis dieser Rechnung sollte der erste Bruch sein.

    Diese Aussagen sind falsch:

    • Um Brüche zu dividieren, kann man sie auch einfach multiplizieren.
    • Um Brüche zu dividieren, muss man den zweiten Bruch mit dem Kehrwert des ersten Bruchs multiplizieren.
    Die Regel für die Division von Brüchen lautet: Um Brüche zu dividieren, musst du den ersten Bruch mit dem Kehrwert des zweiten Bruchs multiplizieren.

  • Bestimme die Seitenlänge eines Rechtecks.

    Tipps

    Um die Probe durchzuführen, multipliziert man das Ergebnis der Division mit dem zweiten Bruch.

    Lösung

    Die Rechnung wird folgendermaßen vervollständigt:

    • Ein Rechteck mit den Seitenlängen $a$ und $b$ hat den Flächeninhalt $A$ mit:
    $A= a \cdot b$.

    • Eine Seitenlänge $a$ und der Flächeninhalt $A$ sind bekannt. Richard muss also die zweite Seitenlänge $b$ bestimmen.
    • Um das zu berechnen, muss er nur noch die bekannten Größen einsetzen, also:
    $b=\frac{A}{a}=\frac{45}{2}~\text{m}^2:\frac{10}{3}~\text{m}$.

    Mit dem Flächeninhalt $A$ und einer Seitenlänge $a$ kann Richard die letzte Seitenlänge $b$ durch eine Division von Brüchen berechnen.

    • Ausgerechnet ergibt das:
    $b=\frac{45}{2} \cdot \frac{3}{10}~\text{m} = \frac{9 \cdot 3 }{2 \cdot 2}~\text{m}=\frac{27 }{4}~\text{m}$.

    Um Brüche zu dividieren, muss Richard den ersten Bruch mit dem Kehrwert des zweiten Bruchs multiplizieren.

    • Der Zaun muss also $\frac{27 }{4}~\text{m}$ Meter lang werden. Doch ist dieses Ergebnis auch richtig? Um sicherzugehen, macht Richard die Probe:
    $\frac{27 }{4}~\text{m} \cdot \frac{10}{3}~\text{m}=\frac{45}{2}~\text{m}^2$.

    Um die Probe durchzuführen, multipliziert er das Ergebnis der Division mit dem zweiten Bruch.

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