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Kreiszahl Pi

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Team Digital
Kreiszahl Pi
lernst du in der 9. Klasse - 10. Klasse

Beschreibung Kreiszahl Pi

Nach dem Schauen dieses Videos wirst du mehr über die Zahl Pi wissen.

Zunächst lernst du, was die Zahl pi ist und wie diese mit dem Umfang und Durchmesser eines Kreises zusammenhängt. Anschließend lernst du, welche Mathematiker sich mit der Zahl Pi beschäftigt haben. Abschließend lernst du, wo du die Zahl pi alles anwenden kannst.

Lerne etwas über die Zahl Pi.

Das Video beinhaltet Schlüsselbegriffe, Bezeichnungen und Fachbegriffe wie Kreiszahl, Kreis, Pi, irrational, Kegel, Zylinder, Kugel und π.

Bevor du dieses Video schaust, solltest du bereits wissen, was eine irrationale Zahl ist.

Nach diesem Video wirst du darauf vorbereitet sein, die Berechnung von verschiedenen Flächen und Volumen mithilfe von Pi zu lernen.

Transkript Kreiszahl Pi

Stop, stop, stop, schauen wir uns das Rad noch einmal genauer an. Es hat einen Durchmesser von einem Meter. Drehen wir dieses Rad einmal ganz um sich selbst... so legt es einen Weg von ca. 3,14 Metern zurück. Das ist ungefähr der Wert der Zahl Pi. Pi ist eine irrationale Zahl. Man kann sie also nicht durch einen Quotienten aus zwei ganzen Zahlen ausdrücken. Das heißt, dass sie unendlich viele Nachkommastellen hat und nicht periodisch ist. Pi ist definiert als das Verhältnis aus Kreisumfang und Kreisdurchmesser. Da der Durchmesser bei diesem Rad ein Meter ist, haben wir hier also pi ist gleich Umfang geteilt durch 1. Dies zeigt, dass der Umfang des Rads tatsächlich den Wert pi besitzt. Weil Pi etwas mit Kreisen zu tun hat, wird sie auch oft Kreiszahl pi genannt. Doch wie ist man denn überhaupt auf diese Zahl gekommen? Seit der Antike forschen Mathematiker an der Zahl Pi und wollen sich dieser annähern. Archimedes versuchte Vielecke mit immer mehr Ecken in den Kreis zu legen, um einen Wert für Pi zu finden. Dadurch gewann er eine Ungleichung aus der Konstruktion eines 96-Ecks: 3 10/71 < π < 3 1/7. Diese Methode wurde von anderen Mathematikern weiterverwendet, um Pi noch genauer zu berechnen. Der chinesische Astronom Tsu Ch'ung Chi und sein Sohn Tsu Keng Chi fanden die Näherung: 3,14159292. Ab dem 15. Jahrhundert verwendete man verschiedene Algorithmen um sich Pi anzunähern. Viele bekannte Mathematiker haben sich mit so einem Verfahren mit der Annäherung von Pi beschäftigt, wie zum Beispiel Isaac Newton, Leonhard Euler und Carl Friedrich Gauß. In der heutigen Zeit setzen wir Computer ein, um weitere Nachkommastellen von Pi zu berechnen. Dabei wurden schon Billionen der Nachkommastellen gefunden. Schauen wir uns doch einmal an, was man mit pi alles berechnen kann. Pi ist das Verhältnis des Umfangs eines Kreises und dessen Durchmesser. Pi ist also gleich U geteilt durch d. Stellen wir dies nach U um, so können wir mithilfe von pi und dem Durchmesser eines Kreises dessen Umfang bestimmen. Die Zahl Pi ist aber ebenfalls als das Verhältnis des Flächeninhalts eines Kreises und dem Quadrat seines Radius definiert. Pi ist also gleich A geteilt durch r zum Quadrat. Stellen wir dies nach A um, so können wir mithilfe von pi also auch den Flächeninhalt eines Kreises berechnen. So kann man natürlich auch Teile eines Kreises berechnen, wie zum Beispiel den Flächeninhalt eines Viertelkreises. Dieser ist dann ein Viertel mal pi mal r quadrat. Den Flächeninhalt eines halben Kreises berechnet man mit ein Halb mal pi mal r quadrat. Es gibt aber auch Körper, die Kreisflächen enthalten: der Zylinder, der Kegel und die Kugel. Auch bei diesen wird Pi benötigt um Oberfläche und Volumen zu bestimmen. Betrachten wir zunächst den Zylinder und schauen uns dazu das Körpernetz an, so sehen wir, dass Grund- und Deckfläche des Zylinders kreisförmig sind. Des weiteren ist diese Seitenlänge genauso groß, wie der Umfang des Kreises. Um die Größe dieser Flächen zu bestimmen, können wir also Pi verwenden. Auch beim Kegel ist ein Kreis enthalten: die Grundfläche. Betrachtet man das Körpernetz, so sieht man, dass die Mantelfläche einem Kreisausschnitt entspricht. Auch hier wird Pi zur Berechnung benötigt. Halbiert man eine Kugel, so ergibt sich als Schnittfläche eine Kreisfläche. Auch zur Berechnung der Kugel brauchen wir deshalb π. Mit Pi kann man also unglaublich viel machen. Und da es unendlich viele Nachkommastellen gibt, wird die Erforschung von Pi wohl nie enden. Deal with it.

5 Kommentare

5 Kommentare
  1. JMcrafter M.,
    du hast Samsung Galaxy S6 und Apple Profilbild.
    😶🤧🤔💩

    Von Yiren Y., vor 8 Monaten
  2. xD
    π =
    3,1415926535 8979323846 2643383279 5028841971 6939937510 5820974944 5923078164 0628620899 8628034825 3421170679 8214808651 3282306647 0938446095 5058223172 5359408128 4811174502 8410270193 8521105559 6446229489 5493038196 4428810975 6659334461 2847564823 3786783165 2712019091 4564856692 3460348610 4543266482 1339360726 0249141273 7245870066 0631558817 4881520920 9628292540 9171536436 7892590360 0113305305 4882046652 1384146951 9415116094 3305727036 5759591953 0921861173 8193261179 3105118548 0744623799 6274956735 1885752724 8912279381 8301194912 …

    Von Yiren Y., vor 8 Monaten
  3. Seit wann haben Mathematiker einen Heiligenschein

    Von bilya21 b., vor 11 Monaten
  4. Hä systemfehler!
    Wenn ich das Video anschauen will, also auf den Play Button drücke werde ich zu den Pdfs weitergeleitet?!
    Samsung Galaxy S6 edge

    Von JMcrafter M., vor 12 Monaten
  5. sör güt🥇

    Von Yiren Y., vor mehr als einem Jahr

Kreiszahl Pi Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Kreiszahl Pi kannst du es wiederholen und üben.
  • Beschreibe die Eigenschaften der Kreiszahl $\pi$.

    Tipps

    Eine rationale Zahl $\mathbb{Q}$ kannst du in Form eines Bruches $\frac ab$ darstellen. Dabei ist $a$ eine ganze Zahl und $b$ eine natürliche Zahl ungleich $0$.

    Irrationale Zahlen kannst du nicht wie rationale Zahlen als Bruch ganzer und natürlicher Zahlen darstellen.

    Lösung

    Die Kreiszahl $\pi$ spielt in der Mathematik eine sehr große Rolle. Man kann mit ihr den Umfang und den Flächeninhalt von Kreisen berechnen. Demnach braucht man sie auch, wenn man die Oberfläche und das Volumen von Körpern mit kreisförmigen Teilflächen berechnen möchte.

    Die Kreiszahl $\pi$ hat folgende Eigenschaften:

    • $\pi$ ist eine irrationale Zahl.
    • Sie kann nicht durch einen Quotienten $\frac ab$ aus einer ganzen Zahl $a$ und einer natürlichen Zahl $b$ ausgedrückt werden.
    • Sie hat unendlich viele Nachkommastellen und ist nicht periodisch.
  • Gib diejenigen Körper an, für deren Oberflächenberechnung du die Kreiszahl $\pi$ benötigst.

    Tipps

    Mit der Kreiszahl $\pi$ kannst du die Fläche von Kreisen bestimmen.

    Die Oberfläche eines Körpers entspricht der Summe seiner Teilflächen.

    Hier siehst du das Körpernetz eines Zylinders.

    Lösung

    Die Kreiszahl $\pi$ spielt in der Mathematik eine sehr große Rolle. Man kann mit ihr den Umfang und den Flächeninhalt von Kreisen berechnen. Demnach braucht man sie auch, wenn man die Oberfläche und das Volumen von Körpern mit kreisförmigen Teilflächen berechnen möchte.

    Also suchen wir hier Körper, die eine kreisförmige Teilfläche besitzen. Diese sind der Zylinder und der Kegel.

    • Zylinder: kreisförmige Grund- und Deckfläche, rechteckige Mantelfläche
    • Kegel: kreisförmige Grundfläche; Kreisausschnitt als Mantelfläche
    Die übrigen Körper sind ein Quader und zwei Pyramiden. Diese besitzen keine kreisförmigen Teilflächen.

  • Ordne den Kreisausschnitten die Formel für ihren Flächeninhalt zu.

    Tipps

    Überlege zunächst, welcher Anteil eines Vollkreises abgebildet ist.

    Betrachtest du ein Fünftel eines Kreises, so betrachtest du auch ein Fünftel seiner Fläche.

    Den Flächeninhalt eines Vollkreises kannst du mit folgender Formel berechnen:

    • $A=\pi\cdot r^2$
    Lösung

    Den Flächeninhalt eines Vollkreises können wir mit folgender Formel berechnen:

    • $A=\pi\cdot r^2$
    So kann man natürlich auch Teile eines Kreises berechnen, wie zum Beispiel den Flächeninhalt eines Viertelkreises. Also überlegen wir zunächst, welcher Anteil eines Vollkreises jeweils abgebildet ist. Bei einem Viertelkreis betrachten wir ein Viertel der Fläche eines Vollkreises. So können wir den Kreisausschnitten folgende Formeln zuordnen:

    • Bild 1: Viertelkreis mit $A=\dfrac{\pi\cdot r^2}{4}$
    • Bild 2: Halbkreis mit $A=\dfrac{\pi\cdot r^2}{2}$
    • Bild 3: Drei Viertel eines Kreises mit $A=\dfrac{3\pi\cdot r^2}{4}$
    • Bild 4: Zwei Drittel eines Kreises mit $A=\dfrac{2\pi\cdot r^2}{3}$
  • Ermittle die Länge der jeweiligen Strecken.

    Tipps

    Wird ein Rad einmal um sich selbst gedreht, so legt es seinen Umfang $U$ zurück.

    Den Umfang $U$ eines Kreises berechnest du wie folgt:

    • $U=\pi\cdot d$
    Lösung

    Wird ein Rad einmal um sich selbst gedreht, so legt es seinen Umfang $U$ zurück. Den Umfang $U$ eines Kreises berechnest du wie folgt:

    • $U=\pi\cdot d$
    Damit können wir die Strecken wie folgt berechnen:

    Beispiel 1:

    Ein Rad mit $d=2\ \text{m}$ wird $1,5$ Mal um sich selbst gedreht. Es legt also das $1,5$-fache seines Umfangs zurück. Sein Umfang beträgt:

    • $U=\pi\cdot 2\ \text{m}=2\pi\ \text{m}$
    Demnach legt es also eine Strecke von $1,5\cdot U=1,5\cdot 2\pi=3\pi$ Metern zurück.

    Beispiel 2:

    Wird ein Rad mit $d=1,75\ \text{m}$ viermal um sich selbst gedreht, so legt es eine Strecke von $7\pi$ Metern zurück. Hierzu betrachten wir einfach nur das Vierfache seines Umfangs:

    • $4\cdot U=4\cdot \underbrace{\pi\cdot 1,75\ \text{m}}_{U}=7\pi\ \text{m}$
    Beispiel 3:

    Ein Rad mit $d=0,5\ \text{m}$ wird $6$ Mal um sich selbst gedreht. Wir berechnen also das Sechsfache seines Umfangs:

    • $6\cdot U=6\cdot \underbrace{\pi\cdot 0,5\ \text{m}}_{U}=3\pi\ \text{m}$
  • Bestimme die Größen an einem Kreis und ihre Berechnung mit der Kreiszahl $\pi$.

    Tipps

    Würdest du die Kreislinie genau einmal entlanglaufen, würde die zurückgelegte Strecke dem Kreisumfang entsprechen.

    Die Kreiszahl $\pi$ kannst du als Quotient mit dem Dividenden $U$ und dem Divisor $d$ darstellen.

    Lösung

    Ein Kreis ist eine ebene geometrische Figur. Die Kreislinie ist die Menge aller Punkte, die zum Kreismittelpunkt denselben Abstand haben. Dieser Abstand wird Radius $r$ genannt. Der Durchmesser entspricht der längsten Sehne des Kreises. Du erhältst sie, wenn du zwei Radien im Winkel von $180^\circ$ in den Kreis einzeichnest.

    Der Umfang $U$ eines Kreises entspricht der Länge der Kreislinie. Die Kreisfläche wird mit $A$ bezeichnet. Der Umfang $U$ und der Flächeninhalt $A$ werden wie folgt berechnet:

    • $U=\pi\cdot d$
    • $A=\pi\cdot r^2$
  • Prüfe die Aussagen auf Richtigkeit.

    Tipps

    Konstant bedeutet gleichbleibend.

    Betrachtet man das $n$-fache eines Kreises, so betrachtet man auch das $n$-fache von dessen Fläche.

    Das Verhältnis von einer Größe $a$ zu einer Größe $b$ kannst du wie folgt schreiben:

    • $\dfrac ab$
    Lösung

    Folgende Aussagen sind richtig:

    „Die Kreiszahl $\pi$ ist eine konstante Zahl.“

    • Die Kreiszahl $\pi$ ist zwar eine irrationale Zahl mit unendlich vielen Nachkommastellen, die nicht periodisch sind, aber trotzdem ist sie eine konstante Zahl. Konstant bedeutet nämlich gleichbleibend.
    „Ein Rad mit einem Meter Durchmesser legt bei $n$ Umdrehungen die Strecke $n\cdot \pi$ zurück.“

    • Dreht sich ein Rad $n$ Mal um sich selbst, so legt es das $n$-fache seines Umfangs zurück. Ein Rad, dessen Durchmesser $1$ Meter beträgt, legt also $n\cdot U=n\cdot \pi\cdot 1=n\cdot p$ Meter zurück.
    • „Die Kreiszahl $\pi$ liegt zwischen den natürlichen Zahlen $3$ und $4$.“
    • Die Kreiszahl $\pi$ beträgt auf zwei Nachkommastellen gerundet $3,14$ und liegt damit zwischen $3$ und $4$.
    Folgende Aussagen sind falsch:

    „$\pi$ ist das Verhältnis vom Durchmesser eines Kreises zu dessen Umfang.“

    • $\pi$ ist das Verhältnis vom Umfang eines Kreises zu dessen Durchmesser.
    „Die Kreiszahl $\pi$ benötigt man bei der Berechnung der Oberfläche eines Würfels.“

    • Da der Würfel keine kreisförmige Teilfläche besitzt, wird $\pi$ bei der Berechnung seiner Oberfläche nicht benötigt.
    „Betrachtet man das $n$-fache eines Kreises, so entspricht dessen Fläche $\frac{\pi\cdot r^2}{n}$.“

    • Die Fläche entspricht der $n$-fachen Fläche des Kreises, also $n\cdot\pi\cdot r^2$.
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