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Ableitung von Exponentialfunktionen in der Lebenswelt

Auch Exponentialfunktionen kann man ableiten, doch wozu sollte man dies tun?

Grippewelle

Betrachtet man beispielsweise die Ausbreitung einer Krankheit, bei der die Anzahl der Infizierten $N(t)$ zum Zeitpunkt $t$ durch die Funktion:

$N(t)=e^t$

beschrieben wird, wäre zur Einstufung der Bedrohungslage wichtig zu wissen, wie groß gerade die Momentangeschwindigkeit $v$ der Ausbreitung zum Zeitpunkt $t$ ist und und wie sich diese weiterentwickeln wird.

Hierzu würde man dann die obige Gleichung ableiten müssen, da die Momentangeschwindigkeit der Ausbreitung zum Zeitpunkt $t$:

$v(t)=(N(t))'$ ist.

Exponentialfunktionen

In Exponentialfunktionen steht die unabhängige Größe, die Variable im Exponenten.

Eine Exponentialfunktion hat die Form

$f(x)=a^x$

Dabei sind

  • $x$ die Variable und
  • $a\in \mathbb{R}$, $a\neq 0$, die Basis der Exponentialfunktion.

Üblicherweise schreibt man Exponentialfunktionen mit der Basis $e\approx2,71828$ der Euler'schen Zahl. Wie dies bei allgemeiner Basis gemacht wird, siehst du hier:

$f(x)=a^x=e^{\ln(a^x)}$,

da $e^{\ln(x)}=x$ ist. Nun wird die folgende Rechenregel für Logarithmen $\log(p^{q})=q\cdot \log( p)$ verwendet. Diese Regel gilt für jeden Logarithmus, unabhängig von der Basis. Damit ist

$f(x)=e^{\ln(a^x)}=e^{\ln(a)\cdot x}$.

Die natürliche Exponentialfunktion

Eine Exponentialfunktion mit der Basis $e$ wird als natürliche Exponentialfunktion bezeichnet

$f(x)=e^{x}$.

Die Ableitung der natürlichen Exponentialfunktion

Die Ableitung einer Funktion ist definiert mit Hilfe des Differentialquotienten als

$\begin{array}{rcl}f'(x)&=&\lim\limits_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}h\\ &=&\lim\limits_{h\to 0}\frac{e^{x+h}-e^x}h\\ &=&\lim\limits_{h\to 0}\frac{e^x(e^h-1)}h\\ &=&e^x\cdot \lim\limits_{h\to 0}\frac{e^h-1}h=e^x \end{array}$

Die Euler'sche Zahl ist gerade so definiert, dass

$\lim\limits_{h\to 0}\frac{e^h-1}h=1$

ist. Damit ist $(e^x)'=e^x$.

Die Ableitung einer allgemeinen Exponentialfunktion

Mit Hilfe der Ableitung $(e^x)'=e^x$ kann jede Exponentialfunktion $f(x)=a^x$ mit der Basis $a\neq 0$ abgeleitet werden:

$\begin{array}{rcl}f'(x)&=&(a^x)'\\ &=&\left(e^{\ln(a)\cdot x}\right)'\\ &=&\ln(a)\cdot e^{\ln(a)\cdot x}\\ &=&\ln(a)\cdot a^x \end{array}$

Zur Ableitung von $ e^{\ln(a)\cdot x}$ wird die Kettenregel verwendet.

Eigenschaften der natürlichen Exponentialfunktion

Hier ist der Graph der natürlichen Exponentialfunktion $f(x)=e^x$ zu sehen.

1030_e_x.jpg

Die folgenden Eigenschaften sind in diesem Graphen zu erkennen:

  • $e^x>0$ und insbesondere ist $e^x\neq 0$
  • $\lim\limits_{x\to \infty} e^x=$„$\infty$“
  • $\lim\limits_{x\to -\infty} e^x=0$

Darüber hinaus ist es sinnvoll, dass du dir einige spezielle Funktionswerte einprägst:

  • $e^0=1$ Dies ist der y-Achsenabschnitt des Graphen.
  • $e^1=e\approx 2,71828$

Der Graph der Funktion $f(x)=a^x$ für $a>1$ verläuft so ähnlich wie der abgebildete Graph. Ebenso gelten die Eigenschaften

  • $a^x>0$ und insbesondere ist $a^x\neq 0$
  • $\lim\limits_{x\to \infty} a^x=$„$\infty$“
  • $\lim\limits_{x\to -\infty} a^x=0$
  • $a^0=1$
  • $a^1=a$

Wenn für die Basis $0<a<1$ gilt, wird der Graph an der y-Achse gespiegelt. Beachte, dass die Grenzwerte sich ändern

  • $\lim\limits_{x\to \infty} a^x=0$
  • $\lim\limits_{x\to -\infty} a^x=$„$\infty$“

Beispiel für Exponentialfunktionen und deren Ableitung

Beispiel 1

$f(x)=e^{4x}$

Zur Ableitung dieser Funktion wird die Kettenregel verwendet. Die äußere Funktion ist $e^y$ und die innere Funktion $y=4x$ mit der Ableitung $y'=4$. Damit ist die Ableitung gegeben durch

$f'(x)=e^{4x}\cdot 4=4e^{4x}$

Dies kann verallgemeinert werden zu

$(e^{kx})'=ke^{kx}$

Beispiel 2

$f(x)=e^{0,5x-4}$

Auch hier wird die Kettenregel verwendet. Die äußere Funktion ist wiederum $e^y$. Die innere Funktion ist die lineare Funktion $y=0,5x-4$ mit der Ableitung $y'=0,5$. Nun kannst du die Funktion ableiten.

$f'(x)=e^{0,5x-4}\cdot 0,5=0,5e^{0,5x-4}$

Dies kann ebenfalls verallgemeinert werden zu

$(e^{kx+l})'=ke^{kx+l}$

Beispiel 3

$f(x)=x\cdot e^x$

Diese Funktion wird mit der Produktregel abgeleitet. Diese lautet in der Kurzschreibweise $(u\cdot v)'=u'\cdot v+u\cdot v'$. Damit ist die Ableitung dieser Funktion gegeben durch:

$\begin{array}{rclll} f'(x)&=&1\cdot e^x+x\cdot e^x&|&(e^x)'=e^x\\ &=&(1+x)e^x&|&\text{ Ausklammern}\\ &=&(x+1)e^x \end{array}$

Beispiel 4

$f(x)=e^{0,5x}(x^2+1)$

Auch diese Funktion wird mit der Produktregel abgeleitet sowie mit der Kettenregel:

$\begin{array}{rclll} f'(x)&=&0,5e^{0,5x}(x^2+1)+e^{0,5x}\cdot 2x\\ &=&e^{0,5x}(0,5x^2+2x+0,5)&|&\text{ Ausklammern} \end{array}$

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