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Komplexe Zahlen – Rechenbeispiele zur Polardarstellung und Exponentialform

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Die Autor/-innen
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Giuliano Murgo
Komplexe Zahlen – Rechenbeispiele zur Polardarstellung und Exponentialform
lernst du in der 11. Klasse - 12. Klasse - 13. Klasse

Beschreibung Komplexe Zahlen – Rechenbeispiele zur Polardarstellung und Exponentialform

Hallo! In der Mathematik kommt es häufig vor, dass Umrechnungen in alternative Darstellungsformen einen großen Vorteil haben. Du kennst sicherlich die Umrechnungen der Normal- in die Scheitelpunktsform bei Parabeln. In diesem Video lernst du, wie man die Exponentialform in die Normalform einer komplexen Zahl und andersherum umwandeln kann. Dazu brauchen wir den Betrag einer komplexen Zahl und und die trigonometrischen Beziehungen von cosinus und sinus. Durch die Anwendung von cosinus und sinus erhalten wir außerdem die Polarform einer komplexen Zahl. Viel Spaß und Erfolg beim Lernen!

7 Kommentare

7 Kommentare
  1. Das Video hat mir sehr geholfen. Habe alles verstanden, gut erklärt!

    Von Pfisterlaura, vor 9 Monaten
  2. man findet leider hier keine Video über "komplexe Wurzeln"

    Von Deleted User 601876, vor etwa 3 Jahren
  3. @Vignes9,
    bei der Exponentialfunktion z = re^(iφ) ist das e die Eulersche Zahl.

    Von Karsten S., vor fast 4 Jahren
  4. ich meinte eulerische Zahl

    Von Api36, vor fast 4 Jahren
  5. Ich hab nur eine kleine Frage: e ist hier doch 1 und nicht die eugenische Zahl, oder?

    Von Api36, vor fast 4 Jahren
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Komplexe Zahlen – Rechenbeispiele zur Polardarstellung und Exponentialform Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Komplexe Zahlen – Rechenbeispiele zur Polardarstellung und Exponentialform kannst du es wiederholen und üben.
  • Gib die komplexe Zahl in Normalform an.

    Tipps

    Forme die Gleichung

    $\cos\phi = {a}/{r}$

    nach dem gesuchten Realteil um und setze die gegebenen Werte ein.

    Welche Formel kann man verwenden, um den Imaginärteil zu berechnen?

    Für die Berechnung des Imaginärteils von z formen wir die Formel $\sin {b/r}$ nach b und setzen anschließend die gegebenen Werte ein.

    Lösung

    Gegeben ist eine komplexe Zahl z in Exponentialform. Unser Ziel ist es z in Normalform umzurechnen. Dafür berechnen wir den Realteil a und den Imaginärteil b von z mit Hilfe der Umformung der beiden Gleichungen:

    $\cos \phi = {a}/{r} \qquad \Leftrightarrow a= r\cdot \cos \phi $

    $\sin \phi = {b}/{r} \qquad \Leftrightarrow b= r\cdot \sin\phi $

    Man kann nun die entsprechenden Werte für r und $\phi$ durch Ablesen aus der gegebenen Exponentialform

    $z=r\cdot e^{i\cdot \phi}$

    ablesen und a und b berechnen, um die komplexe Zahl z in Normalform

    $z=a+bi$

    anzugeben.

  • Bestimme die Lösungen der Multiplikation und Division der komplexen Zahlen in Exponentialform.

    Tipps

    Bei der Multiplikation von komplexen Zahlen in Exponentialform multipliziert man die Beträge und addiert die Potenzen.

    Bei der Division von komplexen Zahlen in Exponentialform werden die Beträge dividiert und die Exponenten subtrahiert.

    Lösung

    Um komplexe Zahlen, welche in der Exponentialform gegeben sind, zu multiplizieren bzw. zu dividieren, wenden wir Potenzgesetze an:

    $z_1 \cdot z_2 = (r_1 \cdot e^{i\cdot \phi_1})\cdot (r_2 \cdot e^{i\cdot \phi_2}) = (r_1 \cdot r_2) \cdot e^{i\cdot (\phi_1 + \phi_2)}$

    $\frac{z_1}{z_2} = (r_1 \cdot e^{i\cdot \phi_1}) : (r_2 \cdot e^{i\cdot \phi_2}) = \frac{r_1}{r_2} \cdot e^{i\cdot (\phi_1 - \phi_2)}$

    Wir können unsere gegebenen Werte für $r_1$, $\phi_1$, $r_2$ und $\phi_2$ in die Formeln einsetzen und erhalten somit die jeweilige Lösung.

  • Gib die korrekte Umwandlung der gegebenen komplexen Zahlen an.

    Tipps

    Man berechnet den Realteil mit $a = r\cdot \cos(\phi)$

    und den Imaginärteil von z mit $b=r\cdot \sin(\phi)$.

    Man erhält den Winkel $\phi$ durch die Umformung der Gleichung $\cos(\phi) = \frac{a}{r}$ oder der Gleichung $\sin(\phi) = \frac{b}{r}$.

    Lösung

    Möchte man eine komplexe Zahl wie

    $z= 8\cdot e^{i \cdot 45°}$

    von der Exponentialform in die Normalform umrechnen, so berechnet man den Realteil durch

    $a=r\cdot \cos(\phi)= 8 \cdot \cos(45°) = 4\sqrt 2 $

    und den Imaginärteil von z durch

    $b= r\cdot \sin(\phi) = 8 \cdot \sin(45°) = 4\sqrt 2 $.

    Die ermittelten Werte für a und b setzt man anschließend in die allgemeine Normalform mit

    $z=a+ib = 4\sqrt 2 + i \cdot 4\sqrt 2$

    ein.

    Für die Umrechnung von der Normalform in die Exponentialform ermittelt man als erstes r, indem man den Betrag von z berechnet:

    $r= |z| = \sqrt{a^2+b^2} = \sqrt{10^2+6^2} = \sqrt{136} = 2\sqrt{34} $.

    Anschließend erhalten wir den Winkel $\phi$ durch die Umformung der Gleichung

    $\cos(\phi) = \frac{10}{2\sqrt{34}} \qquad \Leftrightarrow \qquad \phi \approx 31°$.

    Die komplexe Zahl in Exponentialform lautet dann:

    $z= 2 \sqrt{34} \cdot e^{i \cdot 31°}$.

  • Berechne die Produkte und Quotienten der komplexen Zahlen.

    Tipps

    Berechne die Aufgaben, indem du die Potenzgesetze anwendest. Vergleiche deine Ergebnisse anschließend mit den gegebenen.

    Bei der Multiplikation von komplexen Zahlen in Exponentialform multipliziert man die Beträge und addiert die Potenzen.

    Bei der Division von komplexen Zahlen in Exponentialform werden die Beträge dividiert und die Exponenten subtrahiert.

    Lösung

    Um das Produkt von zwei komplexen Zahlen in Exponentialform zu berechnen, multipliziert man die Beträge $r_1$ und $r_2$ und addiert die Exponenten $\phi_1$ und $\phi_2$:

    $r_1 e^{i\cdot \phi_1} \cdot r_2 e^{i\cdot \phi_2} = (r_1 \cdot r_2) \cdot e^{i(\phi_1 + \phi_2)}$.

    Angewendet auf ein Beispiel ergibt das:

    $(5\cdot e^{i\cdot 30°})\cdot (4\cdot e^{i\cdot 15°}) = (5\cdot 4)\cdot e^{i\cdot (30°+15°)} = 20\cdot e^{i\cdot 45°}$.

    Um den Quotienten von zwei komplexen Zahlen in Exponentialform zu berechnen, dividiert man die Beträge $r_1$ und $r_2$ und subtrahiert die Exponenten $\phi_1$ und $\phi_2$:

    $r_1 e^{i\cdot \phi_1} : r_2 e^{i\cdot \phi_2} = \frac{r_1}{r_2} \cdot e^{i(\phi_1 - \phi_2)}$

    Angewendet auf ein Beispiel ergibt das:

    $\frac{14\cdot e^{i\cdot 42°}}{7\cdot e^{i\cdot 15°}} = (\frac{14}{7}) \cdot e^{i\cdot (42° - 15°)} = 2\cdot e^{i\cdot 27°} $.

  • Formuliere die Gesetze zur Umrechnung sowie zur Multiplikation und Division von komplexen Zahlen.

    Tipps

    Formuliere die Formel zur Multiplikation und zur Division von komplexen Zahlen in Exponentialform mit Worten.

    Lösung

    Komplexe Zahlen können in verschiedenen Formen dargestellt werden. Wir kennen die Normalform mit $z=a+ib$,

    die Polarform mit $z=r\cdot (\cos(\phi) + i\cdot \sin(\phi))$

    und die Exponentialform mit $z= r\cdot e^{i \cdot \phi}$.

    Möchte man nun eine komplexe Zahl von der Exponentialform in die Normalform umrechnen, so berechnet man den Realteil durch $a=r\cdot \cos(\phi)$ und den Imaginärteil von z durch

    $b= r\cdot \sin(\phi)$.

    Die Werte für r und $\phi$ entnimmt man aus der Exponentialform. Die ermittelten Werte für a und b setzt man anschließend in die allgemeine Normalform mit $z=a+ib$ ein.

    Für die Umrechnung von der Normalform in die Exponentialform ermittelt man als erstes r, indem man den Betrag von z berechnet:

    $r= |z| = \sqrt{a^2+b^2}$.

    Anschließend erhalten wir den Winkel $\phi$ durch die Umformung der Gleichung

    $\cos(\phi) = \frac{a}{r}$

    oder der Gleichung $\sin(\phi) = \frac{b}{r}$.

    Bei der Multiplikation von komplexen Zahlen in Exponentialform wendet man das Potenzgesetz

    $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$ an.

    Somit multiplizieren wir die Beträge und addieren die Winkel:

    $r_1 e^{i\cdot \phi_1} \cdot r_2 e^{i\cdot \phi_2} = (r_1 \cdot r_2) \cdot e^{i(\phi_1 + \phi_2)}$.

    Bei der Division von komplexen Zahlen in Exponentialform wendet man das Potenzgesetz

    $\frac{x^m}{x^n}= x^{m-n}$ an.

    Man dividiert also die Beträge und subtrahiert die Winkel:

    $r_1 e^{i\cdot \phi_1} \div r_2 e^{i\cdot \phi_2} = \frac{r_1}{r_2} \cdot e^{i(\phi_1 - \phi_2)}$.

  • Bestimme die fehlenden komplexen Zahlen in Exponentialform in den Rechnungen.

    Tipps

    Ermittle die Zahlen durch Umkehraufgaben.

    Bei der Multiplikation von komplexen Zahlen in Exponentialform multipliziert man die Beträge $r_1$ und $r_2$ und addiert die Potenzen $\phi_1$ und $\phi_2$.

    Bei der Division von komplexen Zahlen in Exponentialform werden die Beträge $r_1$ und $r_2$ dividiert und die Exponenten $\phi_1$ und $\phi_2$ subtrahiert.

    Lösung

    Wir bilden die Umkehraufgaben und die gesuchten komplexen Zahlen zu finden.

    Wir wissen, dass man das Produkt zweier komplexen Zahlen berechnet durch:

    $r_1 e^{i\cdot \phi_1} \cdot r_2 e^{i\cdot \phi_2} = (r_1 \cdot r_2) \cdot e^{i(\phi_1 + \phi_2)} = r_3 \cdot e^{i \cdot \phi_3}$

    Seit nun $r_1 e^{i\cdot \phi_1}$ nicht gegeben, so erhalten wir $r_1$ und $\phi_1$ durch die Umformung der Gleichungen:

    $r_1 \cdot r_2 = r_3 \qquad \Leftrightarrow \qquad r_1 = \frac{r_3}{r_2} $

    $\phi_1 + \phi_2 = \phi_3 \qquad \Leftrightarrow \qquad \phi_1 = \phi_3 - \phi_2$.

    Wenn $ r_2 e^{i\cdot \phi_2} $ gesucht ist, so erhalten wir $r_2$ und $\phi_2$ durch folgende Umformungen:

    $r_1 \cdot r_2 = r_3 \qquad \Leftrightarrow \qquad r_2 = \frac{r_3}{r_1} $

    $\phi_1 + \phi_2 = \phi_3 \qquad \Leftrightarrow \qquad \phi_2 = \phi_3 - \phi_1$.

    Damit lassen sich alle gesuchten Beträge und Winkel berechnen.

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