Weg, Zeit, Geschwindigkeit – gleiche Richtung
Entdecke, wie du den Zusammenhang zwischen Weg, Zeit und Geschwindigkeit meisterst: Wir zeigen dir, wie du die grundlegende Formel anwendest und für verschiedene Szenarien umstellst. Ob Anna pünktlich in der Schule ankommt, ob mit Bus oder Fahrrad, wird klar, wenn du die Formeln für Weg, Zeit und Geschwindigkeit nutzt. Interessiert? Lerne dies und noch mehr im vollständigen Artikel!
- Zusammenhang zwischen Weg, Zeit und Geschwindigkeit – Mathematik
- Weg-Zeit-Geschwindigkeit-Formel – Definition
- Weg, Zeit, Geschwindigkeit berechnen – Beispiel
- Zusammenhang zwischen Weg, Zeit und Geschwindigkeit – Zusammenfassung
- Häufig gestellte Fragen zum Thema Weg, Zeit, Geschwindigkeit - gleiche Richtung
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Grundlagen zum Thema Weg, Zeit, Geschwindigkeit – gleiche Richtung
Zusammenhang zwischen Weg, Zeit und Geschwindigkeit – Mathematik
Im folgenden Text schauen wir uns den Zusammenhang zwischen Weg, Zeit und Geschwindigkeit an, wenn sich zwei Objekte in die gleiche Richtung bewegen. Zunächst lernst du, mit welcher Formel die Beziehung zwischen diesen Größen ausgedrückt werden kann, und anschließend betrachten wir gemeinsam, wie du die Weg-Zeit-Geschwindigkeit-Formel nach der gesuchten Größe umstellen kannst. Anhand eines Beispiels siehst du, wie diese Formel angewendet wird.
Weg-Zeit-Geschwindigkeit-Formel – Definition
Geschwindigkeit ist immer Weg geteilt durch Zeit. Wie bei der Einheit $\pu{\frac{km}{h}}$. Bei Aufgaben mit Weg, Zeit und Geschwindigkeit kannst du das folgende Dreieck als Hilfe benutzen.
Du kannst aus dem Dreieck ablesen, wie du mithilfe von zwei Größen die dritte berechnen kannst. Es zeigt uns, dass Geschwindigkeit gleich dem Weg dividiert durch die Zeit ist, da der Weg oben und die Zeit unten im Dreieck stehen.
$ v = \frac{s}{t} $
Außerdem ist die Zeit gleich dem Weg dividiert durch die Geschwindigkeit.
$ t = \frac{s}{v} $
Die Geschwindigkeit und die Zeit stehen auf einer Ebene, das heißt, du multiplizierst beide Größen, um den Weg zu erhalten.
$ s = v \cdot t $
Weg, Zeit, Geschwindigkeit berechnen – Beispiel
Im folgenden Abschnitt schauen wir uns eine Aufgabenstellungen zum Thema Weg, Zeit und Geschwindigkeit bei Bewegung in die gleiche Richtung an.
Anna ist spät dran. Es ist 07:42 Uhr und die Schule fängt um 08:00 Uhr an. Sie muss entscheiden, ob sie mit dem Fahrrad oder dem Bus fahren will. Sie darf nicht zu spät kommen. Der Bus fährt um 07:45 Uhr ab. Er bewegt sich mit einer Geschwindigkeit von $30\,\pu{\frac{km}{h}}$. Die Schule ist $5\,\pu{km}$ von der Bushaltestelle entfernt. Mit dem Fahrrad könnte Anna gleich los und sie würde sich mit einer Geschwindigkeit von $15\,\pu{\frac{km}{h}}$ bewegen. Die Strecke bleibt gleich, da Anna in der Nähe der Bushaltestelle wohnt. Um herauszufinden, mit welchem Fortbewegungsmittel Anna pünktlich in der Schule ankommt, müssen wir die Zeit berechnen, die sie für die Fahrt mit dem Bus braucht, und jene, die sie für die Fahrt mit dem Fahrrad benötigt. Wir benutzen hier also die Formel für die Zeit t:
$ t = \frac{s}{v} $
Wir setzen zuerst die Angaben für den Weg (s) und die Geschwindigkeit (v) ein, wenn Anna ihr Fahrrad benutzen würde:
$ t = \frac{5\,\pu{km}}{15\,\pu{\frac{km}{h}}} = \frac{1}{3}h = \frac{60 min}{3} \ \hat{=} \ 20\,\pu{min}$
$ 07:42 \ Uhr + 20 \ Minuten = 08:02 \ Uhr$
Wir setzen die Angaben für den Weg (s) und die Geschwindigkeit (v) ein, wenn Anna den Bus benutzen würde:
$ t = \frac{5\,\pu{km}}{30\,\pu{\frac{km}{h}}} = \frac{1}{6}h = \frac{60 min}{6} \ \hat{=} \ 10\,\pu{min}$
$ 07:45 \ Uhr + 10 \ Minuten = 07:55 \ Uhr$
Mit dem Bus braucht Anna also 10 Minuten für den Weg in die Schule und würde gerade noch rechtzeitig um 07:55 Uhr ankommen. Nimmt sie das Fahrrad, würde sie zu spät kommen.
Zusammenhang zwischen Weg, Zeit und Geschwindigkeit – Zusammenfassung
Du weißt nun, dass es eine Formel zur Berechnung des Zusammenhangs zwischen Weg, Zeit und Geschwindigkeit gibt. Die Formel kann so umgestellt werden, dass man als Ergebnis die Geschwindigkeit (v), die Zeit (t) oder den Weg (s) erhält:
$ v = \frac{s}{t} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ t = \frac{s}{v} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ s = v \cdot t $
Hier auf der Seite findest du Übungen und Arbeitsblätter, bei denen du Weg, Zeit und Geschwindigkeit in verschiedenen Aufgaben berechnen kannst. Viel Spaß!
Häufig gestellte Fragen zum Thema Weg, Zeit, Geschwindigkeit - gleiche Richtung
Transkript Weg, Zeit, Geschwindigkeit – gleiche Richtung
Zusammenhänge von Weg, Zeit und Geschwindigkeit verstehen
Tom steckt in Schwierigkeiten... Vor Kurzem hat er seiner Lehrerin einen Streich gespielt.
Nun liegt ein Verweis zu Hause im Briefkasten. Tom muss ihn UNBEDINGT VOR der Mutter in die Finger kriegen. Die Zeit läuft. Toms Mutter arbeitet gegenüber der Schule und hat um 15 Uhr Feierabend. Gewinnt Tom das Rennen? Dafür brauchen wir die Zusammenhänge von Weg, Zeit und Geschwindigkeit.
Berechnung der Geschwindigkeit
Toms Bus fährt vor der Schule um 14 Uhr 50 ab. Toms Schule und das Büro seiner Mutter sind 12,5 Kilometer von zu Hause entfernt. Der Bus fährt mit einer Geschwindigkeit von 25 km/h. Toms Mutter fährt gerne schnell und ist mit durchschnittlich 50 km/h unterwegs. Geschwindigkeit ist Weg geteilt durch Zeit.... ...wie bei der Einheit Kilometer pro Stunde
Hilfsdreieck zur Berechnung von Zeit, Weg und Geschwindigkeit
Bei Aufgaben mit Weg, Zeit und Geschwindigkeit hilft dir ein dieses Dreieck. Es zeigt: Geschwindigkeit, "v", ist gleich Weg, "s", geteilt durch Zeit, "t", denn s steht über t. Außerdem ist Zeit, "t", gleich Weg durch Geschwindigkeit, denn s steht über v. v und t stehen auf gleicher Höhe. Der Weg, "s", ist gleich Geschwindigkeit mal Zeit.
Beispielaufgabe zur Berechnung der Zeit t
In dieser Aufgabe sollst du die benötigte Zeit t berechnen. Dafür brauchst du die Formel t ist gleich s durch v. Für die Zeit, die Tom braucht, rechne: der Weg, 12,5 Kilometer, geteilt durch die Geschwindigkeit, 25 km/h. Dies kannst du kürzen zu ein Halb. Tom braucht eine halbe Stunde, also 30 Minuten nach Hause. Und wie lange benötigt Toms Mutter für den Heimweg? Wieder nutzt du die Formel t ist gleich s durch v. Toms Mutter fährt mit 50km/h nach Hause. Der Weg beträgt ebenfalls 12,5 Kilometer. Für die Zeit musst du also 12,5 durch 50 teilen. Dies kannst du kürzen zu ein Viertel. Toms Mutter braucht eine Viertelstunde, also 15 Minuten. Tom verlässt die Schule um 14 Uhr 50. Er fährt 30 Minuten mit dem Bus und kommt 15 Uhr 20 zu Hause an. Seine Mutter fährt 10 Minuten später los, also um 15 Uhr. Sie ist um 15 Uhr 15 zu Hause.
Ende
So ein Mist - Tom ist 5 Minuten NACH seiner Mutter zu Hause, und die hat den Brief schon gefunden.
Weg, Zeit, Geschwindigkeit – gleiche Richtung Übung
-
Gib den Zusammenhang von Weg, Zeit und Geschwindigkeit an.
TippsDie Geschwindigkeit hat zum Beispiel die Einheit Kilometer pro Stunde $\left[\frac{\text{km}}{\text{h}}\right]$.
Die Formel lautet in Worten: $\text{Zeit} = \frac{\text{Weg}}{\text{Geschwindigkeit}}$.
Dieses Dreieck könnte dir bei deiner Entscheidung helfen.
LösungDie Geschwindigkeit $v$ beschreibt, wie schnell ein Körper einen bestimmten Weg $s$ innerhalb einer bestimmten Zeit $t$ zurücklegt. Sie lässt sich mithilfe der Formel
$\quad v=\frac{s}{t}$
ermitteln. Durch Äquivalenzumformung kannst du diese Formel sowohl nach dem Weg $s$, als auch nach der Zeit $t$ umstellen. Für die Berechnung der Zeit $t$, die Tom und seine Mutter jeweils für ihre Heimfahrt benötigen, muss diese Formel nach der Zeit $t$ umgestellt werden.
Dies erfolgt durch Multiplikation der Formel mit der Zeit $t$ und anschließender Division durch die Geschwindigkeit $v$.
Die Formel für die Berechnung der Zeit $t$ lautet dann:
$\begin{array}{llll} v &=& \frac{s}{t} & \vert \cdot t\\ v\cdot t &=& s & \vert :v\\ t &=& \frac{s}{v} & \end{array}$
Du musst dir also eigentlich nur die Formel für die Geschwindigkeit $(v=\frac st)$ merken und diese nach der gesuchten Größe, also der Zeit oder dem Weg, umstellen.
-
Berechne die Fahrtzeiten von Tom und seiner Mutter.
TippsDie Formel für Weg, Zeit und Geschwindigkeit lautet in Worten:
- $\text{Geschwindigkeit}=\dfrac{\text{Weg}}{\text{Zeit}}$.
Die Umrechnung von Stunden $\left[\text{h}\right]$ in Minuten $\left[\text{min}\right]$ resultiert aus der Überlegung, dass eine ganze Stunde $60$ Minuten hat. Somit gilt für die Umrechnung:
$\begin{array}{lllll} &1\ \left[\text{h}\right]\quad&\xrightarrow{\cdot~ 60}&\ &60\ \left[\text{min}\right] \\ \\ &1\ \left[\text{h}\right]\quad&\xleftarrow{:~ 60}&\ &60\ \left[\text{min}\right] \\ \end{array} $
LösungWir betrachten hier zwei Fälle, in denen jeweils Geschwindigkeit $v$ und Weg $s$ gegeben sind. Die Weglänge $s$ ist in beiden Fällen identisch. Die Geschwindigkeit $v$ unterscheidet sich. Gesucht ist für beide Fälle die Fahrtzeit $t$ bei gegebener Weglänge $s$ und Geschwindigkeit $v$. Für beide Rechnungen wird die Formel
$\quad t=\frac{s}{v}$
verwendet.
In der Aufgabenstellung sind für Tom folgende Daten gegeben:
- $v = 25 \ \frac{\text{km}}{\text{h}}$
- $s=12,5\ \text{km}$
$t = \frac{12,5}{25} = 0,5 \left[ \text{h}\right] = 30 \left[ \text{min}\right].$
Für Toms Mutter sind gegeben:
- $v = 50\ \frac{\text{km}}{\text{h}}$
- $s=12,5\ \text{km}$
$t = \frac{12,5}{50} = 0,25 \left[ \text{h}\right] = 15 \left[ \text{min}\right]$.
Obwohl Tom $10$ Minuten früher losfährt als seine Mutter, schafft er es aufgrund der $15$ Minuten längeren Fahrtzeit nicht mehr den Verweis vor seiner Mutter in die Finger zu kriegen.
-
Berechne die fehlenden Größen.
TippsFür die Berechnung der gesuchten Größen $v$, $s$ und $t$ muss folgende Formel verwendet werden:
- $v=\frac st$.
Ein ähnliches Beispiel könnte dir helfen:
Gegeben:
- $s=12\ \text{km}$
- $v=30\ \frac{\text{km}}{\text{h}}$
- $t$ in $\left[\text{h}\right]$
$\quad t=\frac{s}{v}=\frac{12}{30}=0,4\ \left[\text{h}\right]$.
LösungEs sind immer zwei Größen von $v$, $s$ und $t$ bekannt. Die gesuchte Größe muss mit dem Zusammenhang
- $v = \frac st$
Beispiel 1:
Gegeben:
- $s=1860\ \text{km}$
- $v=744\ \frac{\text{km}}{\text{h}}$
- $t$ in $\left[\text{h}\right]$
$\quad t=\frac{s}{v}=\frac{1860}{744}=2,5\ \left[\text{h}\right]$
Der Flug von Berlin nach Barcelona dauert also $t=2,5$ Stunden. Somit landet der Flieger um 14:15 Uhr.
Beispiel 2:
Gegeben:
- $s=25\ \text{m}$
- $v=20\ \frac{\text{m}}{\text{s}}$
- $t$ in $\left[\text{s}\right]$
$\quad t=\frac{s}{v}=\frac{25}{20}=1,25\ \left[\text{s}\right]$
Der Torwart darf eine maximale Reaktionszeit von $t=1,25$ Sekunden haben, wenn er den Ball noch halten soll.
Beispiel 3:
Gegeben:
- $s=2000\ \text{m}$
- $t=160\ \text{s}$
- $v$ in $\left[\frac{\text{m}}{\text{s}}\right]$
$\quad v=\frac st=\frac{2000}{160}=12,5\ \left[\frac{\text{m}}{\text{s}}\right]$
Das Rennpferd Amadeus hat eine Geschwindigkeit von $v=12,5\ \frac{\text{m}}{\text{s}}$.
Beispiel 4:
Gegeben:
- $v=30\ \frac{\text{m}}{\text{s}}$
- $t=0,1\ \text{h}$
- $s$ in $\left[\text{km}\right]$
$\quad s=v\cdot t=30\cdot 0,1=3\ \left[\text{km}\right]$
Die Katze hat während ihrer Flucht eine Strecke von $s=3\ \text{km}$ zurückgelegt.
-
Ermittle die fehlenden Größen und vergleiche diese.
TippsAchte auf die Einheiten der gegebenen Größen.
Für die Umrechnung von Kilometer $\left[\text{km}\right]$ und Meter $\left[\text{m}\right]$ gilt:
$\begin{array}{lllll} &1\ \left[\text{km}\right]\quad&\xrightarrow{\cdot~ 1000}&\ &1000\ \left[\text{m}\right] \\ &1\ \left[\text{km}\right]\quad&\xleftarrow{:~1000}&\ &1000\ \left[\text{m}\right] \end{array} $
Die Umrechnung von Kilometer pro Stunde $\left[\frac{\text{km}}{\text{h}}\right]$ und Meter pro Sekunde $\left[\frac{\text{m}}{\text{s}}\right]$ erfolgt mit:
$\begin{array}{lllll} &3,\!6\ \left[\frac{\text{km}}{\text{h}}\right]\quad&\xrightarrow{:~3,6}&\ &1\ \left[\frac{\text{m}}{\text{s}}\right] \\ &3,\!6\ \left[\frac{\text{km}}{\text{h}}\right]\quad&\xleftarrow{\cdot~ 3,6}&\ &1\ \left[\frac{\text{m}}{\text{s}}\right] \end{array} $
Für beide Läufer ist eine Weglänge von $s=0,1\ \text{km}$ gegeben. Gesucht sind für:
Läufer 1: Zeit $t_1$ mit einer Geschwindigkeit von $v_1=4\ \frac{\text{m}}{\text{s}}$
Läufer 2: Geschwindigkeit $v_2$ mit einer Zeit von $t_2=20\ \text{s}$
Durch Äquivalenzumformung kannst du beide Berechnungen mit folgender Formel durchführen:
- $v=\frac st$.
LösungGegeben sind folgende Daten:
Entfernung: $s=0,\!1\ \text{km}$
Läufer 1: $v_1=4\ \frac{\text{m}}{\text{s}}$
Läufer 2: $t_2=20\ \text{s}$Beide Läufer müssen eine Entfernung von $s=100\ \text{m}$ zurücklegen.
Zunächst soll die fehlende Größe – die benötigte Zeit $t_1$ – für den Läufer 1 berechnet werden. Die Berechnung erfolgt mit der Formel $t_1=\frac{s}{v_1}$ und liefert folgende Lösung:
$t_1=\frac{100}{4}=25\ \left[\text{s}\right]$.
Für Läufer 2 muss die Geschwindigkeit wie folgt ermittelt werden:
$v_2=\frac{s}{t_2}=\frac{100}{20}=5\ \left[\frac{\text{m}}{\text{s}}\right]$.
Somit treffen folgende Aussagen zu:
- $v_1 < v_2$
- $t_1 > t_2$
- $s_1 = s_2$
-
Benenne die Größen in der Formel für Weg, Zeit und Geschwindigkeit.
TippsDer englische Begriff für die Geschwindigkeit lautet velocity.
Die Geschwindigkeit beschreibt den zurückgelegten Weg pro Zeit und hat zum Beispiel die Einheit Kilometer pro Stunde $\left[\frac{\text{km}}{\text{h}}\right]$.
LösungDie Geschwindigkeit beschreibt, wie schnell ein bestimmter Weg zurückgelegt wird. Um diese zu berechnen, muss der Weg durch die Zeit geteilt werden. In Worten lautet die Formel also:
- $\text{Geschwindigkeit}=\frac{\text{Weg}}{\text{Zeit}}$.
Damit ergibt sich also die Formel:
- $v = \frac st$.
-
Bestimme für unterschiedliche Szenarien die gesuchte Größe.
TippsFür das ursprüngliche Szenario wurden folgende Ankunftszeiten berechnet:
- Mutter: 15:15 Uhr mit einer Fahrtzeit von $t_{Mutter}=15\ \text{min}$
- Tom: 15:20 Uhr mit einer Fahrtzeit von $t_{Tom}=30\ \text{min}$
Szenario 2: Toms Mutter kommt $10$ Minuten nach Tom zu Hause an, also um 15:30 Uhr.Folgende Überlegungen müssen für die Berechnung der gesuchten Größen berücksichtigt werden:
Szenario 1: Toms Bus fährt um 14:50 Uhr ab und soll um 15:10 Uhr ankommen. Damit resultiert eine neue Fahrtzeit für Tom von $t_{Tom}=20\ \text{min}$.
Szenario 2: Toms Mutter macht um 15:00 Uhr Feierabend und soll um 15:30 Uhr zu Hause ankommen. Damit resultiert eine neue Fahrtzeit für Toms Mutter von $t_{Mutter}=30\ \text{min}$.
LösungFür das ursprüngliche Szenario im Video wurden folgende Daten angenommen:
Entfernung: $s=12,5\ \text{km}$
Mutter: Abfahrt 15:00 Uhr, $v_{Mutter}=50\ \frac{\text{km}}{\text{h}}$
Tom: Abfahrt 14:50 Uhr, $v_{Tom}=25\ \frac{\text{km}}{\text{h}}$
Mit diesen wurde berechnet, dass Toms Mutter für den Heimweg eine Viertelstunde braucht und demnach um 15:15 Uhr zu Hause ankommt. Toms Heimfahrt hingegen dauert eine halbe Stunde, sodass er um 15:20 Uhr zu Hause ist.
Nun betrachte man die neuen Szenarien:
Szenario 1:
Gesucht ist diejenige Geschwindigkeit $v_{Tom}$, bei der Tom fünf Minuten vor seiner Mutter zu Hause ankommt. Das heißt, dass er um 15:10 Uhr zu Hause sein muss und somit eine Fahrtzeit von $20$ Minuten bzw. $\frac{1}{3}$ Stunde haben darf.
Mit der ermittelten Fahrtzeit $t_{Tom}=\frac{1}{3}\ \text{h}$ und der bekannten Weglänge $s=12,5\ \text{km}$ kann nun die gesuchte Geschwindigkeit $v_{Tom}$ berechnet werden.
Für diese resultiert:
$v_{Tom}=\frac{s}{t_{Tom}}=\frac{12,5}{\frac{1}{3}}=\frac{12,5\cdot 3}{1}=37,5\ \left[\text{h}\right]$.
Szenario 2:
Gesucht ist diejenige Entfernung $s_{Mutter}$, bei der Toms Mutter genau zehn Minuten nach Tom zu Hause antrifft. Das heißt, dass sie um 15:30 Uhr zu Hause sein muss und somit eine Fahrtzeit von $30$ Minuten bzw. $\frac{1}{2}$ Stunde haben müsste.
Mit der ermittelten Fahrtzeit $t_{Mutter}=\frac{1}{2}\ \text{h}$ und der bekannten Geschwindigkeit $v_{Mutter}=50\ \frac{\text{km}}{\text{h}}$ kann nun die gesuchte Weglänge $s_{Mutter}$ berechnet werden.
Für diese resultiert:
$s_{Mutter}=v_{Mutter}\cdot t_{Mutter}=50\cdot \frac{1}{2}=25\ \left[\text{km}\right]$.
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super Video und auch coole Geschichte mit dem Verweis
wiee süßßßß
Hallo Batiahe, welche Lösung hattet ihr denn? Die Erklärung im Video ist richtig. Man wendet die genannte Formel an und kommt auf 30 Minuten für den Bus. Da dieser um 14:50 losfährt, ist er 15:20 am Zielort. Die Mutter braucht 15 Minuten. Da sie 15:00 losfährt, kommt sie 15:15 an, also 5 Minuten eher. Liebe Grüße aus der Redaktion!
Wir Hatten eine ganz andere Lösung bitten um Erklärung
Hallo Timtia, das sind die Kurzformen für die drei Größen Weg (s), Zeit (t) und Geschwindigkeit (v).
Wende Dich bei Fragen auch gern an unseren Hausaufgabenchat, der von Mo-Fr von 17 bis 19 Uhr für Euch da ist.
Liebe Grüße aus der Redaktion.