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Komplexe Zahlen – Darstellung, Addition und Subtraktion

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Die Autor*innen
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Giuliano Murgo
Komplexe Zahlen – Darstellung, Addition und Subtraktion
lernst du in der 11. Klasse - 12. Klasse - 13. Klasse

Beschreibung Komplexe Zahlen – Darstellung, Addition und Subtraktion

Inhalt

Was sind komplexe Zahlen?

Der Bereich $\mathbb{C}$ der komplexen Zahlen ist eine Erweiterung des Zahlbereiches der reellen Zahlen, die du schon gut kennst. In diesem Video wird verständlich erklärt, wie du komplexe Zahlen darstellen und wie du mit komplexen Zahlen rechnen kannst.

Zahlbereiche: natürliche, ganze, rationale und reelle Zahlen

Die natürlichen Zahlen werden zum Zählen und zur Bestimmung von Anzahlen verwendet. Die Menge aller natürlichen Zahlen wird mit dem Symbol $\mathbb{N}$ bezeichnet. Zählst du rückwärts über die Null hinaus, so brauchst du auch die negativen ganzen Zahlen. Zusammen mit den natürlichen Zahlen bilden sie den Zahlbereich $\mathbb{Z}$ der ganzen Zahlen. Nimmst du Bruchzahlen bzw. Kommazahlen oder Dezimalbrüche hinzu, so erhältst du den Zahlbereich $\mathbb{Q}$ der rationalen Zahlen. Dieser Zahlbereich enthält nur endliche und periodische Dezimalbrüche. Unendliche, nicht periodische Dezimalbrüche nennt man irrationale Zahlen. Zusammen mit den rationalen Zahlen bilden sie den Zahlbereich $\mathbb{R}$ der reellen Zahlen. Jede reelle Zahl lässt sich als Kommazahl beschreiben, aber sie kann unendlich viele Nachkommastellen haben.

Komplexe Zahlen – Definition

Um die Gleichung $x^{2} =-1$ lösen zu können, müsstest du die Wurzel aus $-1$ ziehen. Diese Wurzel kann keine reelle Zahl sein, denn das Quadrat jeder reellen Zahl ist positiv oder null und kann demzufolge nicht $-1$ sein. Um diese Gleichung dennoch lösen zu können, definiert man eine neue Zahl: $i$, die sogenannte imaginäre Einheit. Die Zahl $i$ ist definiert durch die Gleichung $i^{2} = -1$. Man definiert die Zahl also nicht dadurch, dass man sie (wie eine reelle Zahl) angibt, sondern indem man definiert, dass diese Zahl eine Gleichung löst. Mit der imaginären Einheit $i$ definiert man nun die komplexen Zahlen: Eine komplexe Zahl $z$ wird geschrieben als $z = a+i \cdot b$ mit reellen Zahlen $a,b \in \mathbb{R}$. Die Zahl $a$ heißt Realteil der komplexen Zahl $z$, und $b$ heißt Imaginärteil von $z$. Der Realteil und der Imaginärteil einer komplexen Zahl sind also selbst reelle Zahlen.

Komplexe Zahlen – Darstellung

Da jede komplexe Zahl durch zwei reelle Zahlen bestimmt wird – den Real- und Imaginärteil – kann man sie in der Ebene darstellen. Die Menge aller komplexen Zahlen wird mit dem Symbol $\mathbb{C}$ bezeichnet, und die Darstellung dieser Menge in der Ebene bezeichnet man als Gauß'sche Zahlenebene. In dieser Darstellung beschriften wir die horizontale Achse mit $\text{Re}(z)$ für den Realteil und die vertikale Achse mit $\text{Im}(z)$ für den Imaginärteil.

Gaußsche Zahlenebene

Der komplexen Zahl $z=a+ib \in \mathbb{C}$ entspricht der Punkt $(a,b)$ bzw. $P(a|b)$ im Koordinatensystem. Die komplexe Zahl $z$ kann man daher auch als Vektor in dem zweidimensionalen Vektorraum $\mathbb{R}^{2}$ auffassen.

Mit komplexen Zahlen rechnen

Mit komplexen Zahlen kannst du dieselben Rechenoperationen ausführen wie mit reellen Zahlen, nämlich Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division. In diesem Video erklären wir dir die Addition und die Subtraktion komplexer Zahlen. Wir beginnen mit der Addition: Die Summe der beiden komplexen Zahlen $z_{1} = 4+3i$ und $z_{2} = 2+2i$ erhältst du, indem du die Real- und Imaginärteile getrennt addierst:

$z_{1} + z_{2} = (4+3i) + (2+2i) $

$ \Leftrightarrow (4+2) + (3i+2i) = (4+2) + (3+2) \cdot i = 6 + 5i$

Daher ist der Realteil der Summe dasselbe wie die Summe der Realteile, und der Imaginärteil der Summe ist die Summe der Imaginärteile. In der Gauß'schen Zahlenebene kannst du die Addition der komplexen Zahlen als Vektoraddition darstellen: Der Vektor der Summe zweier komplexen Zahlen ist die Summe der Vektoren der einzelnen Summanden.

Addition komplexer Zahlen

Bei der Subtraktion verfahren wir analog: Die Differenz der Real- und Imaginärteile ergibt den Real- und Imaginärteil der Differenz der beiden komplexen Zahlen:

$z_{1} - z_{2} = (4+3i) - (2+2i) $

$ \Leftrightarrow (4-2) + (3i-2i) = (4-2) + (3-2) \cdot i = 2 + i$

Rechengesetze für komplexe Zahlen: Addition und Subtraktion

Wir können die Addition und Subtraktion komplexer Zahlen allgemein durch ein Rechengesetz beschreiben. Dazu beschreiben wir allgemeine komplexe Zahlen durch $a+bi$ und $c+di$. Die Summe der beiden Zahlen ist dann gegeben durch die Formel:

$(a+bi)+(c+di) = (a+c) + (b+d) \cdot i$

Dieses Video

In diesem Video werden dir komplexe Zahlen verständlich erklärt. Du erfährst, für welche Gleichung die imaginäre Einheit $i$ die Lösung ist, und wie man komplexe Zahlen in der Gauß'schen Zahlenebene darstellt. Außerdem lernst du, komplexe Zahlen zu addieren und zu subtrahieren.

Transkript Komplexe Zahlen – Darstellung, Addition und Subtraktion

Hallo. Ich bin Giuliano. Und ich möchte dir heute etwas über die komplexen Zahlen erklären und zwar einmal die Darstellungsweise und die Additions- und Subtraktionsregeln dazu. Die komplexen Zahlen sind eine Zahlenmenge. Bevor wir zu den komplexen Zahlen kommen möchte ich mit dir nochmal die bekannten Zahlenmengen wiederholen. Da gibt es einmal die natürlichen Zahlen, die schreibt mit einem „N“. Die braucht man zum Beispiel dazu um eine Personenanzahl oder irgendwelche Objekte abzuzählen, dazu gehört eben eins, zwei, drei, vier und so weiter. Dann gibt es die ganzen Zahlen. Das kommen die negativen Zahlen hinzu, die ihr zum Beispiel bei Temperaturen kennt oder zum Beispiel auf eurem Konto, wenn ihr Minus auf dem Konto habt. Dann gibt es noch die Bruchzahlen, beziehungsweise die, ja Kommazahlen kann man die auch nennen. Die findet ihr wenn ihr zum Beispiel eine Pizza bestellt in der Familie und die teilen müsst habt ihr zum Beispiel ein Drittel, Null Komma Periode Drei von der Pizza. Diese Zahlen nennt man rationale Zahlen, mit einem „Q“ gekennzeichnet. Dann gibt es noch die reellen Zahlen, das heißt, dass sind diejenige Zahlen, die rational sind und irrational, wie zum Beispiel hier unten seht ihr das an dem schönen Beispiel an euren Pizza. Wenn ihr den Radius „Z“ nimmt und die Höhe „A“ könnt ihr das Volumen dieser Pizza berechnen, das eben mit der Formel „Pizza“ berechnet werden kann und diese Zahl „π“ ist eben eine irrationale Zahl. Und nun gibt es aber noch weitere Zahlen und die heißen eben komplexe Zahlen, das heißt man erweitert die Menge der reellen Zahlen um weitere Zahlen und dann kommen die komplexen Zahlen ins Spiel. Das Ursprungsproblem ist folgendes: x2=-1 um das zu lösen, habt ihr bestimmt alle schon kennengelernt, muss man die Wurzel ziehen und dann hat man eben die √-1 und das ist, da gibt es keine reelle Zahl für dieses „x“, die das lösen kann. Deshalb muss man nun eine Zahl einführen und die nennt man „i“. Das ist die sogenannte „imaginäre Einheit“, die imaginäre Einheit „i“. Und die ist definiert als i2=-1. Ok. Nun möchte euch zeigen wie die komplexe Zahl, oder allgemeiner, eine komplexe Zahl definiert ist und das sieht wie folgt aus. Also eine komplexe Zahl, die nenne ich „z“, also eine komplexe Zahl „z“ ist: z=a+i×b, dabei sind „a“ und „b“ reelle Zahlen, das ist ganz wichtig dabei. Diesen Teil „b“ hier hinten vor dem „i“, den nennt man Imaginärteil von „z“, Imaginärteil, so und den Teil, beziehungsweise die reelle Zahl „a“ davor, die nennt man Realteil von „z“. Und die kann man auch in einem Koordinatensystem, in der sogenannten Gauß´schen Ebene zeichnen. Das möchte ich euch jetzt einmal hier zeigen. Man kann nämlich diese komplexe Zahl auch als (a,b) schreiben und damit einen Punkt in einem Koordinatensystem haben, das habe ich euch schon mal hier vorbereitet. Und wir beschriften die x-Achse mit „Realteil“ von „z“, kurz abgekürzt mit „Re“ und die y-Achse mit „Imaginärteil“, dann kann man die Koordinaten, beziehungsweise die Zahlen „a“ und „b“ hier eben abtragen. Dazu nehmen wir einmal die Höhe „b“ und einmal, in dem Falle hier, die Breite „a“. Das heißt wir gehen ungefähr bis hier hin. Das heißt hier ist „a“, so und hier ist „b“ und hier landen wir bei einem Punkt „z“. Man kann „z“ auch als Zeiger darstellen. So. Ok. Und wenn wir das kennen gelernt haben, beziehungsweise die komplexen Zahlen definiert haben, kommen wir jetzt zu den ersten Rechenoperationen, die man mit diesen Zahlen durchführen kann und das einfachste ist eben die Addition und Subtraktion, Also Plus und Minus, Addition und Subtraktion. Dafür nehme ich mir zwei Beispiele und zeige euch direkt die Darstellungsform in der Gauß´sche Ebene, schreibe ich hier nochmal kurz an. Gauß´sche Ebene beziehungsweise Gauß´sche Zahlenebene, Zahleneben. So. Ok. So. Wir nehmen uns also das Beispiel, ich nenne die jetzt einfach „z1“ und „z2“, unserer beiden komplexen Zahlen „z1“ gleich da nehmen wir 4+3i und als zweites Beispiel 2+2i. Die zeichne ich dir erstmal ein, um nochmal die Darstellung in der Gauß´schen Ebene zu üben. Das heißt wir gehen einmal hier vier Realteil von „z“, vier und drei nach oben, das ist also ungefähr hier „z1“ und wir nehmen einmal „z2“, das bei zwei, zwei liegt und das ist hier, hier ist „z2“. Und hier haben wir natürlich den Imaginärteil dazu. Dann kann man diese hier auch wieder verbinden, das heißt ich mache das mal hier. Ihr macht das zuhause natürlich mit einem Geodreieck oder Lineal, das benutze ich gleich auch. So. Zack. Ok. Das heißt wir haben hier einmal die beiden Zeiger „z1“ und „z2“. Jetzt wollen wir die beiden Zahlen miteinander addieren, z1+z2. Das heißt (4+3i)+(2+2i), das geht folgendermaßen: Wir addieren ganz einfach den Realteil, das hier in dem Falle 4+2 und wir addieren ganz einfach den Imaginärteil, das heißt (3+2)i. Also vom Prinzip her ganz einfach, das heißt was kommt da raus? 6+5i. Das wollen wir uns auch kurz einzeichnen. Und dieses „z“ was wir jetzt erhalten haben, das nenne ich „z3. So. Ok. Das heißt wir gehen sechs in Realteilrichtung und fünf in Imaginärteilrichung, hier ist dann also „z3“. Ich nehme mir nun ein Geodreieck zu Hilfe und werde das ungefähr einzeichnen jetzt hier. Ok. Ja das ist jetzt ungefähr dieser Zeiger. Ok „z3“, sehr schön. Und nun wollen wir noch die Subtraktion durchführen anhand dieser beiden Beispiele. Also z1-z2 = 4+3i und es passiert genau dasselbe wie oben, das heißt wir subtrahieren den Imaginärteil und den Realteil. In dem Fall 4-2+(3-2)i und da kommt jetzt eben ein „z4“, was ich jetzt einfach so nenne und zwar eben eins, zwei hier vorne. So. Und hier hinten kommt eins raus, also 2+i. Das nenne ich „z4“ und das möchte ich euch natürlich auch einmal kurz einzeichnen und zwar zwei hier und einen da, das ist hier. „z4“, da brauche ich gar kein Geodreieck für, das schaffe ich so. Und da können wir auch den Zeiger einzeichnen. Das wollen wir nochmal an einem Rechengesetz auf der rechten Seite hier vorne festhalten. Wir nehmen die allgemeinen komplexen Zahlen „z1“ = a+bi und „z2“ = c+di und erhalten, wenn ich diese beiden Zahlen „z1“ und „z2“ miteinander addiere oder subtrahiere ganz einfach a+c + (b±d)i. Ja. Ich hoffe ihr habt das alles verstanden und bis zum nächsten Mal. Euer Giuliano.

9 Kommentare

9 Kommentare
  1. Ich finde das Video richtig Cool

    Von Ella, vor 5 Monaten
  2. Sehr gutes Video. Großes lob!

    Von Benjamin B., vor 11 Monaten
  3. Ich bin auch in der sechsten Klasse, aber mir bringt das etwas.

    Von Pollak Aurelia, vor mehr als 3 Jahren
  4. gutes video bin aber erst in der sechsten Klasse deswegen bringt mir das noch nichts

    Von Lhcityline, vor mehr als 3 Jahren
  5. Ich habe es nicht verstanden

    Von Holger Dettmer, vor fast 4 Jahren
Mehr Kommentare

Komplexe Zahlen – Darstellung, Addition und Subtraktion Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Komplexe Zahlen – Darstellung, Addition und Subtraktion kannst du es wiederholen und üben.
  • Gib jeweils den Imaginär- und den Realteil der komplexen Zahlen an.

    Tipps

    Eine komplexe Zahl z ist definiert als $z=a+ib$ mit $a,b \in \mathbb R$. Wie nennt man a, b und i?

    Merke dir: Der Imaginärteil z wird stets mit der imaginären Einheit multipliziert.

    Achte auf die Vorzeichen.

    Lösung

    Eine komplexe Zahl z ist definiert als

    $z=a+ib$ mit $a,b \in \mathbb R$.

    i ist die imaginäre Einheit mit $i^2=-1$.

    b steht für den Imaginärteil von z und a nennt man Realteil von z.

    Haben wir also eine komplexe Zahl wie $z=4+3i$ gegeben, so entspricht der Faktor 3 der imaginären Einheit i dem Imaginärteil von z und der Summand 4, welcher keine imaginäre Einheit enthält, dem Realteil von z.

  • Berechne die Summe und die Differenz der komplexen Zahlen $z_1$ und $z_2$.

    Tipps

    Gehe genauso vor, wie bei der dir bekannten Addition bzw. Subtraktion von Polynomen. Wie addiert man z.B. $(2+3x)+(1+2x)$?

    Welche reellen Zahlen der gegebenen komplexen Zahlen entsprechen dem Real- bzw. dem Imaginärteil von $z$?

    Lösung

    Die Rechengesetze für die Addition bzw. Subtraktion von zwei komplexen Zahlen $z_1=a+bi$ und $z_2=c+di$ lautet allgemein:

    $z_1 \pm z_2=(a\pm c)+(b\pm d)\cdot i$.

    Wir addieren bzw. subtrahieren also jeweils den Realteil beider komplexen Zahlen, sowie jeweils deren Imaginärteil, welchen wir mit der imaginären Einheit multiplizieren.

  • Bestimme, welche Darstellung in der Gaußschen Zahlenebene den Zeigern $z_1+z_2$, $z_1-z_2$ und $z_2-z_1$ entspricht.

    Tipps

    Berechne als erstes $z_1+z_2$, $z_1-z_2$ und $z_2-z_1$. Zeichne anschließend die Lösungen in die Gauß'sche Ebene ein und vergleiche deine Lösungen mit den gegebenen Antwortmöglichkeiten.

    $(a+bi) \pm (c+di)=(a\pm c)+(b\pm d)\cdot i$.

    Lösung

    Gegeben sind zwei komplexe Zahlen $z_1=(1+2i)$ und $z_2=(2-i)$.

    Wir berechnen $z_1+z_2$, $z_1-z_2$ und $z_2-z_1$ und erhalten so die einzuzeichnenden Punkte:

    $z_1+z_2 = (1+2i) + (2-i)= (1+2) + (2-1)i = 3+1i = (3,1)$,

    $z_1-z_2 = (1+2i) - (2-i)= (1-2) + (2+1)i = -1 +3i= (-1,3)$,

    $z_2-z_1 = (2-i) - (1+2i)= (2-1) + (-1-2)i = 1 -3i= (1,-3)$.

  • Berechne die Additionen und Subtraktionen zweier komplexer Zahlen.

    Tipps

    Welche reellen Zahlen der gegebenen komplexen Zahlen entsprechen dem Real- bzw. dem Imaginärteil von $z$?

    Achte auf die Vorzeichen.

    Wandle gegebenenfalls Brüche in Dezimalzahlen um.

    Lösung

    Die Rechengesetze für die Addition bzw. Subtraktion von zwei komplexen Zahlen $z_1=a+bi$ und $z_2=c+di$ lautet allgemein:

    $z_1 \pm z_2=(a\pm c)+(b\pm d)\cdot i$.

    Möchten wir also beispielsweise $\left( \frac 1 2 + i \right) - \left( \frac 1 4 - 2i \right)$ berechnen, so ziehen wir jeweils den Realteil und den Imaginärteil der beiden komplexen Zahlen zusammen und erhalten:

    $\left( \frac 1 2 + i \right) - \left( \frac 1 4 - 2i \right) = (\frac 1 2 - \frac 1 4) + (1+2) i =\frac 1 4 +3i = 0,25 + 3i$.

  • Gib an, welche komplexe Zahl in der Gauß'schen Zahlenebene dargestellt ist.

    Tipps

    An der horizontalen Achse der Gauß'schen Ebene ließt man den Realteil von z ab.

    Welche Zahl entspricht dem Real- bzw. dem Imaginärteil von z?

    Der Imaginärteil von z wird stets mit der imaginären Einheit multipliziert.

    Lösung

    Bei einer komplexen Zahl z mit $z=a+ib$ nennt man

    a Realteil von z und

    b Imaginärteil von z.

    Die horizontale Achse der Gauß'schen Ebene gibt den Realteil an und die vertikale Achse den Imaginärteil.

    Die Zahl $z=2+4i$ entspricht in der Gauß'schen Ebene also dem Punkt (2|4). Auf dieselbe Weise können wir die restlichen komplexen Zahlen darstellen.

  • Ermittle die fehlenden komplexen Zahlen.

    Tipps

    Ermittle als erstes jeweils den Realteil und den Imaginärteil der komplexen Zahlen.

    Verwende Umkehraufgaben, um die gesuchten Zahlen zu finden.

    Lösung

    Die Rechengesetze für die Addition bzw. Subtraktion von zwei komplexen Zahlen $z_1=a+bi$ und $z_2=c+di$ lautet allgemein:

    $z_1 \pm z_2=(a\pm c)+(b\pm d)\cdot i$.

    Sei nun ein Summand gesucht wie beispielsweise in der Aufgabe $( 3+2i) + ( ? ) = 5 + i$, so nutzen wir Umkehraufgaben und den Real- und Imaginärteil der gesuchten komplexen Zahl zu finden.

    Wir betrachten dafür erstmal die Realteile:

    $3 + ? = 5 \Leftrightarrow 5 - 3 = 2$.

    Und nun die Imaginärteile:

    $2 + ? = 1 \Leftrightarrow 2-1=1$.

    Somit ist die gesuchte komplexe Zahl: $2+1i = 2+i$.

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