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Zusammengesetzte e-Funktionen ableiten

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Team Digital
Zusammengesetzte e-Funktionen ableiten
lernst du in der 11. Klasse - 12. Klasse

Grundlagen zum Thema Zusammengesetzte e-Funktionen ableiten

Nach dem Schauen dieses Videos wirst du in der Lage sein, zusammengesetzte e-Funktion abzuleiten.

Zunächst lernst du, wie du zusammengesetzte e-Funktionen mit der Produktregel ableiten kannst. Anschließend lernst du, wie du e-Funktion mit der Kettenregel ableiten kannst.

Zusammengesetzte e-Funktionen

Das Video beinhaltet Schlüsselbegriffe, Bezeichnungen und Fachbegriffe wie natürliche Exponentialfunktion (“e-Funktion”), Ableitung, Produktregel und Kettenregel.

Bevor du dieses Video schaust, solltest du bereits die natürliche Exponentialfunktion bereits kennen.

Außerdem solltest du grundlegendes Wissen zu Ableitungs-Regeln haben.

Transkript Zusammengesetzte e-Funktionen ableiten

„zusammengesetzte e-Funktionen“ ableiten sollst? Keine Sorge, dieses Video wird dich darauf vorbereiten, das nächste Mal asouveräner mit so einer Situation umzugehen. Wir fangen ganz einfach an. Und zwar mit „e hoch x“. Die natürliche Exponentialfunktion ist nämlich unsere Lieblingsfunktion, wenn es um das Ableiten geht. Zumindest sollte sie das sein, denn wenn wir „e hoch x“ ableiten, erhalten wir wieder „e hoch x“ – die Ableitungsfunktion sieht also genauso aus! Diese Grundeigenschaft der e-Funktion speichern wir uns schon mal im Hinterkopf ab. Dann können wir uns ja langsam steigern! Was ist denn, wenn wir die e-Funktion mit einer Zahl multiplizieren? Auch dadurch ändert sich nicht viel. Denn „e hoch x“ ist abgeleitet immer noch „e hoch x“ und der Faktor fünf bleibt uns wegen der Faktorregel einfach erhalten. Na also, tut doch gar nicht weh. Next step: Was ist mit dieser Funktion? Jetzt sieht die Sache schon anders aus. In beiden Faktoren ist ein x enthalten. Daher müssen wir die Produktregel anwenden. Wir teilen also unsere Funktion in die Faktoren „u von x“, und „v von x“. Und leiten zunächst beide Teilfunktionen einzeln ab. „Zwei x Quadrat“ haben wir schnell abgeleitet und wie wir „e hoch x“ ableiten wissen wir ja! Die Ableitung lautet dann nach der Produktregel: „U-Strich mal v plus u mal v-Strich“. Wir setzen die entsprechenden Terme ein, und schon haben wir unsere Ableitungsfunktion. Für die Übersichtlichkeit können wir das „e hoch x“ noch ausklammern. Auch das hat geklappt. Dann mal her mit der nächsten Aufgabe! Aha, das sieht ja auch sehr interessant aus. Hmm, wie gehen wir denn jetzt da ran? Wenn die e-Funktion abgeleitet sich selbst ergibt, dann müsste das hier doch schon unsere Ableitung sein – richtig? Nicht ganz! Der Exponent „vier x hoch 3“ bildet für sich genommen, nochmal einen eigenen, inneren Funktionsterm. Wir können ihn zum Beispiel „v von x“ nennen. Nun müssen wir v noch ableiten, und unseren e-Term mit der Ableitung multiplizieren. Für die, die es ganz genau wissen wollen: Hier haben wir die Kettenregel angewendet. Und wenn wir die Kettenregel bei einer e-Funktion anwenden, ist das einfacher als im Normalfall. Denn die Ableitung der äußeren Funktion, also des e-Terms, bleibt unverändert. Wir müssen nur noch mit der inneren Ableitung, also der Ableitung des Exponenten multiplizieren. Wenn ihr in der nächsten Mathe-Stunde mal einen raushauen wollt: Das nennt man auch nachdifferenzieren. Schauen wir uns noch kurz einen Spezialfall an, den man als echter Kenner unbedingt mal abgeleitet haben sollte. Was machen wir mit diesem Schmuckstück hier? Nun, wir können uns den Funktionsterm zunächst mal als Produkt aufschreiben. Dann erinnern wir uns an die Potenzgesetze. „eins durch e-hoch-x“ können wir auch schreiben als „e hoch minus-x“. So kann die Funktion doch schon viel handlicher abgeleitet werden. Und zwar mit Produkt- und Kettenregel. Um das Produkt abzuleiten, brauchen wir zuerst die Produktregel. Wir haben zuerst die Ableitung des ersten Faktors also „eins mal e hoch minus-x“ plus „x mal die Ableitung von e hoch minus-x“. Sobald in dem Exponenten von e ein Term steht, der über ein einfaches X hinausgeht, müssen wir die Kettenregel anwenden. Also nicht das Nachdifferenzieren vergessen! Wir müssen noch mit der inneren Ableitung multiplizieren. Dann können wir vereinfachen, wieder in die Bruchschreibweise umwandeln, und fertig! Und? Hast du gut aufgepasst? Bei dieser Aufgabe musst du mehrere Ableitungstechniken anwenden, die du in diesem Video gesehen hast. Pausiere das Video doch kurz und leite die Funktion zuerst selbst ab. Dann gibt's die Lösung! Auch bei dieser Funktion sollte es uns ins Auge springen: Wir haben zwei von x abhängige Faktoren. Wir wenden also die Produktregel an. Es gilt wieder: „U-Strich mal v plus u mal v-Strich“! Die Ableitung des Klammerterms ist gleich „minus-vier x“. Und wenn wir „e hoch zwei-x“ ableiten, müssen wir – du hast es längst verinnerlicht – nachdifferenzieren. Und schon haben wir auch diese Funktion abgeleitet. Gar nicht so schlimm wie es aussieht. Wir fassen kurz zusammen. Wenn wir zusammengesetzte e-Funktionen ableiten möchten, sollten wir uns immer daran erinnern, dass die natürliche Exponentialfunktion, wenn wir sie ableiten, grundsätzlich die gleiche bleibt. Auf die ist Verlass! Dann kriegen wir auch etwas größere Brocken – wie diese Funktion, die wir mit unserer „Kettenregel für e-Funktionen“ ableiten können, oder auch Produkte – wie dieses hier – die wir mit der Produktregel ableiten, problemlos aus dem Weg geräumt. Wenn dir also das nächste mal eine zusammengesetzte e-Funktion über den Weg läuft – locker bleiben. Und immer schön nachdifferenzieren!

1 Kommentar
1 Kommentar
  1. Sehr gutes Video, anschaulich erklärt und dazu noch sympathisch🙌.

    Von Cedric, vor mehr als einem Jahr

Zusammengesetzte e-Funktionen ableiten Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Zusammengesetzte e-Funktionen ableiten kannst du es wiederholen und üben.
  • Benenne die Regel, die für die Ableitung der Funktion benötigt wird.

    Tipps

    Die allgemeine Produktregel lautet:

    $f(x) = u(x) \cdot v(x)$
    $\rightarrow {f'(x) = u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x)}$

    Die allgemeine Kettenregel lautet:

    $f(x) = u(v(x))$
    $\rightarrow {f'(x) = u'(v(x)) \cdot v'(x)}$

    Beispiel: $f(x) = 2x^2 \cdot e^x$

    $u(x) = 2x^2$
    $u'(x) = 4x$

    $v(x) = e^x$
    $v'(x) = e^x$

    $\rightarrow f'(x) = 4x \cdot e^x + 2x^2 \cdot e^x$

    Lösung

    Um eine Funktion richtig ableiten zu können, müssen wir zuerst herausfinden, welche Ableitungsregel wir verwenden können.

    Folgende Ableitungsregeln betrachten wir:

    • Faktorregel: ${f(x) = n \cdot e^x} \quad \rightarrow \quad {f'(x) = n \cdot e^x}$
    • Produktregel: ${f(x) = u(x) \cdot v(x)} \quad \rightarrow \quad {f'(x) = u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x)}$
    • Kettenregel: ${f(x) = u(v(x))} \quad \rightarrow \quad {f'(x) = u'(v(x)) \cdot v'(x)}$

    Wir schauen, ob ein Produkt oder eine Verkettung vorhanden ist, um die Regel zu ermitteln.

    Erste Funktion: $f{(x) = 2x \cdot e^x}$

    Hier haben wir zwei Faktoren

    $u(x) = 2x$
    $v(x) = e^x$

    Beide Faktoren enthalten die Variable $x$. Deswegen benötigen wir die Produktregel.

    Zweite Funktion: ${f(x) = e^{4x^2}}$

    Das ist eine verkettete Funktion. Das erkennen wir daran, dass im Exponenten ein anderer Term als $x$ steht. Wir benötigen die Kettenregel.

    Dritte Funktion: $f(x) = e^{2x}$

    Auch hier steht im Exponenten ein anderer Term als $x$. Wir benötigen wieder die Kettenregel.

    Vierte Funktion: $f(x) = 3e^x$

    Hier handelt sich zwar um eine Multiplikation, aber der erste Faktor beinhaltet nicht die Variable $x$. Deswegen benötigen wir die Faktorregel.

    Fünfte Funktion: $f(x) = 3x^2 \cdot e^x$

    Diese Funktion ist eine Multiplikation von zwei Termen, die beide die Variable $x$ enthalten. Wir benötigen also die Produktregel .

    Sechste Funktion: $f(x) = 7e^x$

    Hier wird die gewöhnliche Exponentialfunktion mit dem konstanten Faktor $7$ multipliziert. Daher benötigen wir die Faktorregel.

  • Beschreibe das Vorgehen bei der Ableitung zusammengesetzter $e$-Funktionen.

    Tipps

    Die allgemeine Kettenregel lautet:

    $f(x) = u(v(x))$
    $\rightarrow f^\prime(x) = {u^\prime(v(x)) \cdot v^\prime(x)}$

    Beispiel:

    $f(x) = e^{4x^3}$
    $\rightarrow f^\prime(x) = e^{4x^3} \cdot 12x^2$

    Lösung

    Die Ableitungsfunktion der unveränderten Exponentialfunktion entspricht sich selbst.
    Wenn eine zusammengesetzte $e$-Funktion zwei Faktoren hat, die beide die Variable $x$ enthalten, wird die Produktregel angewandt.

    Die Produktregel für eine Funktion
    $f(x) = u(x) \cdot v(x)$
    lautet:
    $\color{black}{f^\prime(x) = u^\prime(x) ~\cdot~}\color{#99CC00}{v(x)}\color{black}{~+~ u(x) ~\cdot~}\color{#99CC00}{v^\prime(x)}$

    Beispiel: $f(x) = 2x^2 \cdot e^x$
    $\rightarrow f^\prime(x) = 4x \cdot e^x + 2x^2 \cdot e^x = \left(4x + 2x^2 \right) \cdot e^x$
    Oft können wir die Ableitung dann noch zusammenfassen, wie hier im letzten Schritt.


    Sobald im Exponenten von $e$ ein Term steht, der über ein einfaches $x$ hinausgeht, müssen wir die Kettenregel anwenden. Für $e$-Funktionen bleibt auch hier der Funktionsterm zunächst unverändert. Wir müssen ihn allerdings noch mit der Ableitung des Exponenten multiplizieren. Das nennt man auch Nachdifferenzieren.

    Die allgemeine Kettenregel lautet:
    $f(x) = u(v(x))$
    $\rightarrow f^\prime(x) = {u^\prime(v(x)) \cdot v^\prime(x)}$

    Die Kettenregel für eine Funktion
    $f(x) = e^{v(x)}$
    lautet:
    $f^\prime(x) = e^{v(x)} \cdot \color{#99CC00}{v^\prime(x)}$

    Beispiel: $f(x) = e^{4x^3}$
    $\rightarrow f^\prime(x) = e^{4x^3} \cdot 12x^2$

  • Bestimme die Ableitungen der $e$-Funktionen.

    Tipps

    Benutze die Kettenregel, um die Ableitungen zu berechnen. Überlege, was die innere und was die äußere Funktion sein muss.

    Die allgemeine Kettenregel lautet:

    $f(x) = u(v(x)) \quad \rightarrow \quad {f'(x) = u'(v(x)) \cdot v'(x)}$

    Beispiel: $f(x) = \sin(2x)$

    $u(x) = \sin(x)$
    $v(x) = 2x$

    mit Ableitungen:
    $u'(x) = \cos(x)$
    $v'(x) = 2$

    $\rightarrow {f'(x) = \cos(2x) \cdot 2 = 2\cos(2x)}$

    Lösung

    Es handelt sich hier um Funktionen, die verkettet sind. Deshalb verwenden wir die Kettenregel. Die allgemeine Kettenregel lautet:
    $f(x) = u(v(x)) \quad \rightarrow \quad {f'(x) = u'(v(x)) \cdot v'(x)}$

    Die Kettenregel für eine $e$-Funktion lautet:
    $f(x) = e^{v(x)} \quad \rightarrow \quad f^\prime(x) = e^{v(x)} \cdot v^\prime(x)$

    Erste Funktion: $f(x) = e^{x^2}$

    Wir ermitteln die innere und äußere Funktion:

    $u(x) = e^x$ und
    $v(x) = x^2$

    mit den Ableitungen:

    $u'(x) = e^x$ und
    $v'(x) = 2x$

    Diese setzen wir nun in die Kettenregel ein:

    $f'(x) = e^{x^2} \cdot 2x = {\underline{\underline{2xe^{x^2}}}}$

    Analog zur ersten Funktion bestimmen wir die weiteren Ableitungen.


    Zweite Funktion: $f(x) = 2e^{x^2}$

    Diese Funktion hat die gleiche Ableitung wie die erste Funktion mit einem konstanten Faktor multipliziert:

    $f'(x) = 2 \cdot 2xe^{x^2} = {\underline{\underline{4xe^{x^2}}}}$


    Dritte Funktion: $f(x) =e^{x^2+3x}$

    Wir ermitteln die innere und äußere Funktion:
    $u(x) = e^x$ mit ${u'(x) = e^x}$
    $v(x) = x^2 + 3x$ mit ${v'(x) = 2x + 3}$

    Eingesetzt erhalten wir:

    $f'(x) = {e^{x^2 + 3x} \cdot (2x + 3)} = {\underline{\underline{(2x+3)e^{x^2+3x}}}}$


    Vierte Funktion: $f(x) = e^{-x}$

    Hier ist die äußere Funktion wieder die Exponentialfunktion und die innere Funktion ist ${({-}1) \cdot x}$:

    $f'(x) = e^{-x} \cdot ({-}1) = {\underline{\underline{{-}e^{-x}}}}$

  • Berechne die Ableitung der gegebenen Exponentialfunktion.

    Tipps

    Wende zuerst die Produktregel und dann die Kettenregel für $e$-Funktionen an. Vereinfache und fasse zusammen.

    Die Kettenregel für die $e$-Funktion lautet:

    $f(x) = e^{v(x)}$

    $\rightarrow f^\prime(x) = {e^{v(x)} \cdot v^\prime(x)}$

    Beispiel:

    $f(x) = {({-}2x^2 + 7)\cdot e^{2x}}$

    Diese Funktion hat die Ableitung:

    $\begin{array}{ll} f^\prime(x) &= {({-}4x) \cdot e^{2x} + ({-}2x^2 + 7) \cdot e^{2x} \cdot 2} \\ &= {{-}4xe^{2x} + ({-}4x^2 + 14)e^{2x}} \\ &= {({-}4x - 4x^2 + 14)e^{2x}} \\ &= {({-}4x^2 - 4x + 14)e^{2x}} \end{array}$

    Lösung

    Um die Funktion abzuleiten, identifizieren wir zuerst die beiden Faktoren für die Produktregel:

    $u(x) = 5x^3 + 2$
    $v(x) = e^{3x^2 + 4}$

    Mit folgenden Ableitungen:

    $u^\prime(x) = 15x^2$
    $v^\prime(x) = {e^{3x^2 + 4} \cdot 6x} = {6xe^{3x^2 + 4}}$

    Die Ableitung von $v$ haben wir mithilfe der Kettenregel für $e$-Funktionen berechnet. Dafür haben wir die Exponentialfunktion mit der Ableitung des Exponenten multipliziert.

    Diese Teilfunktionen setzen wir nun zusammen:

    $\begin{array}{ll} f^\prime(x) &= { u^\prime(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v^\prime(x) } \\ &= { \color{#99CC00}{15}\color{black}{x^2 \cdot e^{3x^2 + 4}}} ~+~ { (\color{#99CC00}{5}\color{black}{x^3 ~+~} \color{#99CC00}{2}\color{black}{)~\cdot~ e^{3x^2 + 4} ~\cdot~} \color{#99CC00}{6x} } \\ &= { (\color{#99CC00}{30}\color{black}{x^4 ~+~} \color{#99CC00}{15}\color{black}{x^2 ~+~}\color{#99CC00}{12}\color{black}{x)e^{3x^2 + 4}} } \end{array}$

  • Gib an, in welchen Fällen die Ableitung mit der Produktregel gebildet wird.

    Tipps

    Die Produktregel funktioniert für eine Funktion ${f(x) = u(x) \cdot v(x)}$ folgendermaßen: ${f'(x) = u'(x)\cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x)}$

    Beispiel: $f(x) = 2x \cdot e^x$

    $u(x) = 2x \quad$ mit $\quad u'(x) = 2$
    $v(x) = e^x \quad$ mit $\quad v'(x) = e^x$

    $\rightarrow {f'(x) = 2\cdot e^x + 2x \cdot e^x}$

    Lösung

    Die Produktregel wenden wir an, wenn wir ein Produkt von zwei Funktionen vorliegen haben. Das bedeutet, bei beiden Faktoren muss die Variable $x$ vorkommen.

    Die allgemeine Produktregel lautet folgendermaßen:
    ${f(x) = u(x) \cdot v(x)} \quad \rightarrow \quad {f'(x) = u'(x)\cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x)}$

    Beispiel: $f(x) = 2x \cdot e^x$

    $u(x) = 2x \quad$ mit $\quad u'(x) = 2$
    $v(x) = e^x \quad$ mit $\quad v'(x) = e^x$

    $\rightarrow {f'(x) = 2\cdot e^x + 2x \cdot e^x}$

    Bei folgenden Funktionen kannst du direkt die Produktregel anwenden:

    • $f(x) = xe^x = \underbrace{x}_{u(x)} \cdot \underbrace{e^x}_{v(x)}$
    • $f(x) = 2(x+1)e^x = \underbrace{2(x+1)}_{u(x)} \cdot \underbrace{e^x}_{v(x)}$
    • $f(x) = (3x+2)e^x = \underbrace{(3x + 2)}_{u(x)} \cdot \underbrace{e^x}_{v(x)}$

    Bei folgenden Funktionen kannst du nicht direkt die Produktregel anwenden:

    • $f(x) = e^{2x}$
    Hier müssen wir die Kettenregel anwenden.
    • $f(x) = e^{3x^2+2}$
    Auch hier müssen wir die Kettenregel anwenden.

  • Ermittle, welche Funktionen die angegebene Ableitung besitzen.

    Tipps

    Leite die Funktionen einzeln ab, um ihre Ableitungen zu finden. Vereinfache den Funktionsterm dabei soweit wie möglich bevor du ableitest.

    Die allgemeine Kettenregel lautet:

    $f(x) = u(v(x))$

    $\rightarrow f'(x) = u'(v(x)) \cdot v'(x)$

    Beispiel: $f(x) = e^{3x}$

    $u(x) = e^x \quad$ und $\quad v(x) = 3x$ mit

    $u'(x) = e^x \quad$ und $\quad v'(x) = 3$

    $\rightarrow f'(x) = e^{3x} \cdot 3 = 3e^{3x}$

    Es gilt:

    $\ln(e^x) = x \quad$ und $\quad e^{\ln(x)} = x$

    Lösung

    Wir leiten die Funktionen einzeln ab, um zu ermitteln, welche Ableitung sie besitzen. Dafür vereinfachen wir zuerst die Funktionen und wenden dann die allgemeine Kettenregel an:

    $f(x) = u(v(x))$

    $\rightarrow f'(x) = u'(v(x)) \cdot v'(x)$

    Erste Funktion: $f(x) = (e^x - 2e^x)^2$

    Diese Funktion lässt sich vorher vereinfachen, indem die beiden Terme in der Klammer zusammengefasst werden:

    $f(x) = (e^x - 2e^x)^2 = (-e^x)^2 = e^{2x}$

    Nun können wir wie gewohnt die Kettenregel anwenden:

    $f'(x) = e^{2x} \cdot 2 = \underline{\underline{2e^{2x}}}$

    Hinweis: Alternativ kannst du hier auch die Klammer zuerst auflösen, indem du die zweite binomische Formel verwendest.


    Zweite Funktion: $f(x) = e\cdot \left( e^{2x} + 3 \right) - e$

    Zuerst lösen wir wir Klammern auf:

    $f(x) = e^{2x + 1} + 3e - e = e^{2x + 1} + 2e$

    Jetzt können wir die Funktion mithilfe der Kettenregel ableiten. Beachte, dass die Konstante $+ 2e$ beim Ableiten wegfällt, da sie nicht von $x$ abhängt.

    $f'(x) = e^{2x + 1} \cdot 2 = \underline{\underline{2e^{2x + 1}}}$


    Dritte Funktion: $f(x) = \dfrac{\ln(e^2)}{2e^{-1}}\cdot e^{2x}$

    Es gilt:

    • $\ln(e^x) = x \quad$ und $\quad e^{\ln(x)} = x$
    • für $a \neq 0$ gilt: $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$
    Das verwenden wir, um die Funktion zu vereinfachen:

    $f(x) = \dfrac{2}{2}e^1 \cdot e^{2x} = e^{2x + 1}$

    Abgeleitet ergibt das:

    $f'(x) = \underline{\underline{2e^{2x + 1}}}$


    Vierte Funktion: $f(x) = \dfrac{1}{5}\left( 5e^{2x} + 5 \right)$

    Wir lösen zuerst die Klammern auf:

    $f(x) = \dfrac{1}{5} \cdot 5e^{2x} + \dfrac{1}{5} \cdot 5 = e^{2x} + 1$

    Dann leiten wir wie gewohnt ab:

    $f'(x) = \underline{\underline{2e^{2x}}}$


    Fünfte Funktion: $f(x) = e^{2x} - 9$

    Hier können wir nicht vereinfachen und leiten die Funktion direkt mithilfe der Kettenregel ab:

    $f'(x) = \underline{\underline{2e^{2x}}}$

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