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Quadratische Gleichungen und Ungleichungen

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Was ist eine quadratische Gleichung?

Eine quadratische Gleichung ist eine Gleichung, in der die Variable $x$ mit dem höchsten Exponenten $2$ vorkommt. Hier siehst du ein Beispiel für eine quadratische Gleichung:

$2x^{2}+6x-8=0$.

Lösungsverfahren für quadratische Gleichungen

Du kannst quadratische Gleichungen auf verschiedene Arten lösen. Dies siehst du im Folgenden an dem obigen Beispiel.

Die quadratische Ergänzung

Du führst eine quadratische Ergänzung des quadratischen Terms durch. Klammere zunächst den Faktor vor $x^{2}$ aus. Dies führt zu $2x^{2}+6x-8=2\left(x^{2}+3x\right)-8$. Nun kannst du den Term in der Klammer so ergänzen, dass du eine binomische Formel anwenden kannst:

$2\left(x^{2}+3x\right)-8=2\left(x^{2}+3x+\left(\frac32\right)^{2}-\left(\frac32\right)^{2}\right)-8=2\left(x+\frac32\right)^{2}-\frac{25}2$

Löse jetzt die Gleichung:

$\begin{array}{rclll} 2\left(x+\frac32\right)^{2}-\frac{25}2&=&0&|&+\frac{25}2\\\ 2\left(x+\frac32\right)^{2}&=&\frac{25}2&|&:2\\\ \left(x+\frac32\right)^{2}&=&\frac{25}4&|&\sqrt{~~~}\\\ x+\frac32&=&\pm\frac52&|&-\frac32\\\ x_1&=&-\frac32+\frac52=1\\\ x_2&=&-\frac32-\frac52=-4 \end{array}$

Mit Hilfe der quadratischen Ergänzung lässt sich die pq-Formel herleiten.

Die pq-Formel

Die pq-Formel dient zur Lösung einer quadratischen Gleichung in Normalform. Die Normalform sieht dabei so aus:

$x^{2}+px+q=0$.

Auch hierfür schauen wir uns das obige Beispiel an. Dividiere zunächst durch den Faktor vor dem $x^{2}$, damit die Gleichung in Normalform vorliegt:

$x^{2}+3x-4=0$.

Hier ist $p=3$ und $q=-4$:

$\begin{array}{rcl} x_{1;2}&=&-\frac32\pm\sqrt{\left(\frac32\right)^2+4}\\\ &=&-\frac32\pm\sqrt{\frac94+4}\\\ x_1&=&-\frac32+\frac52=1\\\ x_2&=&-\frac32-\frac52=-4 \end{array}$

Merkhilfe

Das folgende Bild stellt die pq-Formel mit Hilfe von Meeresbewohnern dar. Diese sehr bildliche Darstellung soll dir beim Merken der pq-Formel helfen.

pinguine.png

Die Mitternachtsformel

Du kannst eine quadratische Gleichung auch lösen, ohne sie vorher in die Normalform umzuwandeln. Hierfür verwendest du die Mitternachtsformel. Diese wird auch abc-Formel genannt. Bei dieser Formel muss die quadratische Gleichung nicht in Normalform vorliegen. Mit Hilfe dieser Formel kannst du jede quadratische Gleichung der Form $ax^{2}+bx+c=0$ lösen. In dem obigen Beispiel ist $a=2$, $b=6$ und $c=-8$. Auch hier erhältst du die beiden Lösungen $x_{1}=1$ und $x_{2}=-4$.

Weitere Lösungsmöglichkeiten sind der Satz von Vieta und der Satz vom Nullprodukt.

Wieviele Lösungen kann eine quadratische Gleichung besitzen?

Bei dem bisherigen Beispiel liefert jedes der Lösungsverfahren (dieselben) zwei Lösungen. Hat eigentlich jede quadratische Gleichung zwei Lösungen? Die Antwort lautet nein. Die Lösungsmöglichkeiten quadratischer Gleichungen kannst du dir anhand des Terms unter der Wurzel in der pq-Formel erkennen.

Dieser Term wird Diskriminante genannt und mit dem Buchstaben $D$ gekennzeichnet. Es gilt $D=\left(\frac p2\right)^{2}-q$.

Du unterscheidest die folgenden drei Fälle:

  • $D>0$: Es gibt zwei Lösungen.
  • $D=0$: Es gibt nur eine Lösung.
  • $D<0$: Es gibt keine Lösung.

Was ist eine quadratische Ungleichung?

Wenn du in einer quadratischen Gleichung das Gleichheitszeichen durch „$\lt$“, „$\le$“, „$\gt$“ oder „$\ge$“ ersetzt, erhältst du eine quadratische Ungleichung.