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Wurzeln – Definition

Erfahren Sie, was Mathematikwurzeln sind und wie sie funktionieren. Entdecken Sie Quadrat- und Kubikwurzeln, erfahren Sie, wofür sie stehen und wie man sie berechnet. Negative Zahlen als Radikand? Finden Sie heraus, warum dies keine Lösung zulässt. Interessiert? Lesen Sie mehr über Wurzeln und schauen Sie sich das Einführungsvideo an!

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Team Digital
Wurzeln – Definition
lernst du in der 9. Klasse - 10. Klasse

Wurzeln – Definition Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Wurzeln – Definition kannst du es wiederholen und üben.
  • Nenne die korrekten Fachwörter.

    Tipps

    Der Wurzelwert ist das Ergebnis.

    Beispiel:

    $4^3$ ist eine Potenz.

    Die Quadratwurzel hat den Wurzelexponenten $2$.

    Lösung

    Betrachten wir die Gleichung $x^n=a$, so nennt man $x^n$ eine Potenz.

    Ausgeschrieben lautet sie:

    $x^n=\overbrace{x \cdot x \cdot x \cdot x ~... \cdot x}^{n\text{-mal}}$

    Es handelt sich also um ein Produkt aus $n$ gleichen Faktoren.

    Betrachten wir die Gleichung $\sqrt[n]{a}=x$, so nennt man $n$ Wurzelexponent, $a$ Radikand und $x$ Wurzelwert.
    Radikand und Wurzelwert dürfen dabei nicht negativ sein.

  • Gib an, welche Aussagen beim Rechnen mit Wurzeln gelten.

    Tipps

    Es gilt $\sqrt{9}=3$, da $3^2=9$ ist.

    Lösung

    Folgende Aussagen sind richtig:

    • Der Wurzelwert ist nicht negativ.
    Das wurde so entschieden, damit das Wurzelziehen zu einer eindeutigen Lösung führt.
    • Der Wurzelexponent ist eine natürliche Zahl.
    Dies liegt daran, dass das Wurzelziehen die Umkehroperation zum Potenzieren ist.
    • Der Radikand ist nicht negativ.
    Da sich beim Quadrieren immer eine positive Zahl oder Null ergibt, ist der Radikand nie negativ.

    Folgende Aussagen sind falsch:

    • Der Wurzelwert ist gleich dem quadrierten Radikanden.
    Dies ist nicht korrekt. Betrachten wir den Zusammenhang $x^2=a \leftrightarrow \sqrt[2]{a}=x$, so erkennen wir, dass vielmehr der Radikand $a$ dem quadrierten Wurzelwert $x$ entspricht.
    • Das Wurzelziehen ist der Kehrwert vom Potenzieren.
    Hier wurde der falsche Begriff verwendet. Den Ausdruck „Kehrwert“ verwenden wir bei Brüchen: Um den Kehrwert eines Bruches zu bilden, werden Zähler und Nenner vertauscht.
    Im Zusammenhang mit Wurzeln können wir formulieren: Das Wurzelziehen ist die Umkehroperation zum Potenzieren.

  • Ermittle die Wurzelwerte.

    Tipps

    Beispiel:

    $\sqrt[3]{8}=2$, da $2^3=2 \cdot 2 \cdot 2=8$

    $x^n=a \Leftrightarrow \sqrt[n]{a}=x$

    Lösung

    Wir können die Wurzeln mithilfe der Umkehroperation bestimmen, denn allgemein gilt:

    $x^n=a \Leftrightarrow \sqrt[n]{a}=x$

    Somit ergibt sich für die einzelnen Aufgaben:

    • $\sqrt[3]{64}=4$, da $4^3=64$
    • $\sqrt[4]{16}=2$, da $2^4=16$
    • $\sqrt[9]{1}=1$, da $1^9=1$
    • $\sqrt[2]{144}=12$, da $12^2=144$
    • $\sqrt[5]{100~000}=10$, da $10^5=100~000$

    Übrigens gilt für alle $n \in \mathbb{N}$:

    $\sqrt[n]{1}=1$, da $1^n=1$

  • Berechne die Wurzel.

    Tipps

    Der Radikand darf nicht negativ sein.

    Beispiel:

    $-\sqrt[3]{8} = -2$

    Lösung

    • $-\sqrt[2]{1}$
    Wir betrachten die Wurzel zunächst ohne das negative Vorzeichen:
    $\sqrt[2]{1} = 1$, da $1^2=1$
    Durch das negative Vorzeichen ergibt sich:
    $-\sqrt[2]{1}=-1$

    • $\sqrt[3]{8}$
    Es gilt:
    $\sqrt[3]{8}=2$, da $2^3=8$

    • $-\sqrt[1]{2}$
    Wir betrachten die Wurzel zunächst ohne das negative Vorzeichen:
    $\sqrt[1]{2}=2$, da $2^1=2$
    Durch das negative Vorzeichen ergibt sich:
    $-\sqrt[1]{2}=-2$

    • $\sqrt[4]{1}$
    Es gilt:
    $\sqrt[4]{1}=1$, da $1^4=1$

    • $\sqrt[2]{-4}$
    Da der Radikand nicht negativ sein darf, ist diese Aufgabe nicht lösbar.

  • Vervollständige die Tabelle mit Zahlen und ihren Quadratwurzeln.

    Tipps

    $\sqrt{9}=3$

    Sprich: Die Quadratwurzel der Zahl $9$ ist $3$.

    Das Wurzelziehen ist die Umkehroperation zum Quadrieren.

    Lösung

    Da das Ziehen der Quadratwurzel die Umkehroperation zum Quadrieren ist, müssen wir jeweils die Zahl ermitteln, welche quadriert die gegebene Zahl ergibt:

    • $\sqrt{16}=4$, da $4^2=16$
    • $\sqrt{25}=5$, da $5^2=25$
    • $\sqrt{36}=6$, da $6^2=36$
    • $\sqrt{64}=8$, da $8^2=64$

    Wir erhalten folgende Tabelle:

    $\begin{array}{l|l|l|l|l} \text{Zahl} &16&25&36&64\\ \hline \text{Quadratwurzel}&4&5&6&8 \end{array}$

  • Formuliere richtige Aussagen zum Rechnen mit Wurzeln.

    Tipps

    Überlege dir zu jedem Satzanfang einige Beispiele:
    Was kannst du beobachten?

    Betrachte folgende Beispiele:

    $\sqrt[3]{0,001}=0,1$
    Hierbei ist $0,1>0,001$, da $0,001<1$.
    $\sqrt[2]{0,25}=0,5$
    Hierbei ist $0,5>0,25$, da $0,25<1$.
    $\sqrt[2]{0,09}=0,3$
    Hierbei ist $0,3>0,09$, da $0,09<1$.

    Welchen Zusammenhang kannst du erkennen?

    Lösung

    Wir erläutern die Aussagen an einigen Beispielen:

    • Der Wurzelwert ist immer dann größer als der Radikand, wenn der Radikand kleiner als $\mathbf{1}$ ist.
    $\sqrt[3]{0,001}=0,1$
    Hierbei ist $0,1>0,001$, da $0,001<1$.
    $\sqrt[2]{0,25}=0,5$.
    Hierbei ist $0,5>0,25$, da $0,25<1$.
    $\sqrt[2]{0,09}=0,3$
    Hierbei ist $0,3>0,09$, da $0,09<1$.

    • Der Wurzelwert ist immer dann kleiner als der Radikand, wenn der Radikand größer als $\mathbf{1}$ ist.
    $\sqrt[2]{4}=2$
    Hierbei ist $2<4$, da $4>1$.
    $\sqrt[3]{27}=3$
    Hierbei ist $3<27$, da $27>1$.
    $\sqrt[2]{25}=5$
    Hierbei ist $5<25$, da $25>1$.

    • Der Wurzelwert ist immer dann gleich dem Radikanden, wenn der Wurzelexponent $\mathbf{1}$ ist.
    $\sqrt[1]{5}=5$, da $5^1=5$.
    $\sqrt[1]{8}=8$, da $8^1=8$.
    $\sqrt[1]{17}=17$, da $17^1=17$.

    • Der Wurzelwert bleibt bei verändertem Wurzelexponenten gleich, wenn der Radikand $\mathbf{1}$ ist.
    $\sqrt[2]{1}=1$, da $1^2=1$.
    $\sqrt[5]{1}=1$, da $1^5=1$.
    $\sqrt[9]{1}=1$, da $1^9=1$.