Mit Flächeneinheiten rechnen 05:11 min
Transkript Mit Flächeneinheiten rechnen
Luisa will einen neuen Zoo aufmachen und plant dafür die benötigte Grundstücksgröße. Um ihren Plan zu verstehen, werden wir mit Flächeneinheiten rechnen. Prima wäre es, wenn du dich dafür schon ein wenig mit dem Umrechnen von Flächeneinheiten auskennst. In diesem Video verwenden wir dafür die Einheitentafel. Darin tragen wir Flächenangaben ein und lesen die Größe dann in anderen Einheiten einfach ab. Achte dabei aber immer auf die korrekte Anzahl an Spalten! Luisa braucht ein 0,115 km² großes Elefanten-Gehege, ein 6252 m² großes Affenhaus und ein 78.650 dm² großes Papageien-Gehege. Für das Eintragen der Zahlen in die Einheiten-Tafel orientieren wir uns nun immer an dem einer. Bei den Elefanten ist das die Null, sie gehört in die Quadratkilometer-Spalte. Auch bei den Affen nehmen wir den einer - der ist hier 2. Er kommt in die Quadratmeter-Spalte. Bei den Papageien kommt der einer, also diese Null, in die Quadratdezimeter-Spalte. Nun können wir unsere Zahlen in der gewünschten Flächeneinheit ablesen. Wollen wir die Größe des Elefantenhauses zum Beispiel in Quadratmetern ablesen, müssen wir nur Nullen bis zu diesem Feld ergänzen, denn dies ist der einer der Quadratmeter. So kommen wir auf 115.000 m². Wollen wir die Zahl jedoch in Quadratdezimetern ablesen, ergänzen wir noch mehr Nullen, denn hier ist der Einer von dieser Einheit. So kommen wir auf 11.500.000 dm². Das Papageien-Gehege in Quadratmetern abgelesen hat an der Einer-Stelle eine 6, ist also 786,5 m² groß. Für die Addition der Zahlen müssen wir immer eine gemeinsame Einheit wählen. Um möglichst wenige Nachkommastellen und wenige Nullen zu bekommen, nehmen wir hier Quadratmeter. Wir addieren: 115.000 m² plus 6252 m² plus 786,5 m². Das Ergebnis erhält dann dieselbe Einheit. Die Gesamtgröße der drei Gehege ergibt schließlich 122.038,5 m². Luisa besitzt außerdem vier private Koi-Becken. Eines möchte sie in den neuen Zoo verlegen. Sie sind gleich groß und haben eine Gesamtfläche von 165.600 cm². Um die Größe eines einzelnen Beckens herauszufinden, dividieren wir diese Fläche durch vier. Für das Ergebnis übernehmen wir die Einheit einfach und dividieren die Zahl der Flächengröße durch 4. So kommen wir zu einer einzelnen Beckengröße von 41.400 cm². Zum Umformen der Einheit nehmen wir wieder unsere Tabelle und schreiben den einer unserer Zahl in die Quadratzentimeter-Spalte. Wir können die Koi-Becken-Größe nun auch als 4,14 m² ablesen. Dies addieren wir noch zu unserer bisherigen Flächensumme dazu und kommen so auf 122.042,64 m². Doch auch Zoobesucher, Stände und Häuschen brauchen ihren Platz. Daher multiplizieren wir die Fläche nun einfach noch mit 3. Wie bei der Division übernehmen wir für das Ergebnis die Einheit und multiplizieren die Zahl der Flächengröße mit 3. Das endgültige Ergebnis ist dann ein Zoofläche von 366.127,92 m². Lass uns noch die passende Einheit wählen. Die Verkaufsanzeigen für so große Grundstücke benutzen oft nur die Einheiten Ar und Hektar. Dazu musst du wissen, dass 100 Quadratmeter einem Ar und 100 Ar einem Hektar entspricht. Ergänzen wir also noch diese Einheiten in unserer Einheiten-Tafel. Durch diese Ergänzung hat jede Einheit ganz gleichmäßig zwei Spalten. Nun können wir unseren berechneten Flächenbedarf auch in diesen Einheiten ablesen und kommen auf 3.661,2792 Ar und auf 36,612792 Hektar. Hier eine kurze Zusammenfassung: Um Flächengrößen in verschiedenen EInheiten zu addieren oder übrigens auch zu subtrahieren, musst du sie erst auf eine gemeinsame Einheit bringen. In diesem Video haben wir für das Umrechnen der Einheit die Einheitentafel verwendet. Falls du dafür jedoch eine andere Methode verwenden magst, kannst du das natürlich machen. Die zu dieser Einheit passenden Zahlen verrechnest du dann und die gemeinsame Einheit übernimmst du einfach. Beim vervielfachen sowie beim Aufteilen einer Fläche musst du direkt nur die Zahlen multiplizieren beziehungsweise dividieren und übernimmst die Flächeneinheit für das Ergebnis. Der Plan für den Zoo steht. Oder?
Videobeschreibung
Nach dem Schauen dieses Videos wirst du in der Lage sein, Flächenangaben mit verschiedenen Einheiten zu addieren und zu subtrahieren.
Zunächst lernst du, wie du die verschiedenen Flächen in die Einheitentafel eintragen kannst. Anschließend lernst du, wie die Einheiten mithilfe der Einheitentafel anpassen kannst. Abschließend lernst du, wie du mit den Flächen rechnest.
Lerne etwas über das Rechnen mit Flächeneinheiten, indem du Luisa dabei hilfst den Bau ihres Zoos zu planen.
Das Video beinhaltet Schlüsselbegriffe, Bezeichnungen und Fachbegriffe wie Längeneinheit, Flächeneinheit, Umrechnungszahl, Addition und Subtraktion.
Bevor du dieses Video schaust, solltest du bereits wissen, wie du mit Längeneinheiten rechnest und Flächeneinheiten umrechnest.
Nach diesem Video wirst du darauf vorbereitet sein die Multiplikation und Division von Flächeneinheiten durchzuführen.
Die Tutoren:
Mit Flächeneinheiten rechnen
Mit Flächeneinheiten rechnen Übung
Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Mit Flächeneinheiten rechnen kannst du es wiederholen und üben.
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Stelle die Flächeninhalte in der Einheitentafel dar.
Tipps
Orientiere dich zur Eintragung an den Einern der jeweiligen Maßeinheit.
Den Einer einer Maßeinheit trägst du in die Spalte der jeweiligen Maßeinheit ein.
Die Ziffern des Flächeninhaltes in $\text{km}^2$ stehen am Weitesten links.
Lösung
Beim Eintragen des Flächeninhalts in die Einheitentabelle musst Du Dich immer an dem Einer der jeweiligen Einheit orientieren. Der Einer gehört in die Spalte, über der der Name der Einheit steht. Der Einer der $0,115~\text{km}^2$ ist die $0$, diesen trägs Du in die $\text{km}^2$-Spalte ein. Der Einer der $6252~\text{m}^2$ ist die rechte $2$, die trägst Du in die $\text m^2$-Spalte ein. Schließlich ist der Einer der $78650~\text{dm}^2$ die $0$, sie gehört in die $\text{dm}^2$-Spalte.
Damit ergibt sich dieses Bild.
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Gib die Maßeinheiten an.
Tipps
Ein $\text{m}^2$ sind dasselbe wie $100~\text{dm}^2$.
Teilst Du eine Fläche von $7~\text m^2$ in zwei gleich große Stücke, so hat jedes der Stücke eine Fläche von $3,5~\text m^2$.
Du kannst Flächengrößen direkt addieren, wenn sie alle in derselben Maßeinheit angegeben sind.
Lösung
Die Fläche des geplanten Elefantengeheges beträgt $0,115~\text{km}^2$. Umgerechnet sind das $115000~\text{m}^2$. Das Affengehege soll $6252~\text{m}^2$ groß sein. Für die Papageien braucht Luisa $78650~\text{dm}^2$. Umgerechnet sind das $786,5~\text{m}^2$.
Die Gesamtflächeninhalt der drei Gehege ist die Summe der einzelnen Flächeninhalte. Um die Summe zu bestimmen, kann Luisa die einzelnen Flächeninhalte in derselben Maßeinheit addieren. Luisa addiert also $115000~\text{m}^2$. und $6252~\text{m}^2$ und noch $786,5~\text{m}^2$. Das ergibt $0,1220~\text{km}^2$.
Die Fläche von vier Delphinbecken beträgt $165600~\text{cm}^2$. Die Becken sind alle gleich groß, daher kann Luisa die Größe eines Beckens bestimmen, indem sie die Zahl der Flächengröße durch $4$ dividiert. Die Maßeinheit lässt sie unverändert. Luisa kommt so auf eine Größe von $41400$ $\text{cm}^2$ pro Becken. Das entspricht $414$ $\text {dm}^2$.
Luisa addiert noch die Größe eines einzelnen Delphinbeckens zu der Gesamtfläche der drei anderen Gehege. Um die Zahl der Flächengrößen zu der bisherigen Flächengröße addieren zu können, muss sie die Größe des Delphinbeckens in die Maßeinheit $\text m^2$ umrechnen. Sie kommt dabei auf $4,14$ $\text m^2$.
Die Summe der Flächengrößen beträgt schließlich $122042,64$ $\text m^2$.
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Gib die Umrechnung der Maßeinheiten an.
Tipps
Das Wort „Hektar“ ist eine Kurzform für „Hekto-Ar“.
Ein $\text{km}$ sind tausend $\text m$, daher sind ein $\text{km}^2$ tausend mal tausend $\text m^2$.
Das Fünffache von $7~\text{km}^2$ sind $35~\text{km}^2$.
Lösung
Richtig sind die folgenden Aussagen:
- „$100~\text a$ entsprechen $1~\text{ha}$.“
- Verdreifacht man einen Flächeninhalt, so bleibt die Maßeinheit dieselbe.“
- „$78650~\text{dm}^2$ sind dasselbe wie $786,50~\text m^2$.“
- „$0,115~\text{km}^2$ entsprechen $115~\text{m}^2$.“ Ein $\text{km}$ entspricht $1000~\text m$, daher ist $1~\text{km}^2 = 1000 \cdot 1000~\text{m}^2$. Das bedeutet: $0,115~\text{km}^2 = 115\hspace{0.8pt}000~\text m^2$.
- „Beim Eintragen der Maße in die Einheitentafel orientiert man sich an der größten Stelle.“ Tatsächlich orientert man sich an der Einer-Stelle und trägt diese in die Spalte der jeweiligen Maßeinheit ein.
- „In der Einheitentabelle stehen die Einer aller Einheiten in derselben Spalte.“ Jede Maßeinheit bekommt eine eigene Spalte. Nur wenn zwei Maßeinheiten gleich groß sind, darfst Du sie in dieselbe Spalte der Einheitentafel eintragen.
- „Flächeninhalte in verschiedenen Einheiten kannst Du direkt zusammenzählen, ohne die Einheiten zu beachten.“ Um Flächeninhalte verrechnen zu können, musst Du sie vorher in eine gemeinsame Einheit umrechnen.
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Analysiere die Flächenberechnungen.
Tipps
Rechne die Flächeninhalte in eine gemeinsame Maßeinheit um und addiere dann die Zahlen.
Lösung
Folgende Berechnungen sind richtig:
- Die benötigte Fläche beträgt $3~\text{ha}$ für Futterrüben, $0,025~\text{km}^2 = 2,5~\text{ha}$ Weideland und $713~\text a = 7,13~\text{ha}$ Bambus. Zusammen sind das $3~\text{ha} + 2,5~\text{ha} + 7,13~\text{ha} = 12,63~\text{ha} = 1\hspace{2pt}263~\text{a} = 126\hspace{2pt}300~\text{m}^2$, also mehr als $125\hspace{2pt}000~\text{m}^2$.
- Die Fläche außerhalb der beiden Strafräume beträgt $7\hspace{2pt}140~\text{m}^2 - 2 \cdot 665,28~\text{m}^2 = 5\hspace{2pt}809,44~\text{m}^2 = 0,580944~\text{ha}$, das sind weniger als $0,6~\text{ha}$.
- Für die Zoo-Erweiterung benötigt Luisa $17~\text{ha} = 0,17~\text{km}^2$ für die Löwen, $1\hspace{2pt}380~\text{m}^2 = 0,138~\text{ha} =0,00138\text{km}^2$ für Schmetterlinge und $3~\text a = 0,0003~\text{km}^2$ für Spielplätze. Das macht zusammen $17,168~\text{ha} = 0,17168~\text{km}^2$. Das angebotene Grundstück ist mit $0,170338~\text{km}^2$ ist für die Zoo-Erweiterung zu klein.
- Die Waldfläche von $106\hspace{2pt}170~\text{km}^2$ zusammen mit der Wasserfläche von $821\hspace{2pt}900~\text{ha} = 8\hspace{2pt}219~\text{km}^2$ beträgt etwa $114\hspace{2pt}389~\text{km}^2 \approx 114~$ Milliarden $\text{m}^2$.
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Erschließe die Maßeinheiten und Flächengrößen.
Tipps
Du kannst die Flächengrößen direkt addieren, wenn sie in derselben Maßeinhet angegeben sind.
Um einen Flächeninhalt zu vervielfachen genügt es, die Maßzahl zu vervielfachen; die Maßeinheit bleibt unverändert.
$1~\text{ha}$ sind $100~\text a$ oder $10\hspace{2pt}000~\text{m}^2$.
Lösung
Für die Küchenkräuter sind $265~\text{dm}^2$ vorgesehen, das entspricht $2,65$ $\text{m}^2$. Die Möhren-, Kartoffel- und Kräuterbeete haben zusammen einen Flächeninhalt von:
$3,7~\text m^2 + 2,65~\text m^2 + 7,8~\text m^2 = 14,15~\text m^2 = 1\hspace{2pt}415\text{dm}^2$
Für die Tomaten brauchen die Schülerinnen und Schüler mindestens $17$ mal so viel Platz, wie jeder einzelne Blumentopf einnimmt. Das sind also:
$17 \cdot 115~\text{cm}^2 = 1\hspace{2pt}955~\text{cm}^2$
Umgerechnet sind das $0,1955~\text{m}^2$.
Die Fläche der Biotope soll genauso groß werden wie die des Teiches, also $3,64~\text m^2$. Diesen Flächeninhalt teilen die Schülerinnen und Schüler in in vier gleich große Stücke. Jedes hat dann den Flächeninhalt:
$3,64~\text m^2:4 = 0,91~\text m^2 =91~\text{dm}^2$
Die Fläche des Teiches und der vier umliegenden Biotope beträgt zusammen:
$2 \cdot 3,64~\text m^2 = 7,28~\text m^2 = 72\hspace{2pt}800~\text{cm}^2$
Der Flächenbedarf für alle Beete, den Teich und die Biotope zusammen beträgt nun bereits:
$14,15~\text m^2 + 0,1955~\text{m}^2 + 7,28~\text m^2 = 21,6255~\text{m}^2$.
Ein Drittel der bisherigen Fläche wird zusätzlich für Wege eingeplant. Das sind noch einmal
$21,6255~\text{m}^2:3=7,2085~\text m^2$
Alles in allem kommen die Schülerinnen und Schüler für ihren Schulgarten auf:
$21,6255~\text{m}^2 + 7,2085~\text m^2 = 28,834~\text m^2= 0,28834~\text{a}$
Jetzt aber ran an die Spaten!
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Vergleiche die Flächeninhalte.
Tipps
$1000~\text m^2$ sind dasselbe wie $10~\text a$.
Ein quadratisches Flächenstück von $2~\text{dm} = 20~\text{cm}$ Kantenlänge hat einen Flächeninhalt von $2 \cdot 2~\text{dm}^2$.
Ein quadratisches Flächenstück von $10~\text{m}$ Kantenlänge hat den Flächeninhalt $1~\text a$.
Lösung
Beim Umrechnen der Maßeinheiten musst Du die Stellenwerte berücksichtigen. In der durch $\text a$ und $\text{ha}$ erweiterten Einheitentafel haben je zwei benachbarte Einheiten denselben Abstand, d.h. die Hunderter jeder Einheit entsprechen den Einern der nächst größeren Einheit. Du erhältst damit folgende Zuordnung:
- $122380~\text m^2 = 1223,8~\text a$
- $12345~\text{ha} = 123,45~\text{km}^2$
- $12345~\text{dm}^2 = 123,45~\text{m}^2$
- $12238~\text{dm}^2 = 122,38~\text{m}^2$
- $1234,5~\text a = 123450~\text{m}^2$
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nice