30 Tage kostenlos testen

Überzeugen Sie sich von der Qualität unserer Inhalte.

Komplexe Zahlen – Polardarstellung und Exponentialform

Bewertung

Ø 3.6 / 5 Bewertungen

Die Autor/-innen
Avatar
Giuliano Murgo
Komplexe Zahlen – Polardarstellung und Exponentialform
lernst du in der 11. Klasse - 12. Klasse - 13. Klasse

Beschreibung Komplexe Zahlen – Polardarstellung und Exponentialform

Hallo! Wir betrachten die Polardarstellung und Exponentialdarstellung der komplexen Zahlen. Mit Hilfe der trigonometrischen Eigenschaften in rechwinkligen Dreiecken, können wir komplexe Zahlen mit sinus, cosinus und einem Winkel berechnen. Zusätzlich brauchen wir den Betrag einer komplexen Zahl bzw. den Abstand des Zeigers der komplexen Zahl in der Gaußschen Zahlenebene. Außerdem gibt es eine zweite Form der Darstellung komplexer Zahlen: die Exponentialform. Ich zeige dir mit dem Mekrsatz "r mal e(i)nheitszeiger mit Winkel φ", wie man eine komplexe Zahl mit Hilfe des Winkels φ und dem Betrag einer komplexen Zahl r einfach in die Gaußsche Zahlenebene einzeichnen kann. Abschließend erarbeiten wir zusammen, wie einfach die Multiplikation und Division mit der Exponentialform funktioniert und wie man diese in die Gaußsche Zahlenebene einzeichnen kann. Viel Spaß und Erfolg beim Lernen!

6 Kommentare

6 Kommentare
  1. @Lechner Nicole: Ist die Komplexe Zahl in Exponentialform angegeben, so gilt:
    z=r•e^(i•φ)
    Damit hast du alle relevanten Werte, um die komplexe Zahl in Normalform (z=a+i•b) anzugeben.
    Es gilt:
    a=cos(φ)•r
    b=sin(φ)•r
    Da die Werte für r und φ in der Exponentialform gegeben sind, solltest du a und b also einfach berechnen können.
    Am Beispiel aus dem Video:
    z=2•e^(i•30°); mit r=2 und φ=30°
    Somit erhältst du für a und b:
    a=cos(30°)•2=√(3)
    b=sin(30°)•2=1
    Die komplexe Zahl in Normalform lautet somit:
    z=√(3)+i•1
    Ich hoffe ich konnte dir weiterhelfen.

    Von Thomas Scholz, vor etwa 4 Jahren
  2. Hallo
    kannst du mir schnell erklären wie ich von der Exponentialform wieder in die Normalform komme?
    VG Nic

    Von Lechner Nicole, vor etwa 4 Jahren
  3. @Juliane Viola D.
    Du kannst oben über die Suchfunktion "Komplexe Zahlen" eingeben. Dann siehst du eien Auflistung aller Videos zu dem Thema.
    Alternativ kannst du die Videos in der Lernnavigation in Mathematik unter Algebra und Arithmetik->Rechnen in verschiedenen Zahlenbereichen->Zahlbereiche bis zu den komplexen Zahlen finden.
    Ich hoffe, dass ich helfen konnte.

    Von Giuliano Murgo, vor fast 7 Jahren
  4. Wo lernt man diese Voraussetzungen alles? (Hier in der 10.Klasse sind Grundschulfilme neben Uni-/Leistungskursfilme gesetzt!

    Von Juliane Viola D., vor fast 7 Jahren
  5. @Norbert Fiala:
    Um den Inhalt dieses Videos zu verstehen, ist es sinnvoll die Defintion einer komplexen Zahl zu kennen. Außerdem wissen, was die Gauß´sche Zahlenebene ist und wie man die komplexen Zahlen dort darstellen kann.
    Kannst du noch etwas konkretisieren, was genau du nicht verstanden hast?

    Von Giuliano Murgo, vor mehr als 7 Jahren
Mehr Kommentare

Komplexe Zahlen – Polardarstellung und Exponentialform Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Komplexe Zahlen – Polardarstellung und Exponentialform kannst du es wiederholen und üben.
  • Gib den Betrag von $z$ und den Winkel $\phi$ an.

    Tipps

    Zeichne dir Hilfslinien in das Koordinatensystem, sodass ein rechtwinkliges Dreieck entsteht. Welche Sätze und Verhältnisse gelten in einem rechtwinkligen Dreieck?

    Die Länge des Zeigers entspricht der Hypotenuse des rechtwinkligen Dreiecks. Verwende den Satz des Pythagoras, um den Betrag von $z$ zu berechnen.

    Du kannst einen Winkel in einem rechtwinkligen Dreieck auf mehrere Wege berechnen. Beispielsweise mit Hilfe des Kosinus: $\cos(\phi)=\frac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}}$

    Die Ankathete entspricht dem Realteil von $z$ und die Gegenkathete dem Imaginärteil.

    Lösung

    Da die Länge des Zeigers zu $z$ der Hypotenuse des rechtwinkligen Dreiecks entspricht, können wir mithilfe des Satzes von Pythagoras den Betrag von $z$ berechnen:

    $|z|=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{\sqrt{3}^2+1^2}= 2$.

    Nun können wir beispielsweise mit Hilfe des Kosinus den von der komplexen Zahl aufgespannten Winkel $\phi$ berechnen:

    $\cos(\phi)=\frac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}}=\frac{\sqrt 3}{2} \qquad \Leftrightarrow \phi=30°$.

  • Bestimme die korrekte Darstellung der komplexen Zahl in Normalform, Polarform und Exponentialform.

    Tipps

    Beginne mit der Normalform, indem du den gegebenen Real- und Imaginärteil passend einsetzt.

    Berechne $r$ für die Polar- und Exponentialform, indem du den Betrag der komplexen Zahl, also die Wurzel aus der Summe des quadrierten Real- und des quadrierten Imaginärteils, berechnest.

    Der Winkel $\phi$, der von der komplexen Zahl aufgespannt wird, beträgt {30}°.

    Wie lauten die Polar- und Exponentialform allgemein? Setze $r$ und $\phi$ ein.

    Lösung

    Wir stellen als erstes die komplexe Zahl in Normalform auf:

    $z=a+ib = \sqrt 3 +1\cdot i$.

    Um die komplexe Zahl in Polarform darstellen zu können, müssen wir $r =|z|$ und den Winkel $\phi$, der von der komplexen Zahl aufgespannt wird, berechnen:

    $r=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{\sqrt{3}^2+1^2}= 2$,

    $\cos(\phi)=\frac{a}{r}=\frac{\sqrt 3}{2} \qquad \Leftrightarrow \phi=30°$.

    Nun setzen wir die Werte ein und erhalten $z$ in Polarform:

    $z=r\cdot (\cos(\phi)+i\cdot \sin(\phi))=2\cdot (\cos30° + i \cdot \sin30°)$

    und in Exponentialform:

    $z=r \cdot e^{i\cdot \phi}=2\cdot e^{30°\cdot i}$.

  • Bestimme, welche komplexe Zahl jeweils in der Gauß'schen Ebene dargestellt ist.

    Tipps

    Bestimme jeweils $|z|$ und den Winkel $\phi$ jeder komplexen Zahl. Vergleiche dann anschließend mit den gegebenen Zahlen.

    Merke dir für die Exponentialform von komplexen Zahlen folgenden Merksatz: $r$ mal $e^i$nheitszeiger mit dem Winkel $\phi$.

    Die Exponentialform einer komplexen Zahl lautet $z=r\cdot e^{i\cdot \phi}$

    Lösung

    Eine komplexe Zahl kann man in Exponentialform notieren: $z=r\cdot e^{i\cdot \phi}$, wobei $r$ dem Betrag von $z$ entspricht.

    Wir bestimmen dafür also als Erstes anhand der Darstellungen jeweils den Betrag von $z$ und den Winkel $\phi$, den die komplexe Zahl aufspannt.

    1. Gegeben sind $\phi = 37°$ und $z=4+3i$. Somit beträgt $|z|=\sqrt{4^2+3^2}=5$ und die Exponentialform lautet: $z=5 \cdot e^{37°\cdot i}$.
    2. Nun sind $|z|=10$ und der Realteil $a=5$ gegeben. Mithilfe des Kosinus berechnen wir den Winkel: $\cos(\phi)=\frac{5}{10} ~~~ \Leftrightarrow ~~~ \phi= 60°$. Somit lautet die Exponentialform: $z=10 \cdot e^{60°\cdot i}$.
    3. Gegeben ist hier der Real- und Imaginärteil der komplexe Zahl $z=1+3i$. Wir erhalten für den Betrag $|z|=\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}$ und für den Winkel $\phi \approx 72°$. Die Exponentialform lautet daher: $z=\sqrt{10} \cdot e^{72°\cdot i}$.
    Auf dieselbe Weise berechnen wir $|z|$ und $\phi$ weiterhin.

  • Ermittle, welche Formen die gleiche komplexe Zahl darstellen.

    Tipps

    Betrachte die komplexen Zahlen in Normalform. Bestimme jeweils den Betrag von $z$ und den Winkel $\phi$, den die komplexe Zahl aufspannt.

    $\phi$ kannst du mithilfe des Kosinus $\cos(\phi)=\frac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}}$ berechnen.

    $r$ entspricht dem Betrag von $z$. Wie berechnet man $|z|$?

    Lösung

    Wir haben vier komplexe Zahlen in Normalform gegeben. Man berechnet jeweils deren Betrag von $z$ und den jeweiligen Winkel $\phi$, um damit die Polar- und Exponentialform aufstellen zu können.

    Allgemein lauten die Formeln zur Berechnung:

    $r=|z|=\sqrt{a^2+b^2}~~~$ und $~~~\cos(\phi)=\frac{a}{|z|}$.

    $a$ gibt jeweils den Realteil und $b$ den Imaginärteil von $z$ an. Nachdem die Werte mithilfe der Formeln berechnet wurden, setzt man diese in die allgemeinen Formeln für Polar- und Exponentialform ein:

    • Polarform: $z=r\cdot(\cos(\phi)+i\cdot \sin(\phi))$
    • Exponentialform: $z=r\cdot e^{i\cdot \phi}$
  • Vervollständige die Angaben zu komplexen Zahlen.

    Tipps

    In z=a+ib gibt a den Realteil und b den Imaginärteil von z an.

    Merke dir für die Exponentialform von komplexen Zahlen folgenden Merksatz: r mal $e^i$nheitszeiger mit dem Winkel $\phi$.

    Lösung

    Wir kennen nun drei verschiedene Formen, um komplexe Zahlen anzugeben:

    1. Die Normalform: $z=a+ib$, wobei $a \in \mathbb R$ den Realteil und $b \in \mathbb R$ den Imaginärteil von $z$ angibt.
    2. Die Polarform: $z=r\cdot(\cos(\phi)+i\cdot \sin(\phi))$ mit $r=|z|$ und dem Winkel $\phi$, den die komplexe Zahl aufspannt.
    3. Die Exponentialform: $z=r\cdot e^{i\cdot \phi}$ ebenfalls mit $r=|z|$ und dem Winkel $\phi$, den die komplexe Zahl aufspannt.
    Wir nutzen die Gauß'sche Zahlenebene, bei der die horizontale Achse den Realteil a von z und die vertikale Achse den Imaginärteil b von z angibt.

  • Bestimme die Normalform der gegebenen komplexen Zahlen.

    Tipps

    Verwende zum Zeichnen kariertes Papier oder sogar Millimeterpapier.

    Die horizontale Achse gibt den Realteil von z an.

    Lösung

    Man zeichnet als Erstes eine Gauß'sche Ebene, wobei die horizontale Achse stets den Realteil und die vertikale Achse den Imaginärteil von z angibt.

    Anschließend zeichnet man beispielsweise für $z=\sqrt 5 \cdot e^{63°\cdot i}$ in einem Winkel von 63° einen Zeiger, welcher $\sqrt 5 \approx 2,2$ Längeneinheiten lang ist. Mithilfe von Hilfslinien ermitteln wir nun den Real- und Imaginärteil von z. In diesem Fall entspricht der Realteil a=1 und der Imaginärteil b=2. Somit lautet die komplexe Zahl in Normalform:

    $z=1+2i$.

    Auf dieselbe Weise ermitteln wir die weiteren Normalformen.

30 Tage kostenlos testen
Mit Spaß Noten verbessern
und vollen Zugriff erhalten auf

10.800

Lernvideos

44.109

Übungen

38.757

Arbeitsblätter

24h

Hilfe von Lehrer/
-innen

laufender Yeti

Inhalte für alle Fächer und Klassenstufen.
Von Expert/-innen erstellt und angepasst an die Lehrpläne der Bundesländer.

30 Tage kostenlos testen

Testphase jederzeit online beenden