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Wurzeln – Definition

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Team Digital
Wurzeln – Definition
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Grundlagen zum Thema Wurzeln – Definition

Inhalt

Wurzeln in der Mathematik

Du kennst die Wurzeln von Blumen und Bäumen – aber weißt du auch, was eine Wurzel in der Mathematik ist? Das wollen wir uns im Folgenden anschauen.

Was ist eine Wurzel?

Bevor wir die mathematische Definition der Wurzel anschauen, betrachten wir die folgende Tabelle.

$x$ 1 2 3 4 5 6 7 8
$x^{2}$ 1 4 9 16 25 36 49 64

In der ersten Zeile stehen Zahlen von $1$ bis $8$. In der Zeile darunter stehen die Quadratzahlen der Zahlen aus der ersten Zeile. Wenn wir eine Zahl in der ersten Zeile auswählen, erhalten wir also die untere Zahl, indem wir sie quadrieren. Wenn wir eine Zahl in der unteren Zeile auswählen, erhalten wir die Zahl in der oberen, wenn wir uns die Frage stellen: Welche Zahl müssen wir quadrieren, um die Zahl $y=x^{2}$ zu erhalten? Eine Antwort auf diese Frage liefert die Quadratwurzel.

In der Mathematik gilt für die Quadratwurzel die folgende Definition:

Die Quadratwurzel einer nicht negativen Zahl $x$ ist diejenige nicht negative Zahl $y$, deren Quadrat gleich $x$ ist. Die Quadratwurzel wird mit dem Wurzelzeichen $\sqrt[2]{}$ angezeigt:

$\sqrt[2]{x} = y \Rightarrow y^{2} = x$

Die Zahl $y=\sqrt[2]{x}$ heißt Wurzel oder Radikal, die Zahl $x$ unter der Wurzel heißt Radikand und die Zahl $2$ über dem Wurzelzeichen heißt Wurzelexponent. Der Wurzelexponent ist eine natürliche Zahl. Die Berechnung einer Wurzel nennt man auch das Radizieren oder das Ziehen einer Wurzel.

Genauso, wie nicht nur eine $2$, sondern jede beliebige Zahl im Exponenten stehen kann, gibt es nicht nur die Quadratwurzel. Auch im Wurzelexponenten kann jede beliebige natürliche Zahl stehen. Dazu schauen wir uns die folgende Tabelle an.

$x$ 1 2 3 4 5
$x^{3}$ 1 8 27 64 125

In der ersten Zeile stehen wieder natürliche Zahlen. In der zweiten Zeile stehen diesmal die Kubikzahlen der entsprechenden Zahlen. Um von einer Zahl in der ersten Zeile zu der zugehörigen Zahl in der unteren Zeile zu gelangen, müssen wir sie diesmal zweimal mit sich selbst multiplizieren, also hoch drei rechnen. Um von einer Zahl in der unteren Reihe zur dazugehörigen Zahl in der ersten Zeile zu gelangen, müssen wir die Kubikwurzel ziehen. Um die Kubikwurzel anzuzeigen, schreiben wir eine $3$ in den Wurzelexponenten:

$\sqrt[3]{x} = y \Rightarrow y^{3} = x$

Auch hier gilt, dass $x$ und $y$ nicht negativ sein dürfen.

In dieser Form kann man die Wurzel für jede beliebige natürliche Zahl als Exponenten schreiben.

Potenzieren $x^{2}$ $x^{3}$ $x^{4}$ $x^{5}$ ...
Radizieren $\sqrt[2]{}$ \$\sqrt[3]{}$ $\sqrt[4]{}$ $\sqrt[5]{}$ ...

Das Wurzelziehen ist also die Umkehroperation zum Potenzieren.

Wurzeln – Beispiele

Wir wollen uns ein paar einfache Beispiele zu Wurzeln anschauen.

Beispiel 1: $\sqrt{9}$

Gesucht ist die nicht negative Zahl, deren Quadrat $9$ ergibt. Da $3 \cdot 3 = 9$ ist, ist $3$ die Wurzel aus $9$:

$\sqrt{9} = 3 \Leftrightarrow 3^{2} = 9$

Für die Zahl $-3$ gilt auch, dass ihr Quadrat $9$ ist, denn $(-3)^{2} = (-3) \cdot (-3) =9$. Aber $-3$ ist nicht die Wurzel aus $9$, denn $-3$ ist negativ.

Beispiel 2: $\sqrt{16}$

Gesucht ist die nicht negative Zahl, deren Quadrat $16$ ergibt. Da $4 \cdot 4 = 16$ ist, ist $4$ die Wurzel aus $16$:

$\sqrt{16} = 4 \Leftrightarrow 4^{2} = 16$

Beispiel 3: $\sqrt[3]{64}$

Gesucht ist die nicht negative Zahl, die $64$ ergibt, wenn man sie zweimal mit sich selbst malnimmt. Da $4 \cdot 4 \cdot 4 = 64$ ist, ist $4$ die dritte Wurzel aus $64$:

$\sqrt[3]{64} = 4 \Leftrightarrow 4^{3} = 4$

Wurzeln – Besonderheiten

Wir wollen uns zum Schluss noch zwei Besonderheiten aus der Definition der Wurzeln anschauen. Wir beginnen mit der Bedingung, dass der Radikand $x$ eine nicht negative Zahl sein muss.

Wir überlegen uns, was passiert, wenn der Radikand negativ ist. Dazu betrachten wir die Wurzel aus $-4$:

$\sqrt{-4} = ?$

Wir wissen aus den vorigen Beispielen, dass die Wurzel aus $+4$ die Zahl $2$ ist. $2$ kann also nicht die Lösung dieser Gleichung sein, denn $2^{2}=+4$. Was ist, wenn wir stattdessen $-2$ quadrieren?

$(-2)^{2} = (-2) \cdot (-2) = +4$

Also ergibt $(-2)^{2}$ auch $+4$, ist also auch keine Lösung für die Wurzel aus $-4$. Wir wissen auch, dass minus mal minus immer plus ergibt. Also können wir keine Zahl finden, deren Quadrat negativ ist. Also hat die Gleichung $\sqrt{-4} = ?$ keine Lösung.

Und warum heißt es nicht, dass der Radikand positiv sein muss?

Es gibt eine Zahl, die weder positiv noch negativ ist, und das ist die $0$. Da $0 \cdot 0 = 0$ ist, ist $0$ die Lösung der Gleichung $\sqrt{0} = y$:

$\sqrt{0} = 0$

Damit wissen wir, warum es in der Definition heißt, dass der Radikand eine nicht negative Zahl sein muss.

Und warum muss die Wurzel selbst eine nicht negative Zahl sein? Wir haben doch gesehen, dass $(-2)^{2} = 4$ gilt! Dass das Ergebnis des Wurzelziehens immer eine nicht negative Zahl ist, ist per Definition so festgelegt. Man könnte auch schreiben:

$\sqrt{x} = |y| \Leftrightarrow |y|^{2} = x \Leftrightarrow y^{2} = x$

Hier ist $|y|$ die Wurzel aus $x$. Mit den beiden Äquivalenzen wird ausgedrückt, dass die Wurzel immer positiv oder $0$ ist und dass die Potenz einer negativen Zahl dasselbe ergibt wie die Potenz des Betrags dieser Zahl.

Das Einführungsvideo zur Wurzel in der Mathematik

In diesem Video wird dir erklärt, was eine Wurzel in der Mathematik ist. Außerdem werden dir einige Beispiele für das Wurzelziehen gezeigt. Neben Text und Video findest du außerdem Aufgaben zu diesem Thema.

Transkript Wurzeln – Definition

Na was macht dieser Mathematiker wohl gerade in seinem Garten? Das liegt doch auf der Hand, er zieht Wurzeln! Spaß beiseite, wie die mathematische "Definition von Wurzeln" zu verstehen ist, schauen wir uns jetzt mal genauer an. Betrachten wir zunächst folgende Tabelle: In der ersten Zeile stehen natürliche Zahlen und in der zweiten Zeile die entsprechenden Quadratzahlen. Um die Zahlen in der zweiten Zeile zu erhalten, müssen wir die Zahlen in der ersten Zeile dementsprechend Quadrieren, Das Ziehen der Quadratwurzel ist hierzu eine Umkehroperation. Das heißt: Wenn wir die Quadratwurzel ziehen, wollen wir herausfinden, welche Zahl wir quadrieren müssen, um die gegebene Zahl zu erhalten. Wollen wir beispielsweise die Quadratwurzel aus einundachtzig bestimmen, müssen wir überlegen, welche Zahl mit sich selbst multipliziert einundachtzig ergibt. Das ist die neun. Denn neun mal neun ist gleich einundachtzig. Wir schreiben: Wurzel aus einundachtzig gleich neun. Wenn wir ganz genau sein wollen, schreiben wir links oben an unser Wurzelzeichen eine zwei, da es sich um die Quadratwurzel handelt. Es ist aber üblich, bei Quadratwurzeln die zwei wegzulassen. An diesem Beispiel wird deutlich, dass Potenzieren und Wurzelziehen Umkehroperationen sind. Genauso wie wir beim Potenzieren nicht nur quadrieren können, sondern auch Potenzen mit höherem Exponenten, wie x hoch drei, x hoch vier und so weiter, berechnen können, können wir beim Wurzelziehen auch nicht nur die Quadratwurzel, sondern auch die dritte, vierte oder eine noch höhere Wurzel ziehen. Schauen wir uns dazu nochmal eine Tabelle an: Wenn wir natürliche Zahlen mit dem Exponenten drei potenzieren, erhalten wir Kubikzahlen. Wollen wir jetzt von diesen Zahlen wieder auf die ursprüngliche Basis, also unsere Ausgangszahl schließen, müssen wir die dritte Wurzel ziehen. So ist zum Beispiel die dritte Wurzel aus siebenundzwanzig gleich drei, da drei hoch drei, also drei mal drei mal drei, gleich siebenundzwanzig ist. Nun zu den Begrifflichkeiten: Die Zahl vorne am Wurzelzeichen ist der Wurzelexponent. Die Zahl unter dem Wurzelzeichen ist der Radikand. Und die Zahl, die wir erhalten, wenn wir den Wert der Wurzel berechnen, wir sagen auch "die Wurzel ziehen", ist der Wurzelwert. Er gibt die Basis der entsprechenden Potenz wieder. Die Zahl, mit der wir potenzieren, kann dabei eine beliebig große natürliche Zahl sein. Durch das Ziehen der entsprechenden Wurzel, kehren wir das Potenzieren um, und erhalten wieder die ursprüngliche Basis Formal schreiben wir das so: Wenn x hoch n gleich a gilt, dann ist die n-te Wurzel aus a gleich x. Folgendes müssen wir dabei beachten: Erstens: Der Wurzelexponent n ist eine natürliche Zahl. Zweitens: Der Radikand a ist eine beliebige, aber nicht negative Zahl. Und Drittens: Auch der Wurzelwert x ist nicht negativ. Das schauen wir uns jetzt nochmal genauer an. Warum darf der Radikand einer Wurzel nicht negativ sein? Wir betrachten das Gegenbeispiel Wurzel aus minus neun. Da kein Wurzelexponent auf dem Wurzelzeichen notiert ist, ist hier die Quadratwurzel gesucht. Die Frage ist also, welche Zahl mit sich selbst multipliziert minus neun ergibt. Drei mal drei ergibt neun. Das passt nicht. Minus drei mal minus drei ergibt allerdings auch neun. Minus drei kann daher auch nicht die Lösung unserer Wurzel sein. Wenn wir eine Zahl ungleich null quadrieren, erhalten wir immer ein positives Ergebnis. Da wir durch das Quadrieren keine negativen Zahlen erhalten, können wir also auch nicht die Quadratwurzel aus negativen Zahlen ziehen. Daher schließen wir den Fall, dass der Radikand negativ ist, für den uns bekannten Zahlenbereich der reellen Zahlen aus. Und warum ist auch der Wurzelwert im Allgemeinen nicht negativ? Sowohl vier hoch zwei als auch minus vier hoch zwei ergibt sechzehn. Aber: Die Wurzel aus sechzehn ist nur gleich vier und nicht gleich minus vier. Dies wurde so entschieden, damit das Wurzelziehen eindeutig zu einer Lösung führt. Dass das Ergebnis einer Wurzel, sprich der Wurzelwert, nicht negativ ist, ist also per Definition festgelegt. Alles klar, schauen wir uns die wichtigsten Informationen zur Definition von Wurzeln nochmal auf einen Blick an. Die n-te Wurzel aus einer Zahl a hat das Ergebnis x wenn die n-te Potenz von x a ergibt. Das Wurzelziehen ist also eine Umkehroperation zum Potenzieren. Dabei ist n eine natürliche Zahl und a sowie x sind nicht negativ. N ist dabei der Wurzelexponent, a der Radikand, und x der Wurzelwert. Und unser Mathematiker? Der ist immer noch bei der Gartenarbeit. Wie kriegt er denn jetzt endlich diesen Baum gefällt? Na, er quadriert ihn einfach, dann fällt die Wurzel weg. Oh man, was für ein Nerd.

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