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Die rationalen Zahlen

Die rationalen Zahlen stellen einen Zahlenbereich in der Mathematik dar. Es gibt verschiedene Zahlenbereiche, von denen du sicherlich schon ein paar kennst.

Ganz früh lernst du in der Schule die natürlichen Zahlen $(\mathbb{N})$ kennen. Natürliche Zahlen hängen mit Zählbarkeit zusammen: Du kannst zum Beispiel zählen, wie viele Tage es noch sind bis zu deinem Geburtstag oder wie viele Freunde du einladen möchtest. Die Menge der natürlichen Zahlen kannst du so schreiben:

$\quad~~ \mathbb{N}=\{0;1;2;3;4;...\}$

Ein Streitpunkt der Didaktik ist jedoch, ob die Null zu den natürlichen Zahlen gehört. Genauer müsste man also schreiben:

$\quad~~ \mathbb{N}\cup 0=\{0;1;2;3;4;...\}$

Verwende bitte die Definition die dir dein Mathelehrer beibringt!

Die natürlichen Zahlen genügen noch nicht zum Rechnen. Zum Beispiel kannst du $4-7$ im Bereich der natürlichen Zahlen nicht rechnen. Deshalb lernst du die ganzen Zahlen $(\mathbb{Z})$ kennen, die sich aus den natürlichen Zahlen, den negativen Zahlen und der Null zusammensetzen:

$\quad ~~ \mathbb{Z}=\{...;-4;-3;-2;-1;0;1;2;3;4;...\}$

Wenn du $15$ Euro auf $10$ Personen aufteilst, wie viel Euro bekommt jeder? Das kannst du im Bereich der ganzen Zahlen nicht rechnen. Nun lernst du die positiven rationalen Zahlen $(\mathbb{Q}^+)$ kennen. Bei dem Beispiel bekommt jeder $1,50$ Euro.

$\quad ~~ \mathbb{Q}^+=\left\{\frac ab;~a;~b\in \mathbb{N};~b\neq 0\right\}$

Bei den rationalen Zahlen $(\mathbb{Q})$ schließlich kommen auch noch negative rationale Zahlen hinzu, die du am Minuszeichen erkennst. Die rationalen Zahlen sind die Bruchzahlen. Sie können auch als Dezimalzahlen dargestellt werden. Dabei kann die Dezimalzahl entweder endlich viele Nachkommastellen haben oder eine periodische Dezimalzahl sein.

$\quad ~~\mathbb{Q}=\left\{\frac ab;~a\in\mathbb{Z};~b\in \mathbb{N};~b\neq 0\right\}$

Gibt es denn auch Zahlen die nicht rational sind? Ja! Diese Zahlen werden als irrationale Zahlen bezeichnet.

Beweis – Wurzel 2 ist irrational

Der Beweis der Irrationalität von $\mathbf{\sqrt 2}$ kann durch einen Widerspruch geführt werden. Du nimmst an, dass $\sqrt 2$ eine rationale Zahl ist. Was würde dies bedeuten?

$\sqrt 2=\frac ab$

Da $\sqrt 2$ positiv ist, gilt $a\in \mathbb{N}$ und $b\in\mathbb{N}\setminus{0}$. Sicherlich sind nicht sowohl $a$ als auch $b$ gerade Zahlen. Warum? Wenn sowohl der Zähler als auch der Nenner gerade Zahlen sind, kannst du so lange durch $2$ kürzen, bis entweder der Zähler oder der Nenner oder beide ungerade sind. Sei nun der Zähler gerade und der Nenner ungerade, dann gilt

  • $a=2n$ und
  • $b=2m+1$,

wobei sowohl $n$ als auch $m$ natürliche Zahlen sind. Du merkst, in diesem Beweis werden die bereits bekannten Zahlensysteme genutzt. Jetzt lässt sich $\sqrt 2$ wie folgt schreiben

$\sqrt 2=\frac{2n}{2m+1}$

Nun kannst du beide Seiten der Gleichung quadrieren und du erhältst

$2=\frac{(2n)^2}{(2m+1)^2}=\frac{4n^2}{4m^2+4m+1}$

Du hast sicher erkannt, dass hier die 1. binomische Formel verwendet wird. Der Beweis ist fast fertig. Du multiplizierst nun auf beiden Seiten mit $4m2+4m+1$ und dividierst dann durch $2$:

$\begin{array}{rclll} 2(4m^2+4m+1)&=&4n^2&|&:2\\ 4m^2+4m+1&=&2n^2 \end{array}$

Nun schau dir die linke und die rechte Seite an:

  • $4m^2+4m+1$ ist als Summe zweier gerader Zahlen und $1$ sicherlich eine ungerade Zahl.
  • $2n^2$ ist wegen des Faktors $2$ eine gerade Zahl.

Das bedeutet, dass es eine Zahl geben muss, die sowohl ungerade als auch gerade ist. Dies ist ein Widerspruch. Damit kannst du folgern, dass die Annahme $\sqrt 2$ sei rational, nicht richtig sein kann.

$\mathbf{\sqrt 2}$ ist somit nicht rational.

Übrigens: Dieser Beweis läuft vollkommen analog, wenn der Zähler ungerade ist und der Nenner gerade oder beide ungerade sind.

Die irrationalen Zahlen

Wenn die rationalen Zahlen alle Dezimalzahlen sind, die entweder endlich viele Nachkommastellen haben oder periodisch sind, dann sind die irrationalen Zahlen die Dezimalzahlen, die weder endlich viele Nachkommastellen haben, noch periodische Dezimalzahlen sind.

Anders ausgedrückt bedeutet dies, dass irrationale Zahlen sich nicht als Brüche schreiben lassen. Dies wird ja in dem Beweis der Irrationalität von $\sqrt 2$ verwendet.

Es wirklich viele irrationale Zahlen:

  • Es gibt unendlich viele natürliche Zahlen. Du kannst sie aber zählen. Deswegen sagt man, dass es abzählbar unendlich viele natürliche Zahlen gibt.
  • Es gibt auch abzählbar unendlich viele rationale Zahlen.
  • Es gibt allerdings überabzählbar unendlich viele irrationale Zahlen.

Weitere Beispiele für irrationale Zahlen

  • Die Kreiszahl $\mathbb{\pi}$ ist eine irrationale Zahl. Sie kann zum Beispiel mit dem Näherungsverfahren nach Archimedes auf viele Stellen hinter dem Komma berechnet werden. Mittlerweile ist $\pi$ bereits auf mehr als 1 Billionen Stellen hinter dem Komma berechnet:

$\quad~~ \pi=3,141592653589793238462... $

  • Wurzeln aus natürlichen Zahlen, die keine Quadratzahlen sind, sind irrationale Zahlen:

$\quad~~\sqrt 6=2,44948974...$

$\quad~~e=2,718281828459045235360287471...$

Die reellen Zahlen

Du kennst ja bereits die rationalen Zahlen $(\mathbb{Q})$. Wenn du diese Menge ergänzt um die irrationalen Zahlen, erhältst du die Menge der reellen Zahlen $(\mathbb{R})$.

Diese Menge kannst du nicht mehr so konstruktiv beschreiben, wie zum Beispiel die rationalen Zahlen.

$\mathbb{R}=\mathbb{Q} \cup \{x~|~ x \text{ ist eine irrationale Zahl} \} $

Es gilt für das Zahlensystem

$\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}$

Dies siehst du hier anschaulich.

960_Zahlenmengen.png

Die komplexen Zahlen

Doch auch die reellen Zahlen, sind nicht alle vorstellbaren Zahlen. Es gibt noch Zahlen mit einem imaginären Anteil. Mit diesen Zahlen kann man auch Gleichungen lösen, wie:

$x2+1=0$

Hier gibt es keine reelle Zahl als Lösung, da $x^2$ immer positiv sein muss. Da man in der Physik auch solche Gleichungen lösen können muss, wurde eine neue Zahl $i$ eingeführt mit der Eigenschaft $i^2=-1$. Im Zahlenbereich der komplexen Zahlen $(\mathbb{C})$ werden die reellen Zahlen $(\mathbb{R})$ mit den imaginären Zahlen $(i)$ zusammengefasst.

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