30 Tage kostenlos testen:
Mehr Spaß am Lernen.

Überzeugen Sie sich von der Qualität unserer Inhalte.

Komplexe Zahlen – Betrag, Multiplikation und Division 09:00 min

Textversion des Videos

Transkript Komplexe Zahlen – Betrag, Multiplikation und Division

Hallo ich bin Giuliano und ich möchte dir heute erklären, wie man komplexe Zahlen miteinander multipliziert und dividiert. Und zuletzt möchte ich mit dir den Betrag einer komplexen Zahl ausrechnen. Du weißt bereits, dass die komplexen Zahlen eine Zahlenmenge sind, die die reellen Zahlen erweitern. Eine komplexe Zahl ist so aufgebaut: z=a+bi, wobei a und b reelle Zahlen sind und als Real- und Imaginärteil bezeichnet werden. Außerdem kannst du schon die reellen Zahlen in der großen Zahleneben einzeichnen. Du kannst außerdem komplexe Zahlen miteinander addieren und subtrahieren. Jetzt möchte ich dir gerne die Multiplikation anhand eines Beispiels erklären. Wir nehmen dafür z1=4+3i und z2=2+2i. Und diese beiden komplexen Zahlen werde ich jetzt miteinander multiplizieren und es gilt genauso wie bei den reellen Zahlen das Distributivgesetz. Das heißt, ich muss jedes Element der einen Klammer mit jedem Element der anderen Klammer multiplizieren. Das heißt, 4×2 + 4×2i + 3×2 + 3i×2i. Ergibt also 8 + 8i + 6i - 6, wobei i2 = - 2 ist. Ergibt also insgesamt die komplexe Zahl 2 + 14. Das möchte ich jetzt mit dir noch zusammen in einem Gesetz festhalten, dass ich hier auf die rechte Seite schreibe. z1×z2, z1 und z2 sind die beiden, die hier oben stehen. Und zwar ist das (ac - bd) + (ad + bc×i). Bevor ich mit dir die Division durchrechne, werde ich dir noch einen weiteren Begriff erklären. Und zwar den Begriff der “Komplex Konjugierten Zahl”, komplex konjugierte Zahl, die schreibe ich hier drunter. Und zwar wird die als “z quer” bezeichnet und da wird lediglich das Vorzeichen des Imaginärteils umgedreht. Also a - bi. Das möchte ich mit dir zusammen anhand von zwei Beispielen üben. Das erste Beispiel was wir dazu nehmen, ist das z1 von hier oben. Das heißt, z=(4+3i) und dann ist z quer, also die komplex konjugierte Zahl 4 - 3i. Also einfach das Vorzeichen des Imaginärteils umdrehen. Jetzt nehme ich noch ein 2tes Beispiel, zum Beispiel 2 - 2i und dann ist z quer 2 + 2i und gleich erkläre ich dir die Division. Jetzt möchte ich dir die Division erklären. Auch hier nehme ich wieder ein Beispiel und zwar das erste ist 4+3i geteilt durch 1+2i. Und der Trick, den man bei der Division macht, ist dass man den Zähler mit dem Nenner der komplex konjugierten Zahl multipliziert. Das sieht dann so aus: 4+3i geteilt durch 1+2i und nun erweitern wir den Bruch mit der komplex konjugierten Zahl des Nenners, also 1-2i, das haben wir ja gerade schon geübt. Und wir haben ja jetzt multipliziert und das ist ein ganz berühmter Trick in der Mathematik. Und jetzt wenden wir das Gesetz von eben, das Multiplikationsgesetz an und erhalten folgendes. Hier kann ich noch Klammern drum machen, so. Okay, das heißt, wenn wir das miteinander multiplizieren, steht oben einmal 10-5i und unten kommt nun die dritte binomische Formel ins Spiel. Und zwar bei der dritten binomischen Formel fällt eben hier sehr schöner Weise das i raus, weil i2 wie wir es eben schon gesehen hatten -1 ergibt. Und wenn wir hier die dritte binomische Formel anwenden, ist einfach 12 - 1+22 und das ist eben 5. Wir können das auch einfach ausmultiplizieren, da kommt dasselbe heraus. Also jetzt können wir einfach nur kürzen, das heißt 2-i. Das möchte ich dir jetzt anhand eines 2ten Beispiels nochmal üben, um die Division etwas besser zu verstehen. Wir nehmen dafür (-2+3i)/(5-2i). Wir multiplizieren wieder den Nenner und den Zähler der komplex konjugierten Zahl des Nenners, in dem Fall also 5 + 2i auf beiden Seiten. Und nun wenden wir wieder das Multiplikationsgesetz an von eben und erhalten einmal oben -16+11i und unten wieder durch die dritte binomische Formel 29. Wenn wir das wieder auskürzen, steht da einfach -16 durch 29 + 11/29i. Ja also hier haben wir dann wieder den Imaginärteil. Das möchte ich jetzt mit dir zusammen in einem Gesetz hier festhalten mit den komplexen Zahlen z1 und z2. Und zwar gibt es einmal ac + bd geteilt durch c2 + d2, wir erinnern uns an die dritte binomische Formel, plus und hier steht (bc – ad)/(c2 + d2)×i. Und gleich kommen wir zu dem Betrag. Als letztes möchte ich mit dir den Betrag einer komplexen Zahl ausrechnen. Den Betrag einer komplexen Zahl rechnet man wie folgt aus. Und zwar ist das |z| = √z×z[quer]. Das heißt eben die Multiplikation der komplexen Zahlen mit seiner komplex konjugierten komplexen Zahlen. Wenn ich jetzt eine allgemeine komplexe Zahl a + b nehme, heißt das jetzt also √(a + bi)×(a – b). Und jetzt haben wir gerade schon bei der Division gesehen, dass das ganz einfach a2 + b2 ist. Das heißt eben √a2 + b2. Das dürfte euch schon mal irgendwo vorgekommen sein und bekannt sein. Ich möchte jetzt anhand eines Beispiels erklären und dann nochmal eine alternative Herleitung sozusagen dieser Formel erklären. Und zwar nehme ich das Beispiel z=4+3i. Dann ist eben der Betrag gleich laut dieser Formel √16+9, 16 + 9 = 25, die Wurzel daraus eben 5. Ich möchte das jetzt nochmal in der Gaußchen Zahleneben einzeichnen und zwar nehmen wir dafür 4, im Realteil also hier 4, das heißt hier 4, so und 3 im Imaginärteil. Das heißt hier hätten wir z, den Punkt in dieser Gaußchen Zahlenebene und nun verbinde ich z, diesen Punkt mit dem Nullpunkt. Dann ergibt sich folgendes. Dann sieht man hier diese Strecke beziehungsweise da haben wir das auch Zeiger genannt. Und |z| ist nun nichts anderes als wenn ich hier einen rechten Winkel einzeichne, die Hypotenuse des entstandenen rechtwinkligen Dreiecks. Und ihr wisst alle, durch den Satz des Pythagoras gilt dann eben folgendes. Wenn wir diese Strecke jetzt, die ist da 4 lang und diese Strecke hier ist 3 lang, dann gilt eben a2 + b2 = c2, also die Hypotenuse. Das heißt der Betrag entspricht nichts anderem als dem Abstand vom Punkt in der Gauischen Zahlenebene und dem Nullpunkt. Also |z| = 5, das ist also diese Strecke. Jetzt möchte ich noch einmal wiederholen was wir alles heute gelernt haben. Wir haben uns angeguckt wie man zwei komplexe Zahlen miteinander multipliziert, das haben wir hier gesehen. Dann haben wir die komplex konjugierte Zahl einer komplexen Zahl gebildet. Und mit deren Hilfe haben wir das Gesetz zur Division aufgestellt. Und als letztes haben wir uns angeguckt, was der Betrag einer komplexen Zahl ist und wir sehen, das ist eben hier der Abstand zwischen Null und der komplexen Zahl, das heißt dem Punkt in der Gauischen Zahlenebene. Ich hoffe, ihr habt das alles verstanden. Bis zum nächsten Mal, eurer Giuliano.

1 Kommentar
  1. Sehr schön!

    Von Lucy F., vor mehr als 4 Jahren

Komplexe Zahlen – Betrag, Multiplikation und Division Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Komplexe Zahlen – Betrag, Multiplikation und Division kannst du es wiederholen und üben.

  • Vervollständige die Angaben zu komplexen Zahlen.

    Tipps

    Eine komplexe Zahl $z=a+bi$ besteht aus einem Realteil $a \in \mathbb R$, einem Imaginärteil $b \in \mathbb R$ und der imaginären Einheit $i$, mit $i^2=-1$.

    Wähle dir zwei komplexe Zahlen aus und berechne mit diesen Beispielen die Addition, Multiplikation und Division. Welche Formel erhältst du durch deine Umformungen?

    Die komplex konjugierte Zahl von $z=a+bi$ lautet $\bar z = a-bi$.

    Lösung

    Wir haben zuvor gelernt, dass eine komplexe Zahl $z=a+bi$ aus einem Realteil $a \in \mathbb R$, einem Imaginärteil $b \in \mathbb R$ und der imaginären Einheit $i$, mit $i^2=-1$, besteht.

    Will man nun zwei komplexe Zahlen $z_1=a+bi$ und $z_2=c+di$ addieren oder subtrahieren, so addiert man jeweils den Real- und den Imaginärteil miteinander:

    $z_1 \pm z_2=(a\pm c)+(b\pm d)\cdot i$.

    Bei der Multiplikation zweier komplexer Zahlen $z_1=a+bi$ und $z_2=c+di$ wird das Distributivgesetz angewendet: $z_1 \cdot z_2=(a+bi)\cdot (c+di)= ac+bci + adi + bdi^2 = (ac -bd) +(ad+bc)\cdot i$.

    Möchte man zwei komplexe Zahlen $z_1=a+bi$ und $z_2=c+di$ dividieren, so erweitert man den Bruch mit der komplex konjugierten Zahl $\bar z_2=c-di$ des Nenners, um die dritte binomische Formel anwenden zu können:

    $\frac{z_1}{z_2} =\frac{(a+bi)\cdot (c-di)}{(c+di)\cdot (c-di)}= \frac{ac+bd}{c^2+d^2}+\frac{bc+ad}{c^2+d^2}\cdot i$.

    Um den Abstand eines Punktes $z$ zum Nullpunkt zu berechnen, verwendet man den Betrag von $z$:

    $|z|= \sqrt{a^2+b^2}$.

  • Gib den Betrag von $z=4+3i$ an.

    Tipps

    Der Betrag einer komplexen Zahl $z$ wird berechnet durch: $|z|=\sqrt{z\cdot \overline z}$

    Die komplex konjugierte Zahl von $z=a+bi$ ist $\bar z= a-bi$.

    Anhand der Zeichnung kannst du erkennen, dass der gesuchte Betrag von z der Hypotenuse im rechtwinkligen Dreieck entspricht. Welche Formel können wir dann alternativ anwenden?

    Der Satz des Pythagoras lautet: $a^2+b^2=c^2$, wobei c die Hypotenuse im rechtwinkligen Dreieck ist.

    Lösung

    Wir können die Formel für den Betrag von komplexen Zahlen anwenden, welche lautet:

    $|z|=\sqrt{z\cdot \overline z}$.

    Die komplex konjugierte Zahl von $z=4+3i$ ist $\overline z=4-3i$

    Wir setzen dies in die Formel ein und berechnen den Betrag durch die Anwendung der dritten binomischen Formel:

    $|z|=\sqrt{(4+3i) \cdot (4-3i)}=\sqrt{16-(-9)}=\sqrt{16+9}=\sqrt{25}= 5$.

    Der Abstand von $z=4+3i$ zum Nullpunkt beträgt also 5 LE.

  • Berechne das Produkt $z_1 \cdot \overline{z_2}$ und den Quotienten $ \frac{z_1}{z_2}$ der komplexen Zahlen.

    Tipps

    Bei der Division von zwei komplexen Zahlen erweitert man den Bruch mit der komplex konjugierten Zahl des Nenners:

    Die komplex konjugierte Zahl von $z=a+bi$ ist $\overline z =a-bi$.

    Das Rechengesetz für die Multiplikation zweier komplexer Zahlen $z_1=a+bi$ und $z_2=c+di$ lautet allgemein:

    Um $z_2 \cdot \overline z_2$ zu berechnen, kannst du einfach die dritte binomische Formel verwenden, sie lautet:

    Lösung

    Das Rechengesetz für die Multiplikation zweier komplexer Zahlen $z_1=a+bi$ und $z_2=c+di$ lautet allgemein:

    $ z_1 \cdot z_2= (ac -bd)+(ad+bc)\cdot i$.

    Dieses Rechengesetz können wir bei der Multiplikation der komplexen Zahl $z_1=4+3i$ und der komplex konjugierten Zahl $\overline z_2 = 1-2i$ anwenden: $z_1 \cdot \overline{z_2} =(4+3i) \cdot (1-2i) = (4-(-6))+(-8+3)\cdot i=10-5i $

    Bei der Division zweier komplexer Zahlen $z_1=a+bi$ und $z_2=c+di$ multipliziert man den Zähler und den Nenner mit der komplex konjugierten Zahl des Nenners. Anschließend multipliziert man die Klammern aus bzw. verwendet die dritte binomische Formel:

    $\frac{z_1}{z_2}=\frac{z_1 \cdot \overline{z_2}}{z_2\cdot \overline{z_2} }= \frac{(a+bi) \cdot \overline{(c-di)}}{(c+di)\cdot (c-di) }= \frac{(ac -bd)+(bc+ad)\cdot i}{c^2+d^2} = \frac{ac-bd}{c^2+d^2}+\frac{bc+ad}{c^2+d^2} \cdot i$.

    Bezogen auf die Aufgabe erhalten wir folgendes Ergebnis:

    $\frac{4+3i}{1+2i}=\frac{(4+3i)\cdot (1-2i)}{(1+2i)\cdot (1-2i)}= \frac{10-5i}{5} =\frac{10}{5} - \frac{5}{5}i = 2-i $

  • Berechne und zeichne die Summe $z_1 + z_2$, die Differenz $z_1 - z_2$, das Produkt $z_1 \cdot z_2$ und den Quotienten von $z_1/z_2$.

    Tipps

    Berechne als erstes $z_1 + z_2$, $z_1 - z_2$, $z_1 \cdot z_2$ und $\frac{z_1}{z_2}$ mit den dir bekannten Rechengesetzen. Fertige anschließend eine Zeichnung deiner Ergebnisse in der Gauß'schen Ebene an und vergleiche diese mit den gegebenen.

    An der horizontalen Achse der Gauß'schen Ebene liest man den Realteil von $z$ ab.

    Lösung

    Gegeben sind zwei komplexe Zahlen $z_1= 1-i$ und $z_2= -2+i$.

    Mithilfe des Rechengesetzes $z_1 \pm z_2=(a\pm c)+(b\pm d)\cdot i$ berechnen wir die Summe und die Differenz:

    $z_1 + z_2 = (1+(-2))+(-1+1)i = -1$

    $z_1 - z_2 = (1-(-2))+(-1-1)i = 3-2i$

    Für die Multiplikation komplexer Zahlen verwenden wir die Formel $z_1 \cdot z_2=(ac -bd)+(ad+bc)\cdot i$, um das Produkt zu erhalten:

    $z_1 \cdot z_2 = (-2-(-1))+(1+2)i=-1+3i$

    Abschließend berechnen wir den Quotienten mithilfe der Formel $\frac{z_1}{z_2} =\frac{ac+bd}{c^2+d^2}+\frac{bc+ad}{c^2+d^2} \cdot i$:

    $\frac{z_1}{z_2}=\frac{-2-1}{5}+\frac{2+1}{5}i = -\frac{3}{5}+\frac{3}{5} i = -0,6+0,6i$.

    Unsere Ergebnisse können wir in der Gauß'schen Ebene darstellen. An der vertikalen Achse lesen wir den Realteil ab, an der horizontalen Achse den Imaginärteil.

    Die Summe ergab $-1$, somit zeigt der Zeiger in der Gauß'schen Ebene auf (-1|0). Als Differenz haben wir $3-2i$ erhalten, daher zeigt der Zeiger auf (3|-2). Auf dieselbe Weise setzen wir das Einzeichnen fort.

  • Ermittle jeweils das Produkt $z_1 \cdot z_2$ der komplexen Zahlen.

    Tipps

    Wende das Distributivgesetz an.

    Das Rechengesetz für die Multiplikation zweier komplexer Zahlen $z_1=a+bi$ und $z_2=c+di$ lautet allgemein: $z_1 \cdot z_2=(ac -bd)+(ad+bc)\cdot i$.

    Lösung

    Man multipliziert zwei komplexe Zahlen $z_1=a+bi$ und $z_2=c+di$ miteinander, indem man das Distributivgesetz anwendet.

    Betrachten wir die erste Aufgabe:

    $z_1 \cdot z_2 =(2+3i) \cdot (4+i) = 2 \cdot 4 + 2\cdot i + 3i \cdot 4 + 3i \cdot i = 8 - 3 +2i +12i = 5+ 14i$

    Alternativ kann man auch das allgemeine Rechengesetz für die Multiplikation zweier komplexer Zahlen $z_1=a+bi$ und $z_2=c+di$ direkt verwenden:

    $z_1 \cdot z_2=(ac -bd)+(ad+bc)\cdot i$.

    Bezogen auf die erste Aufgabe entspricht $a=2$, $b=3$, $c=4$ und $d=1$. Diese Werte setzen wir nun in die Formel ein und erhalten:

    $z_1 \cdot z_2=(2\cdot 4 - 3 \cdot 1)+(2\cdot 1+3 \cdot 4)\cdot i =5+ 14i$.

  • Bestimme die Fehler bei der Berechnung mit komplexen Zahlen.

    Tipps

    Berechne die Aufgaben selbstständig Schritt für Schritt und vergleiche anschließend mit den gegebenen Werten.

    Nicht in jeder Rechnung sind Fehler enthalten.

    Die allgemeine Formel zur Berechnung des Betrages einer komplexen Zahl $z=a+bi$ lautet:

    Prüfe alle Terme, auch wenn sie keine imaginäre Einheit $i$ enthalten.

    Lösung

    Wir berechnen schrittweise die Aufgaben und vergleichen anschließend die Rechenschritte miteinander, um so den Fehler zu finden:

    1. $|(5+2i)|=\sqrt{5^2 + 2^2}= \sqrt 29 \approx 5,4$
    2. $(2-3i)\cdot(4+i)=(2\cdot 4 - (-3)\cdot 1)+(2\cdot 1 + (-3)\cdot(4))i=11-10i$
    3. $\frac{2+4i}{5+3i}=\frac{(2 + 4i) \cdot (5-3i)}{(5+3i) \cdot (5-3i)}=\frac{2 \cdot 5 +4\cdot 3}{5^2 + 3^2} + \frac{4 \cdot 5 + 2 \cdot (-3)}{5^2 + 3^2}i=\frac{22}{34}+\frac{14}{34}i$
    4. $|12+9i|=\sqrt{12^2+9^2}=\sqrt{225}=15$