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Satz vom Nullprodukt

In vielen Anwendungen musst du Gleichungen lösen, in welchen auf der einen Seite eine Null steht. Wenn der Term auf der anderen Seite ein Produkt ist, kannst du verwenden, dass einer der Faktoren Null sein muss.

Der Satz vom Nullprodukt

Der Satz vom Nullprodukt (auch Nullproduktregel genannt) besagt, dass ein Produkt dann $0$ ist, wenn einer der Faktoren $0$ ist.

Hier siehst du ein Beispiel:

Die linke Seite der Gleichung $4\cdot x=0$ besteht aus den Faktoren $4$ und $x$. Wenn das Ergebnis dieser Multiplikation $0$ sein soll, muss $x=0$ gelten, da $4$ natürlich nicht $0$ ist.

Das klingt bisher nicht besonders spektakulär. Allerdings gewinnt dieser Satz an Bedeutung, wenn du bedenkst, dass du ihn verwenden kannst, um Gleichungen zu lösen oder Nullstellen von Funktionen zu berechnen.

Wichtig dabei ist, dass bei den Gleichungen auf der einen Seite eine $0$ steht und auf der anderen ein Produkt.

Das schauen wir uns nun an Beispielen etwas genauer an.

Nullproduktregel: Quadratische Gleichungen lösen

Du sollst eine quadratische Gleichung der Form $ax^2+bx=0$ lösen. Wie kannst du da vorgehen?

Natürlich kannst du hier die p-q-Formel oder die Mitternachtsformel anwenden. In diesem Fall gibt es jedoch eine weitere Möglichkeit, die dir vielleicht besser gefällt:

Da in dem quadratischen Term $ax^2+bx$ kein konstanter Term vorhanden ist, kannst du $x$ ausklammern. Du erhältst dann die Gleichung $x(ax+b)=0$. Nun hast du auf der linken Seite die Faktoren $x$ und $ax+b$. Da die rechte Seite gleich $0$ ist, weißt du nun, dass entweder $x$ oder $ax+b$ den Wert $0$ haben muss. Es ergeben sich also die Gleichungen $x = 0$ und $ax + b = 0$, die du lösen musst.

Im Folgenden siehst du dieses Vorgehen an Beispielen:

Beispiel 1

Du sollst die quadratische Gleichung $2x^2-4x=0$ lösen:

  • Ausklammern von $x$ führt zu $x(2x-4)=0$.
  • Die erste Gleichung lautet $x_1=0$. Hier kannst du die Lösung direkt ablesen.
  • Die zweite Gleichung ist $2x-4=0$. Durch Umformen erhältst du $x_2=2$.

Führe eine Probe durch:

  • $x_1=0$ führt zu $2\cdot 0^2-4\cdot 0=0$. ✓
  • $x_2=2$ führt zu $2\cdot 2^2-4\cdot 2=8-8=0$. ✓

Beispiel 2: Der Satz von Vieta

Der Satz von Vieta erklärt einen Zusammenhang zwischen den Lösungen einer quadratischen Gleichung der Form $x^2+px+q=0$ und den beiden Parametern $p$ und $q$.

Wenn die quadratische Gleichung zwei Lösungen $x_1$ sowie $x_2$ besitzt, gelten folgende Gleichungen:

  • $-(x_1+x_2)=p$
  • $x_1\cdot x_2=q$

Wenn du diese Gleichungen in die ursprüngliche quadratische Gleichung einsetzt ergibt das $x^2 - (x_1 + x_2)\cdot x + x_1\cdot x_2$. Durch Ausmultiplizieren und Anwenden der binomischen Formeln kannst du dies umformen zu $(x-x_1)\cdot (x-x_2)$.

Insgesamt gilt also $x^2+px+q=(x-x_1)\cdot (x-x_2)$.

Damit hast du den quadratischen Term in seine Linearfaktoren zerlegt. In dieser Form kannst du die Lösungen der Gleichung direkt ablesen. Schau dir das Beispiel $(x-2)\cdot (x+4)=0$ an. Die Lösungen sind $x_1 = 2$ und $x_2 = -4$ da mit diesen Werten der erste bzw. zweite Klammerausdruck den Wert $0$ annimmt.

Nullproduktregel: Nullstellen berechnen

Die Nullstellen einer Funktion $f$ sind die Lösungen der Gleichung $f(x)=0$. Du siehst, du kannst hier wieder auf das bereits Gelernte zurückgreifen.

Beispiel 3

Du sollst die Nullstellen der kubischen Funktion $f$ mit $f(x)=(x-1)^2\cdot (x+2)$ berechnen. Diese Funktion liegt bereits in faktorisierter Form vor. Betrachte die einzelnen Faktoren. Einer dieser Faktoren muss $0$ sein, damit das Produkt $0$ ergibt:

  • $(x-1)^2=0$ führt durch Ziehen der Wurzel zu $x-1=0$. Addiere nun die $1$, so erhältst du mit $x_1=1$ die erste Nullstelle.
  • Bei $x+2=0$ subtrahierst du die $2$. Das führt zu der zweiten Nullstelle $x_2=-2$.

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