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Tangens am Einheitskreis

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Team Digital
Tangens am Einheitskreis
lernst du in der 9. Klasse - 10. Klasse

Grundlagen zum Thema Tangens am Einheitskreis

Nach dem Schauen dieses Videos wirst du in der Lage sein, Tangenswerte mit Hilfe des Einheitskreises nachzuvollziehen.

Zunächst lernst du, wie der Tangens im rechtwinkligen Dreieck definiert ist. Anschließend lernst du, wie der Tangens am Einheitskreis auch für Winkel größer als 90 Grad bestimmt werden kann. Abschließend lernst du, dass der Tangens periodisch ist und Definitionslücken besitzt.

Tangens am Einheitskreis

Das Video beinhaltet Schlüsselbegriffe, Bezeichnungen und Fachbegriffe wie Tangens, Sinus, Cosinus, Einheitskreis, Hypotenuse, Ankathete, Gegenkathete, Periode und Definitionslücke.

Bevor du dieses Video schaust, solltest du bereits wissen, wie Sinus, Cosinus und Tangens im rechtwinkligen Dreieck definiert sind, sowie Grad- und Bogenmaß kennen.

Tangenswerte

Nach diesem Video wirst du darauf vorbereitet sein, die trigonometrischen Funktionen und ihre Eigenschaften kennen zu lernen.

Transkript Tangens am Einheitskreis

Hach schön, so ne kleine Radtour bei bestem Wetter. Heute dreht sich alles um Tandems. Mathe kann ja echt voll entspannt sein. Ach ne das Ding hieß Tangens. Wäre ja auch zu schön gewesen, aber das kriegen wir auch noch hin. Dann nehmen wir den „Tangens am Einheitskreis“ mal genau unter die Lupe. Zum warm werden schauen wir uns nochmal den Tangens am rechtwinkligen Dreieck an. Wir starten mit einem gegebenen Winkel Alpha. Die Seite, die Alpha gegenüberliegt, ist dann unsere Gegenkathete, die Seite, die Alpha und den rechten Winkel verbindet, ist die Ankathete und die längste Seite im Dreieck, gegenüber vom rechten Winkel ist wie immer unsere Hypotenuse. Der Tangens von Alpha ist definiert als Gegenkathete durch Ankathete. Alles klar, dann kann's ja jetzt richtig losgehen. Am Einheitskreis können wir den Tangens für beliebig große Winkel darstellen. Der Kreisradius schließt hier zusammen mit der positiven x-Achse unseren Winkel Alpha ein. Zunächst müssen wir uns ein rechtwinkliges Dreieck konstruieren, an dem wir dann den Tangens von Alpha ablesen können.
Eine solche Vorgehensweise kennen wir bereits. Zur Bestimmung von Sinus- und Cosinus Werten am Einheitskreis haben wir dieses Dreieck verwendet. Am Punkt P können wir Sinus und Cosinus ganz einfach ablesen. Und wie sieht es mit dem Tangenswert aus? Dieser ist ja gleich Gegenkathete durch Ankathete. Im Einheitskreis ist die Gegenkathete nichts anderes als der Sinus von Alpha und die Ankathete entspricht dem Cosinus von Alpha. Es gilt also Tangens von Alpha gleich Sinus von Alpha durch Cosinus von Alpha. Das können wir uns ja schonmal merken. Aber wie lesen wir denn jetzt den konkreten Tangenswert ohne weitere Rechnung ab? Nun ja, wir legen die Länge unserer Ankathete einfach fest: Sie soll genau die Länge eins haben. Dafür müssen wir dann auch die Gegenkathete so weit nach rechts verschieben, dass diese durch den Punkt eins null verläuft. Das rechtwinklige Dreieck, das wir so erhalten, geht über den Einheitskreis hinaus. Den neuen Eckpunkt nennen wir Q. Er ist der Schnittpunkt von der Tangente und dem verlängerten Radius. Q liegt also immer auf der Tangente, die den Einheitskreis im Punkt eins null berührt. Dieser Tangente hat der Tangens übrigens seinen Namen zu verdanken. Von wegen Tandems. Mit unserer Konstruktion können wir den Tangens jetzt ganz einfach bestimmen: Da die Ankathete in diesem Dreieck gleich eins ist, gilt Tangens gleich Gegenkathete. Der Tangenswert wird also durch die y-Koordinate unseres Punktes Q angegeben. Bei fünfundvierzig Grad nimmt der Tangens den Wert eins an. Der Tangens von null Grad ist gleich null. Drehen wir den Winkel bis auf hundertfünfunddreißig Grad, müssen wir den Radius wieder so verlängern, dass er unsere Tangente schneidet. Dann sehen wir, dass der Tangens nun den Wert minus eins annimmt. Bei einem Winkel von hundertachtzig Grad nimmt der Tangens dann wieder den Wert null an. Und so weiter. Bei bestimmten Winkelgrößen müssen wir allerdings aufpassen. Sowohl bei neunzig als auch bei zweihundertsiebzig Grad ist der Tangens nicht definiert. Die Gerade durch P ist bei diesen Winkelgrößen nämlich parallel zu unserer Tangente und die beiden Geraden schneiden sich nicht. Unseren Punkt Q auf der Tangente können wir daher für diese Winkelgrößen nicht konstruieren. Der Tangens besitzt somit bei neunzig und zweihundertsiebzig Grad Definitionslücken. Das können wir uns auch daran klar machen, dass der Cosinus bei diesen Winkelgrößen gleich null ist. Da „Tangens gleich Sinus durch Cosinus“ gilt, müssten wir an dieser Stelle durch Null teilen. Das ist aber, wie wir wissen, mathematisch nicht definiert. Genauso wie für Sinus und Cosinus gilt für den Tangens außerdem, dass sich seine Werte in einem gewissen Abstand wiederholen. Der Tangens ist also periodisch. Anders als bei Sinus und Cosinus wiederholen sich die Werte des Tangens allerdings nicht erst nach dreihundertsechzig, sondern bereits nach einhundertachtzig Grad. Na also, ist doch halb so wild. Fassen wir die wichtigsten Infos nochmal kurz zusammen: Die Werte des Tangens am Einheitskreis können wir an unserem Punkt Q ablesen, der immer auf unserer Tangente am Kreis liegt. Dafür müssen wir nur auf die y-Koordinate schauen. Hier siehst du ein paar wichtige Funktionswerte des Tangens auf einen Blick. Bei Winkeln der Größe neunzig Grad und zweihundertsiebzig Grad hat der Tangens allerdings Definitionslücken. Wir können für diese Winkel also keine Tangenswerte angeben. Außerdem sollten wir uns merken, dass der Tangens periodisch ist. In anderen Worten: Die Werte, die der Tangens annimmt, wiederholen sich in einem Abstand von einhundertachtzig Grad. Sehr gut, den Tangens sollten wir erstmal im Griff haben. Wer hat Lust auf eine Fahrradtour?

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