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Gleichungsumformungen mit den Grundrechenarten

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Team Digital

Gleichungsumformungen mit den Grundrechenarten

lernst du in der 5. Klasse - 6. Klasse - 7. Klasse - 8. Klasse

Beschreibung Gleichungsumformungen mit den Grundrechenarten

Nach dem Schauen dieses Videos wirst du in der Lage sein, Gleichungen mit Hilfe der Grundrechenarten umzuformen.

Zunächst lernst du, welche Umformungen bei Gleichungen erlaubt sind. Anschließend, wie du vorgehen musst, um eine Gleichung zu lösen. Abschließend wird der Fall behandelt, dass die Unbekannte mehrfach in der Gleichung auftaucht.

Lerne, was du beachten musst, um Gleichungen mit Hilfe der Grundrechenarten zu lösen.

Das Video beinhaltet Schlüsselbegriffe, Bezeichnungen und Fachbegriffe wie Gleichung, Unbekannte, Grundrechenarten, Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division.

Bevor du dieses Video schaust, solltest du bereits wissen, was die Grundrechenarten sind und wie man mit ihnen rechnet. Außerdem solltest du wissen, was Variablen sind und wie man sie verwendet.

Nach diesem Video wirst du darauf vorbereitet sein, kompliziertere Gleichungen wie quadratische Gleichungen umzuformen.

Transkript Gleichungsumformungen mit den Grundrechenarten

Gleichungen, Umformungen - so viele Regeln - da kann man schnell den Überblick verlieren. Zum Glück bist du jetzt auf DAS ultimative Video zu „Gleichungsumformungen mit den Grundrechenarten gestoßen."

Oft hat man eine Größe gegeben, deren Wert unbekannt ist. Aber man hat eine Gleichung vorliegen, die die unbekannte Größe enthält. Was muss man denn für x einsetzen, damit die Gleichung erfüllt ist? Das kann man einer Gleichung nicht immer auf den ersten Blick ansehen. Und wie kommt man dann an den Wert der gesuchten Größe? Stellen wir uns dazu eine Waage vor. Auf der linken Seite liegen 3 x und 5. Rechts liegen 17. Die Waage ist im Gleichgewicht. Sie BLEIBT im Gleichgewicht, wenn wir auf beiden Seiten 5 ... wegnehmen. Jetzt liegen links noch 3 x und rechts 12. Wir wollen links aber nur EIN x haben, denn das ist ja die gesuchte Größe. Wenn wir links die Menge auf ein Drittel reduzieren, müssen wir das auch rechts tun. Und damit haben wir die Lösung: x gleich 4.

Du musst jetzt aber nicht bei jeder Gleichung so eine Waage hinzeichnen. Die soll nur verdeutlichen, was bei Gleichungsumformungen zu tun ist: Jede Rechenoperation muss AUF BEIDEN SEITEN gleichermaßen durchgeführt werden. Und welche Gleichungsumformungen sind ERLAUBT? Nun, wir dürfen auf BEIDEN Seiten die Grundrechenarten anwenden: Das heißt, die gleiche Zahl addieren, die gleiche Zahl subtrahieren, mit der gleichen Zahl, außer Null, multiplizieren und durch die gleiche Zahl, außer Null, dividieren. Wichtig ist hier, dass die Umformung AUF BEIDEN SEITEN gleichermaßen erfolgt und dass man weder mit Null multipliziert, noch durch Null teilt. Kommen wir nun zur Anwendung dieser erlaubten Umformungen: Natürlich kannst du jede der erlaubten Umformungen beliebig anwenden. Um am Ende aber eine Lösung zu erhalten, solltest du nach einer bestimmten Reihenfolge vorgehen. Schauen wir uns dazu DIESE Gleichung an und speziell den Term mit der Unbekannten. In welcher Reihenfolge wird hier gerechnet? Offenbar wird die Unbekannte x zunächst mit 4 multipliziert und davon werden dann 3 abgezogen. So kommt man auf den Term, der HIER steht. Um zur UNBEKANNTEN zurückzukehren, müssen wir also DIESE Rechenoperationen rückgängig machen. Und das in der umgekehrten Reihenfolge. Um die Subtraktion der 3 rückgängig zu machen, müssen wir 3 addieren auf beiden Seiten. Dann steht da noch '4 x ist gleich 16'. Um die Multiplikation mit 4 rückgängig zu machen, teilen wir durch 4 auf beiden Seiten. So erhalten wir 'x gleich 4'. Das ist das Ergebnis.

Betrachten wir zur Übung noch ein etwas komplizierteres Beispiel. Die Unbekannte wird hier zunächst durch 3 geteilt, dann werden 4 abgezogen, das Ganze wird mit 3 multipliziert und dazu werden 8 addiert.

Diese Schritte müssen wir jetzt rückwärts durchführen. Also subtrahieren wir zunächst 8, teilen durch 3, addieren 4 und multiplizieren mit 3. Das Ergebnis ist also 'x gleich 15'.

Nun müssen wir noch einen weiteren Fall besprechen: Die Unbekannte x kann in einer Gleichung nämlich auch MEHRFACH auftreten. Dann ist es hilfreich, die Glieder MIT der Unbekannten auf EINER Seite zu sammeln und die Glieder OHNE Unbekannte auf der ANDEREN Seite. Die Glieder MIT der Unbekannten kannst du zusammenbringen, indem Du die VORFAKTOREN verrechnest. 5x minus 2x ergibt also 3x.

Indem wir durch 3 teilen, erhalten wir das Ergebnis 'x gleich 3'.

Dabei muss man beachten, dass man Glieder mit der Unbekannten NUR addiert und subtrahiert! Man darf mit der Unbekannten nicht multiplizieren und nicht durch die Unbekannte dividieren. Um das zu verstehen, schauen wir uns DIESES Beispiel an. Wenn man hier durch die Unbekannte x teilt, kommt die Gleichung 4 gleich 6 heraus. Das ist natürlich falsch. Hat diese Gleichung also keine Lösung?

Doch, es wurde nur falsch gerechnet. Wenn man stattdessen 4x subtrahiert und durch 2 teilt, erhält man die Lösung. x gleich 0.

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