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Formeln in der Mathematik

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Team Digital
Formeln in der Mathematik
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Grundlagen zum Thema Formeln in der Mathematik

Inhalt

Formeln in der Mathematik – Mathe

Ob bei der Berechnung von mathematischen Körpern oder bei der Arbeit mit Funktionen, Formeln begegnen uns im Matheunterricht ständig. Und auch in den Naturwissenschaften stoßen wir immer wieder auf sie. Aber wie schreibt man mathematische Formeln richtig und wie sind die Formeln in Mathe aufgebaut? Schauen wir uns Formeln in der Mathematik noch einmal gemeinsam an. In diesem Text werden mathematische Formeln einfach erklärt.

Was sind Formeln in der Mathematik?

Was genau versteht man unter dem Begriff Formel? Betrachten wir dafür die Formel für die Berechnung des Flächeninhalts eines Rechtecks als Beispiel. Diese lautet:

$ A = a \cdot b$

Diese Formel stellt einen Zusammenhang zwischen dem Flächeninhalt sowie der Länge und der Breite eines Rechtecks dar. Jede Größe wird in der Formel durch eine Variable dargestellt. Das $A$ steht für den Flächeninhalt, $a$ steht für die Länge und $b$ für die Breite des Rechtecks. Rechenzeichen verknüpfen die verschiedenen Variablen in der Formel miteinander. Bei der Berechnung des Flächeninhalts eines Rechtecks wird die Länge mit der Breite multipliziert. Das Gleichheitszeichen macht deutlich, dass es sich bei der Formel um eine Gleichung handelt. Das gilt für alle Formeln. Gleichungen verbinden zwei Terme mit einem Gleichheitszeichen. Somit besteht jede Formel aus mindestens zwei Termen.

  • Formeln stellen einen Zusammenhang zwischen mathematischen Größen dar. Die mathematischen Größen werden durch Variablen verkörpert. Diese werden durch Rechenzeichen miteinander verknüpft.

Zur Berechnung müssen zwei der drei Werte bekannt sein. Diese können in die Formel eingesetzt werden, um so den gesuchten dritten Wert zu berechnen. Eine Formel kann jedoch auch aus mehr als drei Variablen bestehen. In diesem Fall müssen dementsprechend mehrere Werte gegeben sein. Ein gesuchter Wert kann nur dann berechnet werden, wenn alle anderen Werte bekannt sind.
Haben wir für das Rechteck eine Länge von $5\,\pu{cm}$ und eine Breite von $3\,\pu{cm}$ gegeben, so ergibt sich für den Flächeninhalt:

$ A = 5\,\pu{cm} \cdot 3\,\pu{cm} = 15\,\pu{cm^{2}}$

Als Flächeninhalt erhalten wir $15\,\pu{cm^{2}}$. Die Vorgehensweise zur Berechnung des Flächeninhalts eines Rechtecks ist bei jedem Rechteck gleich. Formeln geben die Vorgehensweise in einer einfachen und einprägsamen Form wieder. Daraus wird deutlich:

  • Formeln stehen in der Mathematik für Gesetzmäßigkeiten, Regeln, Vorschriften oder Definitionen.

In allen Bereichen der Mathematik gibt es Formeln und sie spielen auch in den Naturwissenschaften eine wichtige Rolle.

Mathematische Formeln – Beispiel

Betrachten wir ein weiteres Beispiel einer mathematischen Formel. Die Formel zur Berechnung des Flächeninhalts eines Dreiecks lautet:

$A = \dfrac{g \cdot h}{2}$

Die Variable $A$ steht wieder für den Flächeninhalt, $g$ steht für die Grundseite und $h$ für die dazugehörige Höhe. Die $2$ in der Formel ist eine Konstante. Konstanten sind feststehende Zahlenwerte.
Stellen wir uns folgende Aufgabe vor: Gegeben sind der Flächeninhalt $A=24\,\pu{cm^{2}}$ und $h_c=8\,\pu{cm}$, welches die Höhe auf der Grundseite $c$ ist. Die Grundseite $c$ ist hier die gesuchte Größe.

mathematische Formeln verstehen

Betrachten wir die Grundformel. Die Variable $g$ können wir durch $c$ ersetzen, da dies die Grundseite ist, deren Länge wir berechnen wollen. Demnach können wir auch $h$ durch die gegebene Höhe $h_c$ ersetzen.

$A = \dfrac{c \cdot h_c}{2}$

Die Formel muss nun umgeformt werden, sodass $c$ alleine steht. Dafür multiplizieren wir zunächst beide Seiten mit $2$. Wir erhalten:

$\quad A = \dfrac{c \cdot h_c}{2} \quad \vert \cdot 2$

$ \,2\,A = c \cdot h_c$

Nun müssen wir noch durch $h_c$ teilen. Die nach $c$ umgestellte Formel lautet:

$ \, \,2\,A = c \cdot h_c \quad \vert : h_c$

$ \dfrac{2\,A}{h_c} = c$

Es ist übersichtlicher, die gesuchte Größe auf der linken Seite stehen zu haben. Dafür können wir einfach die beiden Seiten der Gleichung vertauschen und erhalten die folgende Formel für die gesuchte Größe $c$:

$c = \dfrac{2\,A}{h_c}$

Jetzt können die gegebenen Größen eingesetzt werden und es ergibt sich die Länge der Seite $c$:

$c = \dfrac{2 \cdot 24\,\pu{cm^{2}}}{8\,\pu{cm}} = \dfrac{48\,\pu{cm^{2}}}{8\,\pu{cm}} = 6\,\pu{cm}$

Die Seite $c$ ist $6\,\pu{cm}$ lang.
Eine genaue Anleitung zum Umstellen von Formeln findest du in diesem Video zum Thema Formeln umstellen.

Mathematische Formeln – Zusammenfassung

Was sind Formeln?

  • Bei Formeln handelt es sich um Gleichungen, welche mathematische Größen in einen Zusammenhang bringen.
  • Sie fassen Gesetzmäßigkeiten und Regeln in einer kompakten Schreibweise zusammen.
  • Formeln kommen in allen Bereichen der Mathematik vor und spielen auch in den Naturwissenschaften eine wichtige Rolle.

Rechnen mit Formeln
Um herauszufinden, welche Formel du nutzen musst, kannst du dir folgende Fragen stellen:

  • Welche Größe ist gesucht?
  • Welche Größen sind gegeben?
  • Welche Formel stellt den passenden Zusammenhang dar?
  • Muss die Formel umgestellt werden?

Hast du die passende Formel gefunden und nach der gesuchten Größe umgestellt, dann kannst du die Lösung durch Einsetzen der bekannten Werte berechnen.

Willst du wissen, welche Formeln es in Mathe so gibt? Wichtige Formeln sind in sogenannten Formelsammlungen für Mathematik zusammengefasst. Oft ist eine kleine Formelsammlung auf den letzten Seiten in deinem Mathebuch zu finden.

Auf dieser Seite findest du noch Übungen und Arbeitsblätter zum Thema Formeln in der Mathematik, passend zum Video.

Transkript Formeln in der Mathematik

Alberta Zweistein ist leidenschaftliche Wissenschaftlerin. Sie liebt es zu experimentieren und immer wieder neue wissenschaftliche Erkenntnisse ans Tageslicht zu bringen. Wären da nicht ständig diese mathematischen Formeln, die ihr die Laune verderben. Dabei sind die eigentlich halb so wild, wenn man nur einmal weiß, wie man mit ihnen umgehen muss. Am Besten werfen wir nochmal gemeinsam einen Blick auf „Formeln in der Mathematik“. Was ist eine Formel überhaupt genau? Alberta macht es sich nochmal an einem einfachen Beispiel klar: Und zwar an der Formel für den Flächeninhalt eines Rechtecks. Diese lautet: Groß A ist gleich klein a mal klein b. Eine Formel stellt stets den Zusammenhang zwischen verschiedenen mathematischen Größen dar. In unserem Fall den Zusammenhang zwischen Flächeninhalt, Länge und Breite eines Rechtecks. Diese verschiedenen Größen werden in unserer Formel jeweils durch eine Variable verkörpert. Groß A steht für den Flächeninhalt, klein a für die Länge und klein b für die Breite des Rechtecks. Bei Formeln handelt es sich grundsätzlich um Gleichungen, was wir an dem Gleichheitszeichen erkennen können. Die Variablen einer Formel werden durch Rechenzeichen miteinander verknüpft. Bei unserer Formel wird die Länge klein a mit der Breite klein b multipliziert. Kennen wir nun von zwei unserer drei Variablen den konkreten Wert, können wir mit Hilfe der Formel den dritten Wert ganz einfach ausrechnen. Haben wir zum Beispiel ein Rechteck mit der Länge fünf Zentimeter und der Breite drei Zentimeter, dann beträgt der Flächeninhalt des Rechtecks fünfzehn Quadratzentimeter. Unsere Berechnung des Flächeninhalts eines Rechtecks klappt aber nicht nur bei diesem Beispiel-Rechteck. Die Vorgehensweise ist bei jedem Rechteck, egal mit welchen Maßen, gleich. Sie wird durch die Formel in einer einfachen und einprägsamen Form wiedergegeben. An unserem Beispiel wird also deutlich, dass Formeln in der Mathematik für Gesetzmäßigkeiten stehen. Es sind Regeln, Vorschriften oder Definitionen, die im Allgemeinen gelten. Formeln kommen in allen Bereichen der Mathematik vor und sind auch für die Naturwissenschaften von entscheidender Bedeutung. Daher kommt auch Alberta nicht drumherum, mit ihnen zu rechnen. Wir nehmen uns also nochmal eine andere Formel vor, dieses Mal zum Flächeninhalt eines Dreiecks: Der Flächeninhalt A ist gleich der Länge der Grundseite mal der zugehörigen Höhe geteilt durch zwei. Die zwei ist in dieser Formel ein feststehender Zahlenwert. Wir sprechen auch von einer Konstanten. Stellen wir uns mal vor, wir wissen, dass der Flächeninhalt des Dreiecks vierundzwanzig Quadratzentimeter beträgt und die Höhe der Seite c acht Zentimeter lang ist. Die unbekannte Größe ist in diesem Fall unsere Grundseite, also Seite c. Wie können wir jetzt vorgehen, um die fehlende Größe, also die Länge von c zu berechnen? Werfen wir dafür nochmal einen Blick auf die uns bekannte Grundformel. Die Grundseite, die wir betrachten ist c. Die betrachtete Höhe ist dementsprechend auch die Höhe von c. Wir müssen diese so umformen, dass wir unsere gesuchte Größe c alleine auf einer Seite stehen haben. Wir multiplizieren dafür zuerst auf beiden Seiten mit zwei. Dadurch erhalten wir zwei mal A ist gleich c mal h c. Jetzt müssen wir nur noch durch h c teilen. Und zwar wieder auf beiden Seiten. So erhalten wir die Gleichung „zwei mal A geteilt durch h c ist gleich c“ . Es bietet sich an, noch die linke und rechte Seite der Gleichung zu tauschen, sodass unsere gesuchte Größe auf der linken Seite steht. Mathematiker lieben Ordnung. Nun können wir unsere gegebenen Größen einfach einsetzen. Wir haben also „zwei mal vierundzwanzig Quadratzentimeter geteilt durch acht Zentimeter.“ Den Zähler vereinfachen wir zu „achtundvierzig Quadratzentimeter“. Und wenn wir diesen Bruch mit acht Zentimetern kürzen, erhalten wir unsere gesuchte Größe: Die Länge von c beträgt sechs Zentimeter. Die Formel ist erfolgreich gebändigt. Fassen wir das Gelernte nochmal kurz zusammen: Formeln sind Gleichungen, die mathematische Größen in einen Zusammenhang bringen. Mit ihrer Hilfe können Gesetzmäßigkeiten und Regeln in einer kompakten Schreibweise zusammengefasst werden. Sie kommen daher in allen Bereichen der Mathematik vor und spielen auch für die Naturwissenschaften eine sehr wichtige Rolle. Wie gehen wir aber konkret vor, wenn wir mit mathematischen Formeln rechnen müssen? Zuerst sollten wir uns klar machen, welche Größe wir berechnen wollen. Dann müssen wir wissen, welche Größen wir bereits kennen beziehungsweise welche Größen gegeben sind. Anschließend können wir die passende Formel wählen, die einen Zusammenhang zwischen der gesuchten Größe und den gegebenen Größen herstellt. Manchmal müssen wir diese Formel dann erst nach der gesuchten Größe umstellen, wie wir im zweiten Beispiel gesehen haben. Zuletzt müssen wir nur noch die gegebenen Werte einsetzen, um die Lösung für unsere gesuchte Größe zu berechnen. Jetzt können auch die mathematischen Formeln Albertas Forschung nicht mehr aufhalten. Na dann steht dem Nobelpreis ja nichts mehr im Wege.

3 Kommentare

3 Kommentare
  1. nice

    Von Sami, vor 2 Monaten
  2. EINSTEIN WARE SAGEN
    Das[dieses] Video ist zu gut fur ihn

    Von Team Digital, vor 6 Monaten
  3. sehr gut erklärt

    Von Sarah (LBS GG) , vor 6 Monaten

Formeln in der Mathematik Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Formeln in der Mathematik kannst du es wiederholen und üben.
  • Beschreibe, was Formeln in der Mathematik sind.

    Tipps

    Eine Variable wird durch Buchstaben wie z. B. $x$ dargestellt.

    Beispiel für eine Formel:
    $U = 2a+2b$

    Lösung

    Formeln sind Regeln, Vorschriften oder Gesetzmäßigkeiten in der Mathematik. Sie stellen den Zusammenhang zwischen verschiedenen mathematischen Größen dar, z. B. dem Umfang und der Seitenlänge eines Quadrats: $U=4 \cdot a$.

    Diese Größen werden durch Variablen abgekürzt, z. B. $U$ für den Umfang und $a$ für die Seitenlänge. Werden die Variablen durch Rechenzeichen miteinander verknüpft und als Gleichung notiert, so handelt es sich um eine Formel.

  • Bestimme durch Umstellen der folgenden Formel die gesuchte Größe c.

    Tipps

    Wir können eine Gleichung umformen, indem wir auf beiden Seiten der Gleichung mit der gleichen Zahl ($\neq 0$) multiplizieren oder durch die gleiche Zahl ($\neq 0$) dividieren.

    Lösung

    Die Grundformel für den Flächeninhalt von Dreiecken lautet:

    $\begin{array}{lll} A&=&\dfrac{g\cdot h}{2} \end{array}$

    In unserem Dreieck ist $c$ die Grundseite und $h_c$ die zugehörige Höhe. Wir schreiben also:

    $\begin{array}{lll} A&=&\dfrac{c\cdot h_c}{2} \end{array}$

    Wir müssen diese Gleichung nun nach der gesuchten Größe $c$ auflösen. Dazu multiplizieren wir zunächst auf beiden Seiten mit $2$:

    $\begin{array}{llll} A&=&\dfrac{c\cdot h_c}{2}& | \cdot 2\\ 2A& =& c \cdot h_c& \end{array}$

    Damit $c$ alleine steht, müssen wir noch auf beiden Seiten der Gleichung durch $h_c$ teilen:

    $\begin{array}{llll} 2A& =& c \cdot h_c &|:h_c\\ \dfrac{2A}{h_c}&=&c \end{array}$

    Zum Schluss können wir die beiden Seiten der Gleichung vertauschen:

    $\begin{array}{lll} c&=&\dfrac{2A}{h_c} \end{array}$

  • Entscheide, mit welcher Formel wir die gesuchte Größe berechnen können.

    Tipps

    Die Formel muss die gegebenen und die gesuchte Größe in Verbindung setzen.

    Das Viereck ist ein Parallelogramm.

    Lösung

    Alle aufgeführten Formeln beschreiben einen mathematisch korrekten Zusammenhang des gegebenen Parallelogramms.
    Wir suchen jedoch eine Formel, welche die gegebenen Größen, also den Flächeninhalt $A$ und die Grundseite $a$ mit der gesuchten Größe $h$ in Verbindung bringt. Dies ist bei der Formel
    $A= a \cdot h$
    der Fall. Um die gesuchte Größte $h$ zu bestimmen, müssen wir die Formel noch nach $h$ umstellen und die gegebenen Größen einsetzen:
    $A= a \cdot h |:a$
    $h=\dfrac{A}{a} = \dfrac{33~\text{cm}^2}{11~\text{cm}}=3~\text{cm}$

  • Berechne die Höhe $h$ des Trapezes mit Hilfe der Flächeninhaltsformel.

    Tipps

    Wir formen die Gleichung um, indem wir beispielsweise auf beiden Seiten mit der gleichen Zahl ($\neq 0$) multiplizieren.

    Um den Flächeninhalt eines Trapezes zu berechnen, werden die Längen der beiden parallelen Seiten addiert, mit der Höhe multipliziert und dann durch $2$ geteilt.

    Lösung

    Wir beginnen mit der Formel für den Flächeninhalt eines Trapezes, welche den Flächeninhalt $A$, die beiden parallelen Seiten $a$ und $c$ sowie die Höhe $h$ verknüpft:
    $A=\dfrac{(a+c) \cdot h}{2}$

    Um die Höhe $h$ auf der rechten Seite zu isolieren, multiplizieren wir zunächst beide Seiten der Gleichung mit $2$ und erhalten somit:
    $2A=(a+c) \cdot h$

    Wir müssten nun noch beide Seiten der Gleichung durch $(a+c)$ dividieren:
    $\dfrac{2A}{a+c}=h$

    Zur besseren Übersicht vertauschen wir die beiden Seiten der Gleichung:
    $h=\dfrac{2A}{a+c}$

    Nun steht die gesuchte Größe $h$ alleine auf der linken Seite. Wir können nun die gegebenen Größen einsetzen:
    $ h=\dfrac{2A}{a+c}=\dfrac{2 \cdot 25 ~\text{cm}^2}{7~\text{cm} + 3~\text{cm}}$

    Somit ergibt sich das Ergebnis:
    $h=5~\text{cm}$

  • Fasse zusammen, wie man mit Formeln rechnet.

    Tipps

    Die gesuchte Größe muss immer alleine auf einer Seite des Gleichheitszeichens stehen.

    Lösung

    Wir betrachten die einzelnen Schritte an einem Beispiel:
    Von einem Parallelogramm kennen wir die Grundseite $g=4~\text{cm}$ und den Flächeninhalt $A=12~\text{cm}^2$. Wir suchen die Höhe.

    • 1. Schritt: Wir ermitteln, welche Größe gesucht ist und welche Größen gegeben sind:
    geg.: $A=12~\text{cm}^2$ und $g=4~\text{cm}$
    ges.: $h$

    • 2. Schritt: Wir ermitteln, welche Formel diese Größen verknüpft:
    Wir suchen also eine Formel welche $A$, $g$ und $h$ eines Parallelogramms enthält:
    $A=g \cdot h$

    • 3. Schritt: Wir überprüfen, ob die Formel noch nach der gesuchten Größe umgestellt werden muss:
    Da die gesuchte Größe $h$ noch nicht alleine steht, dividieren wir noch auf beiden Seiten der Gleichung durch $g$ und erhalten:
    $\dfrac{A}{g}=h$

    • 4. Schritt: Wir setzen die gegebenen Größen in die Formel ein und berechnen so die gesuchte Größe:
    $h=\dfrac{12~\text{cm}^2}{4~\text{cm}}=3~\text{cm}$
    Die gesuchte Höhe $h$ beträgt also $3~\text{cm}$.

  • Stelle die Formel nach $a$ um.

    Tipps

    Wir können eine Gleichung umformen, indem wir auf beiden Seiten der Gleichung mit der gleichen Zahl ($\neq 0$) multiplizieren oder durch die gleiche Zahl ($\neq 0$) dividieren.

    Lösung

    Wir formen die einzelnen Gleichungen nach $a$ um:

    Rechteck

    $\begin{array}{llll} A& =& a \cdot b&|:b\\ \dfrac{A}{b}&=&a \\ a&=&\dfrac{A}{b} \end{array}$

    Parallelogramm

    $\begin{array}{llll} A& =& a \cdot h_a&|:h_a\\ \dfrac{A}{h_a}&=&a \\ a&=&\dfrac{A}{h_a} \end{array}$

    Dreieck

    $\begin{array}{llll} A& =& \dfrac{a \cdot h_a}{2}&|\cdot 2\\ 2A& =& a \cdot h_a&|:h_a\\ \dfrac{2A}{h_a}&=&a \\ a&=&\dfrac{2A}{h_a} \end{array}$

    Trapez

    $\begin{array}{llll} A& =& \dfrac{(a+c) \cdot h}{2}&|\cdot 2\\ 2A& =& (a+c) \cdot h&|:h\\ \dfrac{2A}{h}&=&a+c&|-c \\ \dfrac{2A}{h}-c&=&a \\ a&=&\dfrac{2A}{h}-c \end{array}$

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