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Gleichungen durch Rückwärtsrechnen lösen

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Mathe-Team
Gleichungen durch Rückwärtsrechnen lösen
lernst du in der 5. Klasse - 6. Klasse - 7. Klasse - 8. Klasse

Beschreibung Gleichungen durch Rückwärtsrechnen lösen

Gleichungen sind ganz zentral in der Mathematik. Und Gleichungen lösen natürlich auch. Gleichungen enthalten Variablen, und zu Beginn wirst du kurz wiederholen, was eine Variable und welche Rolle sie in einer Gleichung spielt. Du erfährst, was man unter der Lösung einer Gleichung versteht, und wie man die Lösung durch Rückwärtsrechnen erlangt. Rückwärts sprechen ist sehr schwierig, aber rückwärts rechnen eigentlich ganz einfach. Du wirst sehen, dass du nur wenige Regeln dazu brauchst. Das Schöne am Rückwärtsrechnen: Für die Art von Gleichungen, um die es hier geht, führt das Verfahren immer ans Ziel.

Transkript Gleichungen durch Rückwärtsrechnen lösen

Hallo und herzlich willkommen. In diesem Video geht es um das Lösen von Gleichungen mit einer Variablen. Das Lösen von Gleichungen bildet ein Herzstück der Mathematik, und es gibt zahlreiche Lösungsverfahren In diesem Video wollen wir lineare Gleichungen durch Rückwärtsrechnen lösen.

Zunächst werden wir wiederholen, was eine Variable ist und welche Rolle sie in einem Term spielt. Wir werden kurz besprechen, was eine Gleichung ist und was man unter der Lösung einer Gleichung versteht. Dann werden wir uns die Rückwärtsrechnen-Methode erarbeiten, mit der man die Lösung einer Gleichung erhält. Das Ganze probieren wir dann selbst an einem weiteren Beispiel aus und fassen am Schluss das Gelernte noch mal zusammen.

Definition Variable

Was ist eine Variable? Eine Variable in einem Term, also einem beliebigen Rechenausdruck, ist ein Platzhalter für eine Zahl und wird meist mit einem kleinen Buchstaben bezeichnet, z.B. einem x.

Verwendest du eine Variable in einem Term, hältst du dir offen, was du dafür einsetzt. Der Zahlenwert des Terms 4 + 5 ist eindeutig festgelegt – nämlich 9, während der Zahlenwert der Terms 4 + x davon abhängt, was du für x einsetzt. Setzt du 3 ein, kommt 7 heraus, setzt du 8 ein, kommt 12 heraus usw.

Definition Gleichung

Was ist eine Gleichung? Verknüpfst du zwei Terme, wobei mindestens einer eine Variable enthält, durch ein Gleichheitszeichen, hast du eine Gleichung, z.B. 4 + x = 10. Eine Gleichung wird zu einer Aussage, wenn du etwas für x einsetzt. Aussagen können wahr oder falsch sein.

Setzt du 3 für x ein, lautet die Aussage 4 + 3 = 10. Das ist eine falsche Aussage. Setzt du hingegen für x 6 ein, erhältst du 4 + 6 = 10. Das ist eine wahre Aussage.

Die x-Werte, für die eine wahre Aussage entsteht, nennt man Lösung der Gleichung. In unserem Beispiel ist 6 also eine Lösung. Wir stießen durch Probieren darauf. Gleich werden wir sehen, wie man Gleichungen mit System löst, nämlich durch Rückwärts rechnen. Doch zunächst noch ein Wort zu Gleichungen.

Problem in eine Gleichung übersetzen

Gleichungen fallen meistens nicht irgendwie vom Himmel, sondern sind oft Übersetzungen eines Sachverhalts oder eines Problems in die Sprache der Mathematik. Mindestens genauso wichtig wie die Lösung einer Gleichung ist die Überlegung, wie man überhaupt zur geeigneten Gleichung kommt.

Ein Beispiel: Du verpackst ein würfelförmiges Geschenk mit Geschenkband und benötigst insgesamt 2 Meter, wovon 16 cm für die Schleife benötigt werden. Wie groß ist die S Kantenlänge des Würfels?

Wie übersetze ich dieses Problem in eine Gleichung? Gesucht ist die Seitenlänge in Zentimetern, also ist das die Variable x. Wenn ich das Band so wie gezeigt um das Geschenk wickle, lege ich mit ihm acht Seitenlängen x zurück. Dazu kommen noch 16 cm für den Knoten, 8 mal x + 16.

Da du insgesamt 2 Meter - also 200 cm - Geschenkband benötigst, lautet unsere Gleichung: 8 mal x + 16 = 200.

Sehr schöne Vorlagen für Gleichungen liefern auch Zahlenrätsel, zum Beispiel dieses: Vom Siebenfachen einer Zahl subtrahierst du 15 und erhältst 69. Wie lautet die Zahl? Diese Zahl ist jetzt die Variable, und die Rechenvorschrift übersetzen wir zu 7 mal x - 15 = 69.

Gleichungen durch Rückwärtsrechnen lösen Beispiel 1

So nun zu der wichtigsten Frage im Video: Wie lösen wir solche Gleichungen?

Betrachten wir das Geschenkbeispiel, die Gleichung lautete 8 mal x +16 = 200. Die linke Seite der Gleichung ist eine Rechenvorschrift, die du normalerweise beim x angefangen von links nach rechts abarbeitest, man könnte auch sagen vorwärts: erst 8 mal x , dann plus 16. Da wir das Ergebnis der Rechnung, nämlich 200, kennen, aber x suchen, bietet es sich an, vom Ergebnis her rückwärts zu rechnen.

Wir gehen vom Ergebnis 200 zurück und rechnen als erstes anstelle von + 16 minus 16, 200 - 16 = 184. Aus vorwärts plus 16 wird rückwärts minus 16.

Im zweiten Rückwärtsschritt teilen wir jetzt durch 8. 184 geteilt durch 8 = 23. Statt x mit 8 zu multiplizieren, teilen wir 184 durch 8. Unter dem x steht nun die 23. Das bedeutet: x gleich 23, das ist die Lösung der Gleichung.

Führen wir die Probe durch und setzen in den Rechenausdruck 8 mal x plus 16 die Zahl 23 ein. Wir erhalten die Rechnung 8 mal 23 plus 16 = 184 + 16 = 200. Setzen wir also 23 für x in die Gleichung ein erhalten wir eine wahre Aussage. Für die gesuchte Kantenlänge des würfelförmigen Geschenks erhalten wir die Lösung 23 cm. Als Antwortsatz formulieren wir: Die Kantenlänge des Würfels beträgt 23 cm.

Reflektieren wir aber noch einmal unsere Lösungsstrategie: Die Regeln des Rückwärtsrechnens sind demnach: Aus einer Addition wird rückwärts eine Subtraktion, aus aus einer Multiplikation wird rückwärts eine Division. Und umgekehrt: Aus einer Subtraktion wird eine Addition und aus einer Division eine Multiplikation.

Gleichungen durch Rückwärtsrechnen lösen Beispiel 2

Wenden wir das auf das zweite Beispiel - das Zahlenrätsel - an. Die Gleichung lautete 7 mal x -15 = 69. Würden wir eine Zahl für x in den Rechenausdruck x mal 7 minus 15 einsetzen, so würden wir - wegen Punkt vor Strich - die Zahl mit 7 multiplizieren und dann 15 subtrahieren - als Ergebnis soll 69 rauskommen.

Und nun rückwärts. Wir starten beim Ergebnis - 69 - und rechnen im ersten Rückwärtsschritt jetzt plus 15, also 69 + 15 = 84. Im zweiten Rückwärtsschritt rechnen wir nun geteilt durch 7 , also 84 geteilt durch 7 gleich 12. Das ist die gesuchte Zahl unseres kleinen Rätsels. x gleich 12.

Der Antwortsatz zu dem Zahlenrätsel lautet kurz und knackig: Die gesuchte Zahl heißt 12.

Zusammenfassung

Fassen wir zusammen: Eine Gleichung kannst du durch Rückwärtsrechnen lösen. Wichtig ist hierbei zu beachten: Aus einer Addition wird eine Subtraktion, aus einer Multiplikation einer Division und andersherum. So kannst du lineare Gleichungen schnell lösen! Tschüss!

19 Kommentare

19 Kommentare
  1. In diesem Video wurde mal wieder das gleich besprochen wie im anderen Video (links)
    Das nächste Mal bitte nicht
    :)
    Sonst war alles gut und supi dupi

    Von Knasti, vor 3 Monaten
  2. Tolles Video

    Von Sabine Goering, vor 5 Monaten
  3. Es hat sehr geholfen.

    Von Nuri974 1, vor 6 Monaten
  4. lol

    Von Alias55, vor 7 Monaten
  5. lol

    Von Alias55, vor 7 Monaten
Mehr Kommentare

Gleichungen durch Rückwärtsrechnen lösen Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Gleichungen durch Rückwärtsrechnen lösen kannst du es wiederholen und üben.
  • Ermittle die Kantenlänge des würfelförmigen Geschenkes.

    Tipps

    Beachte, dass sich auf der unteren und oberen Fläche des Würfels das Geschenkband kreuzt.

    Überprüfe dein Ergebnis, indem du es in die Gleichung für $x$ einsetzt.

    Lösung

    Wir verpacken ein würfelförmiges Geschenk mit einem zwei Meter langen Geschenkband, wovon $16~cm$ für die Schleife benötigt werden. Nun möchten wir wissen, wie groß die Kantenlänge des Würfels ist. Wir nennen die gesuchte Kantenlänge $x$ und stellen eine geeignete Gleichung auf.

    Wenn wir das Band, so wie gezeigt, um das Geschenk wickeln, legen wir mit ihm acht Kantenlängen zurück. Dazu kommen noch $16~cm$ für die Schleife dazu, daher lautet unsere Gleichung:

    $8 \cdot x + 16 = 200$

    Um die Gleichung zu lösen und $x$ zu ermitteln, wenden wir eine häufig verwendete Methode an: das Lösen von Gleichungen durch Rückwärtsrechnen.

    Dabei führen wir uns vor Augen, wie wir vorwärts rechnen würden, und führen diese Rechnungen nun entgegengesetzt durch.

    Aus vorwärts $+16$ wird rückwärts $-16$. Also subtrahieren wir $16$ vom Ergebnis $200$ und erhalten $184$. Statt $x$ mit $8$ zu multiplizieren, teilen wir nun $184$ durch $8$ und erhalten $184 \div 8 = 23$. Das ist der Wert für $x$ und somit die Lösung der Gleichung.

    Durch die Probe können wir unser Ergebnis prüfen. Dafür setzen wir $23$ für $x$ in die Gleichung ein:

    $8 \cdot 23 + 16 = 200$ und erhalten eine wahre Aussage!

    Die Kantenlänge des Würfels beträgt daher $23~cm$.

  • Stelle eine Gleichung für das dargestellte Problem auf und löse diese durch Rückwärtsrechnen.

    Tipps

    Verwende ein einfaches Beispiel, um das Rückwärtsrechnen nachzuvollziehen. Löse beispielsweise $x + 1 = 5$ und $3 \cdot x = 15$ nach $x$ auf. Wie bist du auf dein Ergebnis gekommen?

    Um Gleichungen nach $x$ aufzulösen, benutzt man die Umkehroperationen.

    Setze deine Lösung für $x$ in die Gleichung ein. Kommt eine wahre Aussage heraus?

    Lösung

    Um Zahlenrätsel zu lösen, in denen eine Zahl $x$ gesucht und dazu eine Gleichung aufgestellt wird, benutzen wir gerne die Methode, rückwärts zu rechnen. Wir zerpflücken einen Term so lange, bis das $x$ allein auf einer Seite der Gleichung steht.

    Das bedeutet, dass sich einerseits die Reihenfolge umdreht, andererseits auch die Rechenoperationen.

    Aus „$+$“ wird „$-$“ und aus „$-$“ wird „$+$“, aus „$\cdot$“ wird „$\div$“ und aus „$\div$“ wird „$\cdot$“.

    Zur Lösung unserer Aufgabe gehen wir folgendermaßen vor:

    Zuerst wird natürlich eine Variable $x$ eingeführt, welche die gesuchte Zahl repräsentiert. Du kannst auch jeden anderen Buchstaben dafür verwenden.

    Dann wird eine Gleichung erstellt, die das Zahlenrätsel darstellt. Das ist anfangs vielleicht nicht ganz so leicht, aber mit ein wenig Übung fällt es immer leichter, Aussagen in mathematische Ausdrücke zu verwandeln. Die entsprechende Gleichung lautet $7 \cdot x - 15 = 69$.

    Jetzt untersuchen wir, was eigentlich mit dem $x$ in der Gleichung passiert und zwar unabhängig von der Zahl, die für $x$ eingesetzt werden muss. Dabei berücksichtigen wir natürlich, dass Punkt- vor Strichrechnung gilt.

    1. $x$ wird mit $7$ multipliziert.
    2. Von $7 \cdot x$ wird jetzt $15$ subtrahiert.
    3. Das Ergebnis lautet $69$.

    Jetzt folgt das eigentliche Rückwärtsrechnen. Wir fangen also hinten an und arbeiten uns in die entgegengesetzte Richtung und verwenden dabei die gegenteiligen Rechenoperationen. Das sieht wie folgt aus.

    1. $69$ wird mit $15$ addiert: $69 + 15 = 84$
    2. $84$ wird durch $7$ dividiert: $84 \div 7 = 12$
    3. Das Ergebnis für $x$ lautet $12$.
    Wenn du dir nun nicht ganz sicher bist, ob das Ergebnis stimmt, kannst du es noch einmal in die Gleichung einsetzen.

    $12 \cdot 7 - 15 = 84 - 15 = 69$.

    Wir haben richtig gerechnet. Die gesuchte Zahl heißt $12$.

  • Bestimme die gesuchte Zahl $x$, indem du rückwärts rechnest.

    Tipps

    Das Dreifache von $8$ kann man schreiben als: $3 \cdot 8$.

    Wie kann man nun das Zehnfache einer Zahl $x$ darstellen?

    Beginne das Rückwärtsrechnen, indem du vom Ergebnis $60$ ausgehst.

    Gehe nun in umgekehrter Reihenfolge der Rechenschritte vor und verwende die Umkehroperationen.

    Lösung

    Laut des Zahlenrätsels suchen wir eine Zahl $x$, deren Zehnfaches halbiert und dann mit $20$ addiert wird. Das soll $60$ ergeben.

    Um ein solches Zahlenrätsel zu entschlüsseln, müssen wir wissen, was sich hinter den Ausdrücken wie „zehnfaches“ und „halbieren“ verbirgt. Beim Zehnfachen einer Zahl multipliziert man diese Zahl mit $10$. Beim Halbieren einer Zahl teilt man diese Zahl durch $2$. Nun können wir die Gleichung aufstellen:

    $10 \cdot x \div 2 + 20 = 60$.

    Da wir wissen, was die jeweiligen Umkehrungen der Rechenoperationen sind, können wir die Rechnung rückgängig machen und so die Zahl $x$ ermitteln.

    Im letzten Schritt des linken Terms wurde mit $20$ addiert, sodass $60$ herauskam. Das machen wir jetzt rückgängig:

    $60 - 20 = 40$.

    Wenn wir das geschafft haben, schauen wir uns den vorletzten Schritt des linken Terms an und sehen, dass dort durch $2$ dividiert wurde. Auch das machen wir jetzt rückgängig, indem wir mit $2$ multiplizieren:

    $40 \cdot 2 = 80$.

    Jetzt sind wir beim ersten Schritt des linken Terms angelangt. Hier wurde $x$ mit $10$ multipliziert. Auch das kehren wir jetzt um:

    $80 \div 10 = 8$.

    Jetzt haben wir das Ergebnis ermittelt. Die gesuchte Zahl ist $x = 8$.

    Um das noch einmal zu überprüfen, machen wir die Probe und setzen $x = 8$ in die Gleichung ein:

    $8 \cdot 10 \div 2 + 20 = 80 \div 2 + 20 = 40 + 20 = 60$.

    Wir haben richtig gerechnet.

  • Berechne die Erhöhung von Miriams Taschengeld.

    Tipps

    Stelle als erstes eine Gleichung auf, die du mithilfe des Rückwärtsrechnens lösen kannst.

    Verwende gegebenenfalls Klammern beim Aufstellen der Gleichung.

    Lösung

    Wir wollen wissen, um wie viel Euro Miriams Taschengeld im Monat erhöht worden ist. Wir wissen, dass ihr bis dahin $50~€$ im Monat zur Verfügung standen und sie nun, nach der Erhöhung, $780~€$ im Jahr bekommt.

    Mit diesen Informationen können wir auch schon eine Gleichung aufstellen.

    Als erstes führen wir die Variable $x$ für den Betrag ein, um den sich ihr Taschengeld erhöht hat.

    Eine mögliche Gleichung lautet:

    $(50 + x) \cdot 12 = 780$

    Nun rechnen wir rückwärts. Zuerst teilen wir $780$ durch $12$.

    $780 \div 12 = 65$.

    Jetzt bleibt noch, die Summe $50 + x$ aufzulösen. Also subtrahieren wir $50$ von $65$.

    $65 - 50 = 15$.

    Somit haben wir den gesuchten Betrag ermittelt. Die Probe zeigt uns, dass wir richtig gerechnet haben:

    $(50 + 15) \cdot 12 = 65 \cdot 12 = 780$.

    Miriam erhält daher nun $15~€$ mehr Taschengeld im Monat. Insgesamt bekommt sie ab jetzt $65~€$ pro Monat Taschengeld.

  • Gib die richtige Umkehrung jeder Rechenoperation an, welche man beim Rückwärtsrechnen verwendet.

    Tipps

    Die Umkehroperation von $x + 3 = 7$ ist $x = 7 - 3$.

    Denk dir weitere Beispiele für die Subtraktion, Multiplikation und Division aus und kehre diese um.

    Lösung

    Anhand von Beispielen kannst du dir schnell vergegenwärtigen, was das jeweilige Gegenteil einer Rechenoperation ist.

    • Bei Addition: $5 + 4 = 9$. Die Rechnung kehrst du um, indem subtrahiert wird: $9 - 4 = 5$.
    • Bei Subtraktion: $5 - 4 = 1$. Willst du die Rechnung umkehren, addierst du einfach: $1 + 4 = 5$.
    • Bei Multiplikation: $7 \cdot 8 = 56$. Umgekehrt rechnest du, wenn du dividierst: $56 \div 8 = 7$.
    • Und bei der Division: $35 \div 5 = 7$. Kehrst du um, musst du multiplizieren: $7 \cdot 5 = 35$.
    Dieses Umkehren von Rechenoperationen verwenden wir beim Lösen von Gleichungen durch die Rückwärtsrechnen-Methode. So stehen Rechenschritte, die sonst am Anfang einer Rechnung stünden, bei der Umkehrrechnung am Ende.

    Will man beispielsweise die Gleichung $(x + 3) \cdot 2 = 14$ lösen, so überlegt man, dass normalerweise zuerst die Klammer berechnet werden würde und dann das Produkt. Bei der Umkehrrechnung kehren wir auch dies um. Wir teilen zunächst $14 \div 2 = 7$ und lösen dann die Klammer auf. Im letzten Rechenschritt steht also $x + 3 = 7$. Das Ergebnis lautet $x = 4$.

  • Ermittle die gesuchte Kantenlänge des Paketes.

    Tipps

    Bedenke, dass alle Seiten des Pakets vom Seil gekreuzt werden.

    Stelle eine Gleichung auf, in welcher auch die Schleife und die Gesamtlänge des Seils berücksichtigt werden.

    Lösung

    Uns stehen $7 ~m$ Seil zur Verfügung, um ein möglichst großes Paket zu verschnüren, wobei $60~cm$ für die Schleife benötigt werden. Wir wissen, dass Breite und Höhe des Pakets gleich sind und die Länge die doppelte Breite beträgt. Wenn wir die Breite mit der Variablen $x$ beschreiben, dann können wir auch die anderen Strecken mithilfe von $x$ angeben, da sie ja von der Breite abhängen. So wird die Länge des Pakets mit $2 \cdot x$ beschrieben.

    Jetzt muss nur noch untersucht werden, wie oft die Strecke $x$ beim Umwickeln des Pakets zurückgelegt wird. Das ist auf den beiden quadratischen Flächen $4$mal und auf den vier rechteckigen Flächen $12$mal der Fall. Insgesamt wird die Strecke $x$ also $16$mal beim Schnüren zurückgelegt.

    Nun können wir die Gleichung $16 \cdot x + 60 = 700$ aufstellen und durch Umkehroperationen lösen.

    Dabei rechnen wir zunächst $700 - 60 = 640$ und dann $640 \div 16 = 40$.

    Das Ergebnis für eine maximale Breite lautet somit $x = 40~cm$.

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