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Tangens am Einheitskreis

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Team Digital
Tangens am Einheitskreis
lernst du in der 9. Klasse - 10. Klasse

Grundlagen zum Thema Tangens am Einheitskreis

Nach dem Schauen dieses Videos wirst du in der Lage sein, Tangenswerte mit Hilfe des Einheitskreises nachzuvollziehen.

Zunächst lernst du, wie der Tangens im rechtwinkligen Dreieck definiert ist. Anschließend lernst du, wie der Tangens am Einheitskreis auch für Winkel größer als 90 Grad bestimmt werden kann. Abschließend lernst du, dass der Tangens periodisch ist und Definitionslücken besitzt.

Tangens am Einheitskreis

Das Video beinhaltet Schlüsselbegriffe, Bezeichnungen und Fachbegriffe wie Tangens, Sinus, Cosinus, Einheitskreis, Hypotenuse, Ankathete, Gegenkathete, Periode und Definitionslücke.

Bevor du dieses Video schaust, solltest du bereits wissen, wie Sinus, Cosinus und Tangens im rechtwinkligen Dreieck definiert sind, sowie Grad- und Bogenmaß kennen.

Tangenswerte

Nach diesem Video wirst du darauf vorbereitet sein, die trigonometrischen Funktionen und ihre Eigenschaften kennen zu lernen.

Transkript Tangens am Einheitskreis

Hach schön, so ne kleine Radtour bei bestem Wetter. Heute dreht sich alles um Tandems. Mathe kann ja echt voll entspannt sein. Ach ne das Ding hieß Tangens. Wäre ja auch zu schön gewesen, aber das kriegen wir auch noch hin. Dann nehmen wir den „Tangens am Einheitskreis“ mal genau unter die Lupe. Zum warm werden schauen wir uns nochmal den Tangens am rechtwinkligen Dreieck an. Wir starten mit einem gegebenen Winkel Alpha. Die Seite, die Alpha gegenüberliegt, ist dann unsere Gegenkathete, die Seite, die Alpha und den rechten Winkel verbindet, ist die Ankathete und die längste Seite im Dreieck, gegenüber vom rechten Winkel ist wie immer unsere Hypotenuse. Der Tangens von Alpha ist definiert als Gegenkathete durch Ankathete. Alles klar, dann kann's ja jetzt richtig losgehen. Am Einheitskreis können wir den Tangens für beliebig große Winkel darstellen. Der Kreisradius schließt hier zusammen mit der positiven x-Achse unseren Winkel Alpha ein. Zunächst müssen wir uns ein rechtwinkliges Dreieck konstruieren, an dem wir dann den Tangens von Alpha ablesen können.
Eine solche Vorgehensweise kennen wir bereits. Zur Bestimmung von Sinus- und Cosinus Werten am Einheitskreis haben wir dieses Dreieck verwendet. Am Punkt P können wir Sinus und Cosinus ganz einfach ablesen. Und wie sieht es mit dem Tangenswert aus? Dieser ist ja gleich Gegenkathete durch Ankathete. Im Einheitskreis ist die Gegenkathete nichts anderes als der Sinus von Alpha und die Ankathete entspricht dem Cosinus von Alpha. Es gilt also Tangens von Alpha gleich Sinus von Alpha durch Cosinus von Alpha. Das können wir uns ja schonmal merken. Aber wie lesen wir denn jetzt den konkreten Tangenswert ohne weitere Rechnung ab? Nun ja, wir legen die Länge unserer Ankathete einfach fest: Sie soll genau die Länge eins haben. Dafür müssen wir dann auch die Gegenkathete so weit nach rechts verschieben, dass diese durch den Punkt eins null verläuft. Das rechtwinklige Dreieck, das wir so erhalten, geht über den Einheitskreis hinaus. Den neuen Eckpunkt nennen wir Q. Er ist der Schnittpunkt von der Tangente und dem verlängerten Radius. Q liegt also immer auf der Tangente, die den Einheitskreis im Punkt eins null berührt. Dieser Tangente hat der Tangens übrigens seinen Namen zu verdanken. Von wegen Tandems. Mit unserer Konstruktion können wir den Tangens jetzt ganz einfach bestimmen: Da die Ankathete in diesem Dreieck gleich eins ist, gilt Tangens gleich Gegenkathete. Der Tangenswert wird also durch die y-Koordinate unseres Punktes Q angegeben. Bei fünfundvierzig Grad nimmt der Tangens den Wert eins an. Der Tangens von null Grad ist gleich null. Drehen wir den Winkel bis auf hundertfünfunddreißig Grad, müssen wir den Radius wieder so verlängern, dass er unsere Tangente schneidet. Dann sehen wir, dass der Tangens nun den Wert minus eins annimmt. Bei einem Winkel von hundertachtzig Grad nimmt der Tangens dann wieder den Wert null an. Und so weiter. Bei bestimmten Winkelgrößen müssen wir allerdings aufpassen. Sowohl bei neunzig als auch bei zweihundertsiebzig Grad ist der Tangens nicht definiert. Die Gerade durch P ist bei diesen Winkelgrößen nämlich parallel zu unserer Tangente und die beiden Geraden schneiden sich nicht. Unseren Punkt Q auf der Tangente können wir daher für diese Winkelgrößen nicht konstruieren. Der Tangens besitzt somit bei neunzig und zweihundertsiebzig Grad Definitionslücken. Das können wir uns auch daran klar machen, dass der Cosinus bei diesen Winkelgrößen gleich null ist. Da „Tangens gleich Sinus durch Cosinus“ gilt, müssten wir an dieser Stelle durch Null teilen. Das ist aber, wie wir wissen, mathematisch nicht definiert. Genauso wie für Sinus und Cosinus gilt für den Tangens außerdem, dass sich seine Werte in einem gewissen Abstand wiederholen. Der Tangens ist also periodisch. Anders als bei Sinus und Cosinus wiederholen sich die Werte des Tangens allerdings nicht erst nach dreihundertsechzig, sondern bereits nach einhundertachtzig Grad. Na also, ist doch halb so wild. Fassen wir die wichtigsten Infos nochmal kurz zusammen: Die Werte des Tangens am Einheitskreis können wir an unserem Punkt Q ablesen, der immer auf unserer Tangente am Kreis liegt. Dafür müssen wir nur auf die y-Koordinate schauen. Hier siehst du ein paar wichtige Funktionswerte des Tangens auf einen Blick. Bei Winkeln der Größe neunzig Grad und zweihundertsiebzig Grad hat der Tangens allerdings Definitionslücken. Wir können für diese Winkel also keine Tangenswerte angeben. Außerdem sollten wir uns merken, dass der Tangens periodisch ist. In anderen Worten: Die Werte, die der Tangens annimmt, wiederholen sich in einem Abstand von einhundertachtzig Grad. Sehr gut, den Tangens sollten wir erstmal im Griff haben. Wer hat Lust auf eine Fahrradtour?

Tangens am Einheitskreis Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Tangens am Einheitskreis kannst du es wiederholen und üben.
  • Beschreibe, wie du den Tangens von $\alpha$ am Einheitskreis ablesen kannst.

    Tipps

    Es muss ein rechtwinkliges Dreieck entstehen, in dem die Ankathete von $\alpha$ die Länge $1~\text{LE}$ hat.

    Lösung

    Um den Wert des Tangens für einen bestimmten Winkel am Einheitskreis ablesen zu können, zeichnen wir zunächst den Einheitskreis. Dieser hat den Radius $r = 1~\text{LE}$ und den Ursprung des Koordinatensystems als Mittelpunkt.
    Im Einheitskreis tragen wir dann den Winkel $\alpha$ ausgehend von der positiven $x$-Achse ein.
    Da der Tangens im rechtwinkligen Dreieck als das Seitenverhältnis zwischen Gegenkathete und Ankathete definiert ist, benötigen wir ein Dreieck, bei dem die Ankathete die Länge $1~\text{LE}$ hat. Da die Ankathete von $\alpha$ entlang der $x$-Achse verläuft, muss die Gegenkathete entlang einer Senkrechten durch den Punkt $(1 \vert 0)$ verlaufen. Wir zeichnen eine entsprechende Gerade bei $x = 1$ und verlängern den Kreisradius, sodass ein Dreieck entsteht.
    Der Punkt $Q$ ist der Eckpunkt gegenüber von $\alpha$, er liegt im Schnittpunkt des verlängerten Radius mit der Geraden $x = 1$.
    Die $x$-Koordinate von $Q$ entspricht dann der Länge der Ankathete $1~\text{LE}$, die $y$-Koordinate der Länge der Gegenkathete. Es ergibt sich:
    $\tan(\alpha) = \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}} = \frac{\text{Gegenkathete}}{1} = \text{Gegenkathete}$
    Wir können also den Tangens von $\alpha$ an der $\mathbf{y}$-Koordinate von $Q$ ablesen.

  • Vervollständige die Tabelle mit den Werten für $\tan(\alpha)$.

    Tipps

    Skizziere dir das passende Dreieck am Einheitskreis, um den Wert für den Tangens ablesen zu können.

    Beispiel für einen Winkel über $90^\circ$:

    Ist die Verlängerung des Radius durch den Punkt $P$ parallel zu Geraden $x = 1$, dann gibt es keinen Schnittpunkt. Der Tangens ist für diese Winkel nicht definiert.

    Lösung

    Die Tabelle zeigt die Werte für den Tangens bei verschiedenen Winkeln $\alpha$.

    Für jeden Winkel lassen sich die zugehörigen Werte für den Tangens über die $y$-Koordinate des entsprechenden Punktes $Q$ mit Hilfe des Einheitskreises ablesen. Es gilt:
    $Q(1 \vert \tan(\alpha))$

    Für die Winkel in der Tabelle ergibt sich dabei folgendes Bild:

    • $\alpha = 0^\circ$: Der Punkt $Q$ liegt auf der $x$-Achse bei $1$, daher gilt $\tan(0^\circ) = 0$.
    • $\alpha = 45^\circ$: Der Punkt $Q$ liegt auf der Geraden $x = 1$ bei $y = 1$, daher gilt $\tan(45^\circ) = 1$.
    • $\alpha = 90^\circ$: Die Verlängerung des Radius durch den Punkt $P$ ist parallel zur Geraden $x = 1$, daher gibt es keinen Schnittpunkt. Der Tangens ist nicht definiert.
    • $\alpha = 135^\circ$: Der Punkt $Q$ liegt auf der Geraden $x = 1$ bei $y = -1$, daher gilt $\tan(135^\circ) = -1$.
    • $\alpha = 180^\circ$: Der Punkt $Q$ liegt auf der $x$-Achse bei $1$, daher gilt $\tan(180^\circ) = 0$.
    • $\alpha = 225^\circ$: Der Punkt $Q$ liegt auf der Geraden $x = 1$ bei $y = 1$, daher gilt $\tan(225^\circ) = 1$.
    • $\alpha = 270^\circ$: Die Verlängerung des Radius durch den Punkt $P$ ist parallel zur Geraden $x = 1$, daher gibt es keinen Schnittpunkt. Der Tangens ist nicht definiert.
    • $\alpha = 360^\circ$: Der Punkt $Q$ liegt auf der $x$-Achse bei $1$, daher gilt $\tan(360^\circ) = 0$.
  • Entscheide, ob die Aussagen zum Tangens am Einheitskreis stimmen.

    Tipps

    Überprüfe, ob du die Aussagen durch Skizzieren am Einheitskreis widerlegen kannst.

    Beispiel für $\alpha = 225^\circ$:

    Lösung

    Wir können im Einheitskreis beliebige Winkel einzeichnen. Den Tangens erhalten wir, indem wir den Schnittpunkt des verlängerten Radius mit der senkrechten Geraden bei $x = 1$ abtragen. Er entspricht dem $y$-Wert dieses Schnittpunkts.

    wahre Aussagen:

    • Der Wert für den Tangens wird immer auf einer senkrechten Geraden bei $x = 1$ abgetragen. $\mapsto$ Wir bestimmen den Schnittpunkt des verlängerten Radius mit dieser Geraden.
    • Überall, wo der Cosinus im Einheitskreis den Wert $0$ hat, ist der Tangens nicht definiert. $\mapsto$ Der Cosinus hast bei $90^\circ$ und $270^\circ$ dem Wert $0$, da dort der Radius auf der $y$-Achse liegt. Eine Verlängerung des Radius ist parallel zur senkrechten Geraden bei $x = 1$, es gibt daher keinen Schnittpunkt und der Tangens ist nicht definiert.
    falsche Aussagen:

    • Wie können den Tangens für alle Winkel zwischen $0^\circ$ und $360^\circ$ am Einheitskreis einzeichnen. $\mapsto$ Wir können zwar die Winkel am Einheitskreis einzeichnen, für Winkel der Form: $90^\circ + k \cdot 180^\circ$ mit $k \in \mathbb{Z}$, ist der Tangens jedoch nicht definiert. Der Radius verläuft hier parallel zur Senkrechten bei $x = 1$, daher können wir hier den Tangens nicht einzeichnen.
    • Der Tangens kann nur Werte zwischen $-1$ und $1$ annehmen, da der Einheitskreis den Radius $r = 1~\text{LE}$ hat. $\mapsto$ Der Tangens kann auch Werte größer als $1$ und kleiner als $-1$ annehmen, zum Beispiel für Winkel zwischen $45^\circ$ und $90^\circ$.
    • Der Tangens nimmt für Winkel über $90^\circ$ negative Werte an. – Die Werte des Tangens sind zwischen $90^\circ$ und $180^\circ$ negativ, zwischen $180^\circ$ und $270^\circ$ nimmt der Tangens aber erneut positive Werte an, auch das sind Winkel über $90^\circ$.
  • Stelle die Tangens-Werte am Einheitskreis dar.

    Tipps

    Zeichne zunächst einen Einheitskreis und das Dreieck für den gegebenen Winkel.

    Beachte, dass die Länge des Tangens immer an der Senkrechten bei $x = 1$ abgelesen werden kann.

    Lösung

    Wenn wir Tangens-Werte am Einheitskreis darstellen wollen, gehen wir folgedermaßen vor:

    • Wir zeichnen den zugehörigen Winkel $\alpha$ ausgehend von der positiven $x$-Achse im Einheitskreis ein.
    • Wir zeichnen eine senkrechte Gerade bei $x = 1$ und verlängern den Kreisradius, sodass ein Dreieck entsteht.
    • Der Punkt $Q$ ist der Eckpunkt gegenüber von $\alpha$, er liegt im Schnittpunkt des verlängerten Radius mit der Geraden $x = 1$.
    • In dem entstandenen rechtwinkligen Dreieck entspricht die senkrechte Kathete dem Tangens von $\alpha$.
    Beispiel 1:
    Wir zeichnen einen Einheitskreis mit dem Winkel $\alpha = 25^\circ$ und die Senkrechte durch $x = 1$. Wir verlängern den Radius über den Kreis hinaus, bis er die Senkrechte schneidet. Wir markieren die senkrechte Kathete des entstandenen rechtwinkligen Dreiecks für $\tan(25^\circ)$.

    Beispiel 2:
    Wir zeichnen einen Einheitskreis mit dem Winkel $\alpha = 125^\circ$ und die Senkrechte durch $x = 1$. Wir verlängern den Radius über den Mittelpunkt hinaus, bis er die Senkrechte schneidet. Wir markieren die senkrechte Kathete des entstandenen rechtwinkligen Dreiecks für $\tan(125^\circ)$.

    Beispiel 3:
    Wir zeichnen einen Einheitskreis mit dem Winkel $\alpha = 205^\circ$ und die Senkrechte durch $x = 1$. Wir verlängern den Radius über den Mittelpunkt hinaus, bis er die Senkrechte schneidet. Wir markieren die senkrechte Kathete des entstandenen rechtwinkligen Dreiecks für $\tan(205^\circ)$.

    Beispiel 4:
    Wir zeichnen einen Einheitskreis mit dem Winkel $\alpha = 335^\circ$ und die Senkrechte durch $x = 1$. Wir verlängern den Radius über den Kreis hinaus, bis er die Senkrechte schneidet. Wir markieren die senkrechte Kathete des entstandenen rechtwinkligen Dreiecks für $\tan(335^\circ)$.

    Hinweis: In der verbleibenden Skizze ist der Winkel $\alpha = 125^\circ$ am Einheitskreis eingetragen. Allerdings wurde hier der Radius so verlängert, dass sich ein Dreieck mit der senkrechten Geraden $x = -1$ ergibt. Für den Tangens müssen wir immer die Verlängerung auf die senkrechte Gerade $x = 1$ betrachten, auch wenn der Punkt auf dem Einheitskreis links von der $y$-Achse liegt.

  • Gib die Definition des Tangens am rechtwinkligen Dreieck an.

    Tipps

    In einem Dreieck $ABC$ mit rechtem Winkel bei $C$ gilt: $\tan(\alpha) = \dfrac{a}{b}$

    Lösung

    Die Seiten in rechtwinkligen Dreiecken haben besondere Namen. Die längste Seite liegt stets dem rechten Winkel gegenüber, sie heißt Hypotenuse. Die beiden anderen Seiten, die an dem rechten Winkel anliegen, werden Katheten genannt.

    Im Bezug auf einen Winkel unterscheiden wir zudem zwischen der Ankathete, die an dem Winkel anliegt, und der Gegenkathete, die sich gegenüber des Winkels befindet.

    In rechtwinkligen Dreiecken sind die folgenden Seitenverhältnisse definiert:

    • $\tan(\alpha) = \mathbf{\dfrac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}}}$
    • $\sin(\alpha) = \dfrac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}}$
    • $\cos(\alpha) = \dfrac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}}$
  • Entscheide, welche Werte übereinstimmen.

    Tipps

    Veranschauliche dir Tangens-Werte am Einheitskreis. Schau was passiert, wenn du das rechtwinklige Dreieck an einer der Koordinatenachsen spiegelst.

    Die Werte für den Tangens wiederholen sich immer nach $180^\circ$.

    Beispiele:

    $\tan(25^\circ) = \tan(25^\circ + 180^\circ) = \tan(205^\circ)$

    $\tan(311^\circ) = \tan(311^\circ - 180^\circ) = \tan(131^\circ)$

    Lösung

    Die Werte für den Tangens wiederholen sich immer nach $180^\circ$. Allgemein können wir notieren:

    $\tan(\alpha) = \tan(\alpha + k \cdot 180^\circ)$ mit $k \in \mathbb{Z}$.

    Wir erhalten:

    • $\tan(10^\circ) = \tan(10^\circ + 180^\circ) = \tan(190^\circ)$
    • $\tan(323^\circ) = \tan(323^\circ - 180^\circ) = \tan(143^\circ)$
    Außerdem nimmt der Tangens im ersten und dritten Quadranten positive Werte an. Im zweiten und vierten Quadranten sind die Tangens-Werte negativ. Dabei haben Punkte, die an der $x$- oder $y$-Achse gespiegelt sind stets den gleich Wert mit umgekehrtem Vorzeichen.

    Wir erhalten:

    • Wenn wir das rechtwinklige Dreieck für $\tan(63^\circ)$ an der $y$-Achse spiegeln, dann ergibt sich bei einem Winkel von $180^\circ - 63^\circ = 117^\circ$ derselbe Wert mit umgedrehtem Vorzeichen. Damit gilt: $\tan(63^\circ) = -\tan(117^\circ)$.
    • Wenn wir das rechtwinklige Dreieck für $\tan(80^\circ)$ an der $x$-Achse spiegeln, dann ergibt sich bei einem Winkel von $360^\circ - 80^\circ = 280^\circ$ derselbe Wert mit umgekehrtem Vorzeichen. Damit gilt: $\tan(80^\circ) = -\tan(280^\circ)$.
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