Volumeneinheiten
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Grundlagen zum Thema Volumeneinheiten
Einführung: Volumeneinheiten
Was sind Volumeneinheiten? In diesem Text werden Volumeneinheiten einfach erklärt. Dabei schauen wir uns zunächst verschiedene Volumeneinheiten genauer an. Du lernst auch die unterschiedlichen Schreibweisen von Volumeneinheiten kennen. Anhand von verschiedenen Beispielen wird zudem gezeigt, wie du eine Volumeneinheit in eine andere umrechnen kannst.
Welche Einheit hat das Volumen?
Eine Volumeneinheit entspricht dem Volumen eines Würfels mit einer festen Kantenlänge, die den einzelnen Längeneinheiten entsprechen. Für die Einheit des Volumens wird vor die Einheit der Kantenlänge das Wort Kubik geschrieben. So zum Beispiel Kubikmeter oder Kubikzentimeter. Die Abkürzungen der Volumeneinheiten werden dann mit einem hoch $3$ geschrieben. Kubikmeter wird also mit $\pu{m^{3}}$ und Kubikzentimeter mit $\pu{cm^{3}}$ abgekürzt. Die hochgestellte $3$ stellt dar, dass die Einheit genau dreimal mit sich selbst multipliziert wurde. Was genau das bedeutet, schauen wir uns im Folgenden an.
Welche Volumeneinheiten gibt es?
Kubikmeter
Der Würfel auf dem Bild hat Kantenlängen von einem Meter. Das heißt, die Länge, die Breite und die Höhe sind jeweils einen Meter lang.
Berechnen wir das Volumen $V$ dieser Kiste, so rechnen wir die Länge $l$ mal die Breite $b$ mal die Höhe $h$.
$V = l \cdot b \cdot h$
Um das Volumen der größten Kiste zu berechnen, müssen wir also Folgendes rechnen:
$V = 1\,\pu{m} \cdot 1\,\pu{m} \cdot 1\,\pu{m} = 1\,\pu{m^{3}}$
Das ergibt einen Kubikmeter, also $1\,\pu{m^{3}}$. Das entspricht ungefähr der Größe eines Kühlschranks.
Kubikdezimeter
Ein etwas kleinerer Würfel hat Kantenlängen von einem Dezimeter. Geschrieben wird das als $\pu{dm}$. Berechnen wir wieder das Volumen, so erhalten wir einen Kubikdezimeter, also $1\,\pu{dm^{3}}$.
$V = 1\,\pu{dm} \cdot 1\,\pu{dm} \cdot 1\,\pu{dm} = 1\,\pu{dm^{3}} = 1\,\pu{l}$
Das entspricht einem Liter, also $1\,\ell$. Ein Milchkarton enthält einen Liter Milch. Flüssigkeiten werden oft in der Einheit Liter angegeben. Der Liter ist also auch eine Volumeneinheit.
Die Umrechnung von Kubikmeter zu Kubikdezimeter ist folgende:
$1\,\pu{m^{3}} = 1\,000\,\pu{dm^{3}}$
Das bedeutet, dass $1\,000$ Milchkartons in den Kühlschrank passen würden.
Kubikzentimeter
Ein noch kleinerer Würfel hat die Kantenlängen von $1\,\pu{cm}$. Berechnen wir das Volumen also wieder mit Länge mal Breite mal Höhe, so erhalten wir einen Kubikzentimeter. Dieser wird geschrieben als $1\,\pu{cm^{3}}$.
$V = 1\,\pu{cm} \cdot 1\,\pu{cm} \cdot 1\,\pu{cm} = 1\,\pu{cm^{3}} = 1\,\pu{ml}$
Das ist das Gleiche wie ein Milliliter, also $1\,\pu{ml}$. Das ist ungefähr so groß wie ein Stück Würfelzucker.
In einen Kubikdezimeter passen $1\,000$ Kubikzentimeter.
$1\,\pu{dm^{3}} = 1\,000\,\pu{cm^{3}}$
Also passen $1\,000$ Stück Würfelzucker in einen Milchkarton.
Kubikmillimeter
Die kleinste Volumeneinheit, mit der wir rechnen, heißt Kubikmillimeter. Der Name sagt bereits, dass hier die Kantenlängen einen Millimeter lang sind. Das Volumen berechnet sich also so:
$V = 1\,\pu{mm} \cdot 1\,\pu{mm} \cdot 1\,\pu{mm} = 1\,\pu{mm^{3}}$
Ein Zuckerkörnchen hat ungefähr diese Größe. Ein Kubikzentimeter sind $1\,000$ Kubikmillimeter.
$1\,\pu{cm^{3}} = 1\,000\,\pu{mm^{3}}$
Also ergeben $1\,000$ Zuckerkörnchen ein Stück Würfelzucker.
Volumeneinheiten ineinander umwandeln
Wir haben gesehen, dass die kleinere Volumeneinheit immer $1\,000$-mal in die nächstgrößere Volumeneinheit passt. Das kann uns bei der Umrechnung von Volumeneinheiten helfen.
Wollen wir in die nächstkleinere Einheit umrechnen, so multiplizieren wir mit $1\,000$.
Wollen wir in die nächstgrößere Einheit umrechnen, so dividieren wir durch $1\,000$.
Wollen wir also $\pu{cm^{3}}$ in $\pu{mm^{3}}$ umrechnen, so multiplizieren wir mit $1\,000$. Dies funktioniert auch, wenn eine andere Zahl vor der Einheit steht.
$5\,\pu{cm^{3}} = 5\,000\,\pu{mm^{3}}$
Wir können auch in weiter auseinanderliegende Volumeneinheiten umrechnen. Wir wollen nun $9\,\pu{dm^{3}}$ in $\pu{mm^{3}}$ umrechnen. Dazu können wir in dem Bild oben ablesen, wie oft mit $1\,000$ multipliziert wird. Wir erhalten:
$9\,\pu{dm^{3}} = 9\,000\,000 \,\pu{mm^{3}}$
Das sind neun Millionen Kubikmillimeter.
Wir können auch Kubikmillimeter in Kubikdezimeter umwandeln, indem wir wiederholt durch $1\,000$ teilen.
$8\,000\,000 \,\pu{mm^{3}} = 8\,\pu{dm^{3}} $
Die verschiedenen Einheiten können auch in einer Stellenwerttafel dargestellt werden. So können Nullen hinzugefügt werden, wenn wir in eine kleinere Einheit umwandeln. Wandeln wir in eine größere Einheit um, so können Nullen abgezogen werden.
Volumenangaben können auch in gemischter Schreibweise angegeben werden.
$4\,750\,\pu{cm^{3}} = 4\,\pu{dm^{3}} \, \, 750\,\pu{cm^{3}}$
$3\,250\,\pu{ml} = 3\,\pu{l} \, \, 250\,\pu{ml}$
An den Linien in der Stellenwerttafel erkennt man, wo man die Zahl aufteilen muss:
Volumeneinheiten – Tabelle
Die folgende Tabelle zeigt noch einmal alle im Text gezeigten Volumeneinheiten und ihre Umrechnung.
| Name | Volumeneinheit | Umrechnung |
|---|---|---|
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Diese Tabelle kann beim Rechnen mit Volumeneinheiten sehr hilfreich sein.
Zusammenfassung: Volumeneinheiten
Die folgenden Stichpunkte fassen noch einmal das Wichtigste zu den Volumeneinheiten zusammen.
- Eine kleinere Volumeneinheit passt immer $1\,000$-mal in die nächstgrößere Volumeneinheit.
- Bei der Umrechnung in die nächstkleinere Einheit wird mit $1\,000$ multipliziert.
- Bei der Umrechnung in die nächstgrößere Einheit wird durch $1\,000$ dividiert.
- Eine Stellenwerttafel kann bei der Umrechnung helfen.
- Die Stellenwerttafel kann ebenfalls dabei helfen, die Volumeneinheiten in gemischter Schreibweise anzugeben.
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Transkript Volumeneinheiten
Grumpy Bär und sein Sohn Bruno ziehen um und müssen deswegen Kisten packen. Bruno ist ganz stolz, seine eigenen Kisten zu packen, und hilft fleißig mit. Aber wie viel passt da überhaupt rein? Um dies zu erfahren, benutzen die beiden Bären Volumeneinheiten. Eine Volumeneinheit entspricht dem Volumen eines Würfels mit einer festen Kantenlänge, die den einzelnen Längeneinheiten entsprechen. Grumpy Bärs größte Kiste - eine Kiste die Bruno noch nicht einmal tragen kann – hat Kantenlängen von 1 m. Das heißt die Länge, die Breite und die Höhe sind jeweils 1 Meter lang. Berechnen wir das Volumen dieser Kiste, so rechnen wir Länge mal Breite mal Höhe. Kurz schreiben wir das so. Hier rechnen wir also 1 Meter mal 1 Meter mal 1 Meter. Das ist 1 Kubikmeter. Das schreiben wir so. Ein Kubikmeter ist ungefähr die Größe deines Kühlschranks zu Hause. Die nächstkleinere Kiste, die die beiden Bären für ihren Umzug packen, hat Kantenlängen von einem Dezimeter. Berechnen wir wieder das Volumen, also 1 dm mal 1 dm mal 1 dm, so erhalten wir einen Kubikdezimeter. Ein Kubikdezimeter ist so viel wie ein Liter. Und der ist etwa so groß wie ein Milchkarton. Ein Kubikmeter sind übrigens genau eintausend Kubikdezimeter. Hast du schon einmal versucht deinen Kühlschrank mit 1000 Milchpackungen zu füllen? Als nächstes haben wir die Volumeneinheit, die einem Würfel mit einer Kantenlänge von 1 cm entspricht. Berechnen wir das Volumen, also Länge mal Breite mal Höhe, so erhalten wir einen Kubikzentimeter. Das ist das gleiche wie 1 Milliliter und ist ungefähr so groß wie ein Stück Würfelzucker. Übrigens passen in einen Kubikdezimeter 1000 Kubikzentimeter. Also passen 1000 Stück Würfelzucker in einen Milchkarton. Ganz schön süß! Die kleinste Volumeneinheit, mit der wir rechnen, heißt Kubikmillimeter. Wie der Name schon sagt, sind hier die Kantenlängen des entsprechenden Würfels 1mm lang. Das Volumen kannst du SO berechnen. Ein Zuckerkörnchen hat ungefähr die Größe eines Kubikmillimeters. Ein Kubikzentimeter sind 1000 Kubikmillimeter. Also ergeben 1000 Zuckerkörnchen ein Stück Würfelzucker. Du hast gesehen, dass die kleinere Volumeneinheit immer eintausendmal in die nächstgrößere Volumeneinheit passt. Dies kann uns bei der Umrechnung der Volumeneinheiten helfen. Wollen wir in die nächstkleinere Einheit umrechnen, so multiplizieren wir mit 1000. Und wollen wir in die nächstgrößere Einheit umrechnen, so dividieren wir durch 1000. Rechnen wir also zum Beispiel Kubikzentimeter in Kubikmillimeter um, so multiplizieren wir einfach mit 1000. Dies funktioniert auch, wenn du zum Beispiel 5 Kubikzentimeter in Kubikmillimeter umrechnen möchtest. Also sind 5 Kubikzentimeter 5000 Kubikmillimeter. Wir können auch in weiter auseinanderliegende Volumeneinheiten umrechnen. Wollen wir zum Beispiel neun Kubikdezimeter in Kubikmillimeter umrechnen, können wir hier zählen, wie oft mit 1000 multipliziert wird und erhalten 9 Millionen Kubikmillimeter. Andersherum können wir Kubikmillimeter in Kubikdezimeter umwandeln, indem wir wiederholt durch 1000 teilen. So sind zum Beispiel acht Millionen Kubikmillimeter 8 Kubikdezimeter. Du kannst dir die verschiedenen Einheiten auch in einer Stellenwerttafel wie dieser vorstellen. So kannst du Nullen hinzufügen, wenn du in eine kleinere und Nullen wegnehmen, wenn du in eine größere Einheit umrechnen möchtest. 5 Kubikdezimeter sind zum Beispiel 5000 Kubikzentimeter und 5 Millionen Kubikmillimeter. Und 7 Liter sind 7000 Milliliter. Du kannst Volumenangaben übrigens auch in gemischter Schreibweise angeben. So sind 4750 Kubikzentimeter 4 Kubikdezimeter und 750 Kubikzentimeter. Und 3250 Milliliter sind 3 Liter und 250 Milliliter. Du kannst an diesen Linien erkennen, wo du die Zahl aufteilst. Bevor wir noch den Umzug der beiden Bären verpassen, fassen wir zusammen: Eine kleinere Volumeneinheit passt immer eintausendmal in die nächstgrößere Volumeneinheit. Wollen wir in die nächstkleinere Einheit umrechnen, so multiplizieren wir mit 1000. Andersherum dividieren wir durch 1000, wenn wir in die nächstgrößere Einheit umrechnen wollen. Dir kann eine Stellenwerttafel wie diese bei der Umrechnung helfen. Sie kann dir außerdem dabei helfen, die Volumenangaben in gemischter Schreibweise anzugeben. Haben die Bären ihren Umzug denn geschafft? Oh, es ist ja schon Winter. Ach, da wird der Umzug wohl doch verschoben.
Volumeneinheiten Übung
-
Bestimme die korrekten Aussagen zum Rechnen mit Volumeneinheiten.
TippsEin Kubikzentimeter ($\text{cm}^3$) ist kleiner als ein Kubikdezimeter ($\text{dm}^3$).
$1~\text{dm}^3$ entspricht einem Liter.
LösungDiese Aussagen sind falsch:
„Das Volumen eines Quaders berechnest du, indem du Länge, Breite und Höhe addierst.“
- Beim Berechnen des Volumens eines Quaders multiplizierst du Länge, Breite und Höhe. Da du hier drei Längen miteinander multiplizierst, musst du auch die Einheiten multiplizieren. So ergeben sich Einheiten, die zur dritten Potenz erhoben sind (z. B. $\text{m}^3$).
„Eine Volumeneinheit passt immer genau $100$ mal in die nächstgrößere Volumeneinheit.“
- Eine Volumeneinheit passt immer genau $1~000$ mal in die nächstgrößere Volumeneinheit. Da ein Kubikzentimeter ($\text{cm}^3$) kleiner ist als ein Kubikdezimeter ($\text{dm}^3$), gilt auch: $1~000~\text{cm}^3=\text{dm}^3 $.
„Ein Würfel mit Kantenlänge $1~\text{dm}$ hat ein Volumen von einem Liter.“
- Hier rechnest du $V=a^3= (1~\text{dm})^3= 1~\text{dm}^3$. Das entspricht einem Liter.
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Beschreibe die Rechnung mit Volumeneinheiten.
TippsDas Volumen eines Körpers erhältst du, indem du ihre Grundfläche mit der Höhe multiplizierst.
Wir können Volumeneinheiten ineinander umrechnen. Bei dieser Umrechnung bleibt das Volumen an sich gleich. Verkleinerst du allerdings die Einheit, musst du den Zahlenwert vergrößern. Möchtest du in die nächstkleinere Einheit umrechnen, musst du mit $1~000$ multiplizieren.
LösungSo kannst du den Lückentext vervollständigen:
„Die erste würfelförmige Kiste hat eine Kantenlänge von einem Meter. Um ihr Volumen zu bestimmen, muss man die Länge $l$, Breite $b$ und Höhe $h$ miteinander multiplizieren. Das ergibt:
$V=l \cdot b \cdot h= 1~\text{m} \cdot 1~\text{m} \cdot 1~\text{m}=1~\text{m}^3$“
- Hier müssen die Zahlen und Einheiten einzeln multipliziert werden. Rechnest du $1\cdot 1 \cdot 1$, ergibt das $1$. Die Multiplikation der Einheiten kannst du zu $~\text{m}^3$ zusammenfassen.
Auch das Volumen dieser Kiste mit einer Seitenlänge von einem Dezimeter kannst du durch Multiplikation der Seitenlängen bestimmen. Hier erhältst du:
$V=l \cdot b \cdot h=1~\text{dm} \cdot 1~\text{dm} \cdot 1~\text{dm}=1~\text{dm}^3$“
- Die Multiplikation funktioniert genauso wie oben. Ein $\text{dm}^3$ entspricht einem Volumen von einem Liter.
Jetzt möchten sie die beiden Einheiten ineinander umrechnen. Sie wissen:
$1~\text{m}^3=1~000~\text{dm}^3$
Möchte man $1~\text{m}^3$ in $\text{dm}^3$ umrechnen, muss man mit $1~000$ multiplizieren.“
- Möchtest du in die nächstkleinere Volumeneinheit umrechnen, musst du mit $1~000$ multiplizieren. Bei dieser Umrechnung bleibt das Volumen an sich gleich. Da du allerdings die Einheit verkleinerst, musst du den Zahlenwert vergrößern.
- Möchtest du in die nächstgrößere Volumeneinheit umrechnen, musst du durch $1~000$ dividieren. Bei dieser Umrechnung bleibt das Volumen an sich gleich. Da du allerdings die Einheit vergrößerst, musst du den Zahlenwert verkleinern.
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Ermittle das Volumen der Quader.
TippsZuerst multiplizierst du alle Kantenlängen der Quader. Für den ersten erhältst du:
$V=l \cdot b \cdot h= 3~\text{cm} \cdot 4~\text{cm} \cdot 5~\text{cm}$
Anschließend rechnest du die Volumeneinheit in die nächstgrößere oder nächstkleinere Volumeneinheit um, indem du entweder durch $1~000$ teilst oder damit multiplizierst.
LösungSo kannst du die Volumina bestimmen:
Zuerst multiplizierst du alle Kantenlängen der Quader. Für den ersten erhältst du:
- $V=l \cdot b \cdot h= 3~\text{cm} \cdot 4~\text{cm} \cdot 5~\text{cm}=60~\text{cm}^3$
- $60~\text{cm}^3=0,06~\text{dm}^3$
- $V= 3~\text{dm} \cdot 40~\text{dm} \cdot 5~\text{dm}=600~\text{dm}^3$
- $600~\text{dm}^3=0,6~\text{m}^3$
- $V=15~\text{m}^3$
- $V=8~\text{cm}^3$
-
Wende dein Wissen zu Volumeneinheiten an.
TippsMöchtest du zur nächstgrößeren Einheit umrechnen, musst du durch $1~000$ teilen:
$V=1~000~\text{cm}^3=1~\text{dm}^3$
Willst du von $\text{cm}^3$ zu $\text{m}^3$ springen, kannst du zweimal durch $1~000$ teilen:
$V=1~000~000~\text{cm}^3=1~000~\text{dm}^3=1~\text{m}^3$
LösungMöchtest du eine Volumenangabe in die nächstkleinere Einheit umrechnen, so multiplizierst du mit $1~000$. Bei der Umrechnung in die nächstgrößere Volumeneinheit musst du durch $1~000$ teilen. Damit erhältst du folgende Umrechnungen:
- $V=0,3~\text{dm}^3=300~\text{cm}^3$
- $V=40~\text{m}^3=40~000~\text{dm}^3$
- $V=55~\text{cm}^3=0,055~\text{dm}^3$
- $V=39~\text{cm}^3=0,039~\text{dm}^3=0,000039~\text{m}^3$
-
Vervollständige das abgebildete Schema zum Umrechnen von Volumeneinheiten.
TippsEin Milliliter ist das Tausendstel eines Liters.
Beim Umrechnen von Volumeneinheiten bleibt das Volumen an sich immer gleich. Wenn du also die Einheit verkleinerst, musst du den Zahlenwert vergrößern.
LösungSo sieht die vollständige Grafik aus. Merke dir, dass beim Umrechnen von Volumeneinheiten das Volumen an sich immer gleich bleibt. Wenn du die Einheit verkleinerst, musst du den Zahlenwert allerdings vergrößern. Rechnest du also in die nächstkleinere Einheit um, musst du den Zahlenwert mit $1~000$ multiplizieren.
Umgekehrt musst du beim Umrechnen in die nächstgrößere Einheit den Zahlenwert durch $1000$ teilen.
-
Ermittle, ob die Volumen korrekt bestimmt wurden.
TippsDie Längeneinheiten Meter ($\text{m}$), Dezimeter ($\text{dm}$), Zentimeter ($\text{cm}$) und Millimeter ($\text{mm}$) kannst du in die nächstkleinere oder nächstgrößere Längeneinheit umrechnen, indem du den zugehörigen Zahlenwert mit $10$ multiplizierst oder durch $10$ dividierst.
Beispielsweise kannst du $40~\text{mm}$ in Zentimeter umrechnen, indem du den Zahlenwert durch $10$ teilst. So erhältst du:
$40~\text{mm}=4~\text{cm}$
LösungDie Längeneinheiten Meter ($\text{m}$), Dezimeter ($\text{dm}$), Zentimeter ($\text{cm}$) und Millimeter ($\text{mm}$) kannst du in die nächstkleinere oder nächstgrößere Längeneinheit umrechnen, indem du den zugehörigen Zahlenwert mit $10$ multiplizierst oder durch $10$ dividierst. Anschließend kannst du das Volumen wie gewohnt ausrechnen. Wenn nötig, kannst du die Volumeneinheit noch umformen. So bemerkst du, dass diese Volumenangaben falsch sind:
„Ein Quader mit den Kantenlängen $a=2~\text{cm}$, $b=12~\text{mm}$ und $c=30~\text{mm}$ hat ein Volumen von $V=7,4~\text{cm}^3$“
Hier erhältst du:
$b=12~\text{mm}=1,2~\text{cm}$ und $c=30~\text{mm}=3~\text{cm}$
Also erhältst du für das Volumen:
- $V=2~\text{cm} \cdot 1,2~\text{cm} \cdot 3~\text{cm} = 7,2~\text{cm}^3$
Hier erhältst du für das Volumen:
- $V=300~\text{cm} \cdot 120~\text{cm} \cdot 350~\text{cm} = 1~260~0000~\text{cm}^3$
„Ein Quader mit den Kantenlängen $a=30~\text{cm}$, $b=12~\text{dm}$ und $c=35~\text{cm}$ hat ein Volumen von $V=0,126~\text{m}^3$“
- $V=0,3~\text{m} \cdot 1,2~\text{m} \cdot 0,35~\text{m} =0,126~\text{m}^3$
- $V=20~\text{dm} \cdot 12~\text{dm} \cdot 3~\text{dm} =720~\text{dm}^3=720~\text{Liter}$
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