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Mit Volumeneinheiten rechnen 05:21 min

Textversion des Videos

Transkript Mit Volumeneinheiten rechnen

Cabelo verwendet in seinem Hunde-Wohlfühl- und Wellness-Center beim Frisieren seiner flauschigen Kunden eine ganz spezielle Methode. Diese hat er selber entwickelt und ist nun bekannt dafür, das Haarvolumen von Hunden auf ein ganz neues Level zu bringen. Er verwendet für die Planung der Frisuren sein Wissen über Volumen und muss dazu mit Volumeneinheiten rechnen können. Schauen wir uns dazu doch erst noch einmal an, welche Volumeneinheiten wir kennen. Die größte Volumeneinheit, die wir verwenden ist der Kubikmeter. Ein Kubikmeter ist das gleiche wie eintausend Kubikdezimeter. 1 Kubikdezimter, der genausoviel Volumen besitzt wie 1 Liter, sind eintausend Kubikzentimeter. 1 Kubikzentimeter ist das gleiche wie 1 Milliliter und dies sind eintausend Kubikmillimeter. Wandeln wir in die nächstgrößere Volumeneinheit um, so dividieren wir also durch eintausend. Andersherum multiplizieren wir mit eintausend, wenn wir in eine nächstkleinere Volumeneinheit umwandeln wollen. Zurück zu Cabelo: Sein erster flauschiger Gast soll mehr Haarvolumen erhalten. Er besitzt schon 96354 Kubikzentimeter Volumen. Cabelo hat für ihn eine Frisur mit 1927 Kubikmillimetern mehr Volumen geplant. Um zu wissen, wie voluminös die Haarpracht des Hundes am Ende ist, müssen wir addieren. Da wir die Werte zur Addition immer auf die gleiche Einheit bringen, verwenden wir hier zur Hilfe die Stellenwerttafel. Wir orientieren uns beim Eintragen der Werte mit dem Einer immer an der letzten Stelle der zugehörigen Einheit. 96354 Kubikzentimeter tragen wir also hier ein. Da wir uns beim Ablesen der Einheiten immer an den einern orientieren, ist dies zum Beispiel das gleiche wie 96,354 Kubikdezimeter. 1927 Kubikmillimeter tragen wir hier ein. Nun können wir die beiden Werte auf die gleiche Einheit bringen. Wir können also bei dem ersten Wert Nullen ergänzen, damit wir hier auch die Einheit Kubikmillimeter erhalten. Nun können wir wie gewohnt schriftlich addieren. Als Endergebnis erhalten wir also 96355927 Kubikmillimeter. Eine ganz schön große Zahl. Wir können das Ergebnis auch mit gemischten Volumeneinheiten schreiben. Um zu erkennen wie, orientieren wir uns an diesen Begrenzungen. So erhalten wir also 96 Kubikdezimeter 355 Kubikzentimeter und 927 Kubikmillimeter. Wollen wir Volumina subtrahieren, so gehen wir übrigens genauso vor. Wichtig ist hierbei, die Werte auf eine gemeinsame Einheit zu bringen. Aber schauen wir uns doch mal die neue Haarpracht des haarigen Kundens an: Kaum hat Cabelo diese Frisur fertiggestellt, wartet auch schon der nächste Kunde auf ihn. Wow! Dieser hat ja viel zu viel Haarvolumen! Cabelo möchte das Volumen dieses Hundes verringern. Zurzeit hat der Hund ein Haarvolumen von 98,79 Kubikdezimetern. Er möchte dieses Volumen halbieren. Wir können es also durch 2 dividieren rechnen schriftlich. Im Ergebnis übernehmen wir die Einheit einfach. Sobald Cabelo mit dieser Frisur fertig ist, sollte der Hund also ein Haarvolumen von 49,395 Kubikedezimetern besitzen. Bei der Multiplikation ist das Vorgehen genauso. Wichtig ist, dass du die Einheit im Ergebnis übernimmst. Während Cabelo das Styling dieses Hundes perfektioniert, fassen wir zusammen: Bei der Addition und Subtraktion von Volumina bringen wir die Werte zunächst auf eine gemeinsame Einheit, und führen dann die Rechnung durch. Bei der Mulitplikation, sowie bei der Division von Volumina, rechnen wir direkt und übernehmen die Volumeneinheit für das Ergebnis. Endlich hat Cabelo diese neue Frisur kreiert. Dies scheint seinen neuen Träger aber wenig zu kümmern.

1 Kommentar
  1. Sehr toll erklärt danke😄

    Von Ö E., vor 5 Monaten

Mit Volumeneinheiten rechnen Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Mit Volumeneinheiten rechnen kannst du es wiederholen und üben.

  • Berechne das Volumen.

    Tipps

    Trage die Ziffern in die Stellenwerttafel ein und ergänze ggf. Nullen.

    Orientiere dich beim Eintragen jeweils an der Einerstelle.

    $4.000~\text{mm}^3 + 54,927~\text{cm}^3 = 58.927~\text{mm}^3 = 58~\text{cm}^3 \ 927~\text{mm}^3$ Beachte hierbei die Einheiten und die unterschiedliche Benutzung von Punkt und Komma.

    Lösung

    Um zwei Volumina zu addieren, musst du sie zuerst in eine gemeinsame Einheit umrechnen. Dann kannst du die Maßzahlen addieren und die Einheit übernehmen.

    Hier sind $96.354~\text{cm}^3$ und $1.927~\text{mm}^3$ zu addieren. Als gemeinsame Eineit bietet sich $\text{mm}^3$ an. Beim Eintragen in die Stellenwerttafel orientierst du dich für jede Einheit jeweils an der Einerstelle. Die Einerstelle der Einheit $\text{mm}^3$ steht in der Einheitentabelle drei Stellen weiter rechts als die Einerstelle der nächstgrößeren Einheit $\text{cm}^3$.

    Um die Rechnung in der Einheit $\text{mm}^3$ durchführen zu können, musst du bei dem Volumen $96.354~\text{cm}^3$ rechts drei Nullen ergänzen, denn $96.354~\text{cm}^3 = 96.354.000~\text{mm}^3$. Wenn du die Rechnung nun schriftlich durchführst, erhältst du:

    \begin{align} 96.354~\text{cm}^3 + 1.927~\text{mm}^3 &= 96.354.000~\text{mm}^3 + 1.927~\text{mm}^3 \\ &= 96.355.927~\text{mm}^3 \\ &= 96~\text{dm}^3 355~\text{cm}^3 927~\text{mm}^3 \end{align}

  • Beschreibe das Rechnen mit Volumeneinheiten.

    Tipps

    Beim Umrechnen von einer Volumeneinheit in die nächstkleinere musst du mit $1.000$ multiplizieren.

    Zwei Volumina kannst du addieren, indem du sie auf eine gemeinsame Einheit umrechnest und dann die Zahlen addierst.

    Ein Liter ist das Volumen eines Würfels der Kantenlänge $10~\text{cm}$.

    Lösung

    Kubikmeter ist die größte Einheit, mit der wir uns beschäftigen wollen. $1~\text m^3$ ist dasselbe wie $1.000$ $\text{dm}^3$. Die nächstkleinere Einheit ist $1~\text{dm}^3$. Das entspricht $1.000$ $\text{cm}^3$ oder $1~\text{l}$. Die kleinste gebräuchliche Volumeneinheit ist Kubikmillimeter. Hier entsprechen $1.000~\text{mm}^3$ genau $1~\text{cm}^3$.

    Cabelo will das Haarvolumen seiner vierbeinigen Kunden vergrößern bzw. verkleinern. Um zu einem gegebenen Volumen ein weiteres zu addieren, muss er zuerst die beiden Volumina auf dieselbe Einheit bringen. Beim Umrechnen in die nächstkleinere Einheit muss Cabelo mit $1.000$ multiplizieren, beim Umrechnen in die nächstgrößere durch $1.000$ dividieren.

    Um das Haarvolumen mit einem Faktor zu multiplizieren, muss Cabelo zuerst die Rechnung durchführen und dann die Einheit übernehmen. Bei der Division von Volumeneinheiten geht es genauso.

  • Vergleiche die Volumina.

    Tipps

    Rechne die gemischten Einheiten in eine einheitliche Einheit um.

    Bei einem Volumen in gemischten Einheiten musst du beim Umrechnen Nullen voranstellen, wenn die Maßzahl einer Einheit weniger als drei Ziffern hat und du in eine größere Einheit umrechnest.

    $87~\text{dm}^3$ entsprechen $87.000~\text{cm}^3$ oder $0,087~\text{m}^3$.

    Lösung

    Um die Paare zu finden, kannst du zuerst die Volumina in gemischten Einheiten auf eine einheitliche Einheit bringen. Wenn du dann noch in kleinere oder größere Einheiten umrechnest, findest du den passenden Partner.

    Hier ergeben sich folgende Gleichungen:

    • $87~\text{m}^3~654~\text{dm}^3~32~\text{cm}^3 = 87,654032~\text{m}^3 = 87.654,032~\text{dm}^3$
    • $8~\text{m}^3~765~\text{dm}^3~432~\text{cm}^3 = 8,765432~\text{m}^3 = 8.765,432~\text{l}$
    • $87~\text{dm}^3~65~\text{cm}^3~432~\text{mm}^3 = 87,065432~\text{dm}^3 = 87.065,432~\text{cm}^3$
    • $876~\text{dm}^3~54~\text{cm}^3~32~\text{mm}^3 = 876,054032~\text{dm}^3 = 876.054,032~\text{cm}^3 = 876.054.032~\text{mm}^3$
  • Ordne die Volumenangaben zu.

    Tipps

    Orientiere dich beim Umrechnen in gemischte Einheiten an der Einerstelle: Die Einer-, Zehner- und Hunderterstelle eines Volumens gehören zu dem Anteil in derselben Einheit.

    Rechnest Du $87.654,032~\text{cm}^3$ in gemischte Einheiten um, so erhältst du $654~\text{cm}^3$ aus der Einer-, Zehner- und Hunderterstelle. Die Zehntel-, Hundertstel und Tausendstelstelle gehören zu der nächstkleineren Einheit, das sind hier $32~\text{mm}^3$.

    Beachte, dass $1~\text{l} = 1000~\text{cm}^3$ ist.

    Lösung

    Du kannst die Volumina in gemischten Einheiten angeben und findest so die zugehörigen Teilvolumina:

    • $12.034,567~\text{dm}^3 = 12~\text{m}^3~34~\text{dm}^3~567~\text{cm}^3 = 12~\text{m}^3~34~\text{l}~567~\text{cm}^3$
    • $123.045,067~\text{l} = 123~\text{m}^3~45~\text{dm}^3~67\text{cm}^3 = 123~\text{m}^3~45~\text{dm}^3~67\text{ml}$
    • $1,234567~\text{dm}^3 = 1~\text{dm}^3~234~\text{cm}^3~567~\text{mm}^3= 1~\text{l}~234~\text{cm}^3~567~\text{mm}^3$
    • $1,23405607~\text{m}^3 = 1~\text{m}^3~234~\text{dm}^3~56~\text{cm}^3~70~\text{mm}^3$
  • Gib die Umrechnung der Volumeneinheiten an.

    Tipps

    Beim Umrechnen eines Volumens in eine kleinere Einheit wird die Maßzahl größer.

    Beim Umrechnen von $\text l$ in $\text{cm}^3$ multiplizierst du die Anzahl $\text l$ mit $1.000$.

    Rechnest du $1.000~\text{mm}^3$ in $\text{cm}^3$ um, so erhältst du $1~\text{cm}^3$, d.h. die Maßzahl $1.000$ wird bei der Umrechnung durch $1.000$ dividiert. Dasselbe gilt für jede Umrechnung eines Volumens in die nächstgrößere Einheit.

    Lösung

    Bei der Umrechnung eines Volumens in eine größere Einheit wird die Maßzahl kleiner, bei der Umrechnung in eine kleinere Einheit wird sie größer. Der Umrechnungsfaktor benachbarter Volumeneinheiten ist immer $1.000$. Bei der Umrechnung eines Volumens in die nächstgrößere Einheit musst du daher seine Maßzahl durch $1.000$ dividieren, bei der Umrechnung in die nächstkleinere Einheit mit $1.000$ multiplizieren.

    Die größte hier verwendete Volumeneinheit ist $1~\text{m}^3$, die nächstkleineren sind $1~\text{dm}^3 = 1~\text l$, dann $1~\text{cm}^3$ und schließlich $1~\text{mm}^3$. Sie unterscheiden sich jeweils um den Faktor $1.000$, d.h.:

    \begin{align} 1~\text{m}^3 &= 1.000~\text{dm}^3 \\ 1~\text{dm}^3 = 1~\text{l} &= 1.000~\text{cm}^3 \\ 1~\text{cm}^3 = 1~\text{ml} &= 1.000~\text{mm}^3 \end{align}

  • Analysiere die Aussagen.

    Tipps

    Erschließe aus den Beschreibungen die Umrechnung der Volumina und überprüfe diese.

    Zur Erinnerung:

    $1 \text{ dm}^3=1 \text{ l}$

    Lösung

    Folgende Beschreibungen sind richtig:

    • Königspudel: Cabelo hat das Volumen verdoppelt. Der Zuwachs beträgt also die Hälfte des Endvolumens, d.h. $98.765~\text{cm}^3 : 2 = 49.382,5~\text{cm}^3 = 49,3825~\text{l}$. Abgerundet sind das $49~\text{l}$ Zuwachs. Bei sieben Tuben Hundeshampoo ergibt sich also tatsächlich ein Zuwachs von $49~\text{l}:7 = 7~\text l$ pro Tube.
    • Wolfsspitz: Cabelo befreit den Wolfsspitz von etwas mehr als der Hälfte seines Haarvolumens. Die geschorene Wolle hat daher ein etwas größeres Volumen als der Hund selbst nach der Schur. Da sein Frauchen nicht mehr als $1~\text{l}$ Wolle pro $\text l$ Hund für den Pulli braucht, kann der Wofsspitz auch kühleren Sommertagen gelassen entgegen hecheln.
    Folgende Beschreibungen sind falsch:

    • Zwergpinscher: Vor dem Besuch bei Cabelo betrug das Volumen des Zwergpinschers mehr als $9~\text{dm}^3$. Seine neue Föhnfrisur trägt weitere $3~\text{dm}^3$ bei. Sein Körpervolumen beträgt jetzt also etwas mehr als $9~\text{dm}^3 + 3~\text{dm}^3 = 12~\text{dm}^3$. Ein Drittel davon sind etwas mehr als $12~\text{dm}^3 : 3 = 4~\text{dm}^3$. So viel Föhnfrisur schafft selbst Cabelo nicht. Zumindest nicht bei diesem Zwergpinscher.
    • Cockerspaniel: Der Lockenzuwachs des Cockerspaniels ist doppelt so groß wie der seines Frauchens, denn $567,8~\text{cm}^3 = 2 \cdot 283,9~\text{cm}^3$. Ob aber auch das Gesamtvolumen der Hundelocken doppelt so groß ist wie das seines Frauchens, hängt davon ab, um welchen Faktor sich die Volumina durch die Dauerwelle verändern. Betragen z.B. beide Frisuren vor dem Salonbesuch jeweils $1.000~\text{cm}^3$, so hat der Cockerspaniel anschließend eine Lockenpracht von $1.567,8~\text{cm}^3$. Das ist nicht das Doppelte der Lockenpracht seines Frauchens, denn diese beträgt $1.283,9~\text{cm}^3$.