Über 1,6 Millionen Schüler*innen nutzen sofatutor!
  • 93%

    haben mit sofatutor ihre Noten in mindestens einem Fach verbessert

  • 94%

    verstehen den Schulstoff mit sofatutor besser

  • 92%

    können sich mit sofatutor besser auf Schularbeiten vorbereiten

Linearfaktorzerlegung (1)

Video abspielen
Du willst ganz einfach ein neues Thema lernen
in nur 12 Minuten?
Du willst ganz einfach ein neues
Thema lernen in nur 12 Minuten?
  • Das Mädchen lernt 5 Minuten mit dem Computer 5 Minuten verstehen

    Unsere Videos erklären Ihrem Kind Themen anschaulich und verständlich.

    92%
    der Schüler*innen hilft sofatutor beim selbstständigen Lernen.
  • Das Mädchen übt 5 Minuten auf dem Tablet 5 Minuten üben

    Mit Übungen und Lernspielen festigt Ihr Kind das neue Wissen spielerisch.

    93%
    der Schüler*innen haben ihre Noten in mindestens einem Fach verbessert.
  • Das Mädchen stellt fragen und nutzt dafür ein Tablet 2 Minuten Fragen stellen

    Hat Ihr Kind Fragen, kann es diese im Chat oder in der Fragenbox stellen.

    94%
    der Schüler*innen hilft sofatutor beim Verstehen von Unterrichtsinhalten.
Bewertung

Ø 3.5 / 30 Bewertungen
Die Autor*innen
Avatar
Mandy F.
Linearfaktorzerlegung (1)
lernst du in der 9. Klasse - 10. Klasse

Linearfaktorzerlegung (1) Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Linearfaktorzerlegung (1) kannst du es wiederholen und üben.
  • Tipps

    Die Bestandteile der Addition heißen Summanden.

    Wir betrachten das Polynom $3x\cdot(x+1)$.

    Es besteht aus den Faktoren $3x$ und $x+1$, welche jeweils die Variable $x$ mit dem Grad $1$ enthalten. Dementsprechend sind sie linear.

    Lösung

    Die Bestandteile einer Multiplikation werden Faktoren genannt. Bei der Multiplikation $2\cdot 3$ gibt es beispielsweise den Faktor $2$ und den Faktor $3$.

    Lineare Funktionen werden oft in der Form $f(x) = mx+b$ aufgeschrieben. Der Graph einer solchen Funktion ist eine Gerade. Das Verhältnis zwischen $f(x) = y$ und $x$ ist dabei also linear.

    Der Begriff Linearfaktor bezieht sich auf Faktoren eines Polynoms. Wenn man ein Polynom so in seine Faktoren aufteilt, dass die Faktoren alle die Form $mx + b$ haben, dann sind die Faktoren linear.

    Zum Beispiel setzt sich das Polynom $2x^2 + x$ aus den Linearfaktoren $2x+1$ und $x$ zusammen, da $(2x+1)\cdot x = 2x^2 + x$ gilt. Beachte, dass $x$ auch die obige lineare Form hat, da $x$ auch als $1x+0$ geschrieben werden kann.

    Die Linearfaktorzerlegung ist also eine Zerlegung eines Polynoms in seine linearen Faktoren.

    Betrachten wir ein weiteres Beispiel. Das Polynom $f(x) = x^3+2x^2$ kann man in die linearen Faktoren $x$, $x$ und $x+2$ zerlegen, da gilt:

    $f(x) = x\cdot x\cdot(x+2) = x^3 + 2x^2$

  • Tipps

    Man nennt einen Term linear, wenn die Variable in ihm mit dem Grad $1$ vorkommt. Hier siehst du Beispiele:

    • $x$
    • $x+3$
    • $3x + 6$
    Bei $x^2$ handelt es sich beispielsweise um einen quadratischen, also nicht linearen Term.

    Schau dir die Faktoren der Funktionsgleichung einzeln an und entscheide jeweils, ob es sich um einen linearen Term bzw. Faktor handelt.

    Lösung

    Wir betrachten nun die einzelnen Funktionen. Dabei entscheiden wir jeweils, ob es sich um eine Funktion handelt, die nur aus Linearfaktoren besteht oder nicht.

    $f(x) = (x-1)(x+3)$

    Sowohl $x-1$ als auch $x+3$ sind linear, da der Exponent der jeweiligen Variable $1$ ist. Man könnte auch $x^1 - 1$ bzw. $x^1 + 3$ schreiben.

    $g(x) = x\cdot (2x-5)(1+x)$

    Auch hier sind alle Faktoren ($x$, $2x-5$ und $1+x$) linear.

    $k(x) = 2x\cdot x$

    Sowohl $2x$ als auch $x$ sind lineare Faktoren.

    $b(x) = x^2 \cdot (x^4 - 4)$

    Beide Faktoren sind nicht linear. Der erste Faktor ist quadratisch, während der zweite sogar den Grad $4$ hat.

    $h(x) = x^7\cdot(x^3 + 9)$

    Auch hier sind beide Faktoren nicht linear.

    $j(x) = (3+2x^2)\cdot x^5$

    Auch hier sind beide Faktoren nicht linear.

    $m(x) = (x^2 + 1)(2-x)$

    Dieser Funktionsterm setzt sich aus einem linearen Faktor ($2-x$) und einem nichtlinearen Faktor $(x^2 + 1)$ zusammen.

  • Tipps

    Ein Produkt wird immer dann $0$, wenn mindestens ein Faktor $0$ ist.

    Wenn man z.B. weiß, dass $a\cdot b = 0$ gilt, dann gilt entweder $a=0$, $b=0$ oder $a=b=0$.

    Bei einem Polynom, das in seine Linearfaktoren zerlegt ist, kann man die Nullstellen ablesen. Betrachten wir folgendes Polynom:

    $(x+2)(x-1)$.

    Die Nullstellen sind $x_1 = -2$ und $x_2 = 1$.

    Lösung

    In dieser Aufgabe musst du die Nullstellen von Polynomen ablesen, die in ihre Linearfaktoren zerlegt sind.

    Das Polynom $x^2 - 1 = (x+1)(x-1)$

    Die Nullstellen ergeben sich durch Ablesen aus der zerlegten Form:

    $x_1 = -1$ und $x_2 = 1$.

    Das Polynom $x^2 + 4x + 4 = (x+2)(x+2)$

    Die doppelte Nullstelle lautet also $x_{1,2} = -2$.

    Das Polynom $x^2 +x -6 = (x-2)(x+3)$

    Die Nullstellen lauten $x_1 = 2$ und $x_2 = -3$.

    Das Polynom $x^2 -16 = (x+4)(x-4)$

    Die Nullstellen lauten $x_1 = -4$ und $x_2 = 4$.

  • Tipps

    Wir wollen die Linearfaktoren des Polynoms $x^2 + 2x + 1$ finden.

    Da das Polynom vorne ein $x^2$ hat, wissen wir schon, dass die Form der Linearfaktoren so aussieht:

    $(x+\_)(x+\_)$

    Nun müssen wir die Leerstellen noch so füllen, dass sich $+2x$ und $+1$ ergeben.

    Durch Ausprobieren oder genaues Hinsehen ergeben sich die Werte $1$ und $1$, da $1\cdot 1 = 1$ und $1x + 1x = 2x$ gilt.

    Insgesamt folgt also:

    $(x+1)(x+1) = x^2 + 2x +1$

    Die Linearfaktoren $(x+5)$ und $(x+4)$ ergeben zum Beispiel das Polynom $x^2 + 9x + 20$. Dies kann man hier sehen:

    $(x+5)(x+4) = x^2 + 5x + 4x + 20 = x^2 + 9x +20$

    Lösung

    Die angegebenen Polynome lassen sich in ihre Linearfaktoren zerlegen.

    Um die Linearfaktoren zu ermitteln, muss man sich das Polynom genau anschauen.

    Das Polynom: $x^2 -2x -3$

    Zuerst betrachten wir, aus welchen Termen das Polynom besteht. Vorne steht ein $x^2$. Dieses verrät uns, dass es $2$ Linearfaktoren gibt, die beide ein $x$ ohne Vorfaktor enthalten. Nun müssen wir noch auf $-2x$ und $-3$ kommen. Durch Ausprobieren oder genaues Hinsehen erhalten wir die Linearfaktoren $(x-3)$ und $(x+1)$. Diese ergeben multipliziert das gesuchte Polynom. Hier siehst du die genaue Rechnung:

    $(x-3)(x+1) = x^2 -3x +1x -3 = x^2 -2x-3$.

    Das Polynom: $x^2 +x -2$

    Auf die gleiche Weise finden wir die Linearfaktoren $(x-1)$ und $(x+2)$.

    Das Polynom: $x^2 -6x +8$

    Auf die gleiche Weise finden wir die Linearfaktoren $(x-4)$ und $(x-2)$.

    Das Polynom: $x^2 + 7x + 12$

    Auf die gleiche Weise finden wir die Linearfaktoren $(x+3)$ und $(x+4)$.

  • Tipps

    Die Linearfaktorzerlegung ändert nur das Aussehen des Funktionsterms.

    Schaue dir folgendes Beispiel an:

    $x^2 + x = x\cdot (x+1)$

    Dieser Funktionsterm wurde hier in seine Linearfaktoren zerlegt. Man kann die Nullstellen $x_1 = 0$ und $x_2 = -1$ ablesen.

    Lösung

    Bei der Linearfaktorzerlegung wird ein Polynom in seine Linearfaktoren zerlegt (wie der Name auch ausdrückt).

    Man kann beispielsweise das Polynom der Polynomfunktion $f(x) = x^3 + 2x^2$ in seine Linearfaktoren $x$, $x$ und $x+2$ zerlegen. Da man dadurch nur das Aussehen der Funktionsgleichung verändert hat, verändert sich der Graph der Funktion dadurch nicht.

    Die Nullstellen lassen sich an der Gleichung $f(x) = x\cdot x\cdot(x+2)$ aber viel besser ablesen, da man die Faktoren einzeln betrachten kann.

    Erinnere dich daran, dass ein Produkt $0$ wird, wenn mindestens einer der Faktoren $0$ ist. Der erste Faktor ($x$) wird $0$, wenn man $x=0$ setzt. Das Gleiche gilt für den zweiten Faktor. Der dritte Faktor wird $0$, wenn man für $x$ den Wert $-2$ einsetzt:

    $-2+2 = 0$.

    Also sind die Nullstellen $x_{1,2} = 0$ und $x_3 = -2$.

  • Tipps

    Polynome können in manchen Fällen in ihre Linearfaktoren zerlegt werden. Dabei ändert sich das Aussehen des Terms, nicht jedoch der Graph der zugehörigen Polynomfunktion.

    Zum Beispiel kann man das Polynom $x^2+x$ zerlegen in $x$ und $x+1$, da $x\cdot(x+1) = x^2 +x$ gilt.

    Die Nullstellen von in Linearfaktoren zerlegten Polynomfunktionen lassen sich ablesen.

    Dazu musst du dir überlegen, welche Zahl du jeweils einsetzen musst, damit eine der Klammern $0$ wird.

    Beispielsweise hat das Polynom $(x-5)(x+2)$ die Nullstellen $5$ und $-2$.

    Lösung

    Wir schauen uns jetzt die drei Polynome aus der Aufgabe an, bestimmen die Linearfaktoren und die Nullstellen.

    Das Polynom: $18x^2 - 2$

    Dieses Polynom lässt sich in die Linearfaktoren $6x-2$ und $3x+1$ zerlegen. Betrachtet man nämlich $(6x-2)(3x+1)$ dann ergibt sich nach dem Distributivgesetz $6x\cdot 3x - 2\cdot 3x +6x\cdot 1 - 2\cdot 1 = 18x^2 - 2$.

    Die Nullstellen liest man aus der zerlegten Form ab, indem man sich überlegt, wann die jeweiligen Klammern $0$ werden. Denn genau dann wird auch der gesamte Term $0$. In diesem Fall sind die Nullstellen $\frac13$ und $-\frac13$.

    Das Polynom: $21x^2 + 6x$

    Das Polynom lässt sich in die Linearfaktoren $7x+2$ und $3x$ zerlegen. Die Nullstellen lauten dementsprechend $-\frac27$ und $0$.

    Das Polynom: $x^3 + 2x^2 -5x -6$

    Das Polynom lässt sich in die Linearfaktoren $x-2$, $x+3$ und $x+1$ zerlegen. Die Nullstellen lauten dementsprechend $2$, $-3$ und $-1$.

30 Tage kostenlos testen
Mit Spaß Noten verbessern
und vollen Zugriff erhalten auf

9.226

sofaheld-Level

6.600

vorgefertigte
Vokabeln

8.130

Lernvideos

38.597

Übungen

33.424

Arbeitsblätter

24h

Hilfe von Lehrkräften

laufender Yeti

Inhalte für alle Fächer und Klassenstufen.
Von Expert*innen erstellt und angepasst an die Lehrpläne der Bundesländer.

30 Tage kostenlos testen

Testphase jederzeit online beenden