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Die eulersche Zahl e

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Team Digital
Die eulersche Zahl e
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Grundlagen zum Thema Die eulersche Zahl e

Inhalt

Einführung: die eulersche Zahl e

Die eulersche Zahl $\mathrm{e}$ gehört zu den wichtigsten Konstanten in der Mathematik. Aber wer hat die eulersche Zahl entdeckt, was ist der Wert der eulerschen Zahl und woher kommt die eulersche Zahl $\mathrm{e}$? In diesem Text wird einfach erklärt, was die eulersche Zahl $\mathrm{e}$ ist und wie man sie herleiten kann.

Eulersche Zahl e – Definition

Die eulersche Zahl $\mathrm{e}$ hat ihren Namen von einem der wichtigsten Mathematiker der Geschichte: Leonhard Euler. Die Zahl wurde nach ihm benannt, da er maßgeblich an deren Erforschung beteiligt war. Aber was ist die eulersche Zahl $\mathrm{e}$ überhaupt?

Es handelt sich bei der eulerschen Zahl $\mathrm{e}$ um eine Konstante. Sie ist eine irrationale Zahl, lässt sich also nicht als Bruch schreiben. Als Dezimalzahl lässt sie sich nur näherungsweise darstellen, da $\mathrm{e}$ eine nicht abbrechende, nicht periodische Dezimalzahl ist. Die eulersche Zahl $\mathrm{e}$ hat also unendlich viele Nachkommastellen, die sich nicht nach einem vorhersagbaren Muster wiederholen. Die eulersche Zahl $\mathrm{e}$ hat ungefähr den Wert:

$\mathrm{e} \approx 2,718\,281\,828\,459…$

Die Konstante $\mathrm{e}$ wird für die Beschreibung von exponentiellen Wachstumsprozessen benutzt.

Wie kommt man auf die eulersche Zahl e?

Schauen wir uns für die Herleitung der eulerschen Zahl $\mathrm{e}$ ein Beispiel an. Auf einem Konto befindet sich ein Euro als Startguthaben. Die Bank zahlt darauf jährlich $100\,\%$ Zinsen. Das bedeutet, am Ende des Jahres zahlt sie einen Euro Zinsen. Auf dem Konto befinden sich nun zwei Euro. Mit der Formel für den Zinseszins können wir das so schreiben:

$\left(1 + 1\right)^{1} = 2$

Nun gibt es ein weiteres Angebot, das jedes halbe Jahr $50\,\%$ Zinsen verspricht. Bei einem Euro Startguthaben wären nach sechs Monaten $1,50$ Euro auf dem Konto und nach einem Jahr bereits $2,25$ Euro, da nun die Zinsen zusätzlich verzinst werden. Mit der Formel für den Zinseszins können wir das so schreiben:

$\left(1 + \dfrac{1}{2}\right)^{2} = 2,25$

Betrachten wir nun das Angebot, bei dem viermal im Jahr $25\,\%$ Zinsen gezahlt werden. Setzen wir die Werte in die Formel für den Zinseszins ein, so erhalten wir:

$\left(1 + \dfrac{1}{4}\right)^{4} \approx 2,44$

Ein weiteres Angebot wäre es, jeden Monat $\frac{1}{12}$ des Guthabens als Zinsen zu erhalten. Die eingesetzten Werte ergeben nach einem Jahr folgenden Betrag auf dem Konto:

$\left(1 + \dfrac{1}{12}\right)^{12} \approx 2,61$

Die allgemeine verwendete Formel lautet:

$\boxed{\left(1 + \dfrac{1}{n}\right)^{n}}$

Setzen wir nun für $n$ die Anzahl der Wochen pro Jahr, also $52$, und in einer weiteren Formel die Anzahl der Tage im Jahr, also $365$, ein. Wir erhalten:

Bei wöchentlicher Verzinsung:

$\left(1 + \dfrac{1}{52}\right)^{52} \approx 2,69$

Bei täglicher Verzinsung:

$\left(1 + \dfrac{1}{365}\right)^{365} \approx 2,71$

Wir sehen: Je größer $n$ ist, umso größer ist auch das Ergebnis. Das Wachstum flacht jedoch ab und nähert sich einem bestimmten Wert. Um das zu überprüfen, schauen wir uns in der folgenden Tabelle an, welche Ergebnisse herauskommen, wenn wir die Zahlen $1\,000$, $10\,000$ und $100\,000$ einsetzen:

$n$ $\left(1+ \dfrac{1}{n}\right)^{n}$
$1\,000$ $2,716\,923\,…$
$10\,000$ $2,718\,145\,…$
$100\,000$ $2,718\,268\,…$

Wie viel Geld wäre am Ende des Jahres auf dem Konto, wenn wir in jedem einzelnen Moment Zinsen ausgezahlt bekommen würden? Diese Frage kann mit dem Grenzwert für $n$ gegen unendlich beantwortet werden.

$\boxed{\lim \limits_{n \to \infty} \left(1 + \dfrac{1}{n}\right)^{n}}$

Dieser Grenzwert ist nichts anderes als die eulersche Zahl $\mathrm{e}$:

$\lim \limits_{n \to \infty} \left(1 + \dfrac{1}{n}\right)^{n} = \mathrm{e} \left( \approx 2,718\,281\,828\,459… \right) $

Somit lässt sich die eulersche Zahl $\mathrm{e}$ aus diesem Grenzwert ableiten. Würden wir das Startguthaben von einem Euro in jedem Moment verzinsen, so hätten wir am Ende des Jahres genau $\mathrm{e}$ Euro auf dem Konto.

Zusammenfassung: die eulersche Zahl e

Die folgenden Stichpunkte fassen noch einmal das Wichtigste über die eulersche Zahl $\mathrm{e}$ zusammen:

  • Die eulersche Zahl $\mathrm{e}$ ist eine nicht abbrechende, nicht periodische Dezimalzahl und hat ungefähr den Wert: $\mathrm{e} \approx 2,718\,281\,828\,459…$.
  • Die Konstante $\mathrm{e}$ wird für die Beschreibung von exponentiellen Wachstumsprozessen benutzt.
  • Die eulersche Zahl $\mathrm{e}$ entspricht dem Grenzwert der Folge:
    $\lim \limits_{n \to \infty} \left(1 + \dfrac{1}{n}\right)^{n} = \mathrm{e} \left( \approx 2,718\,281\,828\,459… \right) $.

Wofür brauchen wir die eulersche Zahl $\mathrm{e}$? Die eulersche Zahl $\mathrm{e}$ findet häufig Anwendung in der Mathematik und Physik. Sie ist die Basis der natürlichen Exponentialfunktion $f(x) = \mathrm{e}^{x}$. Diese Exponentialfunktion ist sowohl in der Mathematik als auch in der Physik von großer Bedeutung.

Zusätzlich zum Text und dem Video findest du hier bei sofatutor noch Übungen und Arbeitsblätter zum Thema Eulersche Zahl.

Transkript Die eulersche Zahl e

Die Kreiszahl Pi, die Quadratwurzel aus zwei und auch die Eulersche Zahl e, gehören zu den wichtigsten Konstanten der Mathematik. So wie die Zahl Pi, die das Verhältnis vom Umfang zum Durchmesser eines Kreises angibt, und die Wurzel aus zwei, die das Verhältnis der Diagonalen zur Kantenlänge eines Quadrates angibt, spielt auch e eine ganz besondere Rolle in der Mathematik. Aber welche eigentlich? In diesem Video wollen wir uns anschauen, was es mit diesem „e“ auf sich hat. Es ist vielleicht zuerst etwas gewöhnungsbedürftig. Aber wenn wir über Mathematik sprechen, ist mit dem Buchstaben e tatsächlich eine ganz besondere Zahl gemeint. Dass diese Zahl ausgerechnet „E“ heißt, geht auf einen der wichtigsten Mathematiker der Geschichte zurück: Leonhard Euler. Da Euler maßgeblich an der Erforschung der Zahl e und ihrer Eigenschaften beteiligt war, wird die Konstante bis heute als „eulersche Zahl“ bezeichnet. Und diese Zahl hat einige interessante Eigenschaften zu bieten: Zunächst einmal können wir festhalten, dass e – genauso wie Pi und die Quadratwurzel von Zwei – eine irrationale Zahl ist. In anderen Worten: Wir können diese Zahl nicht als Bruch darstellen. Und wenn wir sie als Dezimalzahl schreiben möchten, dann können wir das nur näherungsweise tun, da e unendlich viele Nachkommastellen besitzt, die sich nicht periodisch nach irgendeinem vorhersagbaren Muster wiederholen. e ist ungefähr gleich 2,718281 und so weiter. Doch woher kommt diese merkwürdige Zahl und was genau können wir uns darunter vorstellen? Einen geometrischen Zusammenhang wie bei Pi und Wurzel aus Zwei finden wir bei der eulerschen Zahl zunächst nicht. Tatsächlich ist e aber eine Konstante, die wir sehr gut zur Beschreibung von exponentiellen Wachstumsprozessen nutzen können. Um uns der Sache zu nähern, führen wir ein kleines Gedankenexperiment durch. Stell dir vor du hast einen Euro auf deinem Sparkonto. Ja schon klar, das ist nicht besonders viel. Aber dafür ist die Bank umso großzügiger und du erhältst für die Anlegedauer eines Jahres einhundert Prozent Zinsen! Nach einem Jahr würdest du also nochmal einen Euro als Zinsen auf dein Sparguthaben bekommen und hättest dann immerhin schon zwei Euro. Aber das reicht dir nicht, du handelst einen neuen Deal aus: Für deinen angelegten Euro zahlt dir die Bank nur noch fünfzig Prozent, also die Hälfte deines Guthabens als Zinsen. Dafür aber zweimal im Jahr. Zunächst könnte man meinen: In Summe sind das ja immer noch einhundert Prozent. An den Zinszahlungen sollte sich also nichts ändern. Aber das stimmt nicht, denn jetzt kommt der Effekt des Zinseszinses zum Tragen. Nach einem halben Jahr hättest du einen Euro fünfzig auf dem Sparbuch. Nachdem dieser nun größere Betrag dann nochmal mit fünfzig Prozent verzinst wird, wären es dann schon zwei Euro fünfundzwanzig. Kleine Wiederholung zur Zinsrechnung: Das Ganze können wir mit der Formel für den Zinseszins auch so aufschreiben. Aber da ist noch mehr drin! Wie wäre es denn, wenn du vier mal im Jahr fünfundzwanzig Prozent Zinsen – sprich ein Viertel deines Ersparten kriegen würdest? Nach vier Zinszahlungen kommst du so schon auf circa zwei Euro vierundvierzig. Mit dieser Vorgehensweise scheint es ja immer mehr zu werden! Wie sieht es denn aus, wenn wir jeden Monat ein Zwölftel unseres Guthabens als Zinsen erhalten? So kämen am Ende des Jahres schon rund zwei Euro und einundsechzig Cent zusammen! Die Frequenz können wir nun immer weiter erhöhen und zum Beispiel auch das resultierende Guthaben bei wöchentlicher oder sogar täglicher Verzinsung mit angepasstem Zinssatz berechnen. Du hast vielleicht auch schon das Muster erkannt, nach dem wir vorgehen müssen. Die allgemeine Formel, die wir zur Berechnung des angesparten Betrags brauchen, lautet „eins plus eins-geteilt-durch-n in Klammern hoch n“ Wir setzen für n zweiundfünfzig und dreihundertfünfundsechzig ein und sehen: Das resultierende Guthaben nach einem Jahr wächst immer weiter. Allerdings flacht das Wachstum ab und scheint sich bei einem gewissen Wert einzupendeln. Dieser Eindruck bestätigt sich, wenn wir uns in einer Wertetabelle die Resultate bei Verzinsungen in immer kürzeren Zeitabständen bei entsprechendem Zinssatz anschauen. Treiben wir das Ganze also mal auf die Spitze. Wie viel Geld würden wir erhalten, wenn wir in jeder Sekunde – oder noch besser: in jedem einzelnen Moment – Zinsen erhalten würden? Hinter dieser Frage verbirgt sich der Grenzwert unserer Formel für n gegen unendlich, also für immer größer werdende n. Und dieser Grenzwert ist tatsächlich nichts anderes als die eulersche Zahl e! Wenn wir unser Startkapital von einem Euro in jedem Moment verzinsen würden, hätten wir nach einem Jahr also genau „e Euro“ auf dem Konto. Wie wir uns die eulersche Zahl herleiten können, haben wir jetzt gesehen. Aber wozu können wir sie gebrauchen? Besonders interessant ist sie als Basis der natürlichen Exponentialfunktion „e hoch x“. Denn diese hat ein paar ganz besondere Eigenschaften und ist nicht nur in der Mathematik, sondern zum Beispiel auch in der Physik extrem wichtig! Aber das ist ein Thema für ein anderes Video. Dank der Vorarbeit von Mathematikern wie Euler, können wir uns aber schon mal merken, dass e einiges zu bieten hat! Die eulersche Zahl kann übrigens nicht nur mit dieser Formel, sondern auch so, so, oder auch so dargestellt werden. Oha, na da kann wohl noch fleißig weitergeforscht werden!

Die eulersche Zahl e Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Die eulersche Zahl e kannst du es wiederholen und üben.
  • Gib die Eigenschaften der "Eulerschen Zahl" $e$ an.

    Tipps

    $e \approx 2,718\,281\,828\,459\,...$

    Die Ziffern nach dem Komma wiederholen sich nicht in regelmäßigen Abständen.

    Lösung

    Die Zahl $e$ spielt in der Mathematik eine wichtige Rolle, denn mit ihrer Hilfe lassen sich Wachstums- und Zerfallsprozesse beschreiben. Sie ist eine besondere Zahl mit speziellen Eigenschaften. Neben zum Beispiel $\pi$ und $\sqrt{2}$ ist die Eulersche Zahl eine irrationale Zahl.

    Folgende Eigenschaften sind korrekt:

    • Die Zahl $e$ ist nicht als Bruch schreibbar.
    Es gibt keinen Bruch, der $e$ darstellen kann.
    • Die Zahl $e$ ist nicht periodisch.
    Die Ziffern nach dem Komma wiederholen sich nicht vorhersagbar.
    • Die Zahl $e$ ist nicht abbrechend.
    Die Ziffern nach dem Komma gehen unendlich weit weiter.
    • Die Zahl $e$ ist zur Beschreibung exponentiellen Wachstums verwendbar.
    Zum Beispiel kann mit ihr eine Funktion zum Bakterienwachstum dargestellt werden.

    Folgende Eigenschaften sind nicht korrekt:

    • Die Zahl $e$ ist als Bruch schreibbar.
    Dies ist falsch, da es keinen Bruch gibt, der $e$ darstellt.
    • Die Zahl $e$ ist periodisch.
    Dies ist falsch, da man die Ziffernfolge nach dem Komma nicht vorhersehen kann.
    • Die Zahl $e$ ist eine rationale Zahl.
    Dies ist falsch, da $e$ eine irrationale Zahl ist.
    • Die Zahl $e$ ist zur Beschreibung linearen Wachstums verwendbar.
    Dies ist falsch, da mit $e$ exponentielles Wachstum beschrieben werden kann.

  • Bestimme die zugehörigen Ergebnisse zu den angegebenen Verzinsungen.

    Tipps

    Die allgemeine Formel zur Annäherung an $e$ lautet:
    $ \lim \limits_{n \to \infty}(1+\frac{1}{n})^{n}$

    Um Prozentangaben zu machen, nimmt man die Bruchrechnung zu Hilfe:
    Zum Beispiel ist $50~\%~=~\frac{1}{2}$

    Lösung

    Für die Annäherung an die Eulersche Zahl $e$ kann man ein Gedankenexperiment machen.

    Man legt am Anfang des Jahres $1~€$ auf einem Sparkonto an und die Bank gibt einem den sehr großzügigen Zinssatz von $100~\%$. Wir betrachten nun verschiedene Auszahlungs- bzw. Verzinsungs-Varianten:

    • $1~€$ einmal jährlich zu $100\%$
    Nach einem Jahr hat man $2~€$ auf dem Konto.
    • $1~€$ zweimal jährlich zu $50\%$
    In dem zweiten Schritt handelt man bessere Konditionen aus und erhält für $1~€$ zweimal im Jahr $50~\%$. Man könnte zunächst meinen, dass das Ergebnis das gleiche ist. Allerdings kommt hier der Zinseszins zum Tragen und man erhält am Ende des ersten Jahres $(1+\frac{1}{2})^2=2,25~€$.
    • $1~€$ viermal jährlich zu $25\%$
    Wenn man nun das Angebot dahin gehend verändert, dass man im Jahr viermal $25~\%$ erhält, stellt man fest, dass man wieder mehr erhält, nämlich ungefähr $(1+\frac{1}{4})^4 \approx 2,44~€$.
    • $1~€$ $\mathbf{12}$-mal jährlich zu $\frac{1}{12}$
    Wir erhalten: $(1+\frac{1}{12})^{12} \approx 2,61~€$

    • $1~€$ jeden Tag im Jahr zu $\frac{1}{365}$
    Wir erhalten: $(1+\frac{1}{365})^{365} \approx 2,71~€$

    Man kann dies solange fortführen, bis man an den Punkt kommt, in dem man in jedem Moment des Jahres das Startkapital von $1~€$ verzinst und erhält dann die allgemeine Formel zur Annäherung von $e$ mit $ \lim \limits_{n \to \infty}(1+\frac{1}{n})^n$.

    Hier kommt der Zinseszins zum Tragen. Man erhält auf angelegtes Geld Zinsen. Das Kapital wächst schneller, da man auf die ausgezahlten Zinsen sofort wieder Zinsen erhält.

  • Ordne die verschiedenen Ausdrücke nach der Größe.

    Tipps

    Die Zahl $e$ hat ungefähr den Wert von $2,71$.

    Berechne den Term. Zum Beispiel $(1+\frac{1}{5})^5 \approx 2,48$.

    Lösung

    Die Eulersche Zahl $e$ kann mit der folgenden Formel hergeleitet werden.
    $ \lim \limits_{n \to \infty}(1+\frac{1}{n})^{n}$
    Je kleiner der Wert $n$ in dem Term $(1+\frac{1}{n})^n$, umso kleiner ist auch der Wert des Terms. Durch Einsetzen immer größerer Werte für $n$ nähern wir uns der Zahl $e$ an. Wir erhalten dabei immer Werte, die kleiner als $e$ sind.

    Den exakten Wert für $e$ kann man hiermit jedoch nicht berechnen, da $e$ eine irrationale Zahl ist. Wir arbeiten deshalb mit dem gerundeten Wert $2,71$.

    Um die Terme in die richtige Reihenfolge zu bringen, können wir ihren Wert berechnen. Alternativ können wir sie auch entsprechend $n$ sortieren.

    Die Aufgaben haben somit folgende Reihenfolge und Lösung:

    • $ (1+\frac{1}{4})^4 \approx 2,44 $
    • $ (1+\frac{1}{19})^{19} \approx 2,65 $
    • $e \approx 2,71$
    • $ 2,81 $
    • $ (1+\frac{1}{8})^9 \approx 2,88 $
    $\,$

    Ergänzung: Wir können die Eulersche Zahl auch mit Hilfe des folgenden Grenzwertes bestimmen:
    $ \lim \limits_{n \to \infty}(1+\frac{1}{n})^{n+1}$
    Während sich der obige im Video aufgeführte Term der Eulerschen Zahl von unten nähert, also Werte kleiner $e$ ergibt, nähert sich dieser Limes der Eulerschen Zahl von oben. Beim Einsetzen natürlicher Zahlen für $n$ in den Term $(1+\frac{1}{n})^{n+1}$ ergeben sich also immer Werte größer als $e$, so auch im Beispiel $(1+\frac{1}{8})^9$.

  • Beschreibe den Grenzwertprozess zur Annäherung an e.

    Tipps

    $ \mapsto~(1+\frac{1}{3})^3 \approx 2,37 $

    Je größer $n$ gewählt wird, desto näher kommt man an den Wert von $e$ heran.

    Lösung

    Die Eulersche Zahl ist, wie zum Beispiel auch $\pi$ und $\sqrt{2}$, eine besondere Zahl in der Mathematik und wird mit dem kleinen Buchstaben $e$ bezeichnet.

    Die Eulersche Zahl $e$ kann mit der Formel $(1+\frac{1}{n})^n$ angenähert werden. Diese Formel beschreibt den Versuch, sich so nahe wie möglich an die Zahl $e$ anzunähern. Den exakten Wert erhältst du dadurch nicht.
    Diese Formel zur Annäherung an $e$ kann durch das Zinseszins-Beispiel veranschaulicht werden. Man geht von einem Startkapital von $1~€$ aus.

    Die Formel gibt an, welches Kapital am Ende des Jahres erreicht ist, wenn $n$ mal im Jahr zu $\frac{100}{n}\%$ verzinst wird.

    Wird beispielsweise zweimal im Jahr zu $50\,\%$ verzinst, so ergibt sich: $(1+\frac{1}{2})^2 =2,25$. Am Jahresende ist dann also ein Kapital von $2,25~€$ erreicht.

    Wenn du in die Formel $ n=9 $ einsetzt, erhältst du den gerundeten Wert $(1+\frac{1}{9})^9 \approx 2,58$. Dies entspricht im Beispiel dem Kapital nach einem Jahr, wenn $9$-mal im Jahr zu $\frac{100}{9}\%$ verzinst wird.

    Am Beispiel der Verzinsung gibt $e$ dann die maximal mögliche Wachstumsrate an. Diese ergibt sich bei kontinuierlicher Verzinsung.

  • Bestimme, welche Funktionsgraphen aus einer $e$-Funktion hervorgehen.

    Tipps

    Eine $e$-Funktion beschreibt Wachstums- oder Zerfallsprozesse.

    Eine $e$-Funktion hat keine Nullstellen.

    Lösung

    In dieser Aufgabe sind keine Funktionsgleichungen gegeben und daher musst du dir die Graphen anschauen und ihre Eigenschaften kennen. Eine $e$-Funktion hat folgende Eigenschaften:

    • Sie hat keine Nullstellen.
    • Sie verläuft also nur oberhalb der $x$-Achse.
    • Sie nähert sich der $x$-Achse immer weiter an, berührt sie aber nicht. Die $x$-Achse ist somit eine waagrechte Asymptote.
    • Sie hat immer den Schnittpunkt mit der $y$- Achse bei $S(1\vert0)$.
    Deshalb gehen folgende Graphen aus der $e$-Funktion hervor:

    • mitte links
    • unten rechts
    Deshalb gehen folgende Graphen nicht aus der $e$-Funktion hervor:

    • oben links
    Hier ist eine Parabel, der Graph einer quadratischen Funktion, zu sehen.
    • unten links
    Hier ist ein Ausschnitt einer sehr stark gestauchten Parabel zu sehen.
    • oben rechts
    Hier ist eine Gerade, der Graph einer linearen Funktion, zu sehen.
    • mitte rechts
    Hier ist eine Funktion $4$ten Grades zu sehen.
  • Überprüfe die Aussagen über die Eulersche Zahl.

    Tipps

    $\ln(x)=\log_e(x)$

    Lösung

    Die Eulersche Zahl $e$ ist , wie zum Beispiel $\pi$ und $\sqrt{2}$, eine sehr wichtige irrationale Zahl in der Mathematik.

    Folgende Aussagen sind korrekt:

    • Die Zahl $e$ kann auch wie folgt dargestellt werden: $\lim\limits_{n \to \infty} \frac{n}{\sqrt[n]{n!}}$
    Es gibt neben der in der Aufgabenstellung gezeigten Formel mehrere Darstellungsmöglichkeiten zur Annäherung an $e$, dies ist eine davon.
    • Die Zahl $e$ ist die Basis des natürlichen Logarithmus $\ln$.
    Die natürliche $\ln$-Funktion ist ein Spezialfall der allgemeinen $\log$-Funktion, die als Basis die Zahl $e$ hat: $\ln(x)=\log_e(x)$
    • Die Zahl $e$ ist immer größer als $(1+\frac{1}{n})^n$.
    Der Term beschreibt die Annäherung an die Zahl $e$, er nimmt nie den exakten Wert an, sondern liefert immer Werte kleiner als $e$.

    Folgende Aussage ist nicht korrekt:

    • Man erhält den exakten Wert von $e$, wenn man in die Formel zur Annäherung $999.999$ einsetzt.
    $e$ ist irrational, dass heißt sie ist eine nicht abbrechende, nicht periodische Dezimalzahl. Daher kann man zwar Werte in die Annäherungsformel einsetzen, allerdings bekommt man nie einen exakten Wert heraus, sondern nur einen Näherungswert.
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