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Sinus, Cosinus und Tangens – Längenbestimmung im Dreieck

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Mathematik Digital
Sinus, Cosinus und Tangens – Längenbestimmung im Dreieck
lernst du in der 9. Klasse - 10. Klasse

Beschreibung Sinus, Cosinus und Tangens – Längenbestimmung im Dreieck

Nach dem Schauen dieses Videos wirst du in der Lage sein, Längenbestimmungen in rechtwinkligen Dreiecken durch Anwendung des Sinus, Kosinus und Tangens durchzuführen.

Zunächst lernst du, wo du die Katheten und Hypotenuse bei einem rechtwinkligen Dreieck findest. Anschließend definieren wir die trigonometrischen Beziehungen Sinus, Kosinus und Tangens. Abschließend lernst du, wie du ausgehend von einem spitzen Winkel und einer Seitenlänge eines rechtwinkligen Dreiecks entscheiden kannst, welche der drei trigonometrischen Beziehungen für die Berechnung der fehlenden Seiten geeignet sind.

Lerne etwas über die Längenbestimmung in rechtwinkligen Dreiecken, indem du dir von Kevin die trigonometrischen Beziehungen Sinus, Kosinus und Tangens zeigen lässt.

Das Video beinhaltet Schlüsselbegriffe, Bezeichnungen und Fachbegriffe wie das rechtwinklige Dreieck, die trigonometrischen Beziehungen, den Sinus, den Kosinus, den Tangens, den Winkel, die Seitenlänge, die Kathete und die Hypotenuse.

Bevor du dieses Video schaust, solltest du bereits wissen, was ein rechtwinkliges Dreieck und die Bezeichnungen Kathete und Hypotenuse sind.

Nach diesem Video wirst du darauf vorbereitet sein, den Sinus- und Kosinussatz zu lernen.

Transkript Sinus, Cosinus und Tangens – Längenbestimmung im Dreieck

Kevin ist allein in New York unterwegs. Er möchte wissen, wie hoch die Freiheitsstatue ist.

Mit Winkel und Länge die Höhe berechnen - Beispiel Freiheitsstatue

Dabei wird ihm die Angabe des Beobachtungswinkels in dem Fernglas helfen. Denn wann immer uns Längen- und Winkelangaben begegnen, helfen uns der Sinus, der Cosinus und der Tangens. Schauen wir uns die Situation doch einmal genauer an: Kevin steht auf einer Aussichtsplattform 500 m von der Freiheitsstatur entfernt. Das Fernglas zeigt ihm einen Beobachtungswinkel von 10,5° an. Du siehst, es ergibt sich ein rechtwinkliges Dreieck.

Aufbau eines rechtwinkligen Dreieckes

Du weißt bereits, dass die Seite gegenüber des Rechten Winkels Hypotenuse heißt. Und die beiden anderen Seiten heißen Katheten. Es handelt sich um besondere Katheten, denn diese Seite liegt gegenüber von dem Winkel α (Alpha). Deshalb heißt sie Gegenkathete. Diese Seite liegt direkt an dem Winkel. Wir nennen sie deshalb Ankathete.

Was sind Sinus, Kosinus und Tangens?

Sinus, Kosinus und Tangens von α beschreiben das Verhältnis dieser drei Seiten zueinander. Das Verhältnis der Länge der Gegenkathete zur Hypothenusenlänge wird durch den Sinus vom Winkel α ausgedrückt. Also ist Sinus α gleich Gegenkathete durch Hypotenuse. Das Verhältnis aus Ankathete zur Hypothenuse, ist der Kosinus von α, d. h. Kosinus α ist Ankathete durch Hypothenuse. Das Verhältnis von der Länge der Gegenkathete zu der Länge der Ankathete wird über den Tanges von α beschrieben. Tanges α ist Gegenkathete durch Ankathete. Jetzt kennst du die Formeln für den Sinus, den Kosinus und den Tangens im rechtwinkligen Dreieck.

Welche Formel verwenden wir zur Berechnung?

Also zurück zu unserer Ausgangssituation! Wir möchten die Höhe der Statur berechnen. Das ist die Gegenkathete zu dem Winkel α = 10,5°. Die Länge der Hypothenuse kennst du nicht, aber die Entfernung von Kevin zu der Statur. Es sind 500 Meter. Diese Seite ist die Ankathete zum Winkel α. Ein Blick auf die Formeln verrät dir, dass du den Tangens von α verwenden musst. Denn in den beiden anderen Formeln kommt die Hypothenuse vor, die dir hin dieser Rechnung aber nicht gegeben ist. Du stellst die Formel nach der gesuchten Größe, also der Gegenkathete um. Nun setzt du die gegebenen Werte in die Formel ein. Achte beim Ausrechnen darauf, dass dein Taschenrechner auf "Degree" gestellt ist! Du erhälst 92,7 Meter. Die Freiheitsstatur ist also 92,7 Meter hoch.

13 Kommentare

13 Kommentare
  1. Sehr gut erklärt. Kome leider nicht auf das Ergebnis, weil ich nicht weiss wie man das in den Taschenrechner eingibt.

    Von J Winkler 1, vor fast 2 Jahren
  2. sehr tolles video super erklärt !

    Von Dilara T., vor mehr als 2 Jahren
  3. Hat mir sehr geholfen, mehr solcher Videos!

    Von Christopher Thies, vor mehr als 2 Jahren
  4. Sehr anschaulich!

    Von Nikolaus S., vor fast 3 Jahren
  5. Vielen Dank jetzt kann ich es viel besser
    PS. Du gibst dir viel Mühe mit deinen Videos.
    Weiter so👍

    Von Marvin, vor etwa 3 Jahren
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Sinus, Cosinus und Tangens – Längenbestimmung im Dreieck Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Sinus, Cosinus und Tangens – Längenbestimmung im Dreieck kannst du es wiederholen und üben.
  • Nenne die trigonometrischen Sätze.

    Tipps

    Der Sinus und der Cosinus machen Gebrauch von der Hypotenuse, die jeweils immer im Nenner des Bruches steht.

    Der Tangens benötigt keine Hypotenuse. Er stellt die Gegenkathete in ein Verhältnis zur Ankathete. Zur Berechnung wird die Gegenkathete durch die Ankathete dividiert.

    Lösung

    Die trigonometrischen Sätze helfen dir, die Seiten und Winkel in einem rechtwinkligen Dreieck zu berechnen. Es gibt drei verschiedene trigonometrische Funktionen: Sinus, Cosinus und Tangens.

    Mit deren Hilfe können wir Aussagen über Seitenverhältnisse treffen. Eine entscheidende Rolle spielen dabei Winkel: Je nachdem, aus welcher Perspektive wir das Dreieck betrachten, verändert sich nämlich die Benennung der Katheten. Dies sind die Seiten des rechtwinkligen Dreiecks, welche am rechten Winkel anliegen. Die Kathete, welche an dem Winkel $\alpha$ anliegt, wird Ankathete genannt. Diejenige Kathete, welche diesem Winkel gegenüber liegt, nennt man Gegenkathete. Die dem rechten Winkel gegenüberliegende Seite heißt Hypotenuse.

    Mit diesen Voraussetzungen können wir die trigonometrischen Sätze formulieren.

    Der Sinus wird durch das Verhältnis von Gegenkathete zu Hypotenuse ausgedrückt. Mathematisch ausgedrückt schreiben wir:

    • $\sin(\alpha) = \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}}$
    Der Cosinus beschreibt das Verhältnis von Ankathete zu Hypotenuse. Wir schreiben:

    • $\cos( \alpha) = \frac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}}$
    Der Tangens benötigt keine Hypotenuse. Er definiert sich durch das Verhältnis von Gegenkathete zu Ankathete:

    • $\tan( \alpha) = \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}}$
  • Berechne die Höhe der Freiheitsstatue.

    Tipps

    Die Benennung von An- und Gegenkathete hängt vom jeweiligen Winkel ab, aus dessen Perspektive das Dreieck betrachtet wird.

    Sowohl der Sinus als auch der Cosinus verwenden die Hypotenuse, wenn sie Seiten des Dreieckes in Beziehung setzen.

    Lösung

    Rechtwinklige Dreiecke sind spezielle Dreiecke. Sie zeichnet aus, dass einer der drei Innenwinkel $90^\circ$ beträgt.

    Mithilfe der trigonometrischen Sätze lassen sich die verschiedenen Seiten und Winkel in einem rechtwinkigen Dreieck berechnen. Um sich besser orientieren zu können, werden den Seiten Namen gegeben. Es gibt:

    • die Ankathete,
    • die Gegenkathete und
    • die Hypotenuse.
    Dabei kannst du dir merken, dass die Seite, welche dem rechten Winkel gegenüberliegt, Hypotenuse genannt wird. Diese Seite ist in allen rechtwinkligen Dreiecken die längste.

    Bei der Benennung der Katheten ist allerdings Vorsicht geboten. Diese hängt nämlich von der Perspektive ab, welche man einnimmt. Mit der Perspektive ist einer der beiden Winkel außer dem rechten gemeint:

    • Die Kathete, welche dem Ausgangswinkel anliegt, wird Ankathete genannt.
    • Die Kathete, welche diesem Winkel gegenüberliegt, heißt Gegenkathete.
    In dem abgebildeten Dreieck ist die Ankathete zu $\alpha$ lila, die Gegenkathete grün. Ebenso ist die Ankathete grün und die Gegenkathete lila, wenn man vom Winkel $\beta$ ausgeht. Dieser läge dann dort, wo sich die grüne Kathete und die gelbe Hypotenuse schneiden.

    Mit diesem Wissen können wir uns nun fragen, ob der Sinus, Cosinus oder Tangens zur Berechnung der Höhe der Freiheitsstatue verwendet werden kann.

    Da wir die Ankathete, die am Winkel $\alpha= 10,5^\circ$ anliegt, mit eine Länge von $500$ Meter kennen und uns die Länge der Gegenkathete (Freiheitsstatue) interessiert, verwenden wir den Tangens, welcher eben diese beiden Seiten in Relation setzt. Wir rechnen folgendermaßen:

    $\begin{align} \tan(\alpha) & = \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}}\\ \tan(10,5^\circ) & = \frac{h}{500}\\ h & = \tan(10,5^\circ) \cdot 500\\ & \approx 92,7 \end{align}$

    Kevin weiß nun, wie hoch die Freiheitsstatue ist! Sie bemisst $92,7$ Meter.

  • Berechne die Entfernung zum Eiffelturm.

    Tipps

    Die drei trigonometrischen Sätze, welche verwendet werden dürfen, sind:

    • $\sin(\alpha)= \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}}$
    • $\cos (\alpha)= \frac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}}$
    • $\tan(\alpha)= \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}}$

    Überlege dir, aus welcher Perspektive das Dreieck benannt wird. Diese wird durch den dir bekannten Winkel $\alpha$ bestimmt.

    Lösung

    Die trigonometrischen Sätze sind variabel anwendbar. Wenn man einen Winkel und eine Seite des rechtwinkligen Dreieckes kennt, kann man mit deren Hilfe die übrigen Seiten und Winkel berechnen.

    Diese Eigenschaft der trigonometrischen Sätze kann Kevin für sich verwenden. Er möchte nämlich die Entfernung zum Eiffelturm berechnen.

    Er weiß, dass der Eiffelturm $324$ Meter hoch ist und er die Spitze des Turmes unter einem Winkel von $65,2^\circ$ betrachtet. Ihm sind also

    • die Länge der Gegenkathete
    • sowie die Größe des Winkels $\alpha$, welcher An- und Gegenkathete definiert, bekannt
    • und er sucht die Länge der Ankathete.
    Der einzige trigonometrische Satz, der hier in Frage kommt, ist $\tan(\alpha)= \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}}$. Die gegebenen Angaben können nun in diese Formel eingesetzt werden. Es ergibt sich folgende Gleichung, die nach der Ankathete $A$ umgestellt werden muss:

    $\begin{align} \tan(65,2^\circ) & =\frac{324}{A} &|&~~ \cdot A\\ \tan(65,2^\circ) \cdot A &= 324 &|& ~~ : \tan(65,2^\circ)\\ A &= \frac{324}{\tan(65,2^\circ)} \approx 150 &~~ \end{align}$

    Die Entfernung beträgt also ungefähr $150$ Meter.

  • Berechne die Höhe der Bäume in Kevins Garten.

    Tipps

    Überlege dir, dass du die Situation in Kevins Garten durch ein rechtwinkliges Dreieck modellieren kannst. Welche Seiten sind gegeben, welche möchtest du ermitteln?

    Lösung

    Kevin kann mithilfe der trigonometrischen Sätze die Höhe der Bäume berechnen. Dabei entspricht der Höhe eines Baumes die Gegenkathete des rechtwinkligen Dreiecks, die Entfernung entspricht der Ankathete. Der Winkel $\alpha$, welcher die Verteilung der beiden Katheten bestimmt, variiert in Hinblick auf die verschiedenen Bäume.

    Schauen wir uns anhand des Apfelbaumes, der $15$ Meter entfernt steht und unter einem Winkel von $\alpha=18,43^\circ$ von Kevin betrachtet wird, einmal an, wie sich die Höhe berechnen lässt:

    $\begin{align} \tan(\alpha) & = \frac{h}{\text{Ankathete}} &~~\\ \tan(18,43) & = \frac{h}{15} &| \cdot 15\\ \tan(18,43) \cdot 15 &= h & ~~\\ h &\approx 5 & ~~ \end{align}$

    Die Höhe des Apfelbaumes beträgt also $5$ Meter. Die Höhe der anderen Bäume lässt sich auf dieselbe Weise berechnen.

    Dies ist die Reihenfolge der Bäume, beginnend mit dem kleinsten Baum:

    1. Der Kirschbaum ist etwa $3$ Meter hoch.
    2. Der Apfelbaum hat eine Höhe von ungefähr $5$ Metern.
    3. Der nächste Baum ist genau $15$ Meter hoch.
    4. Der nächstgrößere Baum misst ungefähr $17,82$ Meter.
    5. Die Tanne besitzt eine Höhe von $19$ Metern.
  • Gib wieder, was du über rechtwinklige Dreiecke gelernt hast.

    Tipps

    Die trigonometrischen Sätze beinhalten Sinus, Cosinus und Tangens.

    Diese drei sogenannten Winkelfunktionen stellen die drei Seiten eines rechtwinkligen Dreieckes in ein Verhältnis zueinander.

    Lösung

    Rechtwinklige Dreiecke sind besondere Dreiecke. Sie zeichnet aus, dass einer der drei Innenwinkel $90^\circ$ groß ist. Dieser Winkel heißt dann rechter Winkel.

    Für solche Dreiecke sind die trigonometrischen Sätze hilfreich. Mit diesen können die Seiten und Winkel in einem rechtwinkligen Dreieck berechnet werden. Um sie anwenden zu können, ist es zunächst einmal wichtig, die jeweiligen Bezeichnungen zu kennen:

    • Die Hypotenuse liegt dem rechten Winkel gegenüber und ist stets die längste Seite des rechtwinkligen Dreiecks.
    • Die Ankathete liegt dem Winkel $\alpha$, aus dessen Perspektive das Dreieck betrachtet wird, an.
    • Entsprechend liegt die Gegenkathete dem Winkel $\alpha$ gegenüber.
    Zu beachten ist allerdings, dass es in einem rechtwinkligen Dreieck stets zwei mögliche Betrachtungswinkel gibt (der rechte Winkel zählt nicht mit). Je nachdem, aus welcher Perspektive du auf das Dreieck schaust, müssen die Ankathete und die Gegenkathete vertauscht werden.

    Du hast diese drei trigonometrischen Sätze kennengelernt:

    • $\sin(\alpha)= \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}}$
    • $\cos (\alpha)= \frac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}}$
    • $\tan(\alpha)= \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}}$
  • Ermittle die unbekannten Seitenlängen sowie den dritten Winkel.

    Tipps

    Beachte, dass die obige Abbildung nicht den Seiten und Winkelverhältnissen entspricht.

    Es gibt zahlreiche Varianten, die drei Seiten und Winkel zu berechnen. Hilfreich könnte dir der Satz der Pythagoras, welcher hier abgebildet ist, sein. Dabei entsprechen $a$ und $b$ den beiden Katheten. Die Hypotenuse wird durch $c$ repräsentiert.

    Lösung

    Sobald in einem rechtwinkligen Dreieck eine Seite sowie ein Winkel, der nicht $90^\circ$ beträgt, bekannt ist, können wir auch das Geheimnis der anderen Seiten und Winkel lüften. Dabei gibt es verschiedene Vorgehensweisen. Du kannst zum Beispiel mit den dir bekannten trigonometrischen Sätzen eine weitere Seite berechnen, um dann die letzte Seite mit dem Satz des Pythagoras zu berechnen. Alternativ kannst mithilfe des Innenwinkelsummensatzes ($\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ$) zunächst den dritten, unbekannten Winkel berechnen. Wie du siehst, gibt es verschiedene Möglichkeiten. Hilfreich ist es in jedem Fall, mehrere Werkzeuge parat zu haben, wie den Satz des Pythagoras oder den Innenwinkelsummensatz.

    Wir wollen im Folgenden so vorgehen:

    1. Zuerst berechnen wir $b$,
    2. dann berechnen wir $a$
    3. und schließlich $\alpha$.
    Um $b$ zu ermitteln, können wir den Cosinus verwenden, welcher die Ankathete in ein Verhältnis zur Hypotenuse setzt. Sowohl der Winkel $\alpha=37^\circ$ als auch die Hypotenuse $c=5~m$ sind uns bekannt.

    $\begin{align} \cos (\beta) & = \frac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}}\\ \cos (37^\circ) & = \frac{b}{5} \\ b & = \cos(37^\circ) \cdot 5 \approx 4 \end{align}$

    Der kürzeste Weg, um nun $a$ zu berechnen, ist der Satz des Pythagoras. Wir setzen dafür $c=5$ als Hypotenuse ein:

    $\begin{align} a^2+b^2 & =c^2\\ a^2 + 4^2 & = 5^2\\ a^2 & = 5^2-4^2\\ a^2 & =9 ~~~~~~~~\Rightarrow a = 3 \end{align}$

    Wir haben nun die Seiten des rechtwinkligen Dreieckes berechnet. Diese lautet $a=3$, $b=4$ und $c=5$. Den Winkel $\alpha$ können wir nun auf verschiedene Weise berechnen. Wählen wir den Tangens:

    $\begin{align} \tan (\alpha) & = \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}}\\ \tan (\alpha) & = \frac43\\ \alpha & \approx 53^\circ \end{align}$

    Die Winkel $\alpha$ liegt bei ungefähr $53^\circ$. Dies hätte man auch über den Innenwinkelsummensatz berechnen können, der für alle Dreiecke festlegt, dass $\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ$ ist.

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