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Reelle Zahlen 05:21 min

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Transkript Reelle Zahlen

Was sind reelle Zahlen überhaupt? Du kennst bestimmt schon die natürlichen Zahlen, die sogenannten "Zählzahlen", wie zum Beispiel die 6, 40 oder auch 110. Du kannst Zahlen wie diese an einem Rechenschieber, auch Abakus genannt, abzählen. Fügen wir zu den natürlichen Zahlen noch die negativen ganzen Zahlen hinzu, so erhalten wir die Menge der ganzen Zahlen. Stell dir einmal ein Haus mit mehreren Stockwerken vor. Es gibt Stockwerke im Keller, diese repräsentieren die negativen Zahlen. Das Haus hat aber auch Stockwerke, die über dem Keller liegen. Diese sollen die positiven Zahlen darstellen. Nehmen wir dazu dann noch alle negativen und positiven Zahlen, die man als Bruch aus zwei ganzen Zahlen schreiben kann, so erhalten wir die Menge der rationalen Zahlen. Wiegst du auf einer Waage etwas ab, so wird dir meist eine Kommazahl angezeigt. Diese Kommazahl kannst du auch als Bruch darstellen. Aber es gibt auch Zahlen, die du nicht als Bruch schreiben kannst. Diese nennt man dann irrationale Zahlen. Fügt man diese noch hinzu, so erhält man die Menge der reellen Zahlen. Sie wird mit diesem R gekennzeichnet. Du hast doch sicher schon einmal etwas von der Zahl Pi gehört, oder? Pi hat unendlich viele Nachkommastellen. Du kannst sie also nie ganz aufschreiben. Ein Computer könnte dir ganz viele Nachkommastellen anzeigen. Die Menge der reellen Zahlen besteht aus den RATIONALEN Zahlen und den IRRATIONALEN Zahlen. Aber was für Zahlen sind das denn jetzt alles? Die natürlichen und ganzen Zahlen sind Teil der Menge der reellen Zahlen, da man sie als Bruch schreiben kann. Sie sind also rational und gehören somit AUCH zu der Menge der reellen Zahlen. So kann man 5 als 5 Ganze schreiben und auch minus 4 als minus 4 Ganze schreiben. Auch endliche und periodische Dezimalbrüche können in einen Bruch umgewandelt werden. So sind minus 0,18 minus 18 Hundertstel. 0, periode 3 sind 1 Drittel. Dazu kommen dann noch die irrationalen Zahlen I, also die die man nicht als Bruch aus zwei ganzen Zahlen schreiben kann. Wir haben soeben schon Pi als irrationale Zahl kennengelernt. Auch Wurzel 2 ist eine irrationale Zahl. Du kannst sie nicht als Bruch aus 2 ganzen Zahlen darstellen und sie hat unendlich viele Nachkommastellen. Auch viele andere Wurzeln sind irrational. Kann man die irrationalen Zahlen, wie zum Beispiel Wurzel 2, auch auf einer Zahlengerade eintragen, so wie bei den rationalen Zahlen? Da sie unendlich viele Nachkommastellen haben, geht dies nicht so einfach. Du kannst aber eine Intervallschachtelung durchführen und so abschätzen, wo die Zahlen ungefähr liegen. Vor dem Komma steht eine 1, also liegt Wurzel 2 im Intervall zwischen 1 und 2. Du kannst dies immer genauer machen. Die erste Stelle nach dem Komma ist eine 4, also liegt Wurzel 2 im Intervall von 1,4 und 1,5. So kannst du die Intervallschachtelung immer weiterführen. Aber wie kann man denn mit reellen Zahlen rechnen, wenn sie unendlich lang sind? Möchtest du mit einem Zwischenergebnis weiterrechnen, verwendest du meistens gerundete Werte. Fassen wir das noch einmal zusammen. Die Menge der reellen Zahlen besteht aus den RATIONALEN Zahlen und den IRRATIONALEN Zahlen. Dies enthält auch die Natürlichen und die ganzen Zahlen, denn jede natürliche Zahl ist auch eine ganze Zahl. Jede ganze Zahl ist eine rationale Zahl und jede rationale Zahl ist auch eine reelle Zahl. Gibt es auch Zahlen, die nicht Teil dieser Menge sind? Damit beschäftigen wir uns in einem anderen Video.

1 Kommentar
  1. Wieso steht da bei mir 9. Klasse? Ich bin in der 8ten und habe jetzt reelle Zahlen...und ich bin G8....Aber trotzdem sehr gut!

    Von Janan, vor etwa einem Monat

Reelle Zahlen Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Reelle Zahlen kannst du es wiederholen und üben.

  • Beschreibe die verschiedenen Zahlbereiche.

    Tipps

    Mit natürlichen Zahlen kannst du die Anzahl von Elementen einer Menge bestimmen.

    Negative Zahlen bilden keinen eigenen Zahlbereich.

    Jede Wurzel einer Primzahl ist irrational.

    Lösung

    Man unterscheidet mehrere Zahlbereiche, von denen einige ineinander enthalten sind, andere nicht. Mit den natürlichen Zahlen hast du einmal rechnen und zählen gelernt. Sie beginnen bei $0$ oder bei $1$ (je nach Konvention) und werden immer größer. Die Menge aller natürlichen Zahlen wird mit dem Symbol $\mathbb N$ bezeichnet. Mit den natürlichen Zahlen kannst du alle Additionen durchführen, aber nicht alle Subtraktionen. Ist der Subtrahend kleiner als der Minuend, so ist die Differenz negativ. Nimmst du zu den natürlichen Zahlen noch alle möglichen Ergebnisse von Subtraktionen natürlicher Zahlen hinzu, so erhältst du die Menge $\mathbb Z$ der ganzen Zahlen. Diese Menge besteht also aus allen natürlichen Zahlen (mit $0$) sowie deren Gegenzahlen. In der Menge der rationalen Zahlen sind alle natürlichen und ganzen Zahlen enthalten sowie alle Zahlen, die du als Bruch aus den beiden schreiben schreiben kannst. Die Menge der rationalen Zahlen wird mit dem Symbol $\mathbb Q$ bezeichnet.

    Rationale Zahlen kannst du auch als Dezimalbrüche schreiben, aber nicht jeder Dezimalbruch beschreibt eine rationale Zahl. Denn nur endliche Dezimalbrüche und periodische Dezimalbrüche lassen sich als Brüche umschreiben. Nur solche Dezimalbrüche sind also rationale Zahlen.

    Umgekehrt gehören alle unendlichen, nicht-periodischen Dezimalbrüche nicht zur Menge der rationalen Zahlen. Solche Dezimalbrüche sind aber reelle Zahlen. Die Menge der reellen Zahlen enthält alle rationalen Zahlen, also auch alle ganzen und alle natürlichen Zahlen und wird mit dem Symbol $\mathbb R$ bezeichnet. Sie enthält mit den unendlichen nicht periodischen Dezimalbrüchen nun aber auch Zahlen, die nicht als Brüche ganzer Zahlen geschrieben werden können. Solche Dezimalbrüche sind also keine rationalen Zahlen und heißen daher irrationale Zahlen. Die Menge dieser Zahlen wird mit $\mathbb I$ bezeichnet. Typische irrationale Zahlen sind die Kreiszahl $\pi$ sowie die Wurzeln von Primzahlen, also $\sqrt{2}$ , $\sqrt{3}$, $\sqrt{5}$ usw.

    Die Mengen der natürlichen, ganzen, rationalen und reellen Zahlen sind sukzessive ineinander enthalten:

    $\mathbb N \subset \mathbb Z \subset \mathbb Q \subset \mathbb R$

    Die Menge $\mathbb I$ der irrationalen Zahlen ist dagegen nur in der Menge $\mathbb R$ der reellen Zahlen enthalten und ist insbesondere keine Erweiterung eines der anderen Zahlbereiche.

  • Bestimme, zu welchen Zahlbereichen die Zahlen gehören.

    Tipps

    Die Menge $\mathbb Z$ der ganzen Zahlen enthält die Zählzahlen und ihre Gegenzahlen.

    Jeder Bruch ganzer Zahlen gehört zu der Menge $\mathbb Q$ der rationalen Zahlen.

    Irrationale Zahlen kannst du nur durch Symbole vollständig aufschreiben wie z.B. $\sqrt{3}$, nicht durch Dezimalbrüche mit endlich vielen Ziffern.

    Lösung

    Man unterschiedet vier verschiedene Zahlbereiche. Hier ist eine Beschreibung der Zahlen dieser Zahlbereiche:

    $\mathbb N$:

    Die Menge $\mathbb N$ der natürlichen Zahlen besteht aus den Zählzahlen, mit denen du Anzahlen bestimmst. Eine Anzahl ist nie negativ, daher enthält $\mathbb N$ keine negativen Zahlen. Zu den natürlichen Zahlen gehören hier die Zahlen $6$ und $110$.

    $\mathbb Z$:

    Die Menge $\mathbb Z$ der ganzen Zahlen enthält die natürlichen Zahlen, die $0$ und deren Gegenzahlen, also auch negative Zahlen. Solche negativen Zahlen kommen vor, wenn du Differenzen ausrechnest. Auch bei der Nummerierung von Stockwerken sind negative Zahlen sinnvoll: Du beginnst im Erdgeschoss mit $0$, zählst die Stockwerke nach oben wie üblich und die Kellergeschosse mit negativen Zahlen. In der Aufgabe sind $-54$ und $-132$ Beispiele ganzer Zahlen.

    $\mathbb Q$:

    Kommazahlen sind weder natürliche noch ganze Zahlen. Endliche Kommazahlen oder solche mit periodischen Nachkommastellen sind rationale Zahlen, denn du kannst die als Bruch schreiben. Der Bruch $2\frac{5}{7}$, der endliche Dezimalbruch $-0,18=\frac{-18}{100}$ sowie der periodische Dezimalbruch $0,\overline{3} = \frac{1}{3}$ sind Beispiele rationaler Zahlen.

    $\mathbb R$:

    Alle nicht-periodischen Dezimalbrüche sind irrationale Zahlen. Du erkennst sie nicht leicht an den Nachkommastellen, denn du kannst sie ja nie ganz aufschreiben. Daher ist es nützlich zu wissen, dass die Kreiszahl $\pi$ sowie die Wurzeln $\sqrt{2},$ $\sqrt{3}$, $\sqrt{5}$, $\sqrt{7}$ usw. irrational sind. Die Menge $\mathbb R$ der reellen Zahlen umfasst alle vorher genannten Zahlenbereiche, also auch die Menge der irrationalen Zahlen.

    $\mathbb I$:

    Die Menge $\mathbb I$ enthält dagegen nur die irrationalen Zahlen, also keine Zahl der Zahlenbereiche $\mathbb N$, $\mathbb Q$ oder $\mathbb R$. Die Kreiszahl $\pi$ und die Zahlen $\sqrt{3}$ und $\sqrt{7}$ sind irrational, sie sind also in keiner der Mengen $\mathbb N$, $\mathbb Z$ oder $\mathbb Q$ enthalten.

  • Charakterisiere die Zahlen.

    Tipps

    Die Differenz zweier natürlicher Zahlen ist eine natürliche oder ganze Zahl.

    Nicht jede Wurzel einer ganzen Zahl ist irrational.

    Das Produkt einer rationalen und einer irrationalen Zahl ist stets irrational.

    Lösung

    Die Mengen der natürlichen, ganzen und rationaen Zahlen sind sukzessive ineinander enthalten:

    $ \mathbb N \subset \mathbb Z \subset \mathbb Q$

    Die Menge $\mathbb I$ der irrationalen Zahlen ist disjunkt zur Menge der rationalen Zahlen, und beide Mengen zusammen ergeben die Menge $\mathbb R$ der reellen Zahlen:

    $\mathbb I \cap \mathbb Q = \emptyset$ und $\mathbb Q \cup \mathbb I = \mathbb R$

    Natürliche Zahlen haben keine Nachkommastellen und keine negativen Vorzeichen. Allerdings können manche Brüche so gekürzt werden, dass nur eine natürliche Zahl bzw. ein Bruch mit Nenner $1$ übrig bleibt. Daher lassen sich solche Brüche der Menge der natürlichen Zahlen zuordnen.

    $\mathbb N$:

    • $\sqrt{36}=6$
    • $2\frac{21}{3} = 2+\frac{21}{3}=2+\frac{7}{1}=9$
    Zahlen mit negativem Vorzeichen sind keine natürlichen Zahlen, aber ganze Zahlen, sofern sie keine Nachkommastellen haben.

    $\mathbb Z$:

    • $-\sqrt{36}=-6$
    • $(-2) \cdot \sqrt{4} = (-2) \cdot 2 = -4$
    • $17-21 = -4$
    Brüche, die sich nicht zum Nenner $1$ kürzen lassen, sind rationale Zahlen. Auch periodische Dezimalbrüche und endliche Dezimalbrüche gehören zur Menge der rationalen Zahlen.

    $\mathbb Q$:

    • $-1,\overline{2345} = -\frac{12.345}{10.000}$
    • $2\frac{3}{4} = \frac{11}{4} $
    • $\frac{-19}{21}$
    Alle Zahlen, die sich nicht als Brüche schreiben lassen, sind irrational. Jede solche Zahl ist ein Dezimalbruch mit unendlich vielen Nachkommastellen, die nicht periodisch sind. Da man solche Zahlen nicht gut aufschreiben kann und nicht an ihren Nachkommastellen in einer endlichen Approximation erkennt, ist es nützlich, einige irrationale Zahlen zu kennen: Dazu gehören die Kreiszahl $\pi$ sowie die Wurzeln von Primzahlen. Auch alle rationalen Vielfachen irrationaler Zahlen sind wieder irrational.

    $\mathbb I$:

    • $2\pi$
    • $2 \cdot \sqrt{3}$
    • $-\pi+\sqrt{3}$
    • $2+\sqrt{3}$

  • Analysiere die Zahlen.

    Tipps

    Es gibt auch Zahlen, die nicht den reellen Zahlen zugeordnet werden können.

    Nicht jede Wurzel einer reellen Zahl ist wieder einer reelle Zahl.

    Die Wurzel einer irrationalen Zahl ist stets wieder irrational.

    Lösung

    Jede reelle Zahl kannst du als Dezimalbruch schreiben, und jeder Dezimalbruch ist eine reelle Zahl. Jede reelle Zahl ist entweder rational oder irrational. Rationale Zahlen sind solche Dezimalbrüche, die sich als Bruch ganzer Zahlen umschreiben lassen. Das sind genau die endlichen sowie die periodischen Dezimalbrüche. Alle anderen Dezimalbrüche sind irrational.

    In Gleichungen treten manchmal auch Terme auf, die durch keine reelle Zahl beschrieben werden können, die also insbesondere weder rational noch irrational sind. Z.B. hat die Gleichung $x^2+1=0$ keine reelle Zahl $x$ als Lösung. Denn für jede reelle Zahl $x$ ist $x^2 \geq 0$ und daher $1 \leq x^2+1 \neq 0$. Schreibst du $x= \sqrt{-1}$ als Lösung dieser Gleichung, so ist $x$ keine reelle Zahl.

    Du findest folgende rationale und irrationale Zahlen in dieser Aufgabe:

    Rationale Zahlen:

    • $-\frac{1}{23}$
    • $\frac{\sqrt{\pi}}{2\sqrt{\pi}} = \frac{1}{2}$
    • $\sqrt{\frac{25}{4}} = \frac{\sqrt{25}}{\sqrt{4}} = \frac{5}{2}$
    • $\sqrt{4} = 2$
    • $\sqrt{-0} = 0$
    Irrationale Zahllen:
    • $\frac{-12}{\sqrt{3}}$
    • $\sqrt{\pi}$
    • $\frac{\pi}{3}$
    • $\frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{1}{\sqrt{3}}$
    Keine reelle Zahlen:
    • $\sqrt{-1}$
    • $\sqrt{-2^2}$
    Man nennt sie auch komplexe Zahlen.

  • Vervollständige die Sätze.

    Tipps

    Den Dezimalbruch $0,\overline{3}$ kannst du als Bruch $\frac{1}{3}$ darstellen.

    Jeden endlichen Dezimalbruch kannst du als Bruch mit einer Zehnerpotenz im Nenner darstellen.

    Die Kreiszahl $\pi$ ist ein unendlicher, nicht-periodischer Dezimalbruch.

    Lösung

    Folgende Aussagen sind richtig:

    • „Jede irrationale Zahl, aber keine rationale Zahl ... ist ein unendlicher, nicht periodischer Dezimalbruch.“ Jede irrationale Zahl ist eine reelle Zahl, lässt sich also als Dezimalbruch schreiben. Endliche Dezimalbrüche und periodische Dezimalbrüche kannst du immer als Brüche ganzer Zahlen umformulieren, sie sind also rational. Daher ist jede irrationale Zahl ein unendlicher, nicht-periodischer Dezimalbruch.
    • „Jeder der Zahlbereiche $\mathbb Q$, $\mathbb I$ und $\mathbb R$ ... enthält unendlich viele Zahlen.“ Denn die Zahlbereiche $\mathbb Q$ und $\mathbb R$ enthalten die unendlichen vielen natürlichen Zahlen. Der Zahlbereich $\mathbb I$ enthält zwar nicht die natürlichen Zahlen, aber trotzdem unendlich viele verschiedene Zahlen, z.B. alle Vielfachen von $\pi$ und alle Wurzeln der Primzahlen.
    • „Nicht jeder der Zahlbereiche $\mathbb Q$, $\mathbb I$ und $\mathbb R$ ... enthält die natürlichen Zahlen.“ Denn jede natürliche Zahl ist eine rationale Zahl, ist also in der Menge $\mathbb Q$ enthalten. Insbesondere ist keine natürliche Zahl in der Menge $\mathbb I$ der irrationalen Zahlen enthalten.
    • „Nicht jede rationale Zahl ... ist ein endlicher Dezimalbruch.“ Denn die Zahl $\frac{1}{3}$ ist rational, aber der zugehörige Dezimalbruch $0,\overline{3}$ ist unendlich.
    • „Keine rationale Zahl, aber mindestens eine irrationale Zahl ... hat als Quadrat die Zahl $2$.“ Die Lösungen der Gleichung $x^2 = 2$ sind $\sqrt{2}$ und $-\sqrt{2}$. Beide Zahlen sind irrational. Man kann auch beweisen, dass keine Lösung der Gleichung $x^2=2$ rational sein kann. Es gibt also keine rationale Zahl, deren Quadrat $2$ ist.
  • Analysiere die Aussagen.

    Tipps

    Das Produkt rationaler Zahlen ist rational. Überlege, was daraus für die Wurzeln irrationaler Zahlen und für die Produkte rationaler und irrationaler Zahlen folgt.

    Lösung

    Folgende Aussagen sind richtig:

    • „Ist eine Zahl irrational, so ist auch deren Wurzel irrational.“ Jede Zahl ist das Quadrat ihrer Wurzel. Wäre die Wurzel rational, so wäre auch die Zahl selbst rational, denn das Quadrat rationaler Zahlen ist rational.
    • „Die Summe einer rationalen und einer irrationalen Zahl ist irrational.“ Andernfalls könntest du die Summe als Bruch schreiben. Nach Umstellen der Gleichung wäre dann die irrationale Zahl die Differenz zweier Brüche, also selbst ein Bruch.
    • „Jedes rationale Vielfache einer irrationalen Zahl ist irrational.“ Wäre das Produkt einer rationalen und einer irrationalen rational, so könntest du das Produkt und einen der Faktoren als Bruch schreiben. Durch Multiplikation mit dem Kehrwert des rationalen Faktors könntest du dann auch den irrationalen Faktor als Bruch schreiben.
    Folgende Aussagen sind falsch:

    • „Jede Lösung einer Gleichung ist eine rationale Zahl.“ Eine Lösung der Gleichung $x^2+1=0$ kann keine reelle Zahl sein. Denn für jede reelle Zahl $x$ ist $x^2 \geq 0$, also $x^2+1\geq 1$.
    • „Jede Lösung einer Gleichung ist eine irrationale Zahl.“ Die Gleichung $x^2-4=0$ hat nur die rationalen Lösungen $+2$ und $-2$. Es sind sogar beides ganze Zahlen.
    • „Das Produkt zweier irrationaler Zahlen ist stets irrational.“ Das Produkt der irrationalen Zahlen $\sqrt{2}$ und $-\sqrt{2}$ ist die rationale Zahl $-2$.