Gleichungen lösen – Anwendungsbeispiel 04:51 min
Transkript Gleichungen lösen – Anwendungsbeispiel
Wir sind in Dr. Evils geheimem Superschurken-Labor auf Volcano Island. Seine Mutti hat bald Geburtstag und er braucht dringend ein Geschenk. Mama Evil liebt alles, was glitzert und funkelt. Ein Ring mit viiielen Diamanten wäre ihr Traum und den gibt's grad zum Schnäppchenpreis von 10 Goldbarren pro Diamant. Leider ist bei Dr. Evil das Gold gerade etwas knapp. Um herauszufinden, wie viel Kram er verkaufen muss, um seine Goldvorräte aufzustocken, können wir eine Gleichung nutzen. Zuerst bringt Dr. Evil eine seiner Privatinseln zum Top-Angebot von 50 Goldbarren auf Evil-Bay unter den Hammer. Außerdem bietet er 20 seiner gefährlichsten Robo-Crocs für je 5 Goldbarren an. Hoffentlich gehen sie schnell weg, denn der Geburtstag ist greifbar nah. Dr. Evil fragt sich: Wie viele Diamanten glitzern auf dem Ring, wenn ein Diamant 10 Goldbarren kostet? Wir nutzen x für die Anzahl Diamanten. Stellen wir einmal die Gleichung auf. Auf die linke Seite kommt der Verkaufspreis der Insel mal die Anzahl, also 50 mal 1. Dazu addierst du den Preis mal die Anzahl Robo-Crocs, 5 mal 20. Auf die andere Seite schreibst du den Preis der Diamanten, 10, mal die gesuchte, unbekannte Anzahl, also x. Jetzt können die Gleichung zunächst vereinfachen und dann mit Hilfe von Äquivalenzumformungen lösen. Zuerst multiplizieren wir: 50 * 1 = 50 und 5 * 20 = 100. Nun die Addition: 50 + 100 = 150. 150 = 10x. Wir lösen nach x auf, indem wir beide Seiten durch 10 dividieren. x = 15. An Muttis Ring werden also 15 lupenreine Diamanten funkeln. Aber Mami Evil wird stolze 60 und Dr. Evil entscheidet: Der Ring MUSS mit 60 Diamanten besetzt sein. Wie viele schurkenhafte Robo-Crocs muss er nun opfern? Für DIESE Größe setzen wir jetzt x ein. Schreiben wir also eine weitere Gleichung. Auf der linken Seite der Gleichung steht der Verkaufspreis der Insel mal die Anzahl plus den Preis der Robo-Crocs mal die gesuchte Anzahl, also x. Rechts steht der Preis der Diamanten mal die neue Anzahl von sagenhaften 60 Stück. Vereinfache die Gleichung und löse sie dann nach x auf, indem du Äquivalenzumformungen anwendest. Wir fangen wieder mit der Multiplikation an. 50 * 1 = 50 und 10 * 60 = 600. Die 50 werden wir los, indem wir auf beiden Seiten 50 subtrahieren. Das ergibt: 5x = 550. Um nach x aufzulösen, dividieren wir beiden Seiten durch 5. x = 110. Dr. Evil muss also 110 Robo-Crocs verkaufen. 110??!! Soll das ein Witz sein? Er hat doch nur 55 Robo-Crocs! Aber der Schlauberger Dr. Evil hat eine Idee: Er kann einfach den Preis der Robo-Crocs erhöhen! Also zurück zur Gleichung. Dieses Mal steht x für den gesuchten Preis für einen Robo-Croc. Wieder schreibst du auf die linke Seite der Gleichung den Verkaufspreis der Insel mal die Anzahl, plus den gesuchten Preis der Robo-Crocs, x, mal die Anzahl, 55. Auf die andere Seite der Gleichung schreibst du den Preis mal die gesuchte Anzahl Diamanten. Vereinfache und löse auf. 50 * 1 = 50, x * 55 = 55x und 10 * 60 = 600. Die 50 stört, also nutze die Umkehroperation und subtrahiere 50 von beiden Seiten. Das ergibt: 55x = 550. Löse mit Hilfe von Division durch 55 nach x auf. x = 10. Wenn er die Robo-Crocs für je 10 Goldbarren los wird, kann er Mama Evil das schönste Geschenk aller Zeiten machen! Verdammt nochmal - ein Robo-Croc ist explodiert! Vielleicht kann Dr. Evil kleinere Diamanten kaufen...?
Videobeschreibung
Nach dem Schauen dieses Videos wirst du in der Lage sein, lineare Gleichungen zu unterschiedlichen Problemstellungen aufzustellen und diese zu lösen.
Zunächst lernst du, wie du zu einem gegebenen Problem die zugehörige lineare Gleichung aufstellen kannst. Anschließend lernst du das Zusammenfassen gleichartiger Terme. Abschließend lernst du, wie du lineare Gleichungen mittels Äquivalenzumformungen nach der gesuchten Größe umstellen kannst.
Lerne das Aufstellen und Lösen linearer Gleichungen, indem du Doktor Evil hilfst, Geld für ein extravagantes Geschenk zu bekommen.
Das Video beinhaltet Schlüsselbegriffe, Bezeichnungen und Fachbegriffe wie lineare Gleichungen aufstellen und lösen, Umkehroperation, Äquivalenzumformung, Unbekannte, Variable und gleichartige Terme.
Bevor du dieses Video schaust, solltest du bereits wissen, was eine lineare Gleichung ist.
Nach diesem Video wirst du darauf vorbereitet sein, das Lösen linearer Gleichungen mit zwei Variablen zu lernen.
Die Tutoren:
Gleichungen lösen – Anwendungsbeispiel
Gleichungen lösen – Anwendungsbeispiel Übung
Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Gleichungen lösen – Anwendungsbeispiel kannst du es wiederholen und üben.
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Vervollständige den Rechenweg der Gleichungen.
Tipps
So wird die erste Gleichung aufgestellt:
Preis Inseln $\cdot$ Anzahl Inseln $+$ Preis RoboCrocs $\cdot$ Anzahl RoboCrocs $=$ Preis Diamanten $\cdot x$.So liest du Informationen aus der Textaufgabe heraus:
„Dr. Evil verkauft $1$ Privatinsel für $50$ Goldbarren.“
- Anzahl Inseln: $1$
- Preis Inseln: $50$
Die zweite Gleichung wird so aufgestellt:
Preis Inseln $\cdot$ Anzahl Inseln $+$ Preis RoboCrocs $\cdot x =$ Preis Diamanten $\cdot$ Anzahl Diamanten.Du musst Befehle, die hinter dem $\vert$ stehen, immer auf beiden Seiten der Gleichung durchführen.
Im letzten Schritt wird mit dem Faktor vor $x$ dividiert.
Lösung
Dr. Evil verkauft $1$ Privatinsel für $50$ Goldbarren. Dazu bietet er $20$ RoboCrocs für je $5$ Goldbarren zum Verkauf an. Wie viele Diamanten glitzern dann auf dem Ring, wenn $1$ Diamant $10$ Goldbarren kostet?
$x$ steht hier für die gesuchte Anzahl an Diamanten.
Die Gleichung muss wie folgt aussehen:
Preis Inseln $\cdot$ Anzahl Inseln $+$ Preis RoboCrocs $\cdot$ Anzahl RoboCrocs $=$ Preis Diamanten $\cdot x$.Jetzt setzt er ein:
$\begin{array}{rcll} 50\cdot1+5\cdot20 &=& 10\cdot x & \\ 50+100 &=& 10x & \\ 150 &=& 10x &\vert :10 \\ 15 &=& x & \end{array}$
Aber Mami Evil wird stolze $60$ und Dr. Evil entscheidet: Der Ring muss mit $60$ Diamanten besetzt sein! Wie viele schurkenhafte RoboCrocs muss er nun opfern? Er stellt eine Gleichung auf, bei der die Variable $x$ für die Anzahl der RoboCrocs steht:
Preis Inseln $\cdot$ Anzahl Inseln $+$ Preis RoboCrocs $\cdot x =$ Preis Diamanten $\cdot$ Anzahl Diamanten.
Wieder setzt er ein:
$\begin{array}{rcll} 50\cdot1+5\cdot x &=& 10\cdot60 & \\ 50+5x &=& 600 &\vert -50 \\ 5x &=& 550 &\vert :5 \\ x &=& 110 & \end{array}$
Was, so viele RoboCrocs? Soll das ein Witz sein?! Er hat doch nur $55$...
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Schildere die richtige Reihenfolge der Rechenschritte.
Tipps
Sobald die linke Seite der Ausgangsgleichung zusammengefasst ist, wird die Gleichung mittels Äquivalenzumformungen nach der Variablen $x$ umgestellt.
Schaue dir das Vorgehen beim Lösen einer linearen Gleichung an folgendem Beispiel an:
$\begin{array}{rcll} 50\cdot1+5\cdot x &=& 10\cdot60 & \\ 50+5x &=& 600 &\vert-50 \\ 5x &=& 550 &\vert :5 \\ x &=& 110 & \end{array}$
Lösung
Es soll der Preis in Goldbarren für einen RoboCroc berechnet werden. Hierzu stellt man zunächst folgende Gleichung auf:
Preis Inseln $\cdot$ Anzahl Inseln $+x\cdot$ Anzahl RoboCrocs $=$ Preis Diamanten $\cdot$ Anzahl Diamanten.
Die Variable $x$ steht dabei für den gesuchten Preis pro RoboCroc.
$\begin{array}{rcll} 50\cdot1+x\cdot55 &=& 10\cdot60 & \\ 50+55x &=& 600 &\vert-50 \\ 55x &=& 550 &\vert :55 \\ x &=& 10 & \end{array}$
Wenn Dr. Evil also $55$ RoboCrocs für je $10$ Goldbarren verkauft, kann er sich $60$ Diamanten für den Ring seiner Mutti leisten.
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Bestimme $x$ für diese lineare Gleichung.
Tipps
Du musst die Anzahl der Hunde pro Rasse mit der Anzahl der Leckerlis, die diese Rasse frisst, multiplizieren. Das sieht so aus:
Anzahl Golden Retriever $\cdot$ Anzahl Leckerlis pro Golden Retriever $=4\cdot 5=20$.
Hinter dem Gleichheitszeichen steht:
Anzahl Kinder $\cdot x$.Lösung
In der Gleichung wird die Anzahl jeder Hunderasse mit der Anzahl der Leckerlis, die diese Hunderasse frisst, multipliziert.
Anzahl Golden Retriever $\cdot$ Anzahl Leckerlis pro Golden Retriever $=4\cdot 5$
Anzahl Beagles $\cdot$ Anzahl Leckerlis pro Beagle $=3\cdot 9$
Anzahl Dackel $\cdot$ Anzahl Leckerlis pro Dackel $=2\cdot 1$Die Addition dieser Werte wird gleichgesetzt mit:
Anzahl Kinder $\cdot$ gesuchte Anzahl Leckerlis pro Kind.
Die gesuchte Anzahl Leckerlis pro Kind wird $x$ genannt.
Alles zusammen sieht dann so aus:
$\begin{array}{rcll} 4\cdot 5+3\cdot 9+2\cdot 1 &=& 7\cdot x & \\ 20+27+2 &=& 7x & \\ 49 &=& 7x &\vert :7 \\ 7 &=& x & \end{array}$
Jedes Ahorn-Kind darf also $7$ Leckerlis verteilen. Da werden die Hunde sich freuen!
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Leite die gesuchten Gleichungen her.
Tipps
In der ersten Aufgabe rechnen wir zum Beispiel:
Anzahl Cappuccinos $\cdot$ Preis Cappuccino.
In der zweiten Aufgabe rechnen wir:
Anzahl der Personen einer Gruppe $\cdot$ Anzahl der Goldstücke pro Person dieser Gruppe.
Bei Aufgabe $3$ rechnen wir:
Anzahl der Personen von Familie Müller $\cdot$ gesuchte Menge geernteter Kartoffeln pro Person.
Lösung
Die Rechnung von Emma und Sophie setzt sich wie folgt zusammen:
- Anzahl Cappuccinos $\cdot$ Preis pro Cappuccino $=3\cdot2$
- Anzahl Gläser Wasser $\cdot$ Preis pro Glas Wasser $=1\cdot2$
- Anzahl Stücke Erdbeertorte $\cdot$ Preis pro Stück Erdbeertorte $=1\cdot4$
- Anzahl Personen $\cdot x$.
So wird die Gleichung wie folgt aufgestellt:
$3\cdot2+1\cdot2+1\cdot4=2\cdot x$.So errechnen wir, wie viele Goldstücke jeder auf Käpt'n Rotbarts Schiff bekommt:
- Anzahl Personen Gruppe $1$ $\cdot$ Anzahl Goldstücke pro Person $=6\cdot100$
- Anzahl Personen Gruppe $2$ $\cdot$ Anzahl Goldstücke pro Person $=8\cdot200$
- Anzahl Personen Gruppe $3$ $\cdot$ Anzahl Goldstücke pro Person $=7\cdot0$
- Gesamtzahl aller Personen $\cdot x$.
So muss die Gleichung aussehen:
$6\cdot100+8\cdot200+7\cdot0=22\cdot x$.Die Gleichung für die Kartoffelernte der Familie Müller wird so aufgestellt:
- Anzahl Personen Familie Strauß $\cdot\ \text{kg}$ Menge geernteter Kartoffeln pro Person $=4\cdot400$
- Anzahl Personen Familie Hebel $\cdot\ \text{kg}$ Menge geernteter Kartoffeln pro Person $=12\cdot300$
- Anzahl Personen Familie Müller $\cdot$ gesuchte Menge geernteter Kartoffeln pro Person $=8\cdot x$
- Anzahl Personen im Dorf $\cdot\ \text{kg}$ Menge Kartoffeln pro Dorfbewohner.
So muss die Gleichung aussehen:
$4\cdot400+12\cdot300+8\cdot x=200\cdot50$. -
Ergänze die Aufstellung der Gleichung.
Tipps
Letztes Jahr hat Tom $4$ Rucksäcke für je $10$ Euro verkauft. Sein Einkommen berechnet sich zu:
Preis pro Rucksack $\cdot$ Anzahl verkaufter Rucksäcke.
Damit folgt:
$10\cdot 4=40$.
Auf der rechten Seite des Gleichheitszeichens steht:
Preis für $1$ Videospiel $\cdot$ gesuchte Anzahl der Videospiele.
Die gesuchte Größe bezeichnen wir mit $x$. Hier suchen wir die Anzahl der Videospiele, die sich Tom leisten kann, wenn er alle Gegenstände verkauft.
Du musst beide Seiten der Gleichung durch $12$ teilen.
Lösung
Zuerst stellen wir die Gleichung auf, für die gesuchte Anzahl der Videospiele schreiben wir $x$:
Preis Sneakers $\cdot$ Anzahl Sneakers $+$ Preis Romane $\cdot$ Anzahl Romane $=$ Preis Videospiele $\cdot x$.
Jetzt setzen wir die Werte ein:
$20\cdot1+4\cdot10=12\cdot x$.
Wir benutzen Vereinfachungen und Äquivalenzumformungen, um die Gleichung zu lösen. Das sieht so aus:
$\begin{array}{rcll} 20+40 &=& 12x & \\ 60 &=& 12x &\vert :12 \\ 5 &=& x & \end{array}$
$5$ Videospiele kann Tom also kaufen, wenn er alle Dinge vom Dachboden loswird. Cool!
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Ermittle die Gleichung und das Ergebnis.
Tipps
Beim Aufstellen einer Gleichung drücken wir Fakten aus dem Text mathematisch aus. Wird im Text etwas doppelt gerechnet, so heißt das, wir multiplizieren mit $2$.
Vergleiche mit folgendem Beispiel:
„Das Zehnfache einer Zahl vermindert um $10$ ist gleich das Sechsfache dieser Zahl vermehrt um $2$. Wie heißt die Zahl?“
$\begin{array}{rcll} 10x-10 &=& 6x+2 &\vert-6x \\ 4x-10 &=& 2 &\vert+10 \\ 4x &=& 12 &\vert :4 \\ x &=& 3 & \end{array}$
Lösung
Berechnung der Länge der Brücke:
$x$ ist hier die gesuchte Länge der Brücke.
Die Gleichung wird so aufgestellt:
$\begin{array}{rcll} 28\cdot x+11\cdot x+x &=& 4000 & \\ 40x &=& 4000 &\vert :40 \\ x &=& 100 & \end{array}$Die Brücke ist demnach $100\ \text{m}$ lang.
Berechnung des Alters:
$x$ ist hier die Anzahl Jahre bis zur Verdopplung.
So wird die Gleichung aufgestellt:
$\begin{array}{rcll} 38+x &=& 2\cdot(11+x) & \\ 38+x &=& 22+2x &\vert-x \\ 38 &=& 22+x &\vert-22 \\ 16 &=& x & \end{array}$In $16$ Jahren wird der Vater doppelt so alt wie der Sohn sein.
2 Kommentare
Die Videos von euch sind immer sooooo gut animiert ! Ich liebe eure Videos!!♥♥
Super Video,super erklärt
Dieses hat mir sehhr viel weitergeholfen
Schade umden Robo Croc