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Textaufgaben in Gleichungen übersetzen 05:59 min

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Transkript Textaufgaben in Gleichungen übersetzen

Luca und ihr treuer Helfer Hierzwodazwo sind auf einem seltsamen Planeten gestrandet. Sie befinden sich in einer stinkenden Einöde, bekannt als der Flüstersumpf. Dummerweise ist Hierzwodazwo in einem Tümpel stecken geblieben, aus dem er nicht mehr herauskommt. Vielleicht bekommen die beiden ja Hilfe von diesem ortsansässigen Eremiten dort drüben. Der kann offenbar irgendwie mit dem Flüstersumpf kommunizieren. Luca spitzt die Ohren. Eine Zahl ist viermal so groß wie das Quadrat der Hälfte dieser Zahl. Der Eremit scheint eine Gleichung zu formen. Hätte Luca nur eine Ahnung, wie man mathematische Gleichungen aus Textaufgaben aufstellen und lösen kann. Schauen wir mal, ob wir Luca dabei helfen können. Eine Zahl ist viermal so groß wie das Quadrat der Hälfte dieser Zahl. Beginnen wir mit den Variablen. Gibt es hier irgendwelche unbekannten Werte? Der Sumpf hat von einer "Zahl" gesprochen. Wir kennen den Wert dieser Zahl nicht, also nennen wir sie x. Der Begriff "ist" bedeutet so viel wie "ist gleich". Aber womit müssen wir x gleichsetzen? "viermal" bedeutet, dass wir mit 4 multiplizieren. Und der Begriff "Quadrat" verrät uns, dass wir einen Ausdruck quadrieren, also hoch 2 nehmen müssen. Die letzte Formulierung, "die Hälfte dieser Zahl" bedeutet, dass wir die unbekannte Zahl, also x, durch 2 teilen. Und was ist die Lösung dieser Gleichung? Vereinfachen wir erstmal: "x Halbe" zum Quadrat ist "x Quadrat" durch "2 Quadrat". "2 Quadrat" ist gleich 4, also können wir die beiden Vieren hier kürzen. Übrig bleibt "x gleich x Quadrat". Wenn wir für x Null einsetzen, ist die Gleichung erfüllt – 0 ist schließlich gleich 0. Eine andere Lösung ist x gleich 1 – denn 1 gleich 1 stimmt auch! Das hat der Sumpf also gemeint. Offenbar hat die Lösung des Rätsels Hierzwodazwo schon ein ganzes Stück aus dem Sumpf herausgezogen. Als der Sumpf eine neue Aufgabe von sich gibt, steht Luca bereit, daraus eine Gleichung zu machen. Die Summe von vier aufeinanderfolgenden natürlichen Zahlen beträgt 46. Zuerst müssen wir die Variable finden und festlegen. Wir haben vier unbekannte, aufeinanderfolgende Zahlen. Und wir wissen, dass ihre Summe 46 ist. Der Schlüsselbegriff "Summe" zeigt an, dass wir addieren müssen. Da wir nicht wissen, welche aufeinanderfolgenden Zahlen wir brauchen, beginnen wir mit der Variablen x. Die auf x folgende Zahl ist x+1. Dann sind die nächsten Zahlen "x+2" und "x+3". Wie finden wir nun den Wert von x heraus? Wir fassen die "x-Terme" zusammen zu "vier x". 1 + 2 + 3 ergibt zusammen 6 also steht auf der linken Seite der Gleichung "4x+6". Ziehen wir auf beiden Seiten 6 ab...und teilen dann noch auf beiden Seiten durch 4 dann finden wir heraus, dass x gleich 10 sein muss. Aber wieso haben wir denn für x die kleinste Zahl genommen? Genauso gut hätte x doch, sagen wir, die zweite Zahl in dieser Reihe sein können. Wie sähe die Gleichung denn dann aus? Okay, wenn also die zweite Zahl x ist, dann ist die erste Zahl um eins kleiner. Das können wir als x minus 1 schreiben. Die dritte Zahl ist eins mehr als x, also x plus 1. Und die vierte Zahl ist dann 2 mehr als x, also x plus 2. Nun haben wir eine Gleichung, die die Summe von vier aufeinanderfolgenden natürlichen Zahlen, die zusammen 46 ergeben, darstellt. Und die Variable x bezeichnet die zweite dieser vier Zahlen. Um diese Gleichung wieder nach x aufzulösen, gehen wir wie eben vor. Zuerst fassen wir die vier x zusammen, dann bleibt aus "minus 1", "plus 1" und "plus 2" nur die "plus 2" übrig. Also lautet die Gleichung "4x plus 2 gleich 46". Wir ziehen wieder auf beiden Seiten 2 ab, teilen durch 4 und das Ergebnis lautet diesmal "x gleich 11". Da x diesmal die zweite Zahl war, hat die Gleichung auch eine andere Lösung als zuvor. Fassen wir zusammen. Wir können aus Textaufgaben mathematische Gleichungen aufstellen, indem wir zuerst die Variablen erkennen und definieren. Du musst dich fragen: Welche Zahlen sind unbekannt. Diesen Zahlen weist du dann eine Variable zu, zum Beispiel x. Dann schaust du nach mathematischen Schlüsselbegriffen, zum Beispiel bekannten Zahlen oder Begriffen, die für bestimmte Operationen stehen. Zum Schluss stellst du die Gleichung auf und nutzt Klammern, um die komplexeren Teile der Textaufgabe aufzulösen. Als Letztes löst du die Gleichung, indem du die Variable mit Äquivalenzumformungen isolierst. Nun ist Luca eine wahre Meisterin. Dank ihrer Fähigkeiten, Gleichungen aufzustellen, konnte sie den armen Hierzwodazwo aus dem Sumpf schweben lassen. Ihr neuer Freund hat dabei natürlich ein wenig geholfen.

1 Kommentar
  1. hierzwodazwo=R2D2

    Von Yiren Y., vor etwa 2 Monaten

Textaufgaben in Gleichungen übersetzen Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Textaufgaben in Gleichungen übersetzen kannst du es wiederholen und üben.

  • Gib die gesuchte Gleichung an.

    Tipps

    Gehe die Textaufgabe Wort für Wort durch. Was genau ist unbekannt? Wie bezeichnet man in mathematischen Ausdrücken unbekannte Größen?

    Sieh dir folgendes Beispiel an:

    • Das Doppelte einer unbekannten Zahl entspricht dem Quadrat dieser Zahl.
    Die unbekannte Zahl wird mit der Variablen $x$ bezeichnet. Die zugehörige Gleichung lautet dann: $~2x=x^2$.

    Lösung

    Der Trick dabei, die Gleichung zu einer Textaufgabe aufzustellen, ist es Schritt für Schritt vorzugehen. Hierzu betrachten wir nun folgende Aussage vom Eremiten:

    Eine Zahl ist viermal so groß wie das Quadrat der Hälfte dieser Zahl.

    1. Du suchst in dem Text nach der Unbekannten. Sie ist deine Variable. Wir bezeichnen die unbekannte Zahl hier mit der Variablen $x$.
    2. Du ermittelst die mathematischen Schlüsselbegriffe, die deine Variable beschreiben. Diese sind hier „viermal“, „das Quadrat“ sowie „die Hälfte“.
    3. Du fasst nun alles zu einem mathematischen Ausdruck, also einer Gleichung zusammen: $~x = 4 \cdot \left( \frac{x}{2} \right)^2$
  • Beschreibe den Lösungsweg beim Aufstellen von Gleichungen zu Textaufgaben.

    Tipps

    Als erstes soltest du ermitteln, wonach in der Textaufgabe gesucht wird.

    Erst ganz am Ende kannst du die richtige Lösung finden.

    Lösung

    Um basierend auf einer Textaufgabe eine Gleichung aufzustellen, solltest du wie folgt vorgehen:

    1. Zuerst musst du die unbekannte Variable in der Textaufgabe erkennen und definieren.
    2. Anschließend kannst du nach Schlüsselbegriffen suchen, die die Variable beschreiben.
    3. Die Variable und die Schlüsselbegriffe kannst du nun zu einer Gleichung zusammenfassen.
    4. Abschließend ermittelst du die Lösung der Gleichung, indem du diese mittels Äquivalenzumformungen nach der Variablen umstellst.
    Dieses Vorgehen schauen wir uns noch an einem Beispiel an: Eine Zahl ist dreimal so groß wie das Quadrat dieser Zahl.

    1. Du suchst in dem Text nach der Unbekannten. Sie ist deine Variable. Wir bezeichnen die unbekannte Zahl hier mit der Variablen $x$.
    2. Du ermittelst die mathematischen Schlüsselbegriffe, die deine Variable beschreiben. Diese sind hier „dreimal“ und „das Quadrat“.
    3. Du fasst nun alles zu einem mathematischen Ausdruck, also einer Gleichung zusammen: $~x = 3 \cdot x^2$
    4. Nun kannst du diese Gleichung lösen, indem du sie mittels Äquivalenzumformungen nach $x$ umstellst. Es folgt dann:
    • $~0=x(3x-1)$
    • Die Lösungen sind: $x_1=0$ und $x_2=\frac 13$

  • Ermittle die Lösung der Gleichung.

    Tipps

    Möchtest du einen Bruch quadrieren, so kannst du folgende Regel nutzen:

    • $\left(\dfrac ab\right)^2=\dfrac{a^2}{b^2}$

    Eine Potenz ist eine abkürzende Schreibweise für die mehrfache Multiplikation eines Faktors mit sich selbst. Es gilt also:

    $a^n=\underbrace{a\cdot a\ \dots\ \cdot a}_{n\text{-mal}}$

    Welche Zahlen ergeben quadriert wieder sich selbst?

    Lösung

    Um die gegebene Gleichung zu lösen, vereinfachen wir zunächst beide Seiten der Gleichung soweit wie möglich und stellen sie dann mittels Äquivalenzumformungen nach der Variablen um:

    $\begin{array}{llll} x &=& 4 \cdot \left( \dfrac{x}{2} \right)^2 & \\ x &=& 4 \cdot \dfrac{x^2}{2^2} & \\ x &=& 4 \cdot \dfrac{x^2}{4} & \\ x &=& x^2 & \end{array}$

    Nur die $1$ und die $0$ ergeben quadriert wieder sich selbst. Daher folgen die beiden Lösungen:

    • $x_1 = 0$
    • $x_2 = 1$
    Du kannst die Gleichung auch wie folgt weiter umformen:

    $\begin{array}{llll} x &=& x^2 & \vert -x \\ 0 &=& x^2-x & \vert \text{ausklammern} \\ 0 &=& x\cdot (x-1) & \\ \end{array}$

    Der Satz vom Nullprodukt besagt, dass ein Produkt dann Null ist, wenn einer der Faktoren Null ist. Es gilt also:

    • $x_1=0$
    • $x_2-1=0\quad\Rightarrow\quad x_2=1$

  • Bestimme die jeweiligen Gleichungen sowie ihre Lösungen.

    Tipps

    Definiere zunächst deine Variable und suche dann die Schlüsselbegriffe, die die Variable beschreiben.

    Das Doppelte einer Zahl kannst du mathematisch durch eine Multiplikation mit der Zahl $2$ ausdrücken.

    Das Produkt ist das Ergebnis einer Multiplikation. Das Produkt aus $5$ und der Hälfte einer unbekannten Zahl $x$ kannst du wie folgt ausdrücken:

    • $5\cdot \dfrac x2$

    Lösung

    Um die drei Rätsel zu lösen, müssen wir zunächst die zugehörigen Gleichungen aufstellen.

    Lisas Alter

    „Die Summe aus dem Doppelten einer Zahl und $5$ entspricht dem Dreifachen der Zahl $3$.“

    Hierzu gehen wir Schritt für Schritt vor:

    • Das Doppelte einer unbekannten Zahl drücken wir wie folgt aus: $2x$.
    • Die Summe aus dem Doppelten der unbekannten Zahl und $5$ lautet dann: $2x+5$.
    • Das Dreifache der Zahl $3$ ist: $3\cdot 3$.
    Wenn wir nun alle Teile der Gleichung zusammenfügen, erhalten wir folgende Gleichung:

    $2x+5=3\cdot 3$.

    Nun müssen wir beide Seiten der Gleichung zunächst soweit wie möglich vereinfachen und dann die Gleichung mittels Äquivalenzumformungen nach der Variablen umstellen:

    $\begin{array}{llll} 2x+5 &=& 3\cdot 3 & \\ 2x+5 &=& 9 & \vert -5 \\ 2x &=& 4 & \vert :2 \\ x &=& 2 & \end{array}$

    Leas Alter

    „Das Dreifache der Summe aus $4$ und einer Zahl entspricht dem Vierfachen der Zahl.“

    Hier erhalten wir die Gleichung: $~3(4+x)=4x$

    Diese stellen wir nun nach der Variablen $x$ wie folgt um:

    $\begin{array}{llll} 3(4+x) &=& 4x & \\ 12+3x &=& 4x & -3x \\ 12 &=& x & \end{array}$

    Theresas Alter

    „Das Dreifache der Differenz von einer Zahl und $3$ entspricht der Summe aus dem Quadrat von $3$ und dem Doppelten der Zahl.“

    Die Gleichung lautet: $~3(x-3)=3^2+2x$

    Wieder stellen wir nach der Variablen $x$ um:

    $\begin{array}{llll} 3(x-3) &=& 3^2+2x & \\ 3x-9 &=& 9+2x & -2x \\ x-9 &=& 9 & +9 \\ x &=& 18 & \end{array}$

  • Ermittle die jeweiligen Gleichungen sowie deren Lösungen.

    Tipps

    Ist $x$ eine unbekannte natürliche Zahl, so ist $x+1$ die auf die Zahl $x$ folgende natürliche Zahl.

    Du solltest beide Seiten der Gleichung zunächst soweit wie möglich vereinfachen. Hierzu musst du gleichartige Terme auf der linken Seite der Gleichung zusammenfassen. Siehe dir folgendes Beispiel an:

    • $2x+x-2-6x+5=-3x+3$

    Lösung

    Wir betrachten folgende Aussage:

    Die Summe von drei aufeinanderfolgenden natürlichen Zahlen beträgt $66$.

    Je nachdem wie wir die Variable festlegen, liefert die zugehörige Gleichung eine andere Lösung. Schauen wir uns nun die beiden Varianten an.

    Variante 1

    $x$ ist definiert als die kleinste der drei aufeinanderfolgenden natürlichen Zahlen. Die zugehörige Gleichung lautet dann:

    $x+(x+1)+(x+2)=66$

    Nun können wir die linke Seite soweit wie möglich vereinfachen, indem wir gleichartige Terme zusammenfassen. Anschließend stellen wir die Gleichung mittels Äquivalenzumformungen nach der Variablen um:

    $\begin{array}{llll} x+(x+1)+(x+2) &=& 66 & \\ x+x+1+x+2 &=& 66 & \\ 3x+3 &=& 66 & -3 \\ 3x &=& 63 & :3 \\ x &=& 21 & \end{array}$

    Variante 2

    Genauso gehen wir auch hier vor. Diesmal ist die Variable $x$ definiert als die größte der drei aufeinanderfolgenden natürlichen Zahlen. Die zugehörige Gleichung lautet dann:

    $(x-2)+(x-1)+x=66$

    Nun können wir wieder die linke Seite soweit wie möglich vereinfachen und anschließend die Gleichung mittels Äquivalenzumformungen nach der Variablen umstellen:

    $\begin{array}{llll} (x-2)+(x-1)+x &=& 66 & \\ x-2+x-1+x &=& 66 & \\ 3x-3 &=& 66 & +3 \\ 3x &=& 69 & :3 \\ x &=& 23 & \end{array}$

    • Die drei aufeinanderfolgenden natürlichen Zahlen, die addiert $66$ ergeben, sind demnach $21$, $22$ und $23$.
  • Ermittle die gesuchten Gleichungen sowie ihre Lösungen.

    Tipps

    Das Distributivgesetzt lautet wie folgt:

    • $a\cdot (b+c)=ab+ac$

    Der Nachfolger einer natürlichen Zahl $a$ ist diejenige Zahl, die um $1$ größer ist als $a$.

    Lösung

    Lass uns die beiden Zahlenrätsel gemeinsam Schritt für Schritt lösen:

    Beispiel 1

    Subtrahiert man vom Vierfachen einer Zahl $9$ und multipliziert diese Differenz mit $2$, so erhält man $22$. Wie groß ist die gesuchte Zahl?

    Linke Seite der Gleichung:

    • Das Vierfache einer unbekannten Zahl drücken wir wie folgt aus: $4\cdot x$
    • Die Differenz lautet dann: $4\cdot x-9$
    • Die Multiplikation mit $2$ liefert nun: $2\cdot (4\cdot x-9)$
    Auf der rechten Seite steht die $22$. Die zugehörige Gleichung lautet also:

    $2\cdot (4\cdot x-9) = 22$

    Nun lösen wir diese Gleichung. Hierzu vereinfachen wir zunächst die linke Seite, indem wir das Distributivgesetz anwenden:

    $\begin{array}{llll} 2\cdot (4\cdot x-9) &=& 22 & \\ 8x-18 &=& 22 & +18 \\ 8x &=& 40 & :8 \\ x &=& 5 & \end{array}$

    Beispiel 2

    Die Summe aus dem Dreifachen einer natürlichen Zahl und dem Fünffachen ihres Nachfolgers entspricht $125$. Welche natürliche Zahl ist gesucht?

    Wir gehen genauso wie oben vor und erhalten die zugehörige Gleichung:

    $3\cdot x+5\cdot (x+1)=125$

    Daraus folgt:

    $\begin{array}{llll} 3\cdot x+5\cdot (x+1) &=& 125 & \\ 3\cdot x+5\cdot x+5 &=& 125 & \\ 8\cdot x+5 &=& 125 & -5 \\ 8\cdot x &=& 120 & :8 \\ x &=& 15 & \end{array}$