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Grenzwerte von Folgen 07:05 min

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Transkript Grenzwerte von Folgen

Hallo. Heute betrachten wir die Grenzwerte von Folgen. Angenommen, du musst für die nächsten Klausuren lernen. Und teilst dir deinen Schokoladenvorrat so ein, dass du an jedem Tag nur die Hälfte deines Vorrates isst. Okay. Du weißt, worauf das hinausläuft. Die Restmengen, also die Schokoladenvorräte, die dann jeweils am Abend noch übrig sind ergeben eine Folge mit der Berechnungsvorschrift rn = ½n . N ist dabei Element der natürlichen Zahlen. Wie schön wäre es doch, würde sich der Schokolandevorrat verdoppeln. Auch dieser Wunsch ergibt eine Folge. sn = 2n. N ist dabei wieder Element der natürlichen Zahlen. Was ist der Unterschied zwischen beiden Folgen? Die realen Vorräte streben gegen Null während die Wunschvorräte unbegrenzt anwachsen. Wir betrachten zunächst das Verhalten von Zahlenfolgen und klären das Begriffspaar konvergent und divergent. Im Anschluss definieren wir was man genau unter einem Grenzwert versteht. Welches Verhalten können Folgen zeigen? Dazu ein paar Beispiele. Die Folge an = 1 + n2 hat die Glieder a1 = 2, a2 = 5, a3 = 10, a4 = 17 und so weiter. Wir tragen die ersten zehn Folgenglieder in ein Schaubild ein. Wobei n nach rechts und nach oben abgetragen wird. Und sehen sofort, die Folgenglieder steigen ständig an und streben nicht gegen eine bestimmte Zahl. Dasselbe ist bei der alternierenden Folge bn = -1n * (n + 2) der Fall. Sie besitzt die Folgenglieder b1 = -3, b2 = 4, b3 = -5, b4 = 6 und so weiter. Eine Folge nennt man übrigens genau dann alternierend, wenn die Folgenglieder abwechselnd negativ und positiv sind. Die alternierende Folge cn = -1n * 1/n mit den Folgegliedern c1 = -1, c2 = 1/2, c3 = -1/3, c4 = 1/4 und so weiter, strebt gegen null. Das hängt damit zusammen, dass der Bruch 1/n bei wachsendem n immer kleiner wird. Auch die Folge dn = (2n - 1)/n mit den Gliedern d1 = 1, d2 = 3/2, d3 = 5/3, d4 = 7/4 und so weiter, strebt gegen eine bestimmte Zahl. Nämlich zwei. Das sehen wir, wenn wir die Bildungsvorschrift umschreiben. Dn = (2n - 1)/n = 2n/n - 1/n = 2 - 1/n. Auch hier ziehen wir von zwei etwas ab was immer kleiner wird, je größer n wird. An diesen beispielhaften Folgen können wir die Begriffe Divergenz, Konvergenz und Grenzwert klären. Die Folgen an und bn wachsen ständig an und streben nicht gegen einen bestimmten Wert. Sie sind divergent. Die Folgen cn und dn hingegen streben gegen einen bestimmten Wert dem sie immer näher kommen. Sie sind konvergent und konvergieren gegen ihren Grenzwert. Dem Grenzwert immer näher kommen, das können wir mathematisch formulieren. Wenn wir um den Grenzwert ein kleines Intervall legen, dessen obere und untere Grenze die Entfernung ε vom Grenzwert haben, dann liegen ab einem bestimmten Folgenglied alle weiteren Glieder in dieser ε Umgebung. Egal, wie klein wir ε wählen. Das ist eine wichtige Definition deshalb formulieren wir sie noch einmal präzise: Die Zahl G heißt Grenzwert der Folge an, wenn es zu jedem noch so kleinen ε größer als null einen Index groß N gibt. So dass alle Folgenglieder mit Index n größer N innerhalb der ε Umgebung um G liegen. Das bedeutet, die Differenz von an und G im Betrag ist kleiner als ε für alle n größer als groß N. Eine Zahlenfolge, die einen Grenzwert besitzt, nennen wir konvergent. Und benutzen die Schreibweise strebt gegen G oder auch der Limes der Folge für n gegen unendlich ist G. Eine Zahlenfolge, die keinen Grenzwert besitzt, nennen wir divergent. Wir fassen zusammen: Du hast heute unter anderem gelernt, dass konvergente Folgen im Gegensatz zu divergenten Folgen einen Grenzwert besitzen. Außerdem weißt du nun, dass im Falle der Existenz eines Grenzwertes die Differenz von an und G im Betrag kleiner ist als ε für alle n größer als groß N. Tschüss und bis zum nächsten Mal.

6 Kommentare
  1. Ja, sehr hilfreich, danke! Ich wünsche es gäbe sofatutor auf andere Sprachen auch, nicht nur auf deutsch. Spanisch wäre toll, zum Beispiel (:

    Von Cardenas 100, vor etwa 5 Jahren
  2. @Cardenas 100:
    Ich glaube, dass du das mit deinen eigenen Worten sehr gut beschrieben hast. Ich versuche das hier nochmal etwas formaler und mathematischer auszudrücken.
    Ab dem Index N und dem entsprechenden Folgenglied aN, befinden sich alle nachfolgenden Folgenglieder an mit n>N in dem Epsilon-Schlauch (Damit ist der farbig markierte Bereich zwischen den Folgengliedern und dem Epsilon gemeint).
    Wenn man Epsilon vorgibt, so kann man dieses N sogar berechnen. Beispielweise: Alle Folgenglieder (an) mit n>N befinden sich bei vorgegebenem Epsilon=0,05 ab dem 32. Folgeglied (N>31) in der Epsilonumgebung. Dazu kannst du dir die Beispielvieos für den Grenzwert einer Folge ansehen.
    Ich hoffe, dass ich helfen konnte.

    Von Giuliano Murgo, vor etwa 5 Jahren
  3. Ah, ich glaube dass dieses großes N für den entsprechenden Treffen zwischen die Grösse Epsilon und die Folge a(n) ist. Wenn Epsilon riesig gross ist, dann muss n grösser als das Treffen N sein, weil die Folge immer sich rechts davon befindet, immer sich an den Grenzwert annähert. Ja, N ist dieses Treffen.

    Von Cardenas 100, vor etwa 5 Jahren
  4. Ich frage mich auch was gross N ist, ansonten ist alles toll erklärt

    Von Cardenas 100, vor etwa 5 Jahren
  5. was genau ist N (groß n)

    Von Denizbecker, vor etwa 6 Jahren
  1. Allererste Sahne! Jedes einzelne Video aus dem Studio des Mathe Teams ist ein Geschenk für jeden, der mit Mathe zu tun hat. Und jedes einzelne vertreibt ein Stück mehr die Angst vor diesem Fach!!

    Von Green Spirit, vor mehr als 6 Jahren
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Grenzwerte von Folgen Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Grenzwerte von Folgen kannst du es wiederholen und üben.

  • Nenne die gesuchten Eigenschaften von Folgen.

    Tipps

    Die abgebildete Folge hat abwechselnd positive und negative Folgenglieder. Wie nennt man diese Eigenschaft?

    Das Wort convergere kommt aus dem lateinischen und bedeutet „zusammenlaufen“.

    Lösung

    Man nennt eine Folge alternierend, wenn die Folgenglieder abwechselnd positiv und negativ sind. Ein Beispiel einer alternierenden Folge ist die Folge $b_n = (-1)^n \cdot (n+2)$.

    Divergente Folgen wachsen beispielsweise ständig an. Sie streben nicht gegen einen bestimmten Wert. Ein Beispiel für eine divergente Folge ist $s_n = 2^n$. Divergente Folgen können auch alternierend sein. Die Folge $b_n = (-1)^n \cdot (n+2)$ ist alternierend und divergent.

    Konvergente Folgen streben gegen einen bestimmten Wert, dem sie sich annähern. Diesen Wert nennt man Grenzwert. Ein Beispiel für eine konvergente Folge ist $r_n = \frac{1}{2^n}$. Ihr Grenzwert ist Null. Konvergente Folgen können auch alternierend sein. Die Folge $c_n = (-1)^n \cdot \frac{1}{n}$ ist alternierend und konvergent. Ihr Grenzwert ist ebenfalls Null.

  • Stelle die Folgen im Koordinatensystem dar.

    Tipps

    Erstelle jeweils eine Wertetabelle und vergleiche deine Werte mit den abgebildeten.

    Folgen, die den Term $(-1)^n$ enthalten, sind alternierende Folgen, da die Folgenglieder abwechselnd positiv und negativ werden.

    Da wir die Folgenglieder für $n \in \mathbb{N}$ darstellen wollen, kannst du die Punkte nicht verbinden.

    Lösung

    Um Folgen anschaulich darzustellen, berechnen wir jeweils die Folgenglieder für $n \in \mathbb{N}$ und vergleichen unsere Werte anschließend mit den gegebenen Darstellungen.

    Die Folge $a_n=1+n^2$ hat die Folgenglieder $a_1=2, a_2 =5, a_3 = 10$ und $a_4=17$. In einer Wertetabelle kannst du übersichtlich für jedes gewählte n deine Folgenglieder notieren und anschließend mit den gegebenen Darstellungen vergleichen. Da die Folge $a_n$ niedrig beginnt und mit größer werdendem n ständig anwächst, also divergent ist, stellt das erste Diagramm die Folge dar.

    Auf dieselbe Weise gehen wir bei den restlichen Folgen vor.

  • Ermittle, welche Folge jeweils beschrieben wird.

    Tipps

    Folgen, die abwechselnd positive und negative Folgenglieder enthalten, nennt man alternierend. Was versteht man unter konvergenten bzw. divergenten Folgen?

    Berechne einige Folgenglieder der gegebenen Folgen und ordne mit Hilfe deiner Schlussfolgerungen die jeweilige Folge einem Text zu.

    Lösung

    Wir betrachten die einzelnen Folgen und ordnen ihnen die passenden Eigenschaften zu.

    • Wir berechnen als Erstes beliebige Folgenglieder der Folge $a_n= \frac{4n+2}{(-1)^n}$: $a_1=-6$, $a_2=10$, $a_{1000}=4002$, $a_{1001}=-4006$.
    Die Folge strebt nicht gegen eine bestimmte Zahl und da sie den Term $(-1)^n$ enthält, ist die Folge $a_n$ auch alternierend.
    • Die Folgenglieder $b_1= 5$, $b_2= 8$,$b_{1~000~000}= 3~000~002$ von $b_n= 3n+2$ streben ebenfalls nicht gegen eine bestimmte Zahl, daher ist auch $b_n$ divergent, jedoch nicht alternierend.
    • Der erste Summand der Folge $c_n= \frac{1}{n} + 5$ strebt gegen Null, der zweite Summand bleibt stets die Konstante 5, daher konvergiert diese Folge gegen 5 und ist nicht alternierend.
    • Auch die Folge $d_n=(-1)^n \cdot \frac{5}{n^2}$ enthält den Term $(-1)^n$ und ist somit alternierend. Der zweite Faktor strebt gegen $0$, also ist der Grenzwert dieser Folge $0$. Man nennt Folgen, die gegen Null konvergieren auch Nullfolgen.
  • Unterscheide zwischen konvergenten und divergenten Folgen. 

    Tipps

    Was versteht man unter einer konvergenten bzw. einer divergenten Folge?

    Berechne jeweils Folgenglieder und überprüfe, ob sie sich einem bestimmten Wert annähern.

    Lösung

    Wir berechnen einige Folgenglieder der gegebenen Folgen, um herauszufinden, ob die Folgen einen Grenzwert haben, also konvergent sind, oder keinen Grenzwert besitzen, und somit divergent sind.

    Die Folge $r_n = \frac{1}{2^n}$ hat die Folgenglieder $r_0=1, r_1=\frac{1}{2}, r_2=\frac{1}{4}$ und $r_3=\frac{1}{8}$. Die Folgenglieder werden immer kleiner und streben gegen Null, also ist die Folge $r_n$ konvergent.

    Auch die Folge $c_n = (-1)^n \cdot \frac{1}{n}$ strebt gegen Null und ist somit konvergent.

    Betrachten wir die Folgenglieder der Folge $d_n = \frac{2n-1}{n}$ mit $d_1=1, d_2=\frac{3}{2}, d_3=\frac{5}{3}$ und $d_4=\frac{7}{4}$, so stellen wir fest, dass die Folge gegen 2 strebt und daher auch konvergent ist.

    Im Gegensatz dazu streben die Folgenglieder der Folgen $s_n = 2^n$, $a_n = 1+n^2$ und $b_n = (-1)^n \cdot (n+2)$ nicht gegen eine bestimmte Zahl. Sie sind folglich divergent.

  • Bestimme den Grenzwert der Folgen.

    Tipps

    Berechne die Folgenglieder der jeweiligen Folgen, setze dabei für n auch hohe Zahlen wie $n=100$ ein.

    Du kannst die Folgen auch vereinfachen, wie z.B. durch das Kürzen eines Faktors im Zähler und Nenner eines Bruchs.

    Du kannst einen Buch mit einer Summe im Zähler zerlegen.

    Lösung

    Du kannst den Grenzwert auf verschiedene Weisen bestimmen. Du kannst beispielsweise direkt Folgenglieder berechnen und so auf den Grenzwert schließen oder du kannst vorher erst einmal den Term vereinfachen und anschließend den Grenzwert bestimmen.

    Betrachten wir die Folge $a_n = \frac{3n+2}{3n}$, so stellen wir fest, dass man den Term $3n$ kürzen kann, wenn man die Summe auseinander zieht:

    $a_n = \frac{3n+2}{3n}= \frac{3n}{3n} + \frac{2}{3n} = 1 + \frac{2}{3n} $.

    Nun setzen wir beliebige $n \in \mathbb N$ ein und erhalten z.B. für $n=100$ das Folgenglied.

    $a_{100} = 1 + \frac{2}{300} \approx 1,0067$

    und für $n=2000$ das Folgenglied

    $a_{2000} = 1 + \frac{2}{6000} \approx 1,0003$. Der Grenzwert der Folge liegt somit bei $1$.

    Für $a_n = 5 - \frac{1}{n^2}$ sind die Folgenglieder $a_1=4$, $a_{100}=4,9999$ und $a_{5000}=4,99999996$. Die Folge nähert sich also dem Grenzwert $5$.

    Auf dieselbe Weise kann man auch den Grenzwert der anderen Folgen bestimmen.

  • Entscheide, welche Folgen divergent sind.

    Tipps

    Folgen, die nicht gegen eine bestimmte Zahl streben und somit keinen Grenzwert besitzen, nennt man "divergent".

    Setze für n jeweils beliebig hohe natürliche Zahlen ein und berechne die Folgenglieder. Streben sie gegen eine bestimmte Zahl?

    Eine Folge, deren Zähler eine Konstante ist und deren Nenner für immer größer werdende n beliebig groß wird, strebt stets gegen Null und ist somit konvergent.

    Lösung

    Wir berechnen die Folgenglieder der Folge $a_n=\frac{1}{n^3}$ für $n=1$, $n=100$ und $n=10000$:

    $a_1=1$,

    $a_{100}=\frac{1}{100^3} = 0,000001$,

    $a_{10~000}=\frac{1}{10~000^3} = 0,000000000001$.

    Wir stellen fest, dass eine Folge, deren Zähler konstant ist und deren Nenner immer größer wird, stets gegen Null konvergiert.

    Auch die Folge $d_n=3-\frac{1}{n}$ enthält einen solchen Bruch, der gegen Null konvergiert, daher ist der Grenzwert dieser Folge $3-0=3$.

    Die Folge $e_n=\frac{n^2+3\cdot n}{n^3}$ können wir umformen, sodass $e_n= \frac{1}{n} + \frac{3}{n^2}$ ebenfalls zwei Terme enthält, welche gegen Null konvergieren, somit konvergiert die gesamte Folge $e_n$ gegen $0$.

    Im Gegensatz dazu streben die Folgen $b_n=\frac{n}{3}$ und $c_n=3^n$ nicht gegen eine bestimmte Zahl. Durch das Berechnen beliebiger Folgenglieder kann man dies leicht feststellen:

    $b_{3~000~000}=\frac{3~000~000}{3} = 1~000~000$,

    $b_{3~000~000~000}=\frac{3~000~000~000}{3} = 1~000~000~000$,

    $c_{10}= 3^{10} = 59049$,

    $c_{100}= 3^{100} = 5,153775207 \cdot 10^{47}$.