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Wurzeln ziehen – Primfaktorzerlegung 06:33 min

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Transkript Wurzeln ziehen – Primfaktorzerlegung

Was für eine Blumenpracht: Lilien, Unkraut, Tulpen, Unkraut, Rosen. Unkraut? Unkraut überall - es wird höchste Zeit, den Garten aufzuräumen! Leichter gesagt als getan, wenn man nicht weiß, wie tief die Pflanze unter der Erde verwurzelt ist. Bei einigen reicht es ein leichtes Zupfen, um die Wurzel zu ziehen - andere hingegen erfordern mehr Aufwand. Beim Wurzelziehen in der Mathematik ist es ganz ähnlich. Schauen wir uns das Wurzeln Ziehen - mithilfe der Primfaktorzerlegung an. Zur Erinnerung, eine Primzahl ist eine natürliche Zahl, die genau zwei Teiler hat - und das ist einmal sie selbst... und die 1. Fallen dir ein paar Primzahlen ein? Da sind die 2, 3, 5, 7, 11, 13 und noch viele mehr! "Die Primfaktorzerlegung ist dann die Zerlegung einer natürlichen Zahl in Faktoren, sodass alle Faktoren Primzahlen sind." Beispielsweise lässt sich die 12 in das Produkt "4 mal 3" zerlegen. Dabei ist 3 ist eine Primzahl, 4 aber nicht. Deshalb zerlegen wir die 4 noch weiter in das Produkt "2 mal 2" - und schon haben wir die vollständige Primfaktorzerlegung gefunden. Schauen wir uns ein erstes Beispiel zum Wurzelziehen an: Um die Quadratwurzel aus einer natürlichen Zahl zu ziehen zerlegen wir zuerst den Radikanden, also den Ausdruck unter der Wurzel, in seine Primfaktoren. 225 können wir in das Produkt '9 mal 25' aufspalten. 9 und 25 sind beides keine Primzahlen. Das bedeutet, dass wir beide Zahlen in weitere Faktoren zerlegen können. Die 9 zerlegen wir in '3 mal 3' und die 25 in '5 mal 5'. Sowohl 3 als auch 5 sind Primzahlen! Wegen der Quadratwurzel suchen wir noch Zweiergruppen von Primfaktoren und fassen die zu Quadraten zusammen! Die Quadratwurzel und die Quadrate heben sich gegenseitig auf! Als Ergebnis erhalten wir schließlich 15. Die Wurzel geht ja recht locker raus! Aber was ist mit schwierigeren Wurzeln? Die Wurzel vom Löwenzahn sitzt tiefer in der Erde - um die zu ziehen, brauchst du schon etwas Kraft! So ist beispielsweise das Wurzelziehen bei dieser Quadratwurzel schon komplizierter! Hundertsechsunsiebzig-tausend-vierhundert können wir als Produkt aus 100 und 1764 schreiben. 100 ist dabei '10 mal 10'. 10, stellen wir jeweils als Produkt von 2 und 5 dar. Damit haben wir schon einmal die ersten Primfaktoren gefunden. Nun schauen wir uns die 1764 genauer an. Als gerade Zahl, ist sie durch 2 teilbar. Deshalb schreiben wir: 882, ist ebenfalls eine gerade Zahl. Lass uns herauszufinden, ob 441 durch 3 teilbar ist! Dafür schauen wir uns die Quersumme an. Die sieht so aus! Da das Ergebnis durch 3 teilbar ist, wissen wir, dass auch 441 durch 3 teilbar ist. - Das sagt die Quersummenregel! Wir stellen 441 also als Produkt von 3 und 147 dar. Die Quersumme von 147 ist 12, also auch durch 3 teilbar. Wir spalten 147 noch in '3 mal 49' auf. Und 49? Das ist doch '7 mal 7'! - Fertig ist die Primfaktorzerlegung! Zur besseren Übersicht ordnen wir schnell noch die Primfaktoren! Jetzt geht es an die Quadratwurzel! Wir fassen daher Zweiergruppen zu Quadraten zusammen! Quadratwurzel und Quadrate heben sich gegenseitig auf. Wir erhalten als Ergebnis 420. Ob wir mithilfe der Primfaktorzerlegung genau so gut dritte Wurzeln ziehen können? Beginnen wir bei der dritten Wurzel aus 3375 wieder mit der Zerlegung in Primfaktoren. Zahlen mit einer 5 hinten sind immer durch 5 teilbar! Wir zerlegen also in 5 und 675. Die 135 zerlegen wir in '5 mal 27'. 27 können wir in '3 mal 9' aufspalten. Ein letzter Schliff, und wir haben die Primfaktorzerlegung. Nun suchen wir wegen der dritten Wurzel, nach Dreiergruppen! Die können wir auch als dritte Potenzen schreiben! Die dritte Wurzel und die dritten Potenzen... heben sich gegenseitig auf und wir erhalten das Ergebnis! Lass uns das nochmal zusammenfassen. Um die Wurzel einer natürlichen Zahl zu ziehen gehen wir immer nach demselben Grundschema vor! Zuerst zerlegen wir die Zahl unter der Wurzel in ihre Primfaktoren. Nun suchen wir Gruppen von Primzahlen. Für das Ziehen einer Quadratwurzel (auch zweite Wurzel genannt) suchen wir Zweiergruppen von Primfaktoren unter der Wurzel! - also Quadrate von Primfaktoren. Zum Auflösen der Wurzel verwenden wir, dass Quadratwurzel und Quadrate sich gegenseitig aufheben. Auch für eine dritte Wurzel zerlegen wir erst in Primfaktoren. Dann suchen wir unter der Wurzel Dreier-Gruppen, also dritte Potenzen von Primfaktoren! Denn auch die dritte Wurzel und die dritten Potenzen, heben sich gegenseitig auf. Auch verallgemeinert für eine beliebige n-te Wurzel, zerlegen wir immer erst in Primfaktoren. Wir identifizieren die Gruppen mit je n Primfaktoren und schreiben sie jeweils als n-te Potenz. Indem die n-te Wurzel und die n-ten Potenzen sich gegenseitig aufheben lässt sich die n-te Wurzel ziehen! Was für eine gigantische Wurzel, oh! - Sie gehört zu einem hübschen Kirschbaum! Den lassen wir lieber stehen!