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Grenzwert einer Folge – Definition

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Die Autor/-innen
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Giuliano Murgo
Grenzwert einer Folge – Definition
lernst du in der 11. Klasse - 12. Klasse

Beschreibung Grenzwert einer Folge – Definition

Was verbindest du mit den Wort Folgen? Geht es hier um Tatort-Folgen oder How I Met Your Mother-Folgen? Nein. Hier geht es um Zahlenfolgen. Vielleicht hast du schon mal von der Fibonacci-Folge, der arimthemischen oder der geometrischen Folge gehört. Folgen sind ein wichtiger Bestandteil in der Analysis. Folgen sind eigentlich spezielle Funktionen. Zahlenfolgen können gegen einen bestimmten Wert streben, man spricht in diesem Fall von Konvergenz. Diese Folgen haben einen sogenannten Grenzwert, gegen den sie konvergieren. Wir werden den Begriff Grenzwert für Folgen definieren. An Beispielen werde ich dir zeigen, dass es auch nicht konvergente Folgen gibt. Wie die heißen, erfährst du im Video. Viel Spaß beim Lernen.

9 Kommentare

9 Kommentare
  1. ok

    Von Manu567 Ty, vor mehr als 3 Jahren
  2. Bei der 4. Aufgabe ist angegeben, dass c = 4 - (-2)^n/n konvergent ist. Wenn ich dort aber alle möglichen Zahlen eingebe, oder auch die Table Funktion meines Taschenrechners benutze, erkenne ich keinen Grenzwert.

    Danke für das tolle Video und liebe Grüße

    Von Annekochs, vor fast 4 Jahren
  3. Hallo Kimberly,

    das große N markiert die Zahl n, ab der alle Folgenglieder in dem Epsilon-Schlauch liegen. Dieser Schlauch ist hier mit e=0,05 definiert: Der Abstand zwischen dem Grenzwert g=2 und der Folge ist also ab N=20 kleiner als 0,05. Ich hoffe, dies hilft dir weiter. Viele Grüße, Felix

    Von Felix T., vor mehr als 4 Jahren
  4. Hallo.
    Das Video hat mir sehr geholfen, danke!
    Warum jedoch geht beim ersten Beispiel (unter dem Limes) n gegen unendlich und nicht gegen zwei?
    Und wofür steht das grosse N?

    Ich wäre froh um eine schnelle Antwort.

    Lg

    Von Kimberley Bircher, vor mehr als 4 Jahren
  5. Wundrvoll erklärt, endlich habe ich verstanden was es mit epsilon auf sich hat. Danke

    Von Sabine Watzek, vor mehr als 6 Jahren
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Grenzwert einer Folge – Definition Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Grenzwert einer Folge – Definition kannst du es wiederholen und üben.
  • Definiere den Begriff Grenzwert.

    Tipps

    Betrachte die Folge $a_n=\frac{1}{n}$. Setze für $n$ immer größere natürliche Zahlen ein. Was fällt dir auf?

    „konvergieren“ kommt aus dem Lateinischen „convergere“ für „sich einander annähern“.

    Lösung

    Folgen kommt in der Mathematik eine sehr zentrale Bedeutung zu.

    Wenn du dir die Folge $a_n=\frac{1}{n}$ anschaust, kannst du feststellen, dass die Folgeglieder immer näher an 0 liegen werden, je größer du n wählst.

    Ein solches Verhalten wird als Konvergenz bezeichnet.

    Dieses „immer näher an 0 liegen“ kann anschaulich so erklärt werden, dass ein $\epsilon$-Schlauch um 0 gelegt werden kann. Ab einem gewissen Index N liegen dann alle Folgeglieder in diesem Schlauch.

    Definition: Eine Zahl $g\in \mathbb{R}$ heißt Grenzwert einer Folge $a_n$, falls es für alle $\epsilon>0$ einen Index $N\in \mathbb{N}$ gibt, sodass für alle Folgenglieder $a_n$ mit $n≥N$ gilt: $|a_n-g|<\epsilon$.

    Falls ein solcher, endlicher Grenzwert existiert, heißt die Folge konvergent, man spricht von Konvergenz. Andernfalls heißt die Folge divergent.

    Im Falle der Konvergenz schreibt man:

    $\lim\limits_{n \to \infty} a_n=g$.

  • Gib an, ab welchem minimalen Index die Folgenglieder in dem $\epsilon$-Schlauch liegen.

    Tipps

    Zeichne dir die ersten Folgenglieder in ein Koordinatensystem. Du erkennst, dass diese sich an den Grenzwert 2 annähern.

    Der $\epsilon$-Schlauch steht anschaulich dafür, wie nah die Folgenglieder an dem Grenzwert liegen.

    Der Abstand wird durch den Term „$|a_n-g|$“ beschrieben.

    Setze für die Folge $a_n$ und den Grenzwert g konkrete Werte in die Ungleichung $|a_n-g|<\epsilon$ ein und löse nach n auf.

    Lösung

    Die Folge $a_n=\frac{2n-1}{n}$ hat die ersten Folgeglieder $a_1=1$, $a_2=\frac{3}{2}$, $a_3=\frac{5}{3}$, $a_4=\frac{7}{4}$, ...

    Diese Folgenglieder scheinen sich dem Grenzwert 2 anzunähern.

    Nun können wir überprüfen, ob für $\epsilon=0,05$ ein Index existiert, ab welchem alle Folgenglieder in dem $\epsilon$-Schlauch liegen:

    $|a_n-g|=\left |\frac{2n-1}{n}-2\right |=\left |-\frac{1}{n}\right |=\frac{1}{n}$.

    Also muss gelten

    $\frac{1}{N}<0,05 ~\Leftrightarrow~N>20$.

    Also ab dem Index $n>20$ liegen alle Folgenglieder $a_n$ in dem $\epsilon$-Schlauch für $\epsilon=0,05$.

  • Ermittle die Grenzwerte g der Folgen $a_n$.

    Tipps

    Berechne zu jeder der vier Folgen einige Folgenglieder, bis du einen Grenzwert erkennen kannst.

    Jede der vier Folgen konvergiert, das heißt, sie hat einen Grenzwert. Gegebenenfalls kannst du es auch mit größeren Zahlen als Index versuchen.

    Lösung

    Du kannst zu jeder der Folgen einige Folgenglieder berechnen:

    • $a_n=2$ ist eine konstante Folge: Unabhängig davon, was du für $n$ einsetzt, kommt immer 2 heraus. Dann ist auch der Grenzwert $g=2$.
    • $a_n=\frac{2}{n+1}$: $a_1=\frac{2}{1+1}=1$, $a_2=\frac{2}{2+1}=\frac{2}{3}$, $a_3=\frac{2}{3+1}=\frac{1}{2}$, $a_1=\frac{2}{4+1}=\frac{2}{5}$ ... Du kannst erkennen, dass der Zähler immer 2 ist und der Nenner immer größer wird. Also ist $g=0$.
    • $a_n=\frac{3n}{n+1}$: $a_1=\frac{3}{1+1}=\frac{3}{2}$, $a_2=\frac{3\cdot2}{2+1}=2$, $a_3=\frac{3\cdot3}{3+1}=\frac{9}{4}$, ..., $a_{10}=\frac{3\cdot10}{10+1}≈2,73$, ..., $a_{100}=\frac{3\cdot100}{100+1}≈2,97$. Der Grenzwert ist 3.
    • $a_n=\frac{n-1}{n+2}$: $a_1=\frac{1-1}{1+2}=0$, $a_2=\frac{2-1}{2+2}=\frac{1}{4}$, ..., $a_{10}=\frac{10-1}{10+2}=0,75$, ..., $a_{100}=\frac{100-1}{100+2}≈0,97$. Der Grenzwert ist 1.
    Du kannst durch Einsetzen von verschiedenen $n$ eine Vermutung über den Grenzwert aufstellen. Dass dieser tatsächlich der Grenzwert ist, weist du über die Definition nach.

    Zur Berechnung von Grenzwerten gibt es auch Rechenregeln.

  • Entscheide, ob die Folgen konvergent oder divergent sind.

    Tipps

    Berechne einige Folgenglieder und prüfe, ob eine Annäherung an einen Grenzwert erkennbar ist. Gegebenenfalls setze für n auch sehr große Zahlen ein.

    Divergenz bedeutet, dass kein Grenzwert existiert. Die Folge ist nicht konvergent im Sinne der Definition.

    Die Folge könnte auch gegen $±\infty$ gehen. Hier spricht man von einem uneigentlichen Grenzwert.

    Lösung

    Definition: Eine Zahl $g\in \mathbb{R}$ heißt Grenzwert einer Folge $a_n$, falls es für alle $\epsilon>0$ einen Index $N\in \mathbb{N}$ gibt, sodass für alle Folgenglieder $a_n$ mit $n≥N$ gilt: $|a_n-g|<\epsilon$.

    Falls ein solcher, endlicher Grenzwert existiert, heißt die Folge konvergent, man spricht von Konvergenz. Andernfalls heißt die Folge divergent.

    1. $\lim\limits_{n \to \infty}a_n=0$.
    2. $\lim\limits_{n \to \infty}c_n=4$.
    3. $\lim\limits_{n \to \infty}e_n=5$. Dies ist eine konstante Folge.
    4. Bei der Folge $b_n$ wechseln die Folgenglieder immer von 1 zu -1, je nachdem, ob der Index gerade oder ungerade ist. Eine solche Folge nennt man alternierend. Sie ist divergent.
    5. Bei den beiden übrigen Folgen werden die Folgenglieder immer größer. Sie sind also divergent.
  • Berechne die ersten vier Folgenglieder der Folge $b_n$.

    Tipps

    Beim Berechnen der Folgenglieder musst du den Index n in der Folgenvorschrift einsetzen.

    Zum Beispiel ist bei $a_n=\frac{1}{n}$ das siebte Folgeglied durch $a_7=\frac{1}{7}$ gegeben.

    Lösung

    Beim Berechnen der Folgenglieder musst du den Index n in der Folgenvorschrift einsetzen.

    Die Folge $b_n=1+n$ hat die ersten vier Folgenglieder $a_1=1+1=2$, $a_2=1+2=3$, $a_3=1+3=4$ und $a_4=1+4=5$. Die Folgenglieder werden immer größer und die Folge hat den uneigentlichen Grenzwert $\infty$.

  • Weise nach, dass die Folge $a_n$ konvergent ist.

    Tipps

    Sei $a_n$ die Folge. Dann ist g der Grenzwert der Folge, wenn für alle $\epsilon>0$ gilt, dass ein Index $N \in \mathbb{N}$ existiert, sodass für alle $n≥N$ die Ungleichung $|a_n-g|<\epsilon$ gilt.

    Überprüfe, dass der Abstand zwischen $a_n$ und g gerade $\frac{4}{3+n^2}$ beträgt.

    Löse die Ungleichung $|a_n-g|<\epsilon$ nach n auf.

    Lösung

    Du kannst einige Folgenglieder ausrechnen: $a_1=0$, $a_2=\frac{3}{8}$, ..., $a_{10}≈0,96$, $a_{100}≈1$.

    Die Folgenglieder nähern sich der 1 an.

    Um nachzuweisen, dass 1 auch der Grenzwert der Folge $a_n$, muss für alle $\epsilon>0$ gelten, dass ein Index $N \in \mathbb{N}$ existiert, sodass für alle $n≥N$ die Ungleichung $|a_n-g|<\epsilon$ gilt.

    Wir berechnen: $|a_n-g|=\left | \frac{n^2-1}{3+n^2} - 1 \right | = \left | \frac{n^2-1-(3+n^2)}{3+n^2} \right | = \left | \frac{-4}{3+n^2} \right | = \frac {4}{3+n^2}$.

    Für $N \in \mathbb{N}$ muss gelten

    $\begin{align*} \frac{4}{3+N^2}&<\epsilon &|& :\epsilon~~\cdot (3+N^2) \\ \frac{4}{\epsilon}&<3+N^2 &|& -3\\ \frac{4}{\epsilon}-3&<N^2 &|& \sqrt{}\\ \sqrt{\frac{4}{\epsilon}-3}&<N \end{align*}$.

    Für $\epsilon=0,01$ ergibt sich somit $N>\sqrt{\frac{4}{0,01}-3}≈19,92$; also muss $N=20$ sein.

    Ebenso ergibt sich für $\epsilon=0,001$ $N>\sqrt{\frac{4}{0,001}-3}≈63,22$; also muss $N=64$ sein.

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