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Wurzeln ziehen – Primfaktorzerlegung 06:33 min

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Transkript Wurzeln ziehen – Primfaktorzerlegung

Was für eine Blumenpracht: Lilien, Unkraut, Tulpen, Unkraut, Rosen. Unkraut? Unkraut überall - es wird höchste Zeit, den Garten aufzuräumen! Leichter gesagt als getan, wenn man nicht weiß, wie tief die Pflanze unter der Erde verwurzelt ist. Bei einigen reicht es ein leichtes Zupfen, um die Wurzel zu ziehen - andere hingegen erfordern mehr Aufwand. Beim Wurzelziehen in der Mathematik ist es ganz ähnlich. Schauen wir uns das Wurzeln Ziehen - mithilfe der Primfaktorzerlegung an. Zur Erinnerung, eine Primzahl ist eine natürliche Zahl, die genau zwei Teiler hat - und das ist einmal sie selbst... und die 1. Fallen dir ein paar Primzahlen ein? Da sind die 2, 3, 5, 7, 11, 13 und noch viele mehr! "Die Primfaktorzerlegung ist dann die Zerlegung einer natürlichen Zahl in Faktoren, sodass alle Faktoren Primzahlen sind." Beispielsweise lässt sich die 12 in das Produkt "4 mal 3" zerlegen. Dabei ist 3 ist eine Primzahl, 4 aber nicht. Deshalb zerlegen wir die 4 noch weiter in das Produkt "2 mal 2" - und schon haben wir die vollständige Primfaktorzerlegung gefunden. Schauen wir uns ein erstes Beispiel zum Wurzelziehen an: Um die Quadratwurzel aus einer natürlichen Zahl zu ziehen zerlegen wir zuerst den Radikanden, also den Ausdruck unter der Wurzel, in seine Primfaktoren. 225 können wir in das Produkt '9 mal 25' aufspalten. 9 und 25 sind beides keine Primzahlen. Das bedeutet, dass wir beide Zahlen in weitere Faktoren zerlegen können. Die 9 zerlegen wir in '3 mal 3' und die 25 in '5 mal 5'. Sowohl 3 als auch 5 sind Primzahlen! Wegen der Quadratwurzel suchen wir noch Zweiergruppen von Primfaktoren und fassen die zu Quadraten zusammen! Die Quadratwurzel und die Quadrate heben sich gegenseitig auf! Als Ergebnis erhalten wir schließlich 15. Die Wurzel geht ja recht locker raus! Aber was ist mit schwierigeren Wurzeln? Die Wurzel vom Löwenzahn sitzt tiefer in der Erde - um die zu ziehen, brauchst du schon etwas Kraft! So ist beispielsweise das Wurzelziehen bei dieser Quadratwurzel schon komplizierter! Hundertsechsunsiebzig-tausend-vierhundert können wir als Produkt aus 100 und 1764 schreiben. 100 ist dabei '10 mal 10'. 10, stellen wir jeweils als Produkt von 2 und 5 dar. Damit haben wir schon einmal die ersten Primfaktoren gefunden. Nun schauen wir uns die 1764 genauer an. Als gerade Zahl, ist sie durch 2 teilbar. Deshalb schreiben wir: 882, ist ebenfalls eine gerade Zahl. Lass uns herauszufinden, ob 441 durch 3 teilbar ist! Dafür schauen wir uns die Quersumme an. Die sieht so aus! Da das Ergebnis durch 3 teilbar ist, wissen wir, dass auch 441 durch 3 teilbar ist. - Das sagt die Quersummenregel! Wir stellen 441 also als Produkt von 3 und 147 dar. Die Quersumme von 147 ist 12, also auch durch 3 teilbar. Wir spalten 147 noch in '3 mal 49' auf. Und 49? Das ist doch '7 mal 7'! - Fertig ist die Primfaktorzerlegung! Zur besseren Übersicht ordnen wir schnell noch die Primfaktoren! Jetzt geht es an die Quadratwurzel! Wir fassen daher Zweiergruppen zu Quadraten zusammen! Quadratwurzel und Quadrate heben sich gegenseitig auf. Wir erhalten als Ergebnis 420. Ob wir mithilfe der Primfaktorzerlegung genau so gut dritte Wurzeln ziehen können? Beginnen wir bei der dritten Wurzel aus 3375 wieder mit der Zerlegung in Primfaktoren. Zahlen mit einer 5 hinten sind immer durch 5 teilbar! Wir zerlegen also in 5 und 675. Die 135 zerlegen wir in '5 mal 27'. 27 können wir in '3 mal 9' aufspalten. Ein letzter Schliff, und wir haben die Primfaktorzerlegung. Nun suchen wir wegen der dritten Wurzel, nach Dreiergruppen! Die können wir auch als dritte Potenzen schreiben! Die dritte Wurzel und die dritten Potenzen... heben sich gegenseitig auf und wir erhalten das Ergebnis! Lass uns das nochmal zusammenfassen. Um die Wurzel einer natürlichen Zahl zu ziehen gehen wir immer nach demselben Grundschema vor! Zuerst zerlegen wir die Zahl unter der Wurzel in ihre Primfaktoren. Nun suchen wir Gruppen von Primzahlen. Für das Ziehen einer Quadratwurzel (auch zweite Wurzel genannt) suchen wir Zweiergruppen von Primfaktoren unter der Wurzel! - also Quadrate von Primfaktoren. Zum Auflösen der Wurzel verwenden wir, dass Quadratwurzel und Quadrate sich gegenseitig aufheben. Auch für eine dritte Wurzel zerlegen wir erst in Primfaktoren. Dann suchen wir unter der Wurzel Dreier-Gruppen, also dritte Potenzen von Primfaktoren! Denn auch die dritte Wurzel und die dritten Potenzen, heben sich gegenseitig auf. Auch verallgemeinert für eine beliebige n-te Wurzel, zerlegen wir immer erst in Primfaktoren. Wir identifizieren die Gruppen mit je n Primfaktoren und schreiben sie jeweils als n-te Potenz. Indem die n-te Wurzel und die n-ten Potenzen sich gegenseitig aufheben lässt sich die n-te Wurzel ziehen! Was für eine gigantische Wurzel, oh! - Sie gehört zu einem hübschen Kirschbaum! Den lassen wir lieber stehen!

1 Kommentar
  1. Default

    sehr hilfreich

    Von cookie c., vor 4 Monaten

Wurzeln ziehen – Primfaktorzerlegung Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Wurzeln ziehen – Primfaktorzerlegung kannst du es wiederholen und üben.

  • Beschreibe Schritt für Schritt das Wurzelziehen durch Primfaktorzerlegung.

    Tipps

    So sieht die Normalform einer Wurzel aus:

    $a=\sqrt[n]{c}$.

    Dabei ist $n$ der Wurzelexponent, $c$ der Radikand und $a$ der Wurzelwert.

    Bei einer dritten Wurzel sucht man Dreiergruppen, um sie zu dritten Potenzen zusammenzufassen.

    Eine Quadratwurzel ist die zweite Wurzel einer Zahl. Und dies ist ein Quadrat: $3^2$.

    Primzahlen haben als Teiler nur sich selbst und die $1$. Einige Beispiele für Primzahlen:

    $2, 17, 5$.

    Lösung

    Die Normalform einer Wurzel lautet $a=\sqrt[n]{c}$. Dabei ist $n$ der Wurzelexponent, $c$ der Radikand und $a$ der Wurzelwert.
    Eine Quadratwurzel ist eine zweite Wurzel. Sie wird mit $\sqrt{~}$ oder $\sqrt[2]{~}$ ausgedrückt. Und ein Quadrat ist eine zweite Potenz, wie zum Beispiel $3^2$.
    Primzahlen bzw. Primfaktoren sind Zahlen, die als Teiler nur sich selbst und die $1$ haben.

    1)
    Um die Quadratwurzel aus einer natürlichen Zahl zu ziehen, zerlegen wir den Radikanden so weit, bis er nur noch aus Primfaktoren besteht.
    $\sqrt{225}$
    $=\sqrt{9\cdot25}$
    $=\sqrt{3\cdot3\cdot5\cdot5}$

    2)
    Wegen der Quadratwurzel suchen wir Zweiergruppen von Primfaktoren und fassen diese zu Quadraten zusammen.
    $=\sqrt[2]{\underbrace{3\cdot3}\cdot\underbrace{5\cdot5}}$
    $=\sqrt[2]{3^{2}\cdot5^2}$

    3)
    Die Quadratwurzel und die Quadrate heben sich nun gegenseitig auf:
    $=3\cdot5$.

    Hier lauert eine sehr beliebte Fehlerquelle. Deshalb eine kleine Warnung, unabhängig vom hier betrachteten Verfahren: Das Aufheben funktioniert nur, wenn unter der Wurzel ein Produkt oder ein Quotient steht. Wende Schritt 3) niemals auf Summen oder Differenzen unter der Wurzel an! Beispielsweise gilt:

    $\sqrt[2]{3^2 + 4^2} = 5 \neq 3 + 4$.

    4)
    Rechnen wir diese beiden Werte zusammen, erhalten wir das Ergebnis für die Wurzel $\sqrt{225}$
    $=15$.

  • Ermittle die Primzahlen.

    Tipps

    Primzahlen sind nur durch sich selbst und durch $1$ teilbar.

    Ist die Quersumme einer Zahl durch $3$ teilbar, so hat auch die ursprüngliche Zahl den Teiler $3$.

    $441=4+4+1=9$ $\rightarrow$ durch $3$ teilbar

    Hat eine Zahl hinten eine $5$, ist sie durch $5$ teilbar.

    Die Zahl $47$ hat die Teiler $1$ und $47$. Damit ist sie eine Primzahl.

    Lösung

    Primzahlen haben stets zwei Teiler: sich selbst und $1$. Zum Beispiel hat die Zahl $47$ die Teiler $1$ und $47$ und ist damit eine Primzahl.

    Dementsprechend sind folgende Zahlen Primzahlen:
    $2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23,$ und $29$.

    Und folgende Zahlen sind keine Primzahlen:

    • $1$ $\rightarrow$ hat nur den Teiler $1$
    • $9$ $\rightarrow$ hat die Teiler $1, 3, 9$
    • $15$ $\rightarrow$ hat die Teiler $1, 3, 5, 15$
    • $21$ $\rightarrow$ hat die Teiler $1, 3, 7, 21$
    • $27$ $\rightarrow$ hat die Teiler $1, 3, 9, 27$
    • $35$ $\rightarrow$ hat die Teiler $1, 5, 7, 35$
    • $49$ $\rightarrow$ hat die Teiler $1, 7, 49$
    • $54$ $\rightarrow$ hat die Teiler $1, 2, 3, 6, 9, 18, 27, 54$
    • $81$ $\rightarrow$ hat die Teiler $1, 3, 9, 27, 81$

  • Bestimme, welche Aussagen wahr sind.

    Tipps

    Natürliche Zahlen werden auch als „ganze, nichtnegative Zahlen“ bezeichnet.

    Sieh dir folgendes Beispiel einer Primfaktorzerlegung an.

    $\begin{array}{ll} & &\sqrt[2]{8} \\ &= &\sqrt[2]{2\cdot2\cdot2} \\ &= &\sqrt[2]{2^3} \\ &= &\sqrt[2]{2^2} \cdot \sqrt[2]{2} \\ &= &2\sqrt{2} & \end{array}$

    Dritte Wurzeln und dritte Potenzen heben sich gegenseitig auf.

    $\sqrt[3]{3^3\cdot5^3}=3\cdot5$.

    Hier wird die Quersumme gebildet.

    $27=2+7=9$
    $9\div3=3$ $\rightarrow$ durch $3$ teilbar
    $27\div3=9$ $\rightarrow$ auch durch $3$ teilbar.

    Lösung

    Bei der Primfaktorzerlegung einer Wurzel wird der Radikand, also die Zahl unter dem Wurzelzeichen, in Primfaktoren zerlegt. Diese werden anschließend dem Wurzelexponenten entsprechend gruppiert und schließlich wird die Wurzel aufgelöst, indem der Wurzelexponent und die Potenzen unter dem Wurzelzeichen sich gegenseitig aufheben.

    Folgende Aussagen sind wahr.

    • Die Primfaktorzerlegung kann man bei natürlichen Zahlen anwenden.
    • Quadratwurzeln und Quadrate heben sich gegenseitig auf: $\sqrt{~}$ bzw. $\sqrt[2]{~}$ und $a^2$.
    • Zahlen mit einer $5$ hinten sind immer durch $5$ teilbar.
    • Ist die Quersumme einer Zahl durch $3$ teilbar, so ist auch die ursprüngliche Zahl durch $3$ teilbar.
    Folgende Aussagen stimmen nicht.
    • Jeder beliebige Radikand kann durch Primfaktorzerlegung und anschließendes Wurzelziehen eine ganze Zahl als Ergebnis haben.
    $\rightarrow$ Bei nichtnatürlichen Radikanden (z.B. $\sqrt{2,5}$ oder $\sqrt{\frac{1}{3}}$) lässt sich die Primfaktorzerlegung gar nicht erst anwenden. Es kann aber auch bei natürlichen Radikanden vorkommen, dass nach dem Gruppieren einzelne Primfaktoren übrigbleiben. In diesem Fall ist das Ergebnis niemals natürlich:
    $\sqrt{125} = \sqrt{5\cdot5\cdot5} = \sqrt{5\cdot 5^2} = 5 \cdot \sqrt{5} = 11,180339\ldots \mathbf{\notin \mathbb{N}}$.
    • Bei dritten Wurzeln oder beliebigen $n$-ten Wurzeln lässt sich dieses Verfahren nicht anwenden.
    $\rightarrow$ Die Primfaktorzerlegung lässt sich bei jedem beliebigen Wurzelexponenten anwenden.
    • Eine Primzahl hat mehr als zwei Teiler.
    $\rightarrow$ Eine Primzahl hat nur zwei Teiler, nämlich sich selbst und $1$.

  • Ordne die Ergebnisse den Wurzeln zu.

    Tipps

    Sieh dir folgendes Beispiel an:

    $\begin{array}{ll} & &\sqrt[2]{7^5} \\ &= &\sqrt[2]{7^4}\cdot\sqrt[2]{7} \\ &= &7^{\frac42}\cdot\sqrt[2]{7} & \\ &= &7^2\cdot\sqrt[2]{7} &= & 49\cdot\sqrt[2]{7} \end{array}$

    Lösung

    Im Schema des oben genannten Beispiels ermitteln wir jetzt die Ergebnisse der gesuchten Terme. Dabei müssen wir nicht bei jedem Term alle oben genannten Schritte anwenden.

    Erster Term
    $\begin{array}{lll} & &\sqrt[2]{72} &\vert\text{Primfaktorzerlegung} \\ &= &\sqrt[2]{3\cdot3\cdot3\cdot3\cdot3} & \\ &= &\sqrt[2]{3^5} &\vert\text{Potenz auseinanderziehen} \\ &= &\sqrt[2]{3^4\cdot3} &\vert\text{Wurzel auseinanderziehen} \\ &= &\underbrace{\sqrt[2]{3^4}}_{\text{ziehbar}} \cdot \underbrace{\sqrt[2]{3}}_{\text{nicht ziehbar}} &\vert\text{Wurzeln als Potenzen schreiben} \\ &= &3^{\frac42} \cdot \sqrt[2]{3} & \\ &= &3^2 \cdot \sqrt[2]{3} & \\ &= &9\sqrt{3} & \end{array}$

    Zweiter Term
    $\begin{array}{lll} & &\sqrt[2]{243} &\vert\text{Primfaktorzerlegung} \\ &= &\sqrt[2]{2\cdot2\cdot2\cdot3\cdot3} & \\ &= &\sqrt[2]{2^3\cdot3^2} &\vert\text{Potenzen auseinanderziehen} \\ &= &\sqrt[2]{2^2\cdot2\cdot3^2} &\vert\text{Wurzel auseinanderziehen} \\ &= &\underbrace{\sqrt[2]{2^2}}_{\text{ziehbar}} \cdot \underbrace{\sqrt[2]{2}}_{\text{nicht ziehbar}}\cdot \underbrace{\sqrt[2]{3^2}}_{\text{ziehbar}} &\vert\text{Wurzeln als Potenzen schreiben} \\ &= &2^{\frac22} \cdot \sqrt[2]{2} \cdot 3^{\frac22} & \\ &= &2^1 \cdot \sqrt[2]{2} \cdot3^1 & \\ &= &2 \cdot3\cdot\sqrt[2]{2} & \\ &= &6\sqrt{2} & \end{array}$

    Dritter Term
    $\begin{array}{lll} & &\sqrt[2]{a^{11}} &\vert\text{Potenz auseinanderziehen} \\ &= &\sqrt[2]{a^{10}\cdot a} &\vert\text{Wurzel auseinanderziehen} \\ &= &\underbrace{\sqrt[2]{a^{10}}}_{\text{ziehbar}} \cdot \underbrace{\sqrt[2]{a}}_{\text{nicht ziehbar}} &\vert\text{Wurzeln als Potenzen schreiben} \\ &= &a^{\frac{10}{2}} \cdot \sqrt[2]{a} & \\ &= &a^5\sqrt[2]{a} & \end{array}$

    Vierter Term
    $\begin{array}{lll} & &\sqrt[2]{18a} &\vert\text{Primfaktorzerlegung} \\ &= &\sqrt[2]{2\cdot3\cdot3\cdot a} & \\ &= &\sqrt[2]{3^2\cdot2a} &\vert\text{Wurzel auseinanderziehen} \\ &= &\underbrace{\sqrt[2]{3^2}}_{\text{ziehbar}} \cdot \underbrace{\sqrt[2]{2a}}_{\text{nicht ziehbar}} &\vert\text{Wurzeln als Potenzen schreiben} \\ &= &3^{\frac22}\cdot \sqrt[2]{2a} & \\ &= &3^1 \cdot \sqrt[2]{2a} & \\ &= &3\sqrt[2]{2a} \end{array}$

  • Bilde das Ergebnis der Quadratwurzel mit Hilfe der Primfaktorzerlegung.

    Tipps

    Betrachte folgendes Beispiel.

    $\sqrt[2]{2\cdot2\cdot5\cdot5}$
    $=\sqrt[2]{2^{2}\cdot5^2}$
    $=2\cdot5$

    Es werden hier nur Primzahlen kleiner als $10$ verwendet.

    Lösung

    Bauer Heinrich berechnet die Seitenlänge so: $a=\sqrt[2]{1225}$.
    So sieht die vollständige Rechnung mit Wurzelzeichen aus:

    $a=\sqrt[2]{1225}$
    $=\sqrt[2]{5\cdot245}$
    $=\sqrt[2]{5\cdot5\cdot49}$
    $=\sqrt[2]{5\cdot5\cdot7\cdot7}$.

    An dieser Stelle fasst er zu Quadraten zusammen:
    $=\sqrt[2]{5^2\cdot7^2}$.

    Die Quadratwurzel und die Quadrate heben sich gegenseitig auf. Übrig bleibt
    $=5\cdot7$

    $a=35\,\text{m}$.

  • Entscheide, welche Ergebnisse zu den Wurzeln gehören.

    Tipps

    Sieh dir das folgende Beispiel an.

    $\begin{align} &\sqrt{900} \\ =&\sqrt[2]{900} \\ =&\sqrt[2]{2\cdot450} \\ =&\sqrt[2]{2\cdot2\cdot225} \\ =&\sqrt[2]{2\cdot2\cdot5\cdot45} \\ =&\sqrt[2]{2\cdot2\cdot5\cdot5\cdot9} \\ =&\sqrt[2]{2\cdot2\cdot5\cdot5\cdot3\cdot3} \\ =&\sqrt[2]{2^2\cdot5^2\cdot3^2} \\ =&2\cdot5\cdot3 \\ =&30 \end{align}$

    Ist eine Zahl gerade, so kannst du sie durch $2$ teilen.

    Hat eine Zahl hinten eine $5$, so ist die Zahl durch $5$ teilbar.

    Ist die Quersumme einer Zahl durch $3$ teilbar, so ist auch die ursprüngliche Zahl durch $3$ teilbar.

    $441\rightarrow4+4+1=9$

    Lösung

    Primzahlen kleiner als $12$ sind $2, 3, 5, 7$ und $11$.
    Ist eine Zahl gerade, kann man sie durch $2$ teilen. Hat sie hinten eine $5$, so ist die Zahl durch $5$ teilbar. Eine Zahl ist außerdem durch $3$ teilbar, wenn ihre Quersumme durch $3$ teilbar ist. Mit diesen Rechentricks und der Primfaktorzerlegung wurden die folgenden Ergebnisse der Wurzeln ermittelt.

    Erster Term
    $\begin{align} &\sqrt{484} \\ =&\sqrt[2]{484} \\ =&\sqrt[2]{2\cdot242} \\ =&\sqrt[2]{2\cdot2\cdot121} \\ =&\sqrt[2]{2\cdot2\cdot11\cdot11} \\ =&\sqrt[2]{2^2\cdot11^2} \\ =&2\cdot11 \\ =&22 \end{align}$

    Zweiter Term
    $\begin{align} &\sqrt[3]{216} \\ =&\sqrt[3]{2\cdot108} \\ =&\sqrt[3]{2\cdot2\cdot54} \\ =&\sqrt[3]{2\cdot2\cdot2\cdot54} \\ =&\sqrt[3]{2\cdot2\cdot2\cdot3\cdot9} \\ =&\sqrt[3]{2\cdot2\cdot2\cdot3\cdot3\cdot3} \\ =&\sqrt[3]{2^3\cdot3^3} \\ =&2\cdot3 \\ =&6 \end{align}$

    Dritter Term
    $\begin{align} &\sqrt{44100} \\ =&\sqrt[2]{44100} \\ =&\sqrt[2]{100\cdot441} \\ =&\sqrt[2]{10\cdot10\cdot441} \\ =&\sqrt[2]{2\cdot5\cdot2\cdot5\cdot441} \\ =&\sqrt[2]{2\cdot5\cdot2\cdot5\cdot7\cdot63} \\ =&\sqrt[2]{2\cdot5\cdot2\cdot5\cdot7\cdot7\cdot9} \\ =&\sqrt[2]{2\cdot5\cdot2\cdot5\cdot7\cdot7\cdot3\cdot3} \\ =&\sqrt[2]{2\cdot2\cdot3\cdot3\cdot5\cdot5\cdot7\cdot7} \\ =&\sqrt[2]{2^2\cdot3^2\cdot5^2\cdot7^2} \\ =&2\cdot3\cdot5\cdot7 \\ =&210 \end{align}$

    Vierter Term
    $\begin{align} =&\sqrt[3]{74088} \\ =&\sqrt[3]{2\cdot37044} \\ =&\sqrt[3]{2\cdot2\cdot18522} \\ =&\sqrt[3]{2\cdot2\cdot2\cdot9261} \quad\vert\text{Quersumme durch 3 teilbar} \\ =&\sqrt[3]{2\cdot2\cdot2\cdot3\cdot3087} \quad\vert\text{Quersumme durch 3 teilbar} \\ =&\sqrt[3]{2\cdot2\cdot2\cdot3\cdot3\cdot1029} \quad\vert\text{Quersumme durch 3 teilbar} \\ =&\sqrt[3]{2\cdot2\cdot2\cdot3\cdot3\cdot3\cdot343} \\ =&\sqrt[3]{2\cdot2\cdot2\cdot3\cdot3\cdot3\cdot7\cdot49} \\ =&\sqrt[3]{2\cdot2\cdot2\cdot3\cdot3\cdot3\cdot7\cdot7\cdot7} \\ =&\sqrt[3]{2^3\cdot3^3\cdot7^3} \\ =&2\cdot3\cdot7 \\ =&42 \end{align}$