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Kreiszahl Pi – Näherungsverfahren von Archimedes 07:32 min

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Transkript Kreiszahl Pi – Näherungsverfahren von Archimedes

Hallo! Mein Name ist Thekla und heute möchte ich dir die Zahl “Pi” einmal genauer vorstellen! Dazu wiederholen wir zuerst, was du über “Pi” schon weißt und wofür du diese Zahl brauchst.

“Pi” ist schon seit der Antike vor über 2000 Jahren bekannt. Doch woher wussten die Menschen damals ohne Computer, wie diese Zahl aussieht? Dazu schauen wir uns heute zusammen das Näherungsverfahren von Archimedes an. “Pi” wird in der Mathematik “Kreiszahl” genannt, da sie sich aus dem Verhältnis zwischen Umfang und Durchmesser eines Kreises berechnen lässt. Das heißt Pi gleich Umfang durch Durchmesser gleich zwei mal Pi mal r durch 2 r. Nach Kürzen von 2 r erhalten wir wieder Pi.

Wir benötigen “Pi” zur Berechnung verschiedener Kreisgrößen, zum Beispiel Umfang und Fläche.

Die Zahl “Pi” gehört zu den irrationalen Zahlen. Das bedeutet, das sie eine reelle Zahl ist, die man nicht als Bruch darstellen kann. Sie hat unendlich viele Nachkommazahlen. Bis jetzt konnte man “Pi” mithilfe von Computern auf 5 Billionen Nachkommstellen berechnen.(Dann schreibe ich das Board mit den ganzen Zahlen voll.)
Es reicht aber, wenn wir uns die ersten drei Ziffern dieser spannenden Zahl merken: 3,14 Doch wie wurde “Pi” früher berechnet? Um das zu beantworten, stelle ich dir heute den griechischen Mathematiker Archimedes von Syrakus vor. Er lebte im 3. Jahrhundert vor Christus und von ihm soll der noch heute gebräuchliche Ausdruck “Heureka!” stammen, was übersetzt “Ich habe es gefunden” bedeutet. Archimedes entwickelte eine Methode, sich der Zahl Pi über einen Einheitskreis anzunähern, also einen Kreis mit dem Radius 1. Nun wissen wir von eben, dass Pi sich mit der Formel Umfang geteilt durch Durchmesser, also U durch d, berechnen lässt. In unserem Fall kennen wir d, da der Einheitskreis den Durchmesser 2 hat. Archimedes zeichnete nun außerhalb und innerhalb des Kreises jeweils ein regelmäßiges 6-Eck. Ich mache es dir einmal vor. Du kannst erkennen, dass der Umfang des äußeren 6-Ecks größer als der des Kreises ist. Und der Umfang des inneren 6-Ecks ist kleiner als der Umfang des Kreises. Die Seitenlänge dieses 6-Ecks beträgt 1. Archimedes teilte nun die Seiten der beiden 6-Ecke und zeichnete ein 12-Eck, dann ein 24-Eck usw. So näherte er sich Stück für Stück dem Umfang des Einheitskreises und somit der Zahl Pi an. Schauen wir uns nun einmal einen Abschnitt innerer Vielecke genauer an. Dieser Teil ist eine halbe Seite von einem n-Eck (mit dem Finger auf den Abschnitt zeigen), dieser gehört zu einem Vieleck mit doppelt so vielen Ecken, also einem 2-mal-n-Eck.

Diese halbe Seite des n-Ecks nennen wir sn2, diese Seite des 2-mal-n-Ecks nennen wir s2n. Für unseren geometrischen Beweis ist außerdem diese Seite wichtig (mit dem Finger auf den Abschnitt zeigen), die wir c nennen. Anhand dieser Zeichnung und mithilfe des Satzes des Pythagoras können wir nun zwei Gleichungen aufstellen. Wenn wir das nun für c in die erste Gleichung einsetzen, ergibt sich diese Gleichung. (zeigen)

Wenn wir nun ausmultiplizieren und zusammenfassen, erhalten wir erst und dann nimmt man die 2 mit unter die Wurzel, kann man das noch zusammenfassen.

Nun ziehen wir noch die Wurzel. Ähnlich kann man auch die Seitenlänge der äußeren n-Ecke bestimmen.

Je größer wir n wählen, desto mehr nähert sich die Länge der n-Ecke von beiden Seiten der Länge des Kreisauschnittes an. So können wir den Wert für den Umfang des Einheitskreises näherungsweise bestimmen und damit auch Pi.

Da die Seitenlänge des anfänglichen 6-Ecks 1 betrug, können wir nun die Seitenlängen des 12-Ecks, 24-Ecks usw. berechnen. Da das ziemlich aufwenig wird, nimmt man dafür meistens Tabellenkalkulationen. Ich habe dir hier einmal die Werte bis zu einem 96-Eck aufgelistet. Du siehst: Je größer die Anzahl der Ecken wird, desto näher kommen wir der Zahl Pi.

Wie du siehst, braucht man keinen Computer, um die Zahl Pi auf einige Stellen nach dem Komma zu berechnen. Lass uns nun alles, was du heute gelernt hast zusammenfassen.

Die Zahl Pi ist irrational, das heißt: sie hat unendlich viele Nachkommazahlen. Sie wird in der Mathematik Kreiszahl genannt und lässt sich aus der Formel berechnen. Als erster hat der griechische Mathematiker Archimedes ein Näherungsverfahren für Pi entwickelt. Heute kennen wir bereits knapp 5 Billionen Nachkommazahlen von Pi! Damit kann man ganze Bücher seitenweise beschreiben. Pi ist eine erstaunliche Zahl! Und mir hat es heute sehr viel Spaß gemacht, dir Pi ein wenig näher zu bringen! Also bis zum nächsten Mal! Tschüss!

4 Kommentare
  1. dank gutes Video.sehr hilfreich.
    lol

    Von J.Kamali, vor 8 Monaten
  2. u : d ist doch richtig oder weil 2*r ja eig. der durchmesser ist

    Von Christopher S., vor mehr als 3 Jahren
  3. ok danke war toll

    Von Roman Ionkin, vor etwa 4 Jahren
  4. Danke, dieses Video war sehr hilfreich!

    Von Murat, vor etwa 4 Jahren

Kreiszahl Pi – Näherungsverfahren von Archimedes Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Kreiszahl Pi – Näherungsverfahren von Archimedes kannst du es wiederholen und üben.

  • Ergänze die Erklärung zu $\pi$.

    Tipps

    Du kannst deinen Taschenrechner verwenden: Dort findest du $\pi$.

    $\frac13=0,\bar 3$ ist eine periodische Dezimalzahl, also rational.

    $\frac12=0,5$ ist eine endende Dezimalzahl, also rational.

    Lösung

    Mit Hilfe der Kreiszahl $\pi$ kann der Umfang eines Kreises berechnet werden:

    $U=2~\pi~r=\pi~d$.

    Wenn man diese Gleichung durch Division durch $d$ umstellt erhält man

    $\pi=\frac{U}{d}$.

    $\pi$ ist eine nicht endende und nicht periodische Dezimalzahl.

    Wenn man den Taschenrechner verwendet, gibt dieser, je nach Anzahl der Stellen,

    $\pi=3,141592653$

    an. Es genügt, sich einige, zum Beispiel zwei, Stellen hinter dem Komma zu merken: $\pi\approx 3,14$.

  • Bestimme die Zahl $\pi$ auf zwei Nachkommastellen.

    Tipps

    $1,41$ sind die ersten Stellen von

    $\sqrt 2=1,414213562...$.

    Auch dies ist eine irrationale Zahl.

    Es gibt verschiedene Merksätze, mit denen du dir $\pi$ auf einige Nachkommastellen merken kannst.

    Zum Beispiel:

    „May I have a large container of coffee? Thank you!“.

    Zähle die Anzahl der Buchstaben in jedem Wort des Merksatzes.

    Lösung

    Wenn man sich $\pi$ mit zwei Nachkommastellen merkt, erhält man

    $\pi\approx 3,14$.

    Wie kann man sich so etwas merken? Ok, zwei Nachkommastellen gehen ja noch, aber mehr ...

    Es gibt viele Merksätze für die Kreiszahl $\pi$. Zum Beispiel diesen

    „May I have a large container of coffee? Thank you!“.

    Wenn man die jeweilige Zahl der Buchstaben zählt, erhält man die ersten Stellen von $\pi$:

    • may $\rightarrow$ $3$
    • I $\rightarrow$ $1$
    • have $\rightarrow$ $4$
    • a $\rightarrow$ $1$
    • large $\rightarrow$ $5$
    • container $\rightarrow$ $9$
    • of $\rightarrow$ $2$
    • coffee $\rightarrow$ $6$
    • Thank $\rightarrow$ $5$
    • you $\rightarrow$ $3$
  • Beschreibe, wie die Kreiszahl $\pi$ näherungsweise berechnet werden kann.

    Tipps

    Da $\pi$ eine irrationale Zahl ist, kann sie nicht exakt berechnet werden.

    Wenn $\pi$ nicht bekannt ist, kann der Umfang nicht mit der Formel

    $U=2~\pi~r=\pi~d$

    berechnet werden.

    Wenn der Radius $r=1$ ist, dann ist $U=2~\pi$.

    Lösung

    Die Zahl $\pi$ kann näherungsweise berechnet werden. Das bedeutet, dass eine Folge konstruiert wird, deren Grenzwert die gesuchte Zahl ist.

    Ein solches näherungsweises Verfahren geht auf Archimedes von Syrakus zurück. Archimedes lebte ungefähr $300$ Jahre vor Christi Geburt.

    Es ist bekannt, dass der Umfang eines Kreises sich berechnen lässt als $U=\pi~d$. Somit ist

    $\pi=\frac{U}{d}$.

    Archimedes wählte einen Einheitskreis, also einen Kreis mit dem Radius $r=1$. Somit ist $d=2r=2$. Wenn man dies in der Formel für $\pi$ einsetzt, erhält man

    $\pi=\frac{U}{2}$.

    Wenn nun der Kreis durch regelmäßige Vielecke angenähert wird:

    • durch das blaue Sechseck von innen und
    • durch das grüne Sechseck von außen,
    dann kann man von diesen Vielecken den Umfang $U_i$, für das innere, sowie $U_a$, für das äußere, berechnen. Es gilt dann

    $U_i\le U_k\le U_a$.

    Dabei ist $U_k$ der gesuchte Kreisumfang. Wird die Anzahl der Ecken der regelmäßigen Vielecke immer weiter erhöht, nähern diese sich, von innen und von außen, immer genauer an den Kreis an. Damit nähern sich auch die Umfänge immer näher an den Kreisumfang an. So kann Schritt für Schritt der Umfang des Einheitskreises, und damit $\pi$, immer genauer berechnet werden.

    Übrigens: $\pi$ ist bereits auf mehr als $10$ Billionen Nachkommastellen berechnet.

  • Überprüfe, ob $\sqrt 2$ tatsächlich eine irrationale Zahl ist.

    Tipps

    Verwende die 1. binomische Formel

    $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$.

    Beachte, dass jede Zahl, die durch $2$ teilbar ist, gerade ist.

    Wenn du zu einer geraden Zahl $1$ addierst, erhältst du eine ungerade Zahl.

    Lösung

    Sei $\sqrt2$ rational, also

    $\sqrt2=\frac{2m+1}{2n}$,

    dann erhält man durch Quadrieren

    $2=\frac{(2m+1)^2}{(2n)^2}$.

    Nun wird mit $(2n)^2$ multipliziert und man gelangt zu

    $2\cdot (2n)^2=(2m+1)^2$.

    Auf beiden Seiten der Gleichung werden die Klammern aufgelöst. Auf der rechten Seite wird die
    1.$~$binomische Formel verwendet. So erhält man

    $2\cdot 4 n^2= 4m^2+4m+1$ oder $8n^2=4m^2+4m+1$.

    Auf der linken Seite der Gleichung steht mit $8n^2$ eine gerade Zahl. Nun kann man sich die rechte Seite anschauen:

    • $4m^2$ ist gerade.
    • $4m$ ist gerade.
    • Die Summe zweier gerader Zahlen ist gerade.
    • Wenn man zu einer geraden Zahl $1$ addiert, erhält man eine ungerade Zahl.
    Somit ist $4m^2+4m+1$ ungerade.

    Dies ist ein Widerspruch, da eine gerade Zahl nicht ungerade (oder umgekehrt) sein kann. Die Annahme muss somit falsch gewesen sein.

    Das bedeutet, dass $\sqrt 2$ tatsächlich irrational ist.

  • Berechne die Folgeglieder.

    Tipps

    Du kannst noch weiter rechnen. Die ersten beiden Folgeglieder sind noch recht weit von $e$ entfernt. Bei höherem Index, $100$ oder $1000$ oder $10000$, kannst du erkennen, dass immer mehr Nachkommastellen mit der Euler'schen Zahl überein stimmen.

    Achte auf die Klammern, wenn du den Term in den Taschenrechner eingibst.

    Die Berechnung von $a_{10}$ siehst du zum Beispiel hier.

    Lösung

    Die näherungsweise Berechnung einer irrationalen Zahl bedeutet, dass man den Grenzwert einer Folge berechnet ... oder aber die Folgeglieder so lange ausrechnet, bis sich deren Wert nicht mehr so sehr unterscheidet.

    Hier ist die Folge zu sehen, deren Grenzwert die Euler'sche Zahl $e=2,71828182818...$ ist. Auch wenn diese Zahl so aussieht: sie ist nicht periodisch. Die Euler'sche Zahl ist eine irrationale Zahl.

    Um also die Zahl $e$ zu berechnen, müssen die Folgeglieder berechnet werden. Dafür wird jeweils der Index $n$ auf der rechten Seite, der Definition der Folge, eingesetzt:

    • $a_1=\left(1+\frac{1}{1}\right)^1=2^1=2$
    • $a_2=\left(1+\frac{1}{2}\right)^2=1,5^2=2,25$ ... bis hierher geht das sicher noch gut im Kopf!
    • $a_{100}=\left(1+\frac{1}{100}\right)^{100}=1,01^{100}\approx 2,70841$ - die erste Nachkommastelle stimmt bereits.
    • $a_{1000}=\left(1+\frac{1}{1000}\right)^{1000}=1,001^{1000}\approx 2,71692$
    • $a_{10000}=\left(1+\frac{1}{10000}\right)^{10000}=1,0001^{10000}\approx 2,71815$ - hier stimmen bereits die ersten vier Nachkommastellen mit der Euler'schen Zahl überein.
  • Ermittle den Wert von $\sqrt 2$ auf fünf Nachkommastellen.

    Tipps

    Da die Folge rekursiv definiert ist, musst du zur Berechnung von, zum Beispiel, $x_3$ den Wert von $x_2$ kennen.

    $x_0$ kann noch exakt angegeben werden. Alle übrigen Folgeglieder sind gerundet.

    Du kannst $\sqrt 2$ mit dem Taschenrechner berechnen.

    Lösung

    Mit Hilfe des Heron-Verfahrens kann jede beliebige Wurzel, $\sqrt a$, mit $a\ge 0$, berechnet werden:

    • $x_0=\frac{a+1}2$
    • $x_{n+1}=\frac12\left(x_n+\frac{2}{x_n}\right)$
    Hier ist $a=2$ und damit $x_0=\frac32=1,5$. Dies ist sicher noch keine so gute Näherung für $\sqrt 2$.

    Wenn man ein Folgeglied kennt, wird mit diesem Folgeglied das nächste berechnet. Man sagt, dass die Folge rekursiv definiert ist.

    $x_0$ wird in der rekursiven Folgedefinition eingesetzt, um $x_1$ zu berechnen

    $x_1=\frac12\left(1,5+\frac2{1,5}\right)=1,41666666...\approx 1,416667$

    Ebenso werden die weiteren Folgeglieder berechnet:

    • $x_2=\frac12\left(1,416667+\frac2{1,416667}\right)=1,4142156...\approx 1,414216$ sowie
    • $x_3=\frac12\left(1,414216+\frac2{1,414216}\right)=1,4142156...\approx 1,414216$.
    Hier sind bereits die ersten fünf Nachkommastellen zu erkennen

    $\sqrt 2\approx 1,41421$.

    Wenn man die Folgeglieder weiter berechnet, kann man noch weitere Nachkommastellen berechnen.