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Formeln in der Mathematik

Mathematische Formeln sind Gleichungen, die mathematische Größen verknüpfen, Regeln darstellen und relevant sind in allen mathematischen Gebieten sowie den Naturwissenschaften. Beim Arbeiten mit Formeln ist es wichtig, die gesuchte Größe zu bestimmen, passende Formeln zu finden, diese gegebenenfalls umzustellen und dann die Lösung zu berechnen. Interessiert? Das und vieles mehr findest du in unserem Video!

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Team Digital
Formeln in der Mathematik
lernst du in der 7. Klasse - 8. Klasse

Formeln in der Mathematik Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Formeln in der Mathematik kannst du es wiederholen und üben.
  • Beschreibe, was Formeln in der Mathematik sind.

    Tipps

    Eine Variable wird durch Buchstaben dargestellt, beispielsweise $x$.

    Das ist ein Beispiel für eine Formel:

    $U = 2a+2b$

    Lösung

    Formeln sind Regeln, Vorschriften oder Gesetzmäßigkeiten in der Mathematik. Sie stellen den Zusammenhang zwischen verschiedenen mathematischen Größen dar, etwa zwischen dem Umfang und der Seitenlänge eines Quadrats: $U=4 \cdot a$.

    Diese Größen werden durch Variablen abgekürzt, zum Beispiel $U$ für den Umfang und $a$ für die Seitenlänge. Werden die Variablen durch Rechenzeichen miteinander verknüpft und als Gleichung notiert, so handelt es sich um eine Formel.

  • Bestimme durch Umstellen der folgenden Formel die gesuchte Größe $c$.

    Tipps

    Wir können eine Gleichung umformen, indem wir auf beiden Seiten der Gleichung mit der gleichen Zahl ($\neq 0$) multiplizieren oder durch die gleiche Zahl ($\neq 0$) dividieren.

    Lösung

    Die Grundformel für den Flächeninhalt von Dreiecken lautet:

    $\begin{array}{lll} A&=&\dfrac{g\cdot h}{2} \end{array}$

    In unserem Dreieck ist $c$ die Grundseite und $h_c$ die zugehörige Höhe. Wir schreiben also:

    $\begin{array}{lll} A&=&\dfrac{c\cdot h_c}{2} \end{array}$

    Wir müssen diese Gleichung nun nach der gesuchten Größe $c$ auflösen. Dazu multiplizieren wir zunächst auf beiden Seiten mit $2$:

    $\begin{array}{llll} A&=&\dfrac{c\cdot h_c}{2}& | \cdot 2\\ 2A& =& c \cdot h_c& \end{array}$

    Damit $c$ allein steht, müssen wir noch auf beiden Seiten der Gleichung durch $h_c$ teilen:

    $\begin{array}{llll} 2A& =& c \cdot h_c &|:h_c\\ \dfrac{2A}{h_c}&=&c \end{array}$

    Zum Schluss können wir die beiden Seiten der Gleichung vertauschen:

    $\begin{array}{lll} c&=&\dfrac{2A}{h_c} \end{array}$

  • Entscheide, mit welcher Formel wir die gesuchte Größe berechnen können.

    Tipps

    Die Formel muss die gegebenen Größen und die gesuchte Größe in Verbindung setzen.

    Das Viereck ist ein Parallelogramm.

    Lösung

    Alle aufgeführten Formeln beschreiben einen mathematisch korrekten Zusammenhang des gegebenen Parallelogramms.
    Wir suchen jedoch eine Formel, welche die gegebenen Größen, also den Flächeninhalt $A$ und die Grundseite $a$ mit der gesuchten Größe $h$, in Verbindung bringt. Dies ist der Fall bei der folgenden Formel:

    $A= a \cdot h$

    Um die gesuchte Größte $h$ zu bestimmen, müssen wir die Formel noch nach $h$ umstellen und die gegebenen Größen einsetzen:

    $\begin{array}{llll} A = a \cdot h &|:a\\ h=\dfrac{A}{a} = \dfrac{33~\text{cm}^2}{11~\text{cm}}=3~\text{cm} \end{array}$

  • Berechne die Höhe $h$ des Trapezes mithilfe der Flächeninhaltsformel.

    Tipps

    Wir formen die Gleichung um, indem wir beispielsweise auf beiden Seiten mit der gleichen Zahl ($\neq 0$) multiplizieren.

    Um den Flächeninhalt eines Trapezes zu berechnen, werden die Längen der beiden parallelen Seiten addiert, mit der Höhe multipliziert und dann durch $2$ geteilt.

    Lösung

    Wir beginnen mit der Formel für den Flächeninhalt eines Trapezes, welche den Flächeninhalt $A$, die beiden parallelen Seiten $a$ und $c$ sowie die Höhe $h$ verknüpft:

    $A=\dfrac{(a+c) \cdot h}{2}$

    Um die Höhe $h$ auf der rechten Seite zu isolieren, multiplizieren wir zunächst beide Seiten der Gleichung mit $2$ und erhalten somit:

    $2A=(a+c) \cdot h$

    Wir müssten nun noch beide Seiten der Gleichung durch $(a+c)$ dividieren:

    $\dfrac{2A}{a+c}=h$

    Zur besseren Übersicht vertauschen wir die beiden Seiten der Gleichung:

    $h=\dfrac{2A}{a+c}$

    Jetzt steht die gesuchte Größe $h$ allein auf der linken Seite. Wir können dann die gegebenen Größen einsetzen:

    $ h=\dfrac{2A}{a+c}=\dfrac{2 \cdot 25 ~\text{cm}^2}{7~\text{cm} + 3~\text{cm}}$

    Somit ergibt sich folgendes Ergebnis:

    $h=5~\text{cm}$

  • Fasse zusammen, wie man mit Formeln rechnet.

    Tipps

    Die gesuchte Größe muss immer allein auf einer Seite des Gleichheitszeichens stehen.

    Lösung

    Wir betrachten die einzelnen Schritte an einem Beispiel:
    Von einem Parallelogramm kennen wir die Grundseite $g=4~\text{cm}$ und den Flächeninhalt $A=12~\text{cm}^2$. Wir suchen die Höhe.

    1. Schritt: Wir prüfen, welche Größe gesucht ist und welche Größen gegeben sind.

    Für unser Beispiel heißt das:

    • gegeben: $A=12~\text{cm}^2$ und $g=4~\text{cm}$
    • gesucht: $h$

    2. Schritt: Wir ermitteln, welche Formel diese Größen verknüpft.

    Wir suchen also eine Formel, welche $A$, $g$ und $h$ eines Parallelogramms enthält:

    $A=g \cdot h$

    3. Schritt: Wir überprüfen, ob die Formel noch nach der gesuchten Größe umgestellt werden muss.

    Da die gesuchte Größe $h$ noch nicht allein steht, dividieren wir auf beiden Seiten der Gleichung durch $g$ und erhalten:

    $\dfrac{A}{g}=h$

    4. Schritt: Wir setzen die gegebenen Größen in die Formel ein und berechnen so die gesuchte Größe.

    Daraus folgt für unser Beispiel:

    $h=\dfrac{12~\text{cm}^2}{4~\text{cm}}=3~\text{cm}$

    Die gesuchte Höhe $h$ beträgt also $3~\text{cm}$.

  • Stelle die Formel nach $a$ um.

    Tipps

    Wir können eine Gleichung umformen, indem wir auf beiden Seiten der Gleichung mit der gleichen Zahl ($\neq 0$) multiplizieren oder durch die gleiche Zahl ($\neq 0$) dividieren.

    Lösung

    Wir formen die einzelnen Gleichungen nach $a$ um:

    Rechteck

    $\begin{array}{llll} A& =& a \cdot b&|:b\\ \dfrac{A}{b}&=&a \\ a&=&\dfrac{A}{b} \end{array}$

    Parallelogramm

    $\begin{array}{llll} A& =& a \cdot h_a&|:h_a\\ \dfrac{A}{h_a}&=&a \\ a&=&\dfrac{A}{h_a} \end{array}$

    Dreieck

    $\begin{array}{llll} A& =& \dfrac{a \cdot h_a}{2}&|\cdot 2\\ 2A& =& a \cdot h_a&|:h_a\\ \dfrac{2A}{h_a}&=&a \\ a&=&\dfrac{2A}{h_a} \end{array}$

    Trapez

    $\begin{array}{llll} A& =& \dfrac{(a+c) \cdot h}{2}&|\cdot 2\\ 2A& =& (a+c) \cdot h&|:h\\ \dfrac{2A}{h}&=&a+c&|-c \\ \dfrac{2A}{h}-c&=&a \\ a&=&\dfrac{2A}{h}-c \end{array}$