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Komplexe Zahlen – Darstellung, Addition und Subtraktion

Erweitere deinen Zahlensinn mit dem Konzept der komplexen Zahlen. Entdecke, wie man sie darstellt, mit ihnen rechnet, und lerne die Gauß'sche Zahlenebene kennen. Interessiert? Das und vieles mehr findest du im folgenden Text!

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Die Autor*innen
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Giuliano Murgo
Komplexe Zahlen – Darstellung, Addition und Subtraktion
lernst du in der 11. Klasse - 12. Klasse - 13. Klasse

Komplexe Zahlen – Darstellung, Addition und Subtraktion Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Komplexe Zahlen – Darstellung, Addition und Subtraktion kannst du es wiederholen und üben.
  • Gib jeweils den Imaginär- und den Realteil der komplexen Zahlen an.

    Tipps

    Eine komplexe Zahl z ist definiert als $z=a+ib$ mit $a,b \in \mathbb R$. Wie nennt man a, b und i?

    Merke dir: Der Imaginärteil z wird stets mit der imaginären Einheit multipliziert.

    Achte auf die Vorzeichen.

    Lösung

    Eine komplexe Zahl z ist definiert als

    $z=a+ib$ mit $a,b \in \mathbb R$.

    i ist die imaginäre Einheit mit $i^2=-1$.

    b steht für den Imaginärteil von z und a nennt man Realteil von z.

    Haben wir also eine komplexe Zahl wie $z=4+3i$ gegeben, so entspricht der Faktor 3 der imaginären Einheit i dem Imaginärteil von z und der Summand 4, welcher keine imaginäre Einheit enthält, dem Realteil von z.

  • Berechne die Summe und die Differenz der komplexen Zahlen $z_1$ und $z_2$.

    Tipps

    Gehe genauso vor, wie bei der dir bekannten Addition bzw. Subtraktion von Polynomen. Wie addiert man z.B. $(2+3x)+(1+2x)$?

    Welche reellen Zahlen der gegebenen komplexen Zahlen entsprechen dem Real- bzw. dem Imaginärteil von $z$?

    Lösung

    Die Rechengesetze für die Addition bzw. Subtraktion von zwei komplexen Zahlen $z_1=a+bi$ und $z_2=c+di$ lautet allgemein:

    $z_1 \pm z_2=(a\pm c)+(b\pm d)\cdot i$.

    Wir addieren bzw. subtrahieren also jeweils den Realteil beider komplexen Zahlen, sowie jeweils deren Imaginärteil, welchen wir mit der imaginären Einheit multiplizieren.

  • Bestimme, welche Darstellung in der Gaußschen Zahlenebene den Zeigern $z_1+z_2$, $z_1-z_2$ und $z_2-z_1$ entspricht.

    Tipps

    Berechne als erstes $z_1+z_2$, $z_1-z_2$ und $z_2-z_1$. Zeichne anschließend die Lösungen in die Gauß'sche Ebene ein und vergleiche deine Lösungen mit den gegebenen Antwortmöglichkeiten.

    $(a+bi) \pm (c+di)=(a\pm c)+(b\pm d)\cdot i$.

    Lösung

    Gegeben sind zwei komplexe Zahlen $z_1=(1+2i)$ und $z_2=(2-i)$.

    Wir berechnen $z_1+z_2$, $z_1-z_2$ und $z_2-z_1$ und erhalten so die einzuzeichnenden Punkte:

    $z_1+z_2 = (1+2i) + (2-i)= (1+2) + (2-1)i = 3+1i = (3,1)$,

    $z_1-z_2 = (1+2i) - (2-i)= (1-2) + (2+1)i = -1 +3i= (-1,3)$,

    $z_2-z_1 = (2-i) - (1+2i)= (2-1) + (-1-2)i = 1 -3i= (1,-3)$.

  • Berechne die Additionen und Subtraktionen zweier komplexer Zahlen.

    Tipps

    Welche reellen Zahlen der gegebenen komplexen Zahlen entsprechen dem Real- bzw. dem Imaginärteil von $z$?

    Achte auf die Vorzeichen.

    Wandle gegebenenfalls Brüche in Dezimalzahlen um.

    Lösung

    Die Rechengesetze für die Addition bzw. Subtraktion von zwei komplexen Zahlen $z_1=a+bi$ und $z_2=c+di$ lautet allgemein:

    $z_1 \pm z_2=(a\pm c)+(b\pm d)\cdot i$.

    Möchten wir also beispielsweise $\left( \frac 1 2 + i \right) - \left( \frac 1 4 - 2i \right)$ berechnen, so ziehen wir jeweils den Realteil und den Imaginärteil der beiden komplexen Zahlen zusammen und erhalten:

    $\left( \frac 1 2 + i \right) - \left( \frac 1 4 - 2i \right) = (\frac 1 2 - \frac 1 4) + (1+2) i =\frac 1 4 +3i = 0,25 + 3i$.

  • Gib an, welche komplexe Zahl in der Gauß'schen Zahlenebene dargestellt ist.

    Tipps

    An der horizontalen Achse der Gauß'schen Ebene ließt man den Realteil von z ab.

    Welche Zahl entspricht dem Real- bzw. dem Imaginärteil von z?

    Der Imaginärteil von z wird stets mit der imaginären Einheit multipliziert.

    Lösung

    Bei einer komplexen Zahl z mit $z=a+ib$ nennt man

    a Realteil von z und

    b Imaginärteil von z.

    Die horizontale Achse der Gauß'schen Ebene gibt den Realteil an und die vertikale Achse den Imaginärteil.

    Die Zahl $z=2+4i$ entspricht in der Gauß'schen Ebene also dem Punkt (2|4). Auf dieselbe Weise können wir die restlichen komplexen Zahlen darstellen.

  • Ermittle die fehlenden komplexen Zahlen.

    Tipps

    Ermittle als erstes jeweils den Realteil und den Imaginärteil der komplexen Zahlen.

    Verwende Umkehraufgaben, um die gesuchten Zahlen zu finden.

    Lösung

    Die Rechengesetze für die Addition bzw. Subtraktion von zwei komplexen Zahlen $z_1=a+bi$ und $z_2=c+di$ lautet allgemein:

    $z_1 \pm z_2=(a\pm c)+(b\pm d)\cdot i$.

    Sei nun ein Summand gesucht wie beispielsweise in der Aufgabe $( 3+2i) + ( ? ) = 5 + i$, so nutzen wir Umkehraufgaben und den Real- und Imaginärteil der gesuchten komplexen Zahl zu finden.

    Wir betrachten dafür erstmal die Realteile:

    $3 + ? = 5 \Leftrightarrow 5 - 3 = 2$.

    Und nun die Imaginärteile:

    $2 + ? = 1 \Leftrightarrow 2-1=1$.

    Somit ist die gesuchte komplexe Zahl: $2+1i = 2+i$.